z0
K
z z
设函数 f (z)在区域 D内解析,而 |z-z0|=r为 D
内以 z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于 D,把它记作 K,又设 z为 K内任一点,
§ 3 泰勒级数按柯西积分公式,有,1 ( )( ) d,
2 π K
ffz
iz
z z
z? -?
且
00 0 0
0
1 1 1 1
1( ) ( )
zzz z z z z
z
z z z
z
-- - - - -
-
-
1
0011
0 00
11
22
( ) d ( )( ) ( ) ( ) d,
π ( ) π ( )
N
nn
nn
n n NKK
fff z z z z z
i z i z
z z z z
zz
-?
-? -
--
z0K z z
所以 00
1
0
11 (),
()
n
n
n
z z z z
z z zz z z
--
- - -?
,,K z Kz由于积分变量 取在圆周 上 点 在 的内部由解析函数高阶导数公式,上式可写成
1
0
0
0
() ()
( ) ( ) ( )!
nN
n
N
n
fzf z z z R z
n
-
-
0li m ( ),NN R z K若 在 内成立 则在 K内成立,即 f (z)可在 K内用幂级数表达,
z0K
z z
01
0
1
2
()( ) ( )
π ( )
n
N n
nNK
fR z z z d
iz
z z
z
-
-其中
0
0
0
() ()
( ) ( )!
n
n
n
fzf z z z
n
-?
00
0
zzzz q
zrz
--
-令，
q与积分变量 z无关,且 0?q<1.
| f (z) |? M.
1 2
2 ππ
n
nN
M qr
r
01
0
1
2
() ( ) d
π ( )
n
n
nNK
f z z s
z
z
z
- -
0
00
1
2
| ( ) | d
π | |
n
nNK
zzf s
zz
z
zz
-
--
1
NMq
q? -
0N
| ( ) |NRz
01
0
1 0
2
()l i m ( ) l i m ( ),
π ( )
n
N nNN
nNK
fR z z z d
iz
z z
z
-
-下面证明：
由于 f (z) 在 K上连续,0,,M z K
因此,在 K内成立,0
0
0
() ()
( ) ( )!
n
n
n
fzf z z z
n
-?
右端的级数称为 f (z)在 z0处的泰勒级数,
称为 f (z)在 z0的泰勒展开式,
则 f (z)在 z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立,
圆周 K的半径可以任意增大,只要 K在 D内,
所以,如果 z0到 D的边界上各点的最短距离为 d,
一、定理 1 设 f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,d为
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
-?
注,如果 f (z)在 z0解析,则使 f (z)在 z0的泰勒展开式
z0到 D的边界上各点的最短距离,则当 |z-z0|<d 时,
0
1 0 1 2() ( ),,,,.
!
n
nc f z nn
其中成立的圆域的半径 R等于从 z0到 f (z)的距 z0最近一个奇点 a 的距离,即 R=|a-z0|.
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是 唯一 的,
利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,
),2,1,0()(!1 0)( nzfnc nn
把 f (z)在 z0展开成幂级数,这被称作 直接展开法二,直接展开法例 1 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式,
2
e 1,
2 ! !
n
z zzzz
n
因为 ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为 +?.
(ez)(n) = ez,(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...),
故有由于例 2 求得 sin z与 cos z在 z=0的泰勒展开式,
3 5 2 1
13 5 2 1s i n ( )! ! ( ) !
n
nz z zz z z
n
-? -? -
2 4 2
112 4 2c os ( )! ! ( ) !
n
nz z zzz
n? -? -? -
除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,
利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法,例如 sin z在 z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出,
00
3 5 2 1
0
11
22
1
3 5 2 1
( ) ( )
sin ( e e )
!!
()
! ! ( ) !
nn
iz iz
nn
n
n
n
iz iz
z
i i n n
z z z
zz
n
-
-
-? -
-? -? -
三、间接展开法
[解 ] 由于函数有一奇点 z?-1,而在 |z|<1内处处解析,所以可在 |z|<1内展开成 z的幂级数,
因为
21 1 1 1
1 ( ),| |,
nnz z z z
z? -? -? -
例 1 把函数 展开成 z的幂级数,211 z?
将上式两边求导得
2 1 1
2
1
1 2 3 ( 1 ),| | 1.
( 1 )
nnz z nz z
z
--? -? -? -
例 3 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0处的幂级数展开式,
[解 ] ln(1+z)在从 -1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在 |z|<1展开为 z的幂级数,
-1 O x
y
0
1
[ l n( 1 ) ]
1
( 1 ),
-?
nn
n
z
z
z
因为逐项积分得
00
0
1
dd
1
( 1 ) d,
-
-?
zz
z
nn
z
2 3 1
l n ( 1 ) ( 1 ) | | 1,2 3 1
n
nz z zz z z
n
-? -? -即
解析在函数 0)( zzf
的幂级数的某邻域内可展开为在 00)( zzzzf -
解析在区域函数 Dzf )(
0()f z D z z-在 内 任 一 点 处 可 展 开 为 的 幂 级 数推论 1：
注,解析的等价条件：在区域函数 Dzf )(
内可导；在区域函数 Dzf )()1(
条件，内可微，且满足在区域 RCDvu -,)2(
关；内连续且积分与路径无在区域函数 Dzf )()3(
内可展开为幂级数在区域函数 Dzf )()4(
推论 2,解析，在区域设函数 Dzf )( ),(,
00 Dzd i s tRDz
00()f z z z R z-?则 在 内 可 展 开 为 的 幂 级 数推论 3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点,
(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 )
例如,)(
0
2 zfn
z
n
n
1,z?在 上 绝 对 收 敛
),1(21)(
1
-
znzzzf
n
但
)(1 zfz 时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即 1?z
推论 4,展开式：解析，且有在设函数 T a y l o r)(
0zzf
0
0
( ) ( ),nn
n
f z C z z
-?
最近的一个奇点，的距是 0)( zzfa 为其收敛半径。则 0zR -? a
例如：
,61)(
0
2?
-
n
n
n zCzzzf ;2?R则其收敛半径
,)(61)(
0
2?
-?-
n
n
n izCzzzf
5.R?则 其 收 敛 半 径而如果把函数中的 x换成 z,在复平面内来看函数
2
1
1 z
1-z2+z4-…
它有两个奇点?i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,
所以这个级数的收敛半径只能等于 1,因此,即使我们只关心 z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制,
在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式
2 4 2
2
1 1 ( 1 )
1
nnx x x
x? -? -? -
的成立必须受 |x|<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的,
§ 4 洛朗级数一个以 z0为中心的圆域内解析的函数 f (z),可以在该圆域内展开成 z-z0的幂级数,如果 f (z)在 z0处不解析,则在
z0 的邻域内就不能用 z-z0的幂级数来表示,但是这种情况在实际问题中却经常遇到,因此,在本节中将讨论在以 z0
为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法,
讨论下列形式的级数,
1
0 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
nn
nn
n
n
n
c z z c z z c z z
c c z z c z z
--
--
-?
- - -
- -?
可将其分为两部分考虑,
0 0 1 0 0
0
1
0 1 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n
nn
nn
n
c z z c c z z c z z
c z z c z z c z z
- - -
- - -
- - -?
-? - -?
正 幂 项 部 分负 幂 项 部 分只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和,正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：
2
0 1 2
11
( ),nnnn
nn
c z z c c cz z z
-
- - - -
-
这是 z 的幂级数,设收敛半径为 R：
02,z z R-?
对负幂项,如果令 z=(z-z0)-1,就得到：
01
1R z z R
R -?
则当 |z-z0|>R1时,即 | z |<R,
0
11
()nnnn
nn
c c z zz
-
--
- 收 敛 。
因此,只有在 R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛,
z0 R1
R2例如级数
10
11
0
()
,1,
| | | |,
| | | |,| | | |
| | | | | | | | | |
.
nn
nn
nn
n
n
n
nn
n
n
n
az
ab
zb
a a a
z z z
z
za
b
z b a b
a z b a b
与 为 复 常 数中 的 负 幂 项 级 数 当即 时 收 敛 而 正 幂 项 级 数 则 当时 收 敛 所 以 当 时,原 级 数 在圆 环 域 收 敛 ; 当 时,原 级数 处 处 发 散在收敛圆环域内也具有,例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导,
幂级数在收敛圆内的许多性质,级数
1
0 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
nn
nn
n
n
n
c z z c z z c z z
c c z z c z z
--
--
-?
- - -
- -?
现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例,
2
1
( ) 0 1,
( 1 )
0 | | 1 0 | 1 | 1,0 | | 1
1 1 1 1
( ) 1,
( 1 ) 1
,( ) 0 | | 1,
n
f z z z
zz
z z z
f z z z z
z z z z z
f z z
-
-
--
函 数 在 及 都 不 解 析 但 在 圆 环 域及 内 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形,
由 此 可 见 在 内 是 可 以 展 开 为 z 的 幂 级 数其次,在圆环域,0<|z-1|<1内也可以展开为 z-1的幂级数,
2
1 2 1
1 1 1
()
( 1 ) 1 1 ( 1 )
1
[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]
1
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
n
n
fz
z z z z
z z z
z
z z z z
--
- - - -
-? - -?
-
- -? - -?
1O x
y
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析,则
0
1
0
( ) ( )
1 ( )
d,( 0,1,2,)
2 π ()
n
n
n
n n
C
f z c z z
f
cn
iz
z
z
z
-?
-
-
其 中
C为在圆环域内绕 z0的任何一条正向简单闭曲线,
[证 ] 设 z为圆环域内的任一点,
在圆环域内作以 z0为中心的正向圆周 K1与 K2,K2的半径 R
大于 K1的半径 r,且使 z在 K1与
K2之间,
z
K1 z
K2 z
z0
由柯西积分公式得
21
1 ( ) 1 ( )()
2 π 2 πKK
fff z d d
i z i z
zzzz
zz?- --
0
22
0
,,,1,zzK z K zz z -?-对 第 一 个 积 分 在 上 在 内
22
01
0 0
,
1 ( ) 1 ( )
()
2 π 2 π ()
n
n
nKK
ff
d d z z
i z i z
zz
zz
zz
-
--
和 泰 勒 展 开 式 一 样 可 以 推 得
1
1
1 ( ) d,,
2 π K
f K
iz
z zz
z- -?第 二 个 积 分 由 于 在 上
0
1
0
,1,zzK zzz -?-点 在 的 外 部
00
0
1 1 1
1 zz z z
zz
zz? -? --- -
-
因 此
1
0
01
11 00
() 1 ( ),
( ) ( )
n
n
nn
nn
z zz
z z z
z
z
-
-
-?
-? -? - -
--
z
K1 z
K2 z
z0
11
1
01
1 0
1 ( ) 1 ( )d d ( ) ( ),
2 π 2 π ()
N
n
Nn
nKK
ff z z R z
i z i z
zzzz
zz
-
-
-?
-? -
--
1
1
0
0
( ) ( )1( ) d,
2 π ()
n
N n
nNK
zfRz
i z z
zz z-?
-?
-
其 中
0
00
,0 1||z rqqz z z zz ---令 则,
因此有
1
0
0 00
1 | ( ) || ( ) | d
2 π ||
n
N
nK
zfR z s
z z z
zz
z
-
--
11
11
1 2 π,| ( ) |,
2 π 1
N
n
nN
M M qq r M f z K
rq
-? 是 在 上 的 最 大 值
l i m 0,l i m ( ) 0,N NNNq R z因 为 所 以
0 0 0
01
( ) ( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
f z c z z c z z c z z
-
-
-?
-? -? -因 此
2
1
1
0
1
0
1 ( )
d,( 0,1,2,) ;
2 π ()
1 ( )
d,( 1,2,),
2 π ()
n n
K
n n
K
f
cn
iz
f
cn
iz
z
z
z
z
z
z
- -?
-
-
如果在圆环域内取绕 z0的任何一条正向简单闭曲线 C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示,
1
0
1 ( )
d,( 0,1,2,)
2 π ()n nC
f
cn
iz
z
z
z?
-?
C
z0 R1
R2
0 1
0
1 ( )( ) ( ),d,( 0,1,2,)
2 π ()
n
nn n
n C
ff z c z z c n
iz
z z
z
-?
--于 是称为函数 f (z)在以 z0为中心的圆环域,R1<|z-z0|<R2内的 洛朗 (Laurent)展开式,它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的 洛朗级数,
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f (z)的洛朗级数,
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式,
解,函数 f (z) 在圆环域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2;
iii) 2 < |z| < +? 内是处处解析的,应把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数,
11 12fz zz? --例 把 在 复 平 面 上 展 开 为 z 的 幂 级 数 。
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
先把 f (z)用部分分式表示,11( ),
12fz zz?---
2
22
2
1 1 1
i) 0 | | 1 ( )
12
1
2
1 1 3 7
( 1 ) 1,
2 2 2 2 4 8
z f z
zz
zz
z z z z
-
-
-
-
在 内,
ii) 在 1< |z| < 2内,1 1 1 1 1 1
()
11 2 211
2
fz
zz z z
z
-? - -
-- -- 2
22
2
1
1 1 1 1
( 1 ) 1
2 2 2
1 1 1 1
.
2 4 8
nn
zz
z z z
zz
z z z
-
-
-
- - - - - - - -
iii) 在 2<|z|<+?内,1 1 1 1 1 1
() 12
12 11
fz
z z z z
zz
-? -
-- --
22
234
1 1 1 1 2 4
( 1 ) ( 1 )
1 3 7
.
z z z z z z
z z z
-
例 2 把函数,||0e)( 13 内展开成洛朗级数在 zzzf z
[解 ] 因有
1
33
2 3 4
32
1 1 1 1
e ( 1 )
2 ! 3 ! 4 !
11
0.
2 ! 3 ! 4 !
zzz
z z z z
z
z z z
z
23
e1 2 ! 3 ! !
n
z z z zz
n
注意,一个函数 f ( z ) 可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。
函数可以在以 z0为中心的 (由奇点隔开的 )不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例 ),我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆,所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的,
例如在 z?i 和 z?-i处展开函数 为洛朗级数。
12()
()
ifz
z z i
-?
在复平面内有两个奇点,z=0与 z?-i,分别在以 i为中心的圆周,|z-i|=1与 |z-i|=2上,
因此,f (z)在以 i为中心的圆环域 (包括圆域 )内的展开式有三个,1)在 |z-i|<1中的泰勒展开式 ;
2)在 1<|z-i|<2中的洛朗展开式 ;
3)在 2<|z-i|<+?中的洛朗展开式 ;
在复平面内有一个奇点,z=0在以 -i为中心的圆周,|z?i|=1上,
因此,f (z)在以 -i为中心的圆环域内的展开式有二个,
1)在 0< |z?i|<1中的洛朗展开式 ;
2)在 1<|z?i|< +?中的洛朗展开式。
O -i
i
i-0
特别的，当洛朗级数的系数公式
1
0
1 ( ) d,( 0,1,2,)
2 π ()n nC
fcn
iz
z z
z-?
1n?- 时,有
- C dzzfiC )(2
1
1? 12)( - CidzzfC?
（即可利用 Laurent系数计算积分）
其中 C为圆环域 R1<|z-z0|<R2内的任何一条简单闭曲线,
f (z) 在此圆环域内解析,
例３
- -- - rzz zz dzzze0 0 30
1
)(求积分内解析，在-?-? -- 030
1
0)()( 0 zzzzezf zz
- 0L a u r e n t 1C系数其
12 0,iC? -
解：
例 4
2
1l n 1,
z
dzz
求 积 分
-
-
-
zznz
n
n
n
1)1(11ln
1
1
1 -C 2.i
解：
例 5 求积分
1
| | 2
d
1
z
z
ze
z
z
-
,
解,
函数
1
()
1
zze
fz
z
-
在 1 <| z | <+? 内解析,| z | =2 在此圆环域内,把它在圆环域内展开得
1
22
2
1 1 1 1 1
( ) 1 1
1 2!
1
25
1.
2
zf z e
z z z z
z
zz
-
-
-
-
故 c-1?-2,12 4,ic i-?-原 式 =
K
z z
设函数 f (z)在区域 D内解析,而 |z-z0|=r为 D
内以 z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于 D,把它记作 K,又设 z为 K内任一点,
§ 3 泰勒级数按柯西积分公式,有,1 ( )( ) d,
2 π K
ffz
iz
z z
z? -?
且
00 0 0
0
1 1 1 1
1( ) ( )
zzz z z z z
z
z z z
z
-- - - - -
-
-
1
0011
0 00
11
22
( ) d ( )( ) ( ) ( ) d,
π ( ) π ( )
N
nn
nn
n n NKK
fff z z z z z
i z i z
z z z z
zz
-?
-? -
--
z0K z z
所以 00
1
0
11 (),
()
n
n
n
z z z z
z z zz z z
--
- - -?
,,K z Kz由于积分变量 取在圆周 上 点 在 的内部由解析函数高阶导数公式,上式可写成
1
0
0
0
() ()
( ) ( ) ( )!
nN
n
N
n
fzf z z z R z
n
-
-
0li m ( ),NN R z K若 在 内成立 则在 K内成立,即 f (z)可在 K内用幂级数表达,
z0K
z z
01
0
1
2
()( ) ( )
π ( )
n
N n
nNK
fR z z z d
iz
z z
z
-
-其中
0
0
0
() ()
( ) ( )!
n
n
n
fzf z z z
n
-?
00
0
zzzz q
zrz
--
-令，
q与积分变量 z无关,且 0?q<1.
| f (z) |? M.
1 2
2 ππ
n
nN
M qr
r
01
0
1
2
() ( ) d
π ( )
n
n
nNK
f z z s
z
z
z
- -
0
00
1
2
| ( ) | d
π | |
n
nNK
zzf s
zz
z
zz
-
--
1
NMq
q? -
0N
| ( ) |NRz
01
0
1 0
2
()l i m ( ) l i m ( ),
π ( )
n
N nNN
nNK
fR z z z d
iz
z z
z
-
-下面证明：
由于 f (z) 在 K上连续,0,,M z K
因此,在 K内成立,0
0
0
() ()
( ) ( )!
n
n
n
fzf z z z
n
-?
右端的级数称为 f (z)在 z0处的泰勒级数,
称为 f (z)在 z0的泰勒展开式,
则 f (z)在 z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立,
圆周 K的半径可以任意增大,只要 K在 D内,
所以,如果 z0到 D的边界上各点的最短距离为 d,
一、定理 1 设 f (z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,d为
0
0
( ) ( ),nn
n
f z c z z
-?
注,如果 f (z)在 z0解析,则使 f (z)在 z0的泰勒展开式
z0到 D的边界上各点的最短距离,则当 |z-z0|<d 时,
0
1 0 1 2() ( ),,,,.
!
n
nc f z nn
其中成立的圆域的半径 R等于从 z0到 f (z)的距 z0最近一个奇点 a 的距离,即 R=|a-z0|.
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是 唯一 的,
利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,
),2,1,0()(!1 0)( nzfnc nn
把 f (z)在 z0展开成幂级数,这被称作 直接展开法二,直接展开法例 1 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式,
2
e 1,
2 ! !
n
z zzzz
n
因为 ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为 +?.
(ez)(n) = ez,(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...),
故有由于例 2 求得 sin z与 cos z在 z=0的泰勒展开式,
3 5 2 1
13 5 2 1s i n ( )! ! ( ) !
n
nz z zz z z
n
-? -? -
2 4 2
112 4 2c os ( )! ! ( ) !
n
nz z zzz
n? -? -? -
除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,
利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法,例如 sin z在 z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出,
00
3 5 2 1
0
11
22
1
3 5 2 1
( ) ( )
sin ( e e )
!!
()
! ! ( ) !
nn
iz iz
nn
n
n
n
iz iz
z
i i n n
z z z
zz
n
-
-
-? -
-? -? -
三、间接展开法
[解 ] 由于函数有一奇点 z?-1,而在 |z|<1内处处解析,所以可在 |z|<1内展开成 z的幂级数,
因为
21 1 1 1
1 ( ),| |,
nnz z z z
z? -? -? -
例 1 把函数 展开成 z的幂级数,211 z?
将上式两边求导得
2 1 1
2
1
1 2 3 ( 1 ),| | 1.
( 1 )
nnz z nz z
z
--? -? -? -
例 3 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0处的幂级数展开式,
[解 ] ln(1+z)在从 -1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在 |z|<1展开为 z的幂级数,
-1 O x
y
0
1
[ l n( 1 ) ]
1
( 1 ),
-?
nn
n
z
z
z
因为逐项积分得
00
0
1
dd
1
( 1 ) d,
-
-?
zz
z
nn
z
2 3 1
l n ( 1 ) ( 1 ) | | 1,2 3 1
n
nz z zz z z
n
-? -? -即
解析在函数 0)( zzf
的幂级数的某邻域内可展开为在 00)( zzzzf -
解析在区域函数 Dzf )(
0()f z D z z-在 内 任 一 点 处 可 展 开 为 的 幂 级 数推论 1：
注,解析的等价条件：在区域函数 Dzf )(
内可导；在区域函数 Dzf )()1(
条件，内可微，且满足在区域 RCDvu -,)2(
关；内连续且积分与路径无在区域函数 Dzf )()3(
内可展开为幂级数在区域函数 Dzf )()4(
推论 2,解析，在区域设函数 Dzf )( ),(,
00 Dzd i s tRDz
00()f z z z R z-?则 在 内 可 展 开 为 的 幂 级 数推论 3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点,
(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 )
例如,)(
0
2 zfn
z
n
n
1,z?在 上 绝 对 收 敛
),1(21)(
1
-
znzzzf
n
但
)(1 zfz 时：近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即 1?z
推论 4,展开式：解析，且有在设函数 T a y l o r)(
0zzf
0
0
( ) ( ),nn
n
f z C z z
-?
最近的一个奇点，的距是 0)( zzfa 为其收敛半径。则 0zR -? a
例如：
,61)(
0
2?
-
n
n
n zCzzzf ;2?R则其收敛半径
,)(61)(
0
2?
-?-
n
n
n izCzzzf
5.R?则 其 收 敛 半 径而如果把函数中的 x换成 z,在复平面内来看函数
2
1
1 z
1-z2+z4-…
它有两个奇点?i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,
所以这个级数的收敛半径只能等于 1,因此,即使我们只关心 z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制,
在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式
2 4 2
2
1 1 ( 1 )
1
nnx x x
x? -? -? -
的成立必须受 |x|<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的,
§ 4 洛朗级数一个以 z0为中心的圆域内解析的函数 f (z),可以在该圆域内展开成 z-z0的幂级数,如果 f (z)在 z0处不解析,则在
z0 的邻域内就不能用 z-z0的幂级数来表示,但是这种情况在实际问题中却经常遇到,因此,在本节中将讨论在以 z0
为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法,
讨论下列形式的级数,
1
0 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
nn
nn
n
n
n
c z z c z z c z z
c c z z c z z
--
--
-?
- - -
- -?
可将其分为两部分考虑,
0 0 1 0 0
0
1
0 1 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n
nn
nn
n
c z z c c z z c z z
c z z c z z c z z
- - -
- - -
- - -?
-? - -?
正 幂 项 部 分负 幂 项 部 分只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和,正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：
2
0 1 2
11
( ),nnnn
nn
c z z c c cz z z
-
- - - -
-
这是 z 的幂级数,设收敛半径为 R：
02,z z R-?
对负幂项,如果令 z=(z-z0)-1,就得到：
01
1R z z R
R -?
则当 |z-z0|>R1时,即 | z |<R,
0
11
()nnnn
nn
c c z zz
-
--
- 收 敛 。
因此,只有在 R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛,
z0 R1
R2例如级数
10
11
0
()
,1,
| | | |,
| | | |,| | | |
| | | | | | | | | |
.
nn
nn
nn
n
n
n
nn
n
n
n
az
ab
zb
a a a
z z z
z
za
b
z b a b
a z b a b
与 为 复 常 数中 的 负 幂 项 级 数 当即 时 收 敛 而 正 幂 项 级 数 则 当时 收 敛 所 以 当 时,原 级 数 在圆 环 域 收 敛 ; 当 时,原 级数 处 处 发 散在收敛圆环域内也具有,例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导,
幂级数在收敛圆内的许多性质,级数
1
0 0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
nn
nn
n
n
n
c z z c z z c z z
c c z z c z z
--
--
-?
- - -
- -?
现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例,
2
1
( ) 0 1,
( 1 )
0 | | 1 0 | 1 | 1,0 | | 1
1 1 1 1
( ) 1,
( 1 ) 1
,( ) 0 | | 1,
n
f z z z
zz
z z z
f z z z z
z z z z z
f z z
-
-
--
函 数 在 及 都 不 解 析 但 在 圆 环 域及 内 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形,
由 此 可 见 在 内 是 可 以 展 开 为 z 的 幂 级 数其次,在圆环域,0<|z-1|<1内也可以展开为 z-1的幂级数,
2
1 2 1
1 1 1
()
( 1 ) 1 1 ( 1 )
1
[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]
1
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
n
n
fz
z z z z
z z z
z
z z z z
--
- - - -
-? - -?
-
- -? - -?
1O x
y
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析,则
0
1
0
( ) ( )
1 ( )
d,( 0,1,2,)
2 π ()
n
n
n
n n
C
f z c z z
f
cn
iz
z
z
z
-?
-
-
其 中
C为在圆环域内绕 z0的任何一条正向简单闭曲线,
[证 ] 设 z为圆环域内的任一点,
在圆环域内作以 z0为中心的正向圆周 K1与 K2,K2的半径 R
大于 K1的半径 r,且使 z在 K1与
K2之间,
z
K1 z
K2 z
z0
由柯西积分公式得
21
1 ( ) 1 ( )()
2 π 2 πKK
fff z d d
i z i z
zzzz
zz?- --
0
22
0
,,,1,zzK z K zz z -?-对 第 一 个 积 分 在 上 在 内
22
01
0 0
,
1 ( ) 1 ( )
()
2 π 2 π ()
n
n
nKK
ff
d d z z
i z i z
zz
zz
zz
-
--
和 泰 勒 展 开 式 一 样 可 以 推 得
1
1
1 ( ) d,,
2 π K
f K
iz
z zz
z- -?第 二 个 积 分 由 于 在 上
0
1
0
,1,zzK zzz -?-点 在 的 外 部
00
0
1 1 1
1 zz z z
zz
zz? -? --- -
-
因 此
1
0
01
11 00
() 1 ( ),
( ) ( )
n
n
nn
nn
z zz
z z z
z
z
-
-
-?
-? -? - -
--
z
K1 z
K2 z
z0
11
1
01
1 0
1 ( ) 1 ( )d d ( ) ( ),
2 π 2 π ()
N
n
Nn
nKK
ff z z R z
i z i z
zzzz
zz
-
-
-?
-? -
--
1
1
0
0
( ) ( )1( ) d,
2 π ()
n
N n
nNK
zfRz
i z z
zz z-?
-?
-
其 中
0
00
,0 1||z rqqz z z zz ---令 则,
因此有
1
0
0 00
1 | ( ) || ( ) | d
2 π ||
n
N
nK
zfR z s
z z z
zz
z
-
--
11
11
1 2 π,| ( ) |,
2 π 1
N
n
nN
M M qq r M f z K
rq
-? 是 在 上 的 最 大 值
l i m 0,l i m ( ) 0,N NNNq R z因 为 所 以
0 0 0
01
( ) ( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
f z c z z c z z c z z
-
-
-?
-? -? -因 此
2
1
1
0
1
0
1 ( )
d,( 0,1,2,) ;
2 π ()
1 ( )
d,( 1,2,),
2 π ()
n n
K
n n
K
f
cn
iz
f
cn
iz
z
z
z
z
z
z
- -?
-
-
如果在圆环域内取绕 z0的任何一条正向简单闭曲线 C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示,
1
0
1 ( )
d,( 0,1,2,)
2 π ()n nC
f
cn
iz
z
z
z?
-?
C
z0 R1
R2
0 1
0
1 ( )( ) ( ),d,( 0,1,2,)
2 π ()
n
nn n
n C
ff z c z z c n
iz
z z
z
-?
--于 是称为函数 f (z)在以 z0为中心的圆环域,R1<|z-z0|<R2内的 洛朗 (Laurent)展开式,它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的 洛朗级数,
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f (z)的洛朗级数,
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式,
解,函数 f (z) 在圆环域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2;
iii) 2 < |z| < +? 内是处处解析的,应把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数,
11 12fz zz? --例 把 在 复 平 面 上 展 开 为 z 的 幂 级 数 。
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
先把 f (z)用部分分式表示,11( ),
12fz zz?---
2
22
2
1 1 1
i) 0 | | 1 ( )
12
1
2
1 1 3 7
( 1 ) 1,
2 2 2 2 4 8
z f z
zz
zz
z z z z
-
-
-
-
在 内,
ii) 在 1< |z| < 2内,1 1 1 1 1 1
()
11 2 211
2
fz
zz z z
z
-? - -
-- -- 2
22
2
1
1 1 1 1
( 1 ) 1
2 2 2
1 1 1 1
.
2 4 8
nn
zz
z z z
zz
z z z
-
-
-
- - - - - - - -
iii) 在 2<|z|<+?内,1 1 1 1 1 1
() 12
12 11
fz
z z z z
zz
-? -
-- --
22
234
1 1 1 1 2 4
( 1 ) ( 1 )
1 3 7
.
z z z z z z
z z z
-
例 2 把函数,||0e)( 13 内展开成洛朗级数在 zzzf z
[解 ] 因有
1
33
2 3 4
32
1 1 1 1
e ( 1 )
2 ! 3 ! 4 !
11
0.
2 ! 3 ! 4 !
zzz
z z z z
z
z z z
z
23
e1 2 ! 3 ! !
n
z z z zz
n
注意,一个函数 f ( z ) 可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。
函数可以在以 z0为中心的 (由奇点隔开的 )不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例 ),我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆,所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的,
例如在 z?i 和 z?-i处展开函数 为洛朗级数。
12()
()
ifz
z z i
-?
在复平面内有两个奇点,z=0与 z?-i,分别在以 i为中心的圆周,|z-i|=1与 |z-i|=2上,
因此,f (z)在以 i为中心的圆环域 (包括圆域 )内的展开式有三个,1)在 |z-i|<1中的泰勒展开式 ;
2)在 1<|z-i|<2中的洛朗展开式 ;
3)在 2<|z-i|<+?中的洛朗展开式 ;
在复平面内有一个奇点,z=0在以 -i为中心的圆周,|z?i|=1上,
因此,f (z)在以 -i为中心的圆环域内的展开式有二个,
1)在 0< |z?i|<1中的洛朗展开式 ;
2)在 1<|z?i|< +?中的洛朗展开式。
O -i
i
i-0
特别的，当洛朗级数的系数公式
1
0
1 ( ) d,( 0,1,2,)
2 π ()n nC
fcn
iz
z z
z-?
1n?- 时,有
- C dzzfiC )(2
1
1? 12)( - CidzzfC?
（即可利用 Laurent系数计算积分）
其中 C为圆环域 R1<|z-z0|<R2内的任何一条简单闭曲线,
f (z) 在此圆环域内解析,
例３
- -- - rzz zz dzzze0 0 30
1
)(求积分内解析，在-?-? -- 030
1
0)()( 0 zzzzezf zz
- 0L a u r e n t 1C系数其
12 0,iC? -
解：
例 4
2
1l n 1,
z
dzz
求 积 分
-
-
-
zznz
n
n
n
1)1(11ln
1
1
1 -C 2.i
解：
例 5 求积分
1
| | 2
d
1
z
z
ze
z
z
-
,
解,
函数
1
()
1
zze
fz
z
-
在 1 <| z | <+? 内解析,| z | =2 在此圆环域内,把它在圆环域内展开得
1
22
2
1 1 1 1 1
( ) 1 1
1 2!
1
25
1.
2
zf z e
z z z z
z
zz
-
-
-
-
故 c-1?-2,12 4,ic i-?-原 式 =
