1
积分变换第八章 Fourier变换
(周期趋于无穷时的极限形式 ).
Recall:
周期函数在一定条件下可以展开为 Fourier级数；
但全直线上的非周期函数不能有 Fourier表示；
引进类似于 Fourier级数的 Fourier积分,
2
§ 1 Fourier变换的概念一,Fourier 级数,在工程计算中,无论是电学还是力学,
间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,
t
经常 要和随时间而变的周期函数 fT(t)打交道,例如,
具有性质 fT(t+T)=fT(t),其中 T称作周期,而 1/T代表单位时单位是赫兹 (Herz,或 Hz).
3
数的线性组合来逼近,---- Fourier级数,
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函
4
1 ()Tft 连续或仅有有限个第一类间断点；
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间 [-T/2,T/2]内函数变化的情况,
22( ),T
TTf t T--
定理,为 周期函数，在 上满足：
2 ()Tft 仅有有限个极值点.
F o u r i e r()Tf t t则 可展开为 级数，且在连续点处成立：
0
12
( ) c o s s inT n n
n
af t a n t b n t
D ir ic h le t条件：
5
2 22 0 1 2( ) c os,,,TnT Ta f t n t dt nT?-
0
1
00
22
( ) ( ) c o s s inTT
nn
n
af t f t a n t b n t
-
引进复数形式：
22
c o s,si n
in t in t in t in te e e e
n t n t
i
--?-
0
12
( ) c o s s inT n n
n
af t a n t b n t
2,T其中
2 22 12( ) si n,,TnT Tb f t n t dt nT?-
t在间断点 处成立：
6
0
12 2 2
i n t i n t i n t i n t
nn
n
a e e e eab
i
--?
-
0
0 2 2 2,,,
n n n n
nn
a a i b a i bc c d-令级数化为：
0
12 2 2
i n t i n tn n n n
n
a a i b a i bee -
-
2 21 ( ) c os si nTnT Td f t n t i n t dtT-
则
2 21 ( ) c os si nTnT Tc f t n t i n t dtT-?-?
12,,ncn-
2
0 2
1 ()T
TTc f t d tT -
2
2
1 ()T in t
TT f t e d tT
-
-
2
2
1 ()T in t
TT f t e dtT
-
()nncc-?
7
2 21 0 1 2( ),,,T in tnT Tc f t e dt nT?--
in t
n
n
ce?
-?
nTc F n f t 离：的 散频谱 ；
T n Tf t c f t若以 描述某种信号，则 可以刻画 的频率特征。
合并为：
级数化为,2
2
1 ()T i n i n t
TT
n
f e d eT
-
-? -?
a r g,nTc f t n离 位频谱 ；散相：的
nTc f t 离：的 散振幅频谱 ；
8
时,周期函数 fT(t)便可转化为 f (t),即有
li m ( ) ( )TT f t f t
对任何一个非周期函数 f (t)都可以看成是由某个周期函数 fT(t)当 T时转化而来的,
作周期为 T的函数 fT(t),使其在 [-T/2,T/2]之内等于
f (t),在 [-T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整个数轴上,则
T越大,fT(t)与 f (t)相等的范围也越大,这说明当 T
9
例 1,求下列矩形脉冲函数的离散频谱与其
Fourier级数的复指数形式,1 | | 1
()
0 | | 1
t
ft
t
图象如图所示,
1-1 o t
f (t)
1
10
则
4 4( ) ( ),
n
f t f t n
-?
1-1 3
T=4
f4(t)
t
现以 f (t)为基础构造一周期为 T的周期函数 fT(t),令 T=4,
22
42,T
2,n
nn
11
则离散频谱
2
2
1 ()T
n
T
jt
nTc f t e d tT
-
-
2
42
1
4
() njtf t e d t?-
-
1
1
4
1
njt
n
e
j
-?
-
-
1
2
sin n
n
1
1
1
4
njte d t?-
-
14 nnjj
n
ee
j
-?-
1 0 1 2
2
s i n c ( ) (,,,)n n
12
4 4( ) ( ),
n
f t f t n
-?
-
-
n
n
tjn
n
n
n
n
tjn
n eec
00
s i n
2
1
,3,1,
1
,4,2,0,0
s i n
2
1
.1 n
n
n
c
n
n
n
其它,
9,8,6,5,4,2,1,0,0ar g.2
nc
n
2,n
nn
22
42,T
3.
13
例 2,抽样函数介绍,
0,x?严格讲函数在 处是无定义的 但是因为
sinc(x)
x
s ins in c ( ) xx
x?
01si n c ( ),?所以定义 则函数在整个实轴连续。
0
1s inlim
x
x
x?
14
前面计算出 1 0 1 2
2
s inc ( ) (,,,)nncn
2
2
,n nnn
T
nc可将 以竖线标在频率图上
15
现在将周期扩大一倍,令 T=8,以 f(t)为基础构造一
8 8( ) ( ),
n
f t f t n
-?
1-1 7
T=8
f8(t)
t
周期为 8的周期函数 f8(t):
22
8 4 4,n
nn
T
16
则
2
2
1 ()T
n
T
jt
nTc f t e d tT
-
-
4
84
1
8
() njtf t e d t?-
-
1
4
sin n
n
1
1
1
8
njte d t?-
-
1
1
8 1
njt
n
e
j
-?
- -
1
8
nnjj
n
ee
j
-?-
1 0 1 2
4
s i n c ( ) (,,,)n n
17
则在 T=8时,1 0 1 2
4 s inc ( ) (,,,)nncn
2
84,n
nnn
nc再将 以竖线标在频率图上
18
如果再将周期增加一倍,令 T=16,可计算出
1
0 1 2
8
2
16 8
sin c ( ) (,,,)
,
nn
nn
cn
n
n n c
再将 以竖线标在频率图上.
19
一般地,对于周期 T
2
2
1
1
11
1
11
1
22
0 1 2
()
si n
si n c ( ) (,,,)
T
nn
T
n n n
j t j t
nT
j t j j
nn
n
n
n
c f t e dt e dt
TT
e e e
Tj Tj
n
TT
-
--
-
--
-
-
-
20
当周期 T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状,因此,如果将方波函数 f (t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将
f (t)的傅里叶变轮廓即 sinc函数的形状看作是方那个频率上的频率成份上的分布,称作方波函数波函数 f (t)的各个换,
21
2
2
12,( ) nT it
n n TTn n T c f t e dtT
-
-
2
2
1 jj( ) ( ) d,T nn
T
t
TT
n
f t f e eT
-
-
-?
即
lim ( ) ( )TT f t f t由二,Fourier积分公式
D ir ic h l e t22( ),,T TTf t T--
设 为 周期函数，在 上满足 条件
F ourie r()Tft则 可展开为 级数:
( ),nitin tT n n
nn
f t c e c e
- -?
22
2
2
1 jj( ) li m ( ) dT
nn
T
t
TT
n
f t f e e
T
-
-
-?
可知
T
2{
O?1?2?3?n-1?n
T
2{
1 22 ()nn T n T- -令 与 无关，
,nn?当 取一切整数时 所对应的点便均匀分布在整个数轴上:
0,( )nT 此时视 为 连续变量
23
2
2
1 jj( ) lim ( ) dT nn
T
t
TT
n
f t f e eT
-
-
-?
0
1
2
j( ) li m ( ) n
n
t
T n n
n
f t F e?
-?
2 2( ) ( ) ( ) ( )nT i iT n TTF f e d f e d F T- -- -
1
2( ) ( )
itf t F e d
-由定积分定义 （注：积分限对称）.
1
2( ) ( )
i i tf t f e d e d
-
-? -?
即ft 付氏积分公式
2
20
1
2
jjl i m ( ) d
T
nn
T
n
t
Tn
n
f e e
-
-
-?
2
2
j( ) ( ) d
T
n
TT n TF f e
-
-
令
24
00
2
()
( ) ( )
f t t
f t f t
t
-
为连续点；
为间断点。
(,) | ( ) | df t t-?-在 绝对可积是指的 收敛。
三,Fourier积分存在定理
F o u r ie r( ) ( )ft积分存在定理 若 在任定理 何有限区间
D ir ic h l e t -上满足 条件，且在,绝对可积，则
1
2 ()
i i tf e d e d
-
-? -?
25
1
2
jj( ) ( ) d dtf t f e e
-
-? -?
也可以转化为三角形式ft 付 氏 积 分 公 式
1
2
j ( )( ) d dtfe
-
-? -?
( ) s in ( ),f t d-? -?因 是 的奇函数
1
2 ( ) c o s ( ) dft
-? -?
-?
( ) si n ( )j f t d d--
1
2( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-? -?
-
。
26
又考虑到积分
( ) c o s ( ),f t d-? -? 是 的偶函数
1
2
( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-? -?
-
从
0
1( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-?
-
可得 。
27
1,Fourier变换的定义
1
2( ) ( )
i i tf t f e d e d
-
-? -?
,
( ) ( ) ( )itF f t e d t -- 实自变量的复值函数
1 F o u r i e r
2 ( ) ( )
itF e d F
-
称为 的 逆变换，
四,Fourier变换
F ourie r( ) [ ( ) ]f t f t称为 的 变换，记为 。 F
1 [ ( ) ],F?-记为 F
28
F o u r i e r( ) ( )f t F,一一对应，称为一组 变换对。
在一定条件下，成立
Fourier积分存在定理的条件是 Fourier变换存在的一种充分条件,
1 [ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ) ;F f t f t F-若则FF
1[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F F f t -若 则 ；
( ) ( )f t F?称为原像函数,称为像函数。
29
个时间函数 f (t)的频谱,
Fft 的频谱密度函数；
Fft 的振幅频谱；
a r g Fft 的相位频谱。
在频谱分析中,傅氏变换 F(?)又称为 f(t)的 频谱函数,而它的模 |F(?)|称为 f (t)的 振幅频谱 (亦简称为频谱 ),由于?是连续变化的,我们称之为 连续频谱,对一个时间函数 f (t)作傅氏变换,就是求这
30
例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式 。
1,1
()
0,1
t
ft
t
1
1
1
1
( ) ( )
it
i t i t eF f t e d t e d t
i
-
--
-? -
-
-
1( ) ( )
2
-?
itf t F e d
12 s i niieei-? - -?
0
1 2 si n c os
td
0
1 ( ) c o s
F t d
0
2 si n c os
t d
解：
31
1
1
20
1
2
1
01
,
,
||
sin c o s
( ) d | |
,| |
t
t
f t t
t
Fsin另外，由 = 2 可作出频谱图:
2F?
2? 3?
s in 0k
00 2
s in d s in c ( ) dx x x x
x
0,t?因此可知当 时 有
32
00
0
0
,
()
e,
,.
t
t
ft
t?
-
例2 求指数衰减函数 的傅氏变换及其积分表达式 其中
t
f (t)
22
1 j
j
-
22
11
22
jj j( ) ( ) e d e dttf t F
-? -?
-
220
1 c os sin dtt
j( ) ( ) e dtF f t t -
-
00
j ( j )e e d e dt t ttt- - -
33
220
00
1
1 2 0
0
c os sin
d/
e t
t
tt
t
t?
-
因此f ( t ) =
积分变换第八章 Fourier变换
(周期趋于无穷时的极限形式 ).
Recall:
周期函数在一定条件下可以展开为 Fourier级数；
但全直线上的非周期函数不能有 Fourier表示；
引进类似于 Fourier级数的 Fourier积分,
2
§ 1 Fourier变换的概念一,Fourier 级数,在工程计算中,无论是电学还是力学,
间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,
t
经常 要和随时间而变的周期函数 fT(t)打交道,例如,
具有性质 fT(t+T)=fT(t),其中 T称作周期,而 1/T代表单位时单位是赫兹 (Herz,或 Hz).
3
数的线性组合来逼近,---- Fourier级数,
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函
4
1 ()Tft 连续或仅有有限个第一类间断点；
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间 [-T/2,T/2]内函数变化的情况,
22( ),T
TTf t T--
定理,为 周期函数，在 上满足：
2 ()Tft 仅有有限个极值点.
F o u r i e r()Tf t t则 可展开为 级数，且在连续点处成立：
0
12
( ) c o s s inT n n
n
af t a n t b n t
D ir ic h le t条件：
5
2 22 0 1 2( ) c os,,,TnT Ta f t n t dt nT?-
0
1
00
22
( ) ( ) c o s s inTT
nn
n
af t f t a n t b n t
-
引进复数形式：
22
c o s,si n
in t in t in t in te e e e
n t n t
i
--?-
0
12
( ) c o s s inT n n
n
af t a n t b n t
2,T其中
2 22 12( ) si n,,TnT Tb f t n t dt nT?-
t在间断点 处成立：
6
0
12 2 2
i n t i n t i n t i n t
nn
n
a e e e eab
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--?
-
0
0 2 2 2,,,
n n n n
nn
a a i b a i bc c d-令级数化为：
0
12 2 2
i n t i n tn n n n
n
a a i b a i bee -
-
2 21 ( ) c os si nTnT Td f t n t i n t dtT-
则
2 21 ( ) c os si nTnT Tc f t n t i n t dtT-?-?
12,,ncn-
2
0 2
1 ()T
TTc f t d tT -
2
2
1 ()T in t
TT f t e d tT
-
-
2
2
1 ()T in t
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-
()nncc-?
7
2 21 0 1 2( ),,,T in tnT Tc f t e dt nT?--
in t
n
n
ce?
-?
nTc F n f t 离：的 散频谱 ；
T n Tf t c f t若以 描述某种信号，则 可以刻画 的频率特征。
合并为：
级数化为,2
2
1 ()T i n i n t
TT
n
f e d eT
-
-? -?
a r g,nTc f t n离 位频谱 ；散相：的
nTc f t 离：的 散振幅频谱 ；
8
时,周期函数 fT(t)便可转化为 f (t),即有
li m ( ) ( )TT f t f t
对任何一个非周期函数 f (t)都可以看成是由某个周期函数 fT(t)当 T时转化而来的,
作周期为 T的函数 fT(t),使其在 [-T/2,T/2]之内等于
f (t),在 [-T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整个数轴上,则
T越大,fT(t)与 f (t)相等的范围也越大,这说明当 T
9
例 1,求下列矩形脉冲函数的离散频谱与其
Fourier级数的复指数形式,1 | | 1
()
0 | | 1
t
ft
t
图象如图所示,
1-1 o t
f (t)
1
10
则
4 4( ) ( ),
n
f t f t n
-?
1-1 3
T=4
f4(t)
t
现以 f (t)为基础构造一周期为 T的周期函数 fT(t),令 T=4,
22
42,T
2,n
nn
11
则离散频谱
2
2
1 ()T
n
T
jt
nTc f t e d tT
-
-
2
42
1
4
() njtf t e d t?-
-
1
1
4
1
njt
n
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j
-?
-
-
1
2
sin n
n
1
1
1
4
njte d t?-
-
14 nnjj
n
ee
j
-?-
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2
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12
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-
-
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n
n
n
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其它,
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n
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22
42,T
3.
13
例 2,抽样函数介绍,
0,x?严格讲函数在 处是无定义的 但是因为
sinc(x)
x
s ins in c ( ) xx
x?
01si n c ( ),?所以定义 则函数在整个实轴连续。
0
1s inlim
x
x
x?
14
前面计算出 1 0 1 2
2
s inc ( ) (,,,)nncn
2
2
,n nnn
T
nc可将 以竖线标在频率图上
15
现在将周期扩大一倍,令 T=8,以 f(t)为基础构造一
8 8( ) ( ),
n
f t f t n
-?
1-1 7
T=8
f8(t)
t
周期为 8的周期函数 f8(t):
22
8 4 4,n
nn
T
16
则
2
2
1 ()T
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T
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1
8
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-
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1
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1
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1
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1 0 1 2
4
s i n c ( ) (,,,)n n
17
则在 T=8时,1 0 1 2
4 s inc ( ) (,,,)nncn
2
84,n
nnn
nc再将 以竖线标在频率图上
18
如果再将周期增加一倍,令 T=16,可计算出
1
0 1 2
8
2
16 8
sin c ( ) (,,,)
,
nn
nn
cn
n
n n c
再将 以竖线标在频率图上.
19
一般地,对于周期 T
2
2
1
1
11
1
11
1
22
0 1 2
()
si n
si n c ( ) (,,,)
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TT
-
--
-
--
-
-
-
20
当周期 T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状,因此,如果将方波函数 f (t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将
f (t)的傅里叶变轮廓即 sinc函数的形状看作是方那个频率上的频率成份上的分布,称作方波函数波函数 f (t)的各个换,
21
2
2
12,( ) nT it
n n TTn n T c f t e dtT
-
-
2
2
1 jj( ) ( ) d,T nn
T
t
TT
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f t f e eT
-
-
-?
即
lim ( ) ( )TT f t f t由二,Fourier积分公式
D ir ic h l e t22( ),,T TTf t T--
设 为 周期函数，在 上满足 条件
F ourie r()Tft则 可展开为 级数:
( ),nitin tT n n
nn
f t c e c e
- -?
22
2
2
1 jj( ) li m ( ) dT
nn
T
t
TT
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f t f e e
T
-
-
-?
可知
T
2{
O?1?2?3?n-1?n
T
2{
1 22 ()nn T n T- -令 与 无关，
,nn?当 取一切整数时 所对应的点便均匀分布在整个数轴上:
0,( )nT 此时视 为 连续变量
23
2
2
1 jj( ) lim ( ) dT nn
T
t
TT
n
f t f e eT
-
-
-?
0
1
2
j( ) li m ( ) n
n
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f t F e?
-?
2 2( ) ( ) ( ) ( )nT i iT n TTF f e d f e d F T- -- -
1
2( ) ( )
itf t F e d
-由定积分定义 （注：积分限对称）.
1
2( ) ( )
i i tf t f e d e d
-
-? -?
即ft 付氏积分公式
2
20
1
2
jjl i m ( ) d
T
nn
T
n
t
Tn
n
f e e
-
-
-?
2
2
j( ) ( ) d
T
n
TT n TF f e
-
-
令
24
00
2
()
( ) ( )
f t t
f t f t
t
-
为连续点；
为间断点。
(,) | ( ) | df t t-?-在 绝对可积是指的 收敛。
三,Fourier积分存在定理
F o u r ie r( ) ( )ft积分存在定理 若 在任定理 何有限区间
D ir ic h l e t -上满足 条件，且在,绝对可积，则
1
2 ()
i i tf e d e d
-
-? -?
25
1
2
jj( ) ( ) d dtf t f e e
-
-? -?
也可以转化为三角形式ft 付 氏 积 分 公 式
1
2
j ( )( ) d dtfe
-
-? -?
( ) s in ( ),f t d-? -?因 是 的奇函数
1
2 ( ) c o s ( ) dft
-? -?
-?
( ) si n ( )j f t d d--
1
2( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-? -?
-
。
26
又考虑到积分
( ) c o s ( ),f t d-? -? 是 的偶函数
1
2
( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-? -?
-
从
0
1( ) ( ) c o s ( ) d df t f t
-?
-
可得 。
27
1,Fourier变换的定义
1
2( ) ( )
i i tf t f e d e d
-
-? -?
,
( ) ( ) ( )itF f t e d t -- 实自变量的复值函数
1 F o u r i e r
2 ( ) ( )
itF e d F
-
称为 的 逆变换，
四,Fourier变换
F ourie r( ) [ ( ) ]f t f t称为 的 变换，记为 。 F
1 [ ( ) ],F?-记为 F
28
F o u r i e r( ) ( )f t F,一一对应，称为一组 变换对。
在一定条件下，成立
Fourier积分存在定理的条件是 Fourier变换存在的一种充分条件,
1 [ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ) ;F f t f t F-若则FF
1[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( )f t F F f t -若 则 ；
( ) ( )f t F?称为原像函数,称为像函数。
29
个时间函数 f (t)的频谱,
Fft 的频谱密度函数；
Fft 的振幅频谱；
a r g Fft 的相位频谱。
在频谱分析中,傅氏变换 F(?)又称为 f(t)的 频谱函数,而它的模 |F(?)|称为 f (t)的 振幅频谱 (亦简称为频谱 ),由于?是连续变化的,我们称之为 连续频谱,对一个时间函数 f (t)作傅氏变换,就是求这
30
例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式 。
1,1
()
0,1
t
ft
t
1
1
1
1
( ) ( )
it
i t i t eF f t e d t e d t
i
-
--
-? -
-
-
1( ) ( )
2
-?
itf t F e d
12 s i niieei-? - -?
0
1 2 si n c os
td
0
1 ( ) c o s
F t d
0
2 si n c os
t d
解：
31
1
1
20
1
2
1
01
,
,
||
sin c o s
( ) d | |
,| |
t
t
f t t
t
Fsin另外，由 = 2 可作出频谱图:
2F?
2? 3?
s in 0k
00 2
s in d s in c ( ) dx x x x
x
0,t?因此可知当 时 有
32
00
0
0
,
()
e,
,.
t
t
ft
t?
-
例2 求指数衰减函数 的傅氏变换及其积分表达式 其中
t
f (t)
22
1 j
j
-
22
11
22
jj j( ) ( ) e d e dttf t F
-? -?
-
220
1 c os sin dtt
j( ) ( ) e dtF f t t -
-
00
j ( j )e e d e dt t ttt- - -
33
220
00
1
1 2 0
0
c os sin
d/
e t
t
tt
t
t?
-
因此f ( t ) =
