1
第二章 Laplace变换
Fourier变换的两个限制：
1 0 0( ) [ ),t定义于,而不必考虑 时取值的函数；2() 绝对可积的条件太强。许多简单函数的傅氏变换或者不存在，或者为非常义下的广义函数给应用带来很大的不方便。
2
§ 1 Laplace变换的概念 00
0
0
,
( ) ( ),
,t
t
t
et?
设指数衰减函数
0,.f t t f t u t f t t考虑,有 =
0 () sts j f t e d t F s
0,,te f t d t+-若存在 使得 则
tf t u t e 的傅氏积分是存在的：
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )t t j tf t u t e f t u t e e d tF
0
()() jtf t e d t
3
t
f (t)
O
t
f (t)u(t)et
O
4
1L a p l a c e( ) ( ) ( ) [ ( ) ],f t F s f t F s称为 的 逆变换，记为 L
1,定义：
0( ) [,) ( )ft设 是 上的实 或复 值函数，若对参数
0,( ) ( )
sts j F s f t e d t 在s 平面的某一区域
L a pl a c e()ft内收敛，则称其为 的 变换，记为
0[ ( ) ] ( ) stf t F s f t e d tL
( ) ( )F s f t称为像函数,称为原像函数.
5
例 1 求单位阶跃函数
00
10
() tut
t
的拉氏变换.
0[ ( ) ] e d
stu t tL
解：根据拉氏变换的定义,有这个积分在 Re(s)>0时收敛,而且有
0
11
e d e
0
st stt
ss
1[ ( ) ] ( R e ( ) 0 ),u t s
s所 以 L
6
例 2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换 (k为实数 ).
00
k t s t s k tf t t t ()[ ( ) ] e e d e dL
00
11
( ) ( )e d es k t s k tt
s k s k
这个积分在 Re(s)>k时收敛,而且有其实 k为复数时上式也成立,只是收敛区间 Re(s)>Re(k)
1
[ e ] ( R e ( ) ),
kt sk
sk所以 L
解：根据拉氏变换的定义,有
7
2.拉氏变换的存在定理 若函数 f (t)满足,
(1) 在 t? 0的任一有限区间上分段连续 ;
(2) 当 t时,f (t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数 M > 0及 c? 0,使得
|f (t)|? M e ct,0? t <
则 f (t)的拉氏变换
0
( ) ( ) e dstF s f t t
在半平面 Re(s)>c上一定存在,并且在 Re(s) > c的半平面内,F(s)为解析函数,
8
证明：由条件 2可知,对于任何 t值 (0?t<),有注 1：大部分常用函数的 Laplace变换都存在 (常义下 );
| f (t)e -st |=| f (t)|e-bt? Me-(b-c)t,Re(s)=b,
b=Re(s)>c:
注 2：存在定理的条件是充分但非必要条件,
9
M
Mect
f (t)
tO
10
§ 2 Laplace变换的性质与计算本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的,为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为 c,在证明性质时不再重述这些条件,
11
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2
,( ) ( ) (,),
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
ii
f t F s i
a f t a f t a F s a F s
b F s b F s b f t b f t
线性性,则L
L
L
例 3 求 f (t)=sinkt (k为实数 ) 的拉氏变换。
12
0
[ sin ] sin e dstk t k t tL
22[ s in ]
kkt
skL
同理可得 22[ c o s ] skt
skL
解：
jj
0
1 ( e e ) e d
2j
k t k t s t t
( j ) ( j )00j e d e d2 s k t s k ttt
22
j 1 1
2 j j
k
s k s k s k
13
2.微分性质,
( ) ( ) (0 ) R ef t s F s f s cL
( ) 1 2 ( 1 )( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n n n n nf t s F s s f s f fL
此性质可以使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为
F(s)的代数方程,
特别当 时，有10 0 0 0nf f f
n nf t s F sL
( ) ( ) R e,f t F s s c 则L
1,2,R en s c
14
例 4 求 的拉氏变换（ m为正整数）。? mf t t?
10 0 0 0,!mmf f f f t m由 于 而
() 1! ! ! ;mf t m m u t m s一 方 面 L L L
mts另 一 方 面 ；m mL f L t
1
11! ! ( R e 0).m
ms m m sss
mmL t L t
解：
15
1 ( )
()
( ) ( ) ( )
( ) ( 1 ) ( )
nn
n n n
F s t f t
t f t F s
L
L
1
1
( ) ( ) R e
()
( ) ( ) ( )
F s t f t s c
Fs
t f t F s f t
t
L
L
L
象函数的微分性质,
16
32
2
2 2 2 2 3
26c o s 1 c o s ( )
()
s s k st k t k t s
s k s k
2LL
例 5 求 (k为实数 )的拉氏变换, 2 c o sf t t k t?
17
3,积分性质,
0
( ) ( ) Re,
()
( ) Re m a x ( 0,)
t
f t F s s c
Fs
f t d t s c
s
则L
L
0 0 0
{}
1d d ( ) d ( )t t t
nt t f t t F ss
n
次
L
例 6 求 的拉氏变换, 0 c o stf t t d t
220 1 1 1c os c os 11t st dt ts s s sLL
18
象函数积分性质,则( ) ( )f t F s?L
0
0
0
0
( ) d { ( ) e d } d
( ) { e d } d
1
( ) e d
( ) ( )
ed
t
ss
t
s
t
s
st
F s s f t t
f t t
f t t
t
f t f t
t
tt
L
() ( ) d,
s
ft F s s
t
L ()
,d d ( ) dn
s s s
n
ft s s F s s
t
次一 般 地 有 L
19
2
2
1
[ sh ],
1
sh 1
d
1
1 1 1 1 1
d l n
2 1 1 2 1
11
l n,
21
s
s
s
t
s
t
s
ts
s
s
s s s
s
s
因由 积 分 性 质,
L
L
例 7 求函数
sh() tft
t?的拉氏变换,
解：
20
4,( ) ( ) ( ) 0,0,f t F s t f t平 移 性 延 迟 性,则L
函数 f (t?t)与 f (t)相比,f (t)从 t = 0开始有非零数值,
f (t?t)是从 t =t 开始才有非零数值,即延迟了一个时间 t,从它的图象讲,f (t?t)是由 f (t)沿 t 轴向右平移 t 而得,其拉氏变换也多一个因子 e?st.
O tt
f(t) f(t?t)
( ) ( ) ( ) R essf t e f t e F s s ctttLL
21
1
[ ( ) ],
1
[ ( ) ]
s
ut
s
u t e
s
t
t
已 知 根 据 延 迟 性 质L
L
例 8 求函数
t
tt
t
ttu
1
0)( 的拉氏变换,
1
u(t?t)
t tO
解：
22
5,( ) ( ) R e,f t F s s c位 移 性,则L
22
[ sin ],
k
kt
sk
已知 由位移性质得L
例 9 求 的拉氏变换, s intf t e k t
1
( ) Re ( )
()
t
t
e f t F s s c
F s e f t
L
L
解：
22[ e s in ] ()
at kkt
s a k
L
第二章 Laplace变换
Fourier变换的两个限制：
1 0 0( ) [ ),t定义于,而不必考虑 时取值的函数；2() 绝对可积的条件太强。许多简单函数的傅氏变换或者不存在，或者为非常义下的广义函数给应用带来很大的不方便。
2
§ 1 Laplace变换的概念 00
0
0
,
( ) ( ),
,t
t
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设指数衰减函数
0,.f t t f t u t f t t考虑,有 =
0 () sts j f t e d t F s
0,,te f t d t+-若存在 使得 则
tf t u t e 的傅氏积分是存在的：
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )t t j tf t u t e f t u t e e d tF
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1,定义：
0( ) [,) ( )ft设 是 上的实 或复 值函数，若对参数
0,( ) ( )
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L a pl a c e()ft内收敛，则称其为 的 变换，记为
0[ ( ) ] ( ) stf t F s f t e d tL
( ) ( )F s f t称为像函数,称为原像函数.
5
例 1 求单位阶跃函数
00
10
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t
的拉氏变换.
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解：根据拉氏变换的定义,有这个积分在 Re(s)>0时收敛,而且有
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11
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例 2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换 (k为实数 ).
00
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这个积分在 Re(s)>k时收敛,而且有其实 k为复数时上式也成立,只是收敛区间 Re(s)>Re(k)
1
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解：根据拉氏变换的定义,有
7
2.拉氏变换的存在定理 若函数 f (t)满足,
(1) 在 t? 0的任一有限区间上分段连续 ;
(2) 当 t时,f (t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数 M > 0及 c? 0,使得
|f (t)|? M e ct,0? t <
则 f (t)的拉氏变换
0
( ) ( ) e dstF s f t t
在半平面 Re(s)>c上一定存在,并且在 Re(s) > c的半平面内,F(s)为解析函数,
8
证明：由条件 2可知,对于任何 t值 (0?t<),有注 1：大部分常用函数的 Laplace变换都存在 (常义下 );
| f (t)e -st |=| f (t)|e-bt? Me-(b-c)t,Re(s)=b,
b=Re(s)>c:
注 2：存在定理的条件是充分但非必要条件,
9
M
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10
§ 2 Laplace变换的性质与计算本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的,为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为 c,在证明性质时不再重述这些条件,
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1
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例 3 求 f (t)=sinkt (k为实数 ) 的拉氏变换。
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2.微分性质,
( ) ( ) (0 ) R ef t s F s f s cL
( ) 1 2 ( 1 )( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n n n n nf t s F s s f s f fL
此性质可以使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为
F(s)的代数方程,
特别当 时，有10 0 0 0nf f f
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14
例 4 求 的拉氏变换（ m为正整数）。? mf t t?
10 0 0 0,!mmf f f f t m由 于 而
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11! ! ( R e 0).m
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象函数的微分性质,
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例 5 求 (k为实数 )的拉氏变换, 2 c o sf t t k t?
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3,积分性质,
0
( ) ( ) Re,
()
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t
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例 6 求 的拉氏变换, 0 c o stf t t d t
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18
象函数积分性质,则( ) ( )f t F s?L
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例 7 求函数
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解：
20
4,( ) ( ) ( ) 0,0,f t F s t f t平 移 性 延 迟 性,则L
函数 f (t?t)与 f (t)相比,f (t)从 t = 0开始有非零数值,
f (t?t)是从 t =t 开始才有非零数值,即延迟了一个时间 t,从它的图象讲,f (t?t)是由 f (t)沿 t 轴向右平移 t 而得,其拉氏变换也多一个因子 e?st.
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f(t) f(t?t)
( ) ( ) ( ) R essf t e f t e F s s ctttLL
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1
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例 9 求 的拉氏变换, s intf t e k t
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( ) Re ( )
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