第二章 解析函数
§ 2.1 解析函数的概念;),( Dzzfw函数
1 复变函数的导数定义：
Dzzz00,
z
w
z 0
lim极限 z zfzzf
z?
)()(lim 00
0
存在,则就说 f (z)在 z0可导,此极限值就称为 f (z)在 z0 的导数，记作
0
0( ),
zz
dwfz
dz?
或应该注意：上述定义中 的方式是任意的。0z
容易证明,可导 可微 ；
可导 连续。
如果 f (z) 在区域 D内处处可导,就说 f (z) 在Ｄ内可导,
例 1 求 f (z) = z2 的导数。
[解 ] 因为
Δ0
( Δ ) ( )l im
Δz
f z z f z
z?
22
Δ0
( Δ)
l im
Δz
z z z
z?
Δ0l i m ( 2 Δ ) 2,z z z z
所以 f '(z) = 2z,
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
（即 f (z) = z2 在复平面处处可导。）
例 2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
[解 ] 这里
0
( ) ( )
l im
z
f z z f z
z
0
( ) 2( ) 2
l im
z
x x y y i x y i
x y i
0
2l im
z
x y i
x y i
0,zx取
00
2l im l im 1,
zz
x y i x
x y i x
0,z i y取
00
22l im l im 2,
zz
x y i y
x y i y
所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在,
（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导,）
例 3 讨论 2)( zzfw 的可导性。
z zfzzfzw )()(
解：
z
zzz
22
z
zzzzzz
))((
z
zzzz
:0?z )0(0
zz
z
w 0)0( f
:0?z 0 xz取 zz
z
w
0 yiz取 zz
z
w
所以 2)( zzfw 在复平面上除原点外处处不可导。
2,解析函数的概念函数在一点解析? 在该点可导。 反之不一定成立。
在区域内,?解析 可导.
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 2)( zzfw
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
定义 解析：在
0)( zzf 0()f z z在 的某邻域内可导.
称为解析点，0z 否则称为奇点 。
内解析：在区域 Dzf )( ()f z D在 内处处解析.
例 4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性,
解：
21 0,dw zd z z
故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；
z = 0 是它的一个奇点。
解析函数的性质：
(1) 两个解析函数的和,差,积,商仍为解析函数；
(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；
所有解析点的集合必为开集 。
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
换句话说,( ),f z u v的解析 可导 与 的偏导数之间有什么关系？
设函数 ( ) (,) (,)w f z u x y i v x y 在D 内解析，
( ),f z a ib即存在 于是w f z z f z
( 0,0 )a i b z z z当
12( ) ( )a ib z i z
))(())(( 21 yixiyixiba
yxybxa 21
21i b x a y x y,,u x y i v x y
12
21
xy
xy
u u x u y o a x b y x y
v v x v y o b x a y x y
xy
xy
u u x u y o a x b y o
v v x v y o b x a y o
,
.
xy
xy
u v a
v u b
,u v v ux y x y称 C a u c h y - R ie m a n n为 方程
( ) (,) (,)w f z u x y i v x y D即 在 内一点 x,y 解析u(x,y)
与 v(x,y) 在该点可微,并且满足柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程。
( ),x x y yf z u iv v iu
设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微,
于是 12
34
xy
xy
u u x u y x y
v v x v y x y
（?x,?y?0时,?k?0,(k=1,2,3,4)）
( ) ( )f z z f z u i v
2
1 3 2 4( ) ( )
x x x xC R u iv x i v iu y
i x i y
1 3 2 4( ) ( ) ( ),xxu i v x i y i x i y
D?
并且满足 柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程。
1 3 2 4( ) ( )x x y yu i v x u i v y i x i y
1 3 2 4
( ) ( ) ( ) ( ),
xx
f z z f z x yu iv i i
z z z
( 1,1 )xyzz
0
( ) ( )( ) l im,
z
f z z f z u vf z i
z x x?
即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导,由 z 的任意性可知：
( ) (,) (,)w f z u x y i v x y 在D 内解析.
定理 1 函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域 D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在 D内可微,并满足 Cauchy-
Riemann方程,
定理 2 函数 f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域 D内一点 z
=x+iy 可导的充分必要条件是,u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)可微,在该点满足 Cauchy-Riemann方程 。
推论,,(,)u v x y C R?若 在 处一阶偏导数连续且满足 方程,
()f z u i v z x i y则 在 处可导.
例题 1
,uv?解析 可导 可微且满足C - R 方程
22 2f z x y i x y u i v f z已知,求解：
2 2 2 2xxf z u i v x i y x i y z
例题 2 判断下列函数在何处可导,在何处解析,
1 ) ; 2 ) R e ( )w z w z z
2 2 2 2yyv i u x i y x i y z
解,1 ),w z x i y由 得 u?x,vy,所以
1,0,0,1x y x y x y y xu u v v u v u v
在复平面内处处不可导,处处不解析；wz?故
2) 由 w = z Re(z) = x2 + ixy,得 u = x2,v = xy,所以
2,0,,x y x yu x u v y v x
当且仅当 x = y = 0时,
,,x y y xu v u v
因而函数仅在 z = 0可导,但在复平面内任何地方都不解析,
()f z u i v D 是区域 内的解析函数，
( ) 0fz且?
1 2 1 2(,),(,),u x y C v x y C C C 为任意常数是区域内的 正交 曲线族。
(正交,两曲线在交点处的切线垂直 )
例题 3
证：
1(,) (,)
x
u
y
uu x y C x y k
u
在 处切线的斜率,
y
x
v v
vkyxCyxv 处切线的斜率在 ),(),(
2
1,yyxxuv
y y y y
vuuv
k k C R
u v u v
得证。
解析函数退化为常数的几个充分条件：
(a) 函数在区域内解析且导数恒为零；
(b) 解析函数的实部,虚部,模或辐角中有一个恒为常数；
(c) 解析函数的共轭在区域内解析 。
例如
2 2 2 2,2 0 0,f z z x y i x y f z z z
两族分别以直线 y=?x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线
x2?y2 = c1,2xy = c2 互相正交。 1
1
1
10?8
6?4
2 x
24
68
v=10
1
y?10?8?6
4?2u=0
24
68
§ 2.2 解析函数和调和函数的关系定义 1 内的调和函数：为区域实函数 Dyxu ),(
内有二阶连续偏导数，在区域 Dyxu ),(
22 0
x x y yu u u且满足
(称为调和方程或 Laplace方程 )
定理 1,内的解析函数是区域 Dyxivyxuzf ),(),()(
内的调和函数是区域与 Dvu?
证明,?内解析在 Dzf )(,,
x y x yu v v u
且 u,v有任意阶连续偏导数
xyyyxyxx vuvu,
0.x x y yuu
同样可得
0.x x y yvv
注：逆定理显然不成立，即对区域 D内的任意两个调和函数 u,v,ivuzf)(
不一定是解析函数,
定义 2 若 u与 v是区域 D内的调和函数且满足 C-R方 程，
则称 v为 u的 共轭调和函数,
定理 2,( ) (,) (,)f z u x y i v x y函数 在区域 D内解析
v为 u的共轭调和函数,
解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如：
2 2 2 2f z z x y i x y是解析函数，
222f z x y i x y不是解析函数。
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
例题 1 已知一调和函数 22,,u x y x y x y
求一解析函数0 0,f z u i v f使解,2,2
xyu x y u y x
由 C-R 方程22
yxv u x y v x y d y
212 2x y y c x2,xv y c x
22xyv u y c x y x由 21,
2
c x x c
2211,2,22v x y y x y x c所以于是
（法一）
2 2 2 211 222f z x y x y i y x y x c
00 0 ( ) 0
0
x
fc
y
由从而
2 2 2 2 211 212 2 2if z x y x y i y x y x z
即为所求解析函数。
（法二）
0,yxx x y y
uu
uu
xy
因
( NM M d x Nd yxy已知 为某一二元函数的全微分)
y x x yu dx u dy C R v dx v dy dv
,0,0,xy yxv x y u d x u d y c
(0,0)
(x,y)
(x,0)
00 2xyx d x x y d y c
2211 2
22
x x y y c
,0,0 22xy y x d x x y d y c
（法三）
22x x x yf z u i v u i u x y i y x
2 2 2x i y y i x x i y i x i y
2 iz 21.
2
if z z c
( 0 0 0 )fc
§ 2.1 解析函数的概念;),( Dzzfw函数
1 复变函数的导数定义：
Dzzz00,
z
w
z 0
lim极限 z zfzzf
z?
)()(lim 00
0
存在,则就说 f (z)在 z0可导,此极限值就称为 f (z)在 z0 的导数，记作
0
0( ),
zz
dwfz
dz?
或应该注意：上述定义中 的方式是任意的。0z
容易证明,可导 可微 ；
可导 连续。
如果 f (z) 在区域 D内处处可导,就说 f (z) 在Ｄ内可导,
例 1 求 f (z) = z2 的导数。
[解 ] 因为
Δ0
( Δ ) ( )l im
Δz
f z z f z
z?
22
Δ0
( Δ)
l im
Δz
z z z
z?
Δ0l i m ( 2 Δ ) 2,z z z z
所以 f '(z) = 2z,
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
（即 f (z) = z2 在复平面处处可导。）
例 2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
[解 ] 这里
0
( ) ( )
l im
z
f z z f z
z
0
( ) 2( ) 2
l im
z
x x y y i x y i
x y i
0
2l im
z
x y i
x y i
0,zx取
00
2l im l im 1,
zz
x y i x
x y i x
0,z i y取
00
22l im l im 2,
zz
x y i y
x y i y
所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在,
（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导,）
例 3 讨论 2)( zzfw 的可导性。
z zfzzfzw )()(
解：
z
zzz
22
z
zzzzzz
))((
z
zzzz
:0?z )0(0
zz
z
w 0)0( f
:0?z 0 xz取 zz
z
w
0 yiz取 zz
z
w
所以 2)( zzfw 在复平面上除原点外处处不可导。
2,解析函数的概念函数在一点解析? 在该点可导。 反之不一定成立。
在区域内,?解析 可导.
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 2)( zzfw
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
定义 解析：在
0)( zzf 0()f z z在 的某邻域内可导.
称为解析点，0z 否则称为奇点 。
内解析：在区域 Dzf )( ()f z D在 内处处解析.
例 4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性,
解：
21 0,dw zd z z
故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；
z = 0 是它的一个奇点。
解析函数的性质：
(1) 两个解析函数的和,差,积,商仍为解析函数；
(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；
(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；
所有解析点的集合必为开集 。
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
换句话说,( ),f z u v的解析 可导 与 的偏导数之间有什么关系？
设函数 ( ) (,) (,)w f z u x y i v x y 在D 内解析，
( ),f z a ib即存在 于是w f z z f z
( 0,0 )a i b z z z当
12( ) ( )a ib z i z
))(())(( 21 yixiyixiba
yxybxa 21
21i b x a y x y,,u x y i v x y
12
21
xy
xy
u u x u y o a x b y x y
v v x v y o b x a y x y
xy
xy
u u x u y o a x b y o
v v x v y o b x a y o
,
.
xy
xy
u v a
v u b
,u v v ux y x y称 C a u c h y - R ie m a n n为 方程
( ) (,) (,)w f z u x y i v x y D即 在 内一点 x,y 解析u(x,y)
与 v(x,y) 在该点可微,并且满足柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程。
( ),x x y yf z u iv v iu
设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微,
于是 12
34
xy
xy
u u x u y x y
v v x v y x y
（?x,?y?0时,?k?0,(k=1,2,3,4)）
( ) ( )f z z f z u i v
2
1 3 2 4( ) ( )
x x x xC R u iv x i v iu y
i x i y
1 3 2 4( ) ( ) ( ),xxu i v x i y i x i y
D?
并且满足 柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程。
1 3 2 4( ) ( )x x y yu i v x u i v y i x i y
1 3 2 4
( ) ( ) ( ) ( ),
xx
f z z f z x yu iv i i
z z z
( 1,1 )xyzz
0
( ) ( )( ) l im,
z
f z z f z u vf z i
z x x?
即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导,由 z 的任意性可知：
( ) (,) (,)w f z u x y i v x y 在D 内解析.
定理 1 函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域 D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在 D内可微,并满足 Cauchy-
Riemann方程,
定理 2 函数 f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域 D内一点 z
=x+iy 可导的充分必要条件是,u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)可微,在该点满足 Cauchy-Riemann方程 。
推论,,(,)u v x y C R?若 在 处一阶偏导数连续且满足 方程,
()f z u i v z x i y则 在 处可导.
例题 1
,uv?解析 可导 可微且满足C - R 方程
22 2f z x y i x y u i v f z已知,求解：
2 2 2 2xxf z u i v x i y x i y z
例题 2 判断下列函数在何处可导,在何处解析,
1 ) ; 2 ) R e ( )w z w z z
2 2 2 2yyv i u x i y x i y z
解,1 ),w z x i y由 得 u?x,vy,所以
1,0,0,1x y x y x y y xu u v v u v u v
在复平面内处处不可导,处处不解析；wz?故
2) 由 w = z Re(z) = x2 + ixy,得 u = x2,v = xy,所以
2,0,,x y x yu x u v y v x
当且仅当 x = y = 0时,
,,x y y xu v u v
因而函数仅在 z = 0可导,但在复平面内任何地方都不解析,
()f z u i v D 是区域 内的解析函数，
( ) 0fz且?
1 2 1 2(,),(,),u x y C v x y C C C 为任意常数是区域内的 正交 曲线族。
(正交,两曲线在交点处的切线垂直 )
例题 3
证：
1(,) (,)
x
u
y
uu x y C x y k
u
在 处切线的斜率,
y
x
v v
vkyxCyxv 处切线的斜率在 ),(),(
2
1,yyxxuv
y y y y
vuuv
k k C R
u v u v
得证。
解析函数退化为常数的几个充分条件：
(a) 函数在区域内解析且导数恒为零；
(b) 解析函数的实部,虚部,模或辐角中有一个恒为常数；
(c) 解析函数的共轭在区域内解析 。
例如
2 2 2 2,2 0 0,f z z x y i x y f z z z
两族分别以直线 y=?x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线
x2?y2 = c1,2xy = c2 互相正交。 1
1
1
10?8
6?4
2 x
24
68
v=10
1
y?10?8?6
4?2u=0
24
68
§ 2.2 解析函数和调和函数的关系定义 1 内的调和函数：为区域实函数 Dyxu ),(
内有二阶连续偏导数，在区域 Dyxu ),(
22 0
x x y yu u u且满足
(称为调和方程或 Laplace方程 )
定理 1,内的解析函数是区域 Dyxivyxuzf ),(),()(
内的调和函数是区域与 Dvu?
证明,?内解析在 Dzf )(,,
x y x yu v v u
且 u,v有任意阶连续偏导数
xyyyxyxx vuvu,
0.x x y yuu
同样可得
0.x x y yvv
注：逆定理显然不成立，即对区域 D内的任意两个调和函数 u,v,ivuzf)(
不一定是解析函数,
定义 2 若 u与 v是区域 D内的调和函数且满足 C-R方 程，
则称 v为 u的 共轭调和函数,
定理 2,( ) (,) (,)f z u x y i v x y函数 在区域 D内解析
v为 u的共轭调和函数,
解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如：
2 2 2 2f z z x y i x y是解析函数，
222f z x y i x y不是解析函数。
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
例题 1 已知一调和函数 22,,u x y x y x y
求一解析函数0 0,f z u i v f使解,2,2
xyu x y u y x
由 C-R 方程22
yxv u x y v x y d y
212 2x y y c x2,xv y c x
22xyv u y c x y x由 21,
2
c x x c
2211,2,22v x y y x y x c所以于是
（法一）
2 2 2 211 222f z x y x y i y x y x c
00 0 ( ) 0
0
x
fc
y
由从而
2 2 2 2 211 212 2 2if z x y x y i y x y x z
即为所求解析函数。
（法二）
0,yxx x y y
uu
uu
xy
因
( NM M d x Nd yxy已知 为某一二元函数的全微分)
y x x yu dx u dy C R v dx v dy dv
,0,0,xy yxv x y u d x u d y c
(0,0)
(x,y)
(x,0)
00 2xyx d x x y d y c
2211 2
22
x x y y c
,0,0 22xy y x d x x y d y c
（法三）
22x x x yf z u i v u i u x y i y x
2 2 2x i y y i x x i y i x i y
2 iz 21.
2
if z z c
( 0 0 0 )fc
