§ 8.2 单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲冲击力作用后的运动情况等,研究此类问题就会函数,因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流 ; 在力学中,要研究机械系统受产生我们要介绍的单位脉冲函数,
在原来电流为零的电路中,某一瞬时 (设为 t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流 i(t),以 q(t)表示上述电路中的电荷函数,则
.0,1;0,0
)(
t
t
tq
t
tqttq
t
tqti
t?
)()(lim
d
)(d)(
0
当 t?0时,i(t)=0,由于 q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的,
如果我们形式地计算这个导数,则得
tt
qtqi
tt
1lim)0()0(lim)0(
00
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度,为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克 (Dirac)的函数,简单记成 d-函数, 00
0
tt
td
有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,
0
00
1
0
0
00
0
()
( ) li m ( )
t
tt
t
t
tt
t
d?
dd
给函数序列,
定义 。
d?(t)
1/?
O
000
1( ) d l im ( ) d l im 1t t t t d t?
dd?
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将 d-函数称为 单位脉冲函数。
可将 d-函数用一个长度等于 1的有向线段表示,
这个线段的长度表示 d-函数的积分值,称为 d-函数的强度,
tO
d (t)
1
d-函数有性质：
000( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ),t f t t f t t f t t f t
ft
dd
及
（ 为连续函数）
可见 d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。
d-函数的傅氏变换为,
0[ ( ) ] ( ) ( ) e d e 1
j t j t
tt F t t
d? d
F
于是 d (t)与常数 1构成了一傅氏变换对,
1 1( ) [ 1 ]
2
itt e d?d?
F 2 ( )ite d t d
证法 2：若 F(?)=2?d (?),由傅氏逆变换可得
j
0
1( ) 2 ( ) e d 1
2
t j tf t e
d
例 1 证明,1和 2?d (?)构成傅氏变换对,
证法 1,1 2,j t j se d t s t e d s dF1
0
0
0
0
0
1
2
1
2
2
2
j
jjj
j
( ) ( ) e d
( ) e d e e,
e ( )
t
ttt
t
f t F
d
d
证：
即 和 构成了一个傅氏变换对。
0 02je ( )t d例2 证明 和 构成一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
0
j
j( )
0
e d 2 ( )
e d 2 ( )
t
t
t
t
d?
d
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换,所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原 象 函数 f(t) 和象函数 F(?)
构成一个傅氏变换对,
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件 | ( ) | df t t
例 4 求正弦函数 f (t)=sin?0t的傅氏变换。
00
00
0
0 0 0 0
1
22
1
22
2
j
jj
j ( ) j (j
( ) [ ( ) ] e sin d
ee
e d ( e e ) d
jj
( ) ( ) j ( ) ( ),
j
t
tt
ttt
F f t t t
tt
d d d d
F
t
0?0O?
|F(?)|
0sin t?
例 5 证明,0,0( ),1,0tut t
单 位 阶 跃 函 数
1[ ( ) ] ( ),ut
j? dF
证：
1
0
1 1 1
2
1 1 1
22
11
22
1 1 1 1
2 2 2
( ) ( )
()
c os si n
si n si n
jt
j t j t
ed
jj
e d e d
j
t j t
d
j
tt
dd
d d
d
F
0,2
0,2s i n
0 t
t
d
t
1
11
00
22
11
0
2
11
10
22
,
( ),( )
,
t
t u t
j
t
d?
F
§ 8.3 Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件,
1 1 1
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
a f t b g t a f t b g t
A F B G A F B G
F F F
F F F
1.线性性质,
2,位移性质,
00[ ( ) ] ( ),f t F t若,为实常数，则F
0
0
0
0
1
0
0
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
jt
jt
jt
f t t e F
F e f t
e f t F
，
或
F
F
F
0
00
00
0
()
[ ( ) ] ( )
()
( ) ( )
jt
j s t
j t j tjs
f t t f t t e dt
s t t f s e ds
e f s e ds e F
F
证明：
返回
1
0
11
[ ( ) ] ( ),
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
f t F a
t
f at F F at f
a a a a
若,则F
FF
3,相似性：
证明：
1
0
1
0
11
( ),
[ ( ) ] ( )
( ),
( ) ( )
s
j
a
s a t
jt
s
j
a
js
a
f s e d s a
a
f a t f a t e d t
f s e d s a
a
f s e d s F
a a a
F
例 1 计算 。)]25([?tuF
方法 1,（ 先用相似性,再用平移性 ）
2 5 5 2( ) ( ),( ) ( )g t u t g t u t令则
55
22
5 5
2
5
11
5 2 5 2
55
1 1 1
55
15
55
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
.
jj
j
u t g t g t u t
e u t e
j
e
j
d?
d
F F F F
F
方法 2,（ 先用平移性,再用相似性 ）
25 5 2
5( ) ( ),( ) ( )令则g t u t g t u t
22
55
22
55
5 5
2
5
2
5 2 5
5
1 1 1
55
15
55
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ]
.
jj
jj
j
u t g t e g t e u t
e u t e
j
e
j
d?
d
F F F F
F
4.微分性：
0[ ( ) ] ( ) l i m ( ),
t
f t F f t?
原像函数的微分性：
若,且 则F
[ ( ) ] ( )f t j FF
0 0 1 2 1()
()
li m ( ),,,,,
( ) ( )
k
t
nn
f t k n
f t j F
一般地，若 则
F
( ) ( )
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
n n n n n n
F j tf t tf t jF
F j t f t t f t j F
像函数的微分性：
或或
FF
FF
5.积分性：
00
1
[ ( ) ] ( ) lim ( ) ( ),
[ ( ) ] ( ),
t
t
t
f t F f s d s F
f s d s F
j
设,若 则F
F
6,帕塞瓦尔 (Parserval)等式
2 212( ) d ( ),f t t F d
[ ( ) ] ( )f t F设,则有F
实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出,
0
2
2
0
4
1
1
1
2
j
()
( ) ( )
j
()
j
e ( )
ee
d
d?
d
t
t
t
t
ut
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0
0
0
0
2
2
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1
1
1
j
j
( ),( ) e
( ),e ( )
( ) ( )
j
d
( ) ( ) ( )
d j j
( ) j ( )
t
t
t t t
ut
j
t u t j j
t u t
dd
d d
d?
d d?
d?
因 由位移性质得由得由例 2 利用傅氏变换的性质求 d (t?t0),性质
0je,( )t tu t? 以及 的傅氏变换.
性质例 3 若 f (t)=cos?0t? u(t),求其 傅氏变换。
001
2
jjee
( ) ( ),( ) ( )
j
tt
u t f t u t
d?
00
00
1 1 1
2
()
( ) ( )
j ( ) j ( )
F?
d d
0022
0 2
j [ ( ) ( ) ] d d
7.卷积与卷积定理卷积定义：
dsstgsftgf )()()(
A f g A f g f A g A数乘,为常数卷积的简单性质：
f g g f交换律：
f g h f g f h加法分配律：
f g h f g h结合律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f g t f t g t f t g tdt求导：
( ) ( ) ( )f t f t f tdd
例 1 求下列函数的卷积：
12
0 0 0 0 0
00( ),( ) ;,,.ett
ttf t f t
e t t
由卷积的定义有 0
1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) d
t
t
f t f t f f t
0000
()e d e e dtt tte
11e e e et t t
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )f g f g F GF F F
卷积定理：
1 [ ( ) ( ) ]F G f g或,化简卷积运算F
1 2[ ( ) ( ) ]F G f g或,化简傅氏变换F
1
2[ ] [ ] [ ] ( ) ( )f g f g F GF F F
例 2 求 的傅氏变换。0jtf t e tu t
00 1
2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ] [ ( ) ]
j t j tf t e t u t e t u t
F F F F
0
022
0
11
.j t j
t
d d
0 21122 j? d d
性质
0 22
2
j t d
t
d d
利用卷积公式来证明积分公式：
00[ ( ) ] ( ) l i m ( ) ( ),t
t
f t F f s ds F?
设,若 则F
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tty t f s d s f u t d f t u t令
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )t f s d s f t u t f t u tF F F F
证明：
0()[ ( ) ] ( ) ( )t Ff s d s Fi dF
1 0()( ) ( ) ( ) ( )FFF
jj
d d?
在原来电流为零的电路中,某一瞬时 (设为 t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流 i(t),以 q(t)表示上述电路中的电荷函数,则
.0,1;0,0
)(
t
t
tq
t
tqttq
t
tqti
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)()(lim
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)(d)(
0
当 t?0时,i(t)=0,由于 q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的,
如果我们形式地计算这个导数,则得
tt
qtqi
tt
1lim)0()0(lim)0(
00
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度,为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克 (Dirac)的函数,简单记成 d-函数, 00
0
tt
td
有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,
0
00
1
0
0
00
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()
( ) li m ( )
t
tt
t
t
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d?
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给函数序列,
定义 。
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1/?
O
000
1( ) d l im ( ) d l im 1t t t t d t?
dd?
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将 d-函数称为 单位脉冲函数。
可将 d-函数用一个长度等于 1的有向线段表示,
这个线段的长度表示 d-函数的积分值,称为 d-函数的强度,
tO
d (t)
1
d-函数有性质：
000( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ),t f t t f t t f t t f t
ft
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及
（ 为连续函数）
可见 d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。
d-函数的傅氏变换为,
0[ ( ) ] ( ) ( ) e d e 1
j t j t
tt F t t
d? d
F
于是 d (t)与常数 1构成了一傅氏变换对,
1 1( ) [ 1 ]
2
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证法 2：若 F(?)=2?d (?),由傅氏逆变换可得
j
0
1( ) 2 ( ) e d 1
2
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例 1 证明,1和 2?d (?)构成傅氏变换对,
证法 1,1 2,j t j se d t s t e d s dF1
0
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2
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j
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( ) ( ) e d
( ) e d e e,
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ttt
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d
d
证：
即 和 构成了一个傅氏变换对。
0 02je ( )t d例2 证明 和 构成一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
0
j
j( )
0
e d 2 ( )
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t
t
t
t
d?
d
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换,所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原 象 函数 f(t) 和象函数 F(?)
构成一个傅氏变换对,
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件 | ( ) | df t t
例 4 求正弦函数 f (t)=sin?0t的傅氏变换。
00
00
0
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1
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1
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F
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例 5 证明,0,0( ),1,0tut t
单 位 阶 跃 函 数
1[ ( ) ] ( ),ut
j? dF
证：
1
0
1 1 1
2
1 1 1
22
11
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F
§ 8.3 Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件,
1 1 1
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
a f t b g t a f t b g t
A F B G A F B G
F F F
F F F
1.线性性质,
2,位移性质,
00[ ( ) ] ( ),f t F t若,为实常数，则F
0
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[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
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证明：
返回
1
0
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[ ( ) ] ( ),
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
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3,相似性：
证明：
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0
1
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例 1 计算 。)]25([?tuF
方法 1,（ 先用相似性,再用平移性 ）
2 5 5 2( ) ( ),( ) ( )g t u t g t u t令则
55
22
5 5
2
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11
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55
1 1 1
55
15
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[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
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方法 2,（ 先用平移性,再用相似性 ）
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22
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22
55
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4.微分性：
0[ ( ) ] ( ) l i m ( ),
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原像函数的微分性：
若,且 则F
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0 0 1 2 1()
()
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( ) ( )
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一般地，若 则
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( ) ( )
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n n n n n n
F j tf t tf t jF
F j t f t t f t j F
像函数的微分性：
或或
FF
FF
5.积分性：
00
1
[ ( ) ] ( ) lim ( ) ( ),
[ ( ) ] ( ),
t
t
t
f t F f s d s F
f s d s F
j
设,若 则F
F
6,帕塞瓦尔 (Parserval)等式
2 212( ) d ( ),f t t F d
[ ( ) ] ( )f t F设,则有F
实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出,
0
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d?
d d?
d?
因 由位移性质得由得由例 2 利用傅氏变换的性质求 d (t?t0),性质
0je,( )t tu t? 以及 的傅氏变换.
性质例 3 若 f (t)=cos?0t? u(t),求其 傅氏变换。
001
2
jjee
( ) ( ),( ) ( )
j
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00
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2
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0022
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j [ ( ) ( ) ] d d
7.卷积与卷积定理卷积定义：
dsstgsftgf )()()(
A f g A f g f A g A数乘,为常数卷积的简单性质：
f g g f交换律：
f g h f g f h加法分配律：
f g h f g h结合律：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f g t f t g t f t g tdt求导：
( ) ( ) ( )f t f t f tdd
例 1 求下列函数的卷积：
12
0 0 0 0 0
00( ),( ) ;,,.ett
ttf t f t
e t t
由卷积的定义有 0
1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) d
t
t
f t f t f f t
0000
()e d e e dtt tte
11e e e et t t
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )f g f g F GF F F
卷积定理：
1 [ ( ) ( ) ]F G f g或,化简卷积运算F
1 2[ ( ) ( ) ]F G f g或,化简傅氏变换F
1
2[ ] [ ] [ ] ( ) ( )f g f g F GF F F
例 2 求 的傅氏变换。0jtf t e tu t
00 1
2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ] [ ( ) ]
j t j tf t e t u t e t u t
F F F F
0
022
0
11
.j t j
t
d d
0 21122 j? d d
性质
0 22
2
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利用卷积公式来证明积分公式：
00[ ( ) ] ( ) l i m ( ) ( ),t
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设,若 则F
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tty t f s d s f u t d f t u t令
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )t f s d s f t u t f t u tF F F F
证明：
0()[ ( ) ] ( ) ( )t Ff s d s Fi dF
1 0()( ) ( ) ( ) ( )FFF
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