第六章 保形映射
z 平面内的任一条有向曲线 C可用 z=z(t),a?t?b表示,
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0)
§ 1 保形映射的概念它的正向取为 t增大时点 z移动的方向,z(t)为一连续函数,
以下不一一说明 )与 C相切于点 z0=z(t0).
如果 z (t0)?0,a<t0<b,则表示向量 z (t)(把起点放取在 z0.
事实上,如果通过 C上两点 P0与 P的割线 P0P的正向
t
tzttz
Δ
)()Δ( 00
的方向相同,
O x
y
z(t0)
P0
P
z(t0+Dt) C
(z)
当点 P沿 C无限趋向于点 P0,割线 P0P的极限位置就是 C
t
tzttztz
t Δ
)()Δ(lim)( 00
0Δ0
的向量与 C相切于点 z0=z(t0),且方向与 C的正向一致,
z '(t0)
对应于 t增大的方向,则这个方向与表示上 P0处的切线,因此,表示它们交点处切线正向间夹角
O x
(z)
z0
1C
2C
我们有
Arg z '(t0)就是 z0处 C的切线正向与 x轴正向间的夹角 ;
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角就是
1.解析函数的导数的几何意义,
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
z0的一条有向光滑曲线,z=z(t),a?t?b,且 z0=z(t0),z (t0)?0,
a<t0<b,映射 w=f (z)将 C映射成 w平面内通过点 z0的对应点
w0=f (z0)的一条有向光滑曲线 G,w=f [z(t)],a?t?b,
设函数 w=f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f (z0)?0,又设 C为 z平面内通过点
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
0
0
0 0 0 0
0
()eli m li m li m li m e
e
i
i
iz z z z z
www wwfz
z z z z z
D? D? D?
D? DD
D D D
0 0 0 000li m,li mzzwf z Arg f zzD? D?DD
因此,在 G上点 w0处也有切线存在,且切线正向与 u轴正
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
00,即 Arg f '(z0)= Arg w '(t0)?Arg z '(t0)
根据复合函数求导法,有 w '(t0)=f '(z0)z '(t0)?0.
向的夹角是 Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).
1)导数 f '(z0)?0的辐角 Arg f '(z0)是曲线 C经过 w=f (z)
若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间则映射后在 z0处的 转动角 ;
的夹角理解为曲线 C经过 w=f (z)映射后在 z0处的转动 角,
2)转动角的大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关,所以通过 z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都
O x
y
O u
v(z) (w)
z0 w0
这种映射具有 转动角的不变性,
具有这样的性质,即映射到 w平面的曲线在 w0点都转动了一个角度 Arg f '(z0).
相交于点 z0的任何两条曲线 C1与 C2之间的夹角,在其大
y
a
O x O u
v(z) (w)
z0
w0C
1
C2
G1
G2
1 1 2 2 2 1 2 1 a
小和方向上都等同于经 w=f (z)映射后 C1与 C2对应的曲线 G1与 G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质,这种性质称为 保角性,
称为曲线 C在 z0的 伸缩率,
0
0
0 0
0? D?
D| ( ) | lim lim
z z z
w w wfz
z z z
3)
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离上式可视为0 0 0f z f z f z z z
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离伸长；
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离缩短；
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离不变。
值的极限，从而可视为映射 w=f (z)在点 z0处沿曲线 C的伸缩率,它与曲线 C 的形状及方向无关,所以这种映射又具有 伸缩率不变性,
例 1 求 w= f(z)=z3 在 z=0,z=i 处的导数值,并说明几何意义。
解,w= f(z)=z3在全平面解析,f '(z)=3 z2。
21 3 3 3 if i i e） 在 z=i 处具有伸缩率不变和保角性。
伸缩率为 3，旋转角为 。
2 0 0 0),f f z z 3=z 在 处显然不具有保角性。
定理 1 设函数 w=f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,
且 f '(z0)?0,则映射 w=f (z)在 z0具有两个性质,
1)保角性,即通过 z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。
2)伸缩率的不变性,即通过 z0的任何一条曲线的伸缩率均为 |f '(z0)|而与其形状和方向无关,
每一点都是保形的,就称 w = f (z)是 区域 D内的保形映射,
仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为 第一类保形例如 wz?
2,保形映射的概念定义 设函数 w = f (z)在 z0的邻域内是一一的,在 z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w = f (z)在 z0是 保形的,
或称 w = f (z)在 z0是 保形映射,如果映射 w = f (z)在 D内的映射 ；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为 第二类保形映射 。
是第二类保形映射。
保形映射,
点 保角，在每一点具有 伸缩率不变性。
例如 函数 在 是第一类保角的；zwe? 04I m z
在 是保形的。0 Im 2z
定理二 如果函数 w =f (z)在 z0 解析,且 f '(z0)?0,则映射
w=f (z)在 z0 是保形的,而且 Arg f '(z0)表示这个映射在 z0
的转动角,|f '(z0)|表示伸缩率,如果解析函数 w=f (z)在 D
内是 一一的,且处处有 f '(z)?0,则映射 w=f (z)是 D内的即保形映射是把区域双方单值的映射成区域,在每一在 D内作以 z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
定理一的几何意义,
一个以 w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为 |f '(z0)|,有一个角相等,即这两个三角形 近似相似,
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
0
0
||| ( ) | ( )
||
wwf z w f z
zz
伸缩率 由此看出映射
0||zz也将很小的圆 近似地映射成圆
00| | | ( ) |,w w f z
§ 2 分式线性映射分式线性映射,
,( ) ( ) 0d w bz a d b cc w a
0a z b a bw a d b c
c z d c d
2
d
d ( )
w a d b c
z c z d
0c w z d w a z b
两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射,
0a? b a? b?
( ),w例如
az bw
c z d
，
0ab? a? b?
'' ( ' ' ' ' ),
''
z
z
0( ) ( ) ( ' ' ' ')ad bc a? b? a? b式中则也可将一般的分式线性映射分解为一些简单
12
1
1
,,令则映射的复合,
1a? b a? ab
.w
2,(,)w A B A B 为常数由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由
i);w z b
下面讨论三种映射,为了方便,暂且将 w平面看成是下列三种特殊映射复合而成,
ii?);w a z
1
iii?) w
z
与 z平面重合的,
i)w=z+b,这是一个平移映射,因为复数相加可以
O
(z)?(w)
z
w
b
化为向量相加,z沿向量 b的方向平移一段距离 |b|
后,就得到 w.
ii) w=az,a?0,这是一个旋转与伸长 (或缩短 )的映射,
O
(z)=(w)
z
w
a
设 a=leia 将 z 先转一个角度 a,再将 |z|伸长 (或缩短 )
l倍后,就得到 w.
关于圆周对称
OP?OP'=r2,
C
PP'
r
T
O
P与 P'关于圆周 C
互为对称点
因为 DOP'T~DOPT,
OP':OT=OT:OP,.
因此即 OP?OP'=OT2=r2
1
..
w
w
然后再作出点 关于实轴对称的点即得
z
w1
w 1
11
1ii 1,i) ww
zz ww
11
11 1(,,)iiz re w e z w r
rr
1?,z w z
z要从 作出 应先作出点
1?||z关于圆周 1,w对称的点
1.保角性
1,/,z曲线的夹角则 在整个扩充复平面是保形的分式线性映射的几何性质
2
1 1 1iii
),ww z z z首先讨论 这时 0?,z当
z 时,.是解析函数 因此是保形映射
00,,z w z w而当 时 时 对这两点作保
0?,z形映射的补充规定 任何穿过 点的两条曲
01?,/ wz线在 点的夹角 就是 在无穷远处的两条而 i)与 ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一所构成的复合映射 w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有对应的,且具有保角性,
的特性,（这里将直线看作是无穷大半径的圆）
2 2 2 2 2 2 2 2
,,
x y u vu v x y
x y x y u v u v或
2.保圆性映射 w=az+b和 w=1/z都具有将圆周映射成圆周这种性质称 作保圆性,映射 w=az+b显然具有保圆性,下面说明 w=1/z具有保圆性,
1,z x iy w u iv
z
令则映射 w=1/z具有保圆性,
因此,映射 w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0
变为方程 d(u2+v2)+bu?cv+a=0。
当 a?0,d?0,圆周映射为圆周 ;
当 a?0,d=0：圆周映射成直线 ;
当 a=0,d?0：直线映射成圆周；
当 a=0,d=0：直线映射成直线,
这就是说,映射 w=1/z把圆周映射成圆周,或者说,
根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定定理二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周 ; 如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线,
z1,z2是关于圆周 C的一对对称点的充要条件是经过
C
R
z0 z1 z2
z' G
3,保对称点性
z1,z2的任何圆周 G 都与 C正交,
定理三 设点 z1,z2是关于圆周 C的一对对称点,则
[证 ] 设经过 w1与 w2的任一圆周 G '是经过 z1与 z2的在分式线性映射下,它们的象点 w1与 w2也是关于
C的象曲线 G 的一对对称点,
圆周 G 由分式线性映射过来的,由于 G 与 C正交,
而分式线性映射具有保角性,所以 G '与 C '(C的象 )
也必正交,因此,w1与 w2是一对关于 C '的对称点,
作业,P
z 平面内的任一条有向曲线 C可用 z=z(t),a?t?b表示,
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0)
§ 1 保形映射的概念它的正向取为 t增大时点 z移动的方向,z(t)为一连续函数,
以下不一一说明 )与 C相切于点 z0=z(t0).
如果 z (t0)?0,a<t0<b,则表示向量 z (t)(把起点放取在 z0.
事实上,如果通过 C上两点 P0与 P的割线 P0P的正向
t
tzttz
Δ
)()Δ( 00
的方向相同,
O x
y
z(t0)
P0
P
z(t0+Dt) C
(z)
当点 P沿 C无限趋向于点 P0,割线 P0P的极限位置就是 C
t
tzttztz
t Δ
)()Δ(lim)( 00
0Δ0
的向量与 C相切于点 z0=z(t0),且方向与 C的正向一致,
z '(t0)
对应于 t增大的方向,则这个方向与表示上 P0处的切线,因此,表示它们交点处切线正向间夹角
O x
(z)
z0
1C
2C
我们有
Arg z '(t0)就是 z0处 C的切线正向与 x轴正向间的夹角 ;
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角就是
1.解析函数的导数的几何意义,
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
z0的一条有向光滑曲线,z=z(t),a?t?b,且 z0=z(t0),z (t0)?0,
a<t0<b,映射 w=f (z)将 C映射成 w平面内通过点 z0的对应点
w0=f (z0)的一条有向光滑曲线 G,w=f [z(t)],a?t?b,
设函数 w=f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f (z0)?0,又设 C为 z平面内通过点
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
0
0
0 0 0 0
0
()eli m li m li m li m e
e
i
i
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www wwfz
z z z z z
D? D? D?
D? DD
D D D
0 0 0 000li m,li mzzwf z Arg f zzD? D?DD
因此,在 G上点 w0处也有切线存在,且切线正向与 u轴正
O x
y
O u
v
z0P0 r
zPDz C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w?Dw
0? 0?
00,即 Arg f '(z0)= Arg w '(t0)?Arg z '(t0)
根据复合函数求导法,有 w '(t0)=f '(z0)z '(t0)?0.
向的夹角是 Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).
1)导数 f '(z0)?0的辐角 Arg f '(z0)是曲线 C经过 w=f (z)
若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间则映射后在 z0处的 转动角 ;
的夹角理解为曲线 C经过 w=f (z)映射后在 z0处的转动 角,
2)转动角的大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关,所以通过 z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都
O x
y
O u
v(z) (w)
z0 w0
这种映射具有 转动角的不变性,
具有这样的性质,即映射到 w平面的曲线在 w0点都转动了一个角度 Arg f '(z0).
相交于点 z0的任何两条曲线 C1与 C2之间的夹角,在其大
y
a
O x O u
v(z) (w)
z0
w0C
1
C2
G1
G2
1 1 2 2 2 1 2 1 a
小和方向上都等同于经 w=f (z)映射后 C1与 C2对应的曲线 G1与 G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质,这种性质称为 保角性,
称为曲线 C在 z0的 伸缩率,
0
0
0 0
0? D?
D| ( ) | lim lim
z z z
w w wfz
z z z
3)
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离上式可视为0 0 0f z f z f z z z
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离伸长；
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离缩短；
0 1,fz 0表示从z 出发的任一无穷小距离不变。
值的极限，从而可视为映射 w=f (z)在点 z0处沿曲线 C的伸缩率,它与曲线 C 的形状及方向无关,所以这种映射又具有 伸缩率不变性,
例 1 求 w= f(z)=z3 在 z=0,z=i 处的导数值,并说明几何意义。
解,w= f(z)=z3在全平面解析,f '(z)=3 z2。
21 3 3 3 if i i e） 在 z=i 处具有伸缩率不变和保角性。
伸缩率为 3，旋转角为 。
2 0 0 0),f f z z 3=z 在 处显然不具有保角性。
定理 1 设函数 w=f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,
且 f '(z0)?0,则映射 w=f (z)在 z0具有两个性质,
1)保角性,即通过 z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。
2)伸缩率的不变性,即通过 z0的任何一条曲线的伸缩率均为 |f '(z0)|而与其形状和方向无关,
每一点都是保形的,就称 w = f (z)是 区域 D内的保形映射,
仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为 第一类保形例如 wz?
2,保形映射的概念定义 设函数 w = f (z)在 z0的邻域内是一一的,在 z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w = f (z)在 z0是 保形的,
或称 w = f (z)在 z0是 保形映射,如果映射 w = f (z)在 D内的映射 ；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为 第二类保形映射 。
是第二类保形映射。
保形映射,
点 保角，在每一点具有 伸缩率不变性。
例如 函数 在 是第一类保角的；zwe? 04I m z
在 是保形的。0 Im 2z
定理二 如果函数 w =f (z)在 z0 解析,且 f '(z0)?0,则映射
w=f (z)在 z0 是保形的,而且 Arg f '(z0)表示这个映射在 z0
的转动角,|f '(z0)|表示伸缩率,如果解析函数 w=f (z)在 D
内是 一一的,且处处有 f '(z)?0,则映射 w=f (z)是 D内的即保形映射是把区域双方单值的映射成区域,在每一在 D内作以 z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
定理一的几何意义,
一个以 w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为 |f '(z0)|,有一个角相等,即这两个三角形 近似相似,
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
0
0
||| ( ) | ( )
||
wwf z w f z
zz
伸缩率 由此看出映射
0||zz也将很小的圆 近似地映射成圆
00| | | ( ) |,w w f z
§ 2 分式线性映射分式线性映射,
,( ) ( ) 0d w bz a d b cc w a
0a z b a bw a d b c
c z d c d
2
d
d ( )
w a d b c
z c z d
0c w z d w a z b
两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射,
0a? b a? b?
( ),w例如
az bw
c z d
，
0ab? a? b?
'' ( ' ' ' ' ),
''
z
z
0( ) ( ) ( ' ' ' ')ad bc a? b? a? b式中则也可将一般的分式线性映射分解为一些简单
12
1
1
,,令则映射的复合,
1a? b a? ab
.w
2,(,)w A B A B 为常数由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由
i);w z b
下面讨论三种映射,为了方便,暂且将 w平面看成是下列三种特殊映射复合而成,
ii?);w a z
1
iii?) w
z
与 z平面重合的,
i)w=z+b,这是一个平移映射,因为复数相加可以
O
(z)?(w)
z
w
b
化为向量相加,z沿向量 b的方向平移一段距离 |b|
后,就得到 w.
ii) w=az,a?0,这是一个旋转与伸长 (或缩短 )的映射,
O
(z)=(w)
z
w
a
设 a=leia 将 z 先转一个角度 a,再将 |z|伸长 (或缩短 )
l倍后,就得到 w.
关于圆周对称
OP?OP'=r2,
C
PP'
r
T
O
P与 P'关于圆周 C
互为对称点
因为 DOP'T~DOPT,
OP':OT=OT:OP,.
因此即 OP?OP'=OT2=r2
1
..
w
w
然后再作出点 关于实轴对称的点即得
z
w1
w 1
11
1ii 1,i) ww
zz ww
11
11 1(,,)iiz re w e z w r
rr
1?,z w z
z要从 作出 应先作出点
1?||z关于圆周 1,w对称的点
1.保角性
1,/,z曲线的夹角则 在整个扩充复平面是保形的分式线性映射的几何性质
2
1 1 1iii
),ww z z z首先讨论 这时 0?,z当
z 时,.是解析函数 因此是保形映射
00,,z w z w而当 时 时 对这两点作保
0?,z形映射的补充规定 任何穿过 点的两条曲
01?,/ wz线在 点的夹角 就是 在无穷远处的两条而 i)与 ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一所构成的复合映射 w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有对应的,且具有保角性,
的特性,（这里将直线看作是无穷大半径的圆）
2 2 2 2 2 2 2 2
,,
x y u vu v x y
x y x y u v u v或
2.保圆性映射 w=az+b和 w=1/z都具有将圆周映射成圆周这种性质称 作保圆性,映射 w=az+b显然具有保圆性,下面说明 w=1/z具有保圆性,
1,z x iy w u iv
z
令则映射 w=1/z具有保圆性,
因此,映射 w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0
变为方程 d(u2+v2)+bu?cv+a=0。
当 a?0,d?0,圆周映射为圆周 ;
当 a?0,d=0：圆周映射成直线 ;
当 a=0,d?0：直线映射成圆周；
当 a=0,d=0：直线映射成直线,
这就是说,映射 w=1/z把圆周映射成圆周,或者说,
根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定定理二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周 ; 如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线,
z1,z2是关于圆周 C的一对对称点的充要条件是经过
C
R
z0 z1 z2
z' G
3,保对称点性
z1,z2的任何圆周 G 都与 C正交,
定理三 设点 z1,z2是关于圆周 C的一对对称点,则
[证 ] 设经过 w1与 w2的任一圆周 G '是经过 z1与 z2的在分式线性映射下,它们的象点 w1与 w2也是关于
C的象曲线 G 的一对对称点,
圆周 G 由分式线性映射过来的,由于 G 与 C正交,
而分式线性映射具有保角性,所以 G '与 C '(C的象 )
也必正交,因此,w1与 w2是一对关于 C '的对称点,
作业,P
