第三章 复变函数的积分注：（ 与实函数中第二型曲线积分类比 ）
§ 3.1 复积分的概念一、复积分的定义
1.定义 3.1 设 C 是平面上一条光滑的简单曲线,其起点
( ) (,) (,)f z u x y iv x y为 A,终点为 B,函数
(1)分割 T:
01,,,,,0,1,2,,n k k kA z z z B z x iy k n
(3)作和,
(2)取点,1 ;k k k k ki z z
1
( ) ;n kk
i
fz?
(4)取极限,
0limT? 1
( ) ;n kk
i
fz?
0( ) limC Tf z d z 1
( ) ;n kk
i
fz?
在 C上有定义,
线积分 复积分
cCF d r M d x N d yCCf z d z u iv d x id y
CCu d x v d y i v d x u d y,F x t y t r t d t
,x x tCty y t
二、复积分的实质是两个实二型曲线积分
,A x y
,B x y
dx
dy
c dr dz?
,,
,
f z u x y iv x y
z x iy d z d x id y
,,,F x y M x y i N x y j
d r d x i d y j
连续，连续 ),(),()( yxvyxuzf?
存在与 CC ud yv d xv d yud x
()C f z d z 存在.
,f x t y t z t d t?
三、判定与计算：
( ) (,) (,)f z u x y i v x y C设函数 在逐段光滑的曲线 上连续，
,:f z d z?c则 必存在 且
(,) (,) (,) (,),f z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d yc c c
定理3.1
（复积分存在的一个充分条件）
注,1.判定 2.计算,
f z dz?c (,) (,) (,) (,),u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d yCC
( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( )bbaau x t y t x t v x t y t y t d t i u x t y t x t v x t y t y t d t
( ( ),( ) ) ( ( ),( ) ) '( ) '( )ba u x t y t iv x t y t x t iy t d t
,f x t y t z t d t?
四、复积分的性质,( ) ( )f z g z C设,在逐段光滑的有向曲线 上连续
1 线性性：
CCC dzzgbdzzfadzzbgzaf )()()()( ()ab,为常数
CC?2 设 为 的逆向曲线，则
CC dzzfdzzf )()(
12
123,C C Cf z d z f z d z f z d z C C C
4 ( ) ( ) ( )C C Cf z d z f z d z f z d sML?
( ) ( ),f z C f z M L C?( 若 在 上有界,为 的长度,)
例题 1
.C z d z?计算 ( 1 ),C i i 的直线段；
（ 2） C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解 （ 1）
,1 1z i t t线段 的参数方程为
,d z i d t z i t t
1 0 1
1 1 0
11[ ( )
22C z d z t i d t i t d t t d t i i
（ 2）参数方程为 3
,22ize
,1iid z i e d z e
3
32
2
2
2
2ii
C
z d z ie d e i
i
i?
可见积分与路径有关。
例题 2
),Z()(I
0
nzz dz
C n
计算积分 0,0 rzzC
解：
0,( 0 2 ),iC z z r e
id z ir e d
2
0 )(
I ni
i
re
dir e2 1
1
0
1 in
n ie dr
0,1,
2,1,
n
in?
例如
1z zdz,2 i
例题 3
,811
C
dzzz证明,1 2,Cz
证明：
CC dzzzdzzz 1111?
C
dzz 2 1
12
2C
z dz C dz2 8.
1z zdz
练习
1z zdz
20 die i 0?
20 de i 0?
1z zdz 1z dz
2?
例题 4
2,
C z d z?计算
iC 如图所示：
解：
1,,0,,1 1C z x y x
1
1
22
1
2 ;
3C
z d z x d x
2,,,0iC z e
1C
2C
1? 1
2
22
0
ii
C
z d z e i e d
33
00
12,
33
iii e d e
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。
2 2 2 2 222C C Cz d z x y d x x y d y i x y d x x y d y
M N M N
()y x y xM N u vy x y xM N v u
2 0
C z d z
§ 3.2 柯西积分定理定理 1（单连通域的柯西积分定理）如果函数 f (z)在单连通域 D内处处解析,则它在 D内任何一条封闭曲线
C 的积分为零,
( ) d 0,
C
f z z
注 1,定理中的曲线 C可以不是简单曲线,此定理成立的条件之一是曲线 C要属于区域 D。
注 2,如果曲线 C是 D的边界,函数 f (z)在 D内与 C上解析,即在闭区域 D+C上解析,甚至 f (z)在 D内解析,在闭区域 D+C 上连续,则 f (z)在边界上的积分仍然有
( ) d 0,
C
f z z
推论,如果函数 f (z)在单连通域 D内处处解析,C属于 D，
f z d z?c则与路径无关仅与起点和终点有关。
于是
0
z
CC
z
f z d z f d f d
F z f z
0
z
z
F z f d
是解析函数。
解析函数的导数仍为解析函数?
Fz?
特别地
1
0
10,
z
z
f d F z F z
例如,2 3 3 311
33z d z z
2 1,13
注,以上讨论中 D为单连通域。
内解析，在区域 azDazzf 01)(
0211 idzazaz?
这里 D为复连通域。
定理 2（二连通域的柯西积分定理） 假设 C及 C1为任意两条简单闭曲线,C1在 C内部,设函数 f (z)在 C及 C1所围的二连域 D内解析,在边界上连续，则
1
.CCf z d z f z d z C
1C
D
A
B证明：取
1C A B C B A
1C A B C B A
1
0CC
11C C C?
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理推论（多连通域的柯西积分定理）,
为简单闭曲线设 nCCC,,,21? (互不包含且互不相交 )，
的简单闭曲线，为包含 nCCCC,,,21?
nCCCCD 21为由边界曲线所围成的多连通区域,内解析，在 Dzf )(
则上连续在,DD
0)( dzzf
1
( ) ( ),
i
n
CC i
f z d z f z d z
或
C
iC
D
例题 1
2
1,
C
dzz?求
C 如图所示,i
3i?
i?
解,存在 f (z)的解析单连通域 D包含曲线 C,故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。
从而
0,0,
2
0,30,3
1 1 1i i
C
ii
dz d
z z z
1 1 4
33
i
ii
例题 2
2
1,
C
dzzz求
C为包含 0与 1的任何正向简单闭曲线。
解：
2
1 1 1
1z z z z
C
0 1
2
1(1)
1C C C
d z d zdz
z z z z
（由闭路变形原理）
211CC
d z d z
zz
2 2 0ii
1C
2C
( 2 ) (由复合闭路定理)
122 2 2
1
C C C
d z d zdz
z z z z z z
1 1 2 211C C C C
d z d z d z d z
z z z z
0 2 2 0ii0?
§ 3.1 复积分的概念一、复积分的定义
1.定义 3.1 设 C 是平面上一条光滑的简单曲线,其起点
( ) (,) (,)f z u x y iv x y为 A,终点为 B,函数
(1)分割 T:
01,,,,,0,1,2,,n k k kA z z z B z x iy k n
(3)作和,
(2)取点,1 ;k k k k ki z z
1
( ) ;n kk
i
fz?
(4)取极限,
0limT? 1
( ) ;n kk
i
fz?
0( ) limC Tf z d z 1
( ) ;n kk
i
fz?
在 C上有定义,
线积分 复积分
cCF d r M d x N d yCCf z d z u iv d x id y
CCu d x v d y i v d x u d y,F x t y t r t d t
,x x tCty y t
二、复积分的实质是两个实二型曲线积分
,A x y
,B x y
dx
dy
c dr dz?
,,
,
f z u x y iv x y
z x iy d z d x id y
,,,F x y M x y i N x y j
d r d x i d y j
连续，连续 ),(),()( yxvyxuzf?
存在与 CC ud yv d xv d yud x
()C f z d z 存在.
,f x t y t z t d t?
三、判定与计算：
( ) (,) (,)f z u x y i v x y C设函数 在逐段光滑的曲线 上连续，
,:f z d z?c则 必存在 且
(,) (,) (,) (,),f z d z u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d yc c c
定理3.1
（复积分存在的一个充分条件）
注,1.判定 2.计算,
f z dz?c (,) (,) (,) (,),u x y d x v x y d y i v x y d x u x y d yCC
( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( ) ( ( ),( ) ) '( )bbaau x t y t x t v x t y t y t d t i u x t y t x t v x t y t y t d t
( ( ),( ) ) ( ( ),( ) ) '( ) '( )ba u x t y t iv x t y t x t iy t d t
,f x t y t z t d t?
四、复积分的性质,( ) ( )f z g z C设,在逐段光滑的有向曲线 上连续
1 线性性：
CCC dzzgbdzzfadzzbgzaf )()()()( ()ab,为常数
CC?2 设 为 的逆向曲线，则
CC dzzfdzzf )()(
12
123,C C Cf z d z f z d z f z d z C C C
4 ( ) ( ) ( )C C Cf z d z f z d z f z d sML?
( ) ( ),f z C f z M L C?( 若 在 上有界,为 的长度,)
例题 1
.C z d z?计算 ( 1 ),C i i 的直线段；
（ 2） C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解 （ 1）
,1 1z i t t线段 的参数方程为
,d z i d t z i t t
1 0 1
1 1 0
11[ ( )
22C z d z t i d t i t d t t d t i i
（ 2）参数方程为 3
,22ize
,1iid z i e d z e
3
32
2
2
2
2ii
C
z d z ie d e i
i
i?
可见积分与路径有关。
例题 2
),Z()(I
0
nzz dz
C n
计算积分 0,0 rzzC
解：
0,( 0 2 ),iC z z r e
id z ir e d
2
0 )(
I ni
i
re
dir e2 1
1
0
1 in
n ie dr
0,1,
2,1,
n
in?
例如
1z zdz,2 i
例题 3
,811
C
dzzz证明,1 2,Cz
证明：
CC dzzzdzzz 1111?
C
dzz 2 1
12
2C
z dz C dz2 8.
1z zdz
练习
1z zdz
20 die i 0?
20 de i 0?
1z zdz 1z dz
2?
例题 4
2,
C z d z?计算
iC 如图所示：
解：
1,,0,,1 1C z x y x
1
1
22
1
2 ;
3C
z d z x d x
2,,,0iC z e
1C
2C
1? 1
2
22
0
ii
C
z d z e i e d
33
00
12,
33
iii e d e
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。
2 2 2 2 222C C Cz d z x y d x x y d y i x y d x x y d y
M N M N
()y x y xM N u vy x y xM N v u
2 0
C z d z
§ 3.2 柯西积分定理定理 1（单连通域的柯西积分定理）如果函数 f (z)在单连通域 D内处处解析,则它在 D内任何一条封闭曲线
C 的积分为零,
( ) d 0,
C
f z z
注 1,定理中的曲线 C可以不是简单曲线,此定理成立的条件之一是曲线 C要属于区域 D。
注 2,如果曲线 C是 D的边界,函数 f (z)在 D内与 C上解析,即在闭区域 D+C上解析,甚至 f (z)在 D内解析,在闭区域 D+C 上连续,则 f (z)在边界上的积分仍然有
( ) d 0,
C
f z z
推论,如果函数 f (z)在单连通域 D内处处解析,C属于 D，
f z d z?c则与路径无关仅与起点和终点有关。
于是
0
z
CC
z
f z d z f d f d
F z f z
0
z
z
F z f d
是解析函数。
解析函数的导数仍为解析函数?
Fz?
特别地
1
0
10,
z
z
f d F z F z
例如,2 3 3 311
33z d z z
2 1,13
注,以上讨论中 D为单连通域。
内解析，在区域 azDazzf 01)(
0211 idzazaz?
这里 D为复连通域。
定理 2（二连通域的柯西积分定理） 假设 C及 C1为任意两条简单闭曲线,C1在 C内部,设函数 f (z)在 C及 C1所围的二连域 D内解析,在边界上连续，则
1
.CCf z d z f z d z C
1C
D
A
B证明：取
1C A B C B A
1C A B C B A
1
0CC
11C C C?
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理推论（多连通域的柯西积分定理）,
为简单闭曲线设 nCCC,,,21? (互不包含且互不相交 )，
的简单闭曲线，为包含 nCCCC,,,21?
nCCCCD 21为由边界曲线所围成的多连通区域,内解析，在 Dzf )(
则上连续在,DD
0)( dzzf
1
( ) ( ),
i
n
CC i
f z d z f z d z
或
C
iC
D
例题 1
2
1,
C
dzz?求
C 如图所示,i
3i?
i?
解,存在 f (z)的解析单连通域 D包含曲线 C,故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。
从而
0,0,
2
0,30,3
1 1 1i i
C
ii
dz d
z z z
1 1 4
33
i
ii
例题 2
2
1,
C
dzzz求
C为包含 0与 1的任何正向简单闭曲线。
解：
2
1 1 1
1z z z z
C
0 1
2
1(1)
1C C C
d z d zdz
z z z z
（由闭路变形原理）
211CC
d z d z
zz
2 2 0ii
1C
2C
( 2 ) (由复合闭路定理)
122 2 2
1
C C C
d z d zdz
z z z z z z
1 1 2 211C C C C
d z d z d z d z
z z z z
0 2 2 0ii0?
