§ 3.3 柯西积分公式
0,zD?设若 f (z) 在 D内解析，则
000
( ) ( )dd
C z z
f z f zzz
z z z z
闭路变形原理
D
C
0z?
0 0f z f z
0
00
0
1( ) d 2 π ( ),
zz
f z z if z
zz
分析：
z0为 C内的任一点,则
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z
12
C
fo r f z d
iz
-----解析函数可用复积分表示。
定理 (柯西积分公式 ) 如果 f (z)在区域 D内处处解析,C
为 D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,
作圆周 K,|z-z0|=R 在 C 的内部,且 R <d.
D
C
K
z z0
R
00
( ) ( )
dd
CK
f z f z
zz
z z z z
00( ) ( ) ( )dd
KK
f z f z f zzz
z z z z
0
0
0
( ) ( )2 π ( ) d
K
f z f zif z z
zz
[证 ] 由于 f (z)在 z0连续,任给 e >0,存在? (e) >0,当 |z?z0|<?
| f (z)?f (z0)| <e,
0
0
( ) ( ) d
K
f z f z z
zz
d2 π.
K
sRe e0
0
| ( ) ( ) | d
||K
f z f z s
zz
0
0
2
C
fz d z i f z
zz
根据闭路变形原理,该积分的值与 R无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零才有可能。
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z
推论 1 如果 C是圆周 z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为
2 π 0
0 0
( e )1( ) e d
2 πe
i
i
i
f z Rf z iR
iR
q
q
q q
2 π
00
1 ( e ) d
2 π
if z R q q
0 Re ifz
------ 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
平均值公式推论 2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则
1
0
00
1
2 CC
f z f zf z d z d z
i z z z z?
0,zD
D
0z
C
1C
例题 1
C
z
rrzCdzzzz e )2,1(:)2)(1(计算积分解：,10 r
C
z
dz
z
zz
e
)2)(1( i
zz
ei
z
z
0)2)(1(
2
,21 r
21 CC
2 1
)2(
C
z
dz
z
zz
e
i?
1)2(
2
z
z
zz
eii i
ei 3
2 1C2C 3C
01? 2
3 2
)1(
3
2
C
z
dz
z
zz
e
i
e
i
2)1(
2
3
2
z
z
zz
eii
e
i
ieiei 332
2
,2?r
321 CCC
练习题 1：
22 9,( ) ( )z
zI dz
z z i计算积分：
§ 3.4 解析函数的高阶导数不一定,更不要说它有高阶导数存在了,
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示,这一点和实变函数完全不同,一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的 n阶导数为,
()
0 1
0
! ( )( ) d ( 1,2,)
2 π ( )
n
n
C
n f zf z z n
i z z
其中 C为在函数 f (z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条
[证 ] 设 z0为 D内任意一点,先证 n=1的情形,即即证,
00
0 Δ0
( Δ ) ( )( ) l im,
Δz
f z z f zfz
z?
按定义
(Δ 0 ).z?
0 2
0
1 ( )( ) d
2 π ()C
fzf z z
i z z
00
2
0
( Δ ) ( )1 ( ) d0
2 π ( ) ΔC
f z z f zfz z
i z z z
正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
按柯西积分公式有
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z 0 0
1 ( )( Δ ) d
2 πΔC
fzf z z z
i z z z
00
00
( Δ ) ( ) 1 ( ) d
Δ 2 π ( ) ( Δ )C
f z z f z fz z
z i z z z z z
因此
00
2
0
( Δ ) ( )1 ( ) d
2 π ( ) ΔC
f z z f zfz z
i z z z
2
0 0 0
1 ( ) 1 ( )dd
2 π ( ) 2 π ( ) ( Δ )CC
f z f zzz
i z z i z z z z z
2
00
1 Δ ( ) d
2 π ( ) ( Δ )C
zf z zI
i z z z z z
下证当 Dz?0时 I?0:
现要证当 Dz?0时 I?0,而
2
00
1 Δ ( ) d||
2 π ( ) ( Δ )C
z f z zI
z z z z z
200
1| Δ || ( ) | d
2 | | | Δ |C
z f z s
z z z z z
f (z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有 | f (z) |? M,d
为 z0 到 C上各点的最短距离,则取 |Dz| 适当地小使其满足
|Dz| < d/2,因此
0
0
11| |,,
||z z d z z d
L是 C的长度
00| Δ | | | | Δ |,2
dz z z z z z
0
12,
| Δ|z z z d 23
00
1| Δ || ( ) | d| | | Δ|
2 π | | | Δ | πC
z f z s M LIz
z z z z z d
这就证得了当 Dz?0时,I?0.
D
z0
d
C
2
00
1 Δ ( ) d||
2 π ( ) ( Δ )C
z f z zI
z z z z z
200
1| Δ || ( ) | d
2 | | | Δ |C
z f z s
z z z z z
0
0
11| |,,
||z z d z z d
L是 C的长度,
00| Δ | | | | Δ |,2
dz z z z z z
0
12,
| Δ|z z z d
23
00
1| Δ || ( ) | d| | | Δ|
2 π | | | Δ | πC
z f z s M LIz
z z z z z d
这就证得了当 Dz?0时,I?0.
D
z0
d
C
f (z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有 | f (z) |? M.
d为 z0 到 C上各点的最短距离,取 Dz,|Dz| < d/2,则这 就证得了
00
Δ0
( Δ ) ( )l im
Δz
f z z f z
z?
再利用同样的方法去求极限,
0 2
0
1 ( )( ) d
2 π ( )C
fzf z z
i z z
0 3
0
2 ! ( )( ) d
2 π ( )C
fzf z z
i z z
便可得依此类推,用数学归纳法可以证明,
()
0 1
0
! ( )( ) d
2 π ()
n
n
C
n f zf z z
i z z
()
1
! ( )( ( ) )
2 ( )
n
nC
nff z d
iz
注：高阶导数公式主要通过求导数来求复积分。
例题 2 求下列积分的值,其中 C为正向圆周,| z | = r >1.
C
z
C
zzzz z d)1( e)2;d)1( c o s)1 225?
[解 ] 1) 函数 在 C内的 z=1处不解析,但 cos?z在
5)1(
c os
z
z?
.12)( c o s)!15( 2d)1( c o s
5
1
)4(
5 |
iziz
z
z
z
C
C内却是处处解析的,
222 1) ()
z
C
e dz
z
12CC
C
2C
1C
12CC
12
22
( ) ( )
( ) ( )
zz
CC
ee
z i z i
d z d z
z i z i
22
2?
( ) ( )
zz
z i z i
ee
i
z i z i
21 4s i n ( )i
练习题 2：
32 41
c o s,,.
()C
zI d z C z
zz计算积分：
0() 在 内解析，在 上连续，则RRf z C z z R C
))(m a x(!)( 0)( zfMR nMzf
RC
n
n
定理 3.10(Cauchy不等式 )
证明：
RC n
n dz
zz
zf
i
nzf
1
0
0
)(
)(
)(
2
!)(
RC
n
n dz
zz
zfn
zf 1
0
0
)( )(
2
!)(
nn R
nMR
R
Mn !2
2
!
1
注 1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；
注 2：
00( ) m a x ( )RCn f z M f z
刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数 。
,i n t,RRC R z C
,)( )(2 1)( 2
RC
dzfizf
Mf?)(?
RC
d
z
fzf?
2
)(
2
1)(0 )(0
)(
2
2 2 RzR
RM?
0)( zf
( ),fz 常数
( ) R e ( ),f z f z M?在全平面解析，且注:
( ),fz?同样可以得到 常数 ))(( )( zfezF?只需考虑函数证明：对复平面上任一点 z,则最大模原理,设 D为有界单连通或复闭路多连通区域,
( ) ( )f z D D D D f z在 内解析，在 上连续，则
D在 上取到最大值。
证明,),(,)(m a x DLLzfM
D记
),,(,00 Dzd i s tdDz 记
D
n
n dz
zz
zf
izf 00
)(
2
1)(
D
n
n dz
zz
zf
zf
0
0
)(
2
1)(
LdM
n
2
1? )(
2)(
1
0
nM
d
LMzf n
Mzf )( 0
注：
时，当 c on s tzf)( 上取到最大值。在且只在 Dzf?)(
推论 1 在区域 D内解析的函数，若其模在 D的内点达到最大值，则此函数必恒为常数。
推论 2 若 f(z)在区域 D内解析，在 上连续，则D
()fz 必在 D的边界上达到最大值。
例题 3 设函数 在全平面解析，()fz 0
,( ) ( ),zrr M r M a x f z令
M(r) 是r的单调上升函数。证明：
证明,0,( )r f z z r在 上解析，
( ) ma x ( ) ma x ( ),z r z rM r f z f z
2()f z z r r由推论,在 上的最大值必在z 上达到。
即
121 2 1 2
,( ) ma x ( ) ma x ( ) ( ),z r z rr r M r f z f z M r
解析函数的充要条件
1.充分条件,莫累拉定理 (柯西积分的逆定理 )
定理 如果 ()f z D在区域 中是连续的，
封闭曲线C,有且对D中任何
0 ( ),C f z d z
则 ()f z D在 内解析。
提示,
()fd
0
z
zf(z)=F ＇( z ) =
0,zD?设若 f (z) 在 D内解析，则
000
( ) ( )dd
C z z
f z f zzz
z z z z
闭路变形原理
D
C
0z?
0 0f z f z
0
00
0
1( ) d 2 π ( ),
zz
f z z if z
zz
分析：
z0为 C内的任一点,则
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z
12
C
fo r f z d
iz
-----解析函数可用复积分表示。
定理 (柯西积分公式 ) 如果 f (z)在区域 D内处处解析,C
为 D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,
作圆周 K,|z-z0|=R 在 C 的内部,且 R <d.
D
C
K
z z0
R
00
( ) ( )
dd
CK
f z f z
zz
z z z z
00( ) ( ) ( )dd
KK
f z f z f zzz
z z z z
0
0
0
( ) ( )2 π ( ) d
K
f z f zif z z
zz
[证 ] 由于 f (z)在 z0连续,任给 e >0,存在? (e) >0,当 |z?z0|<?
| f (z)?f (z0)| <e,
0
0
( ) ( ) d
K
f z f z z
zz
d2 π.
K
sRe e0
0
| ( ) ( ) | d
||K
f z f z s
zz
0
0
2
C
fz d z i f z
zz
根据闭路变形原理,该积分的值与 R无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零才有可能。
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z
推论 1 如果 C是圆周 z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为
2 π 0
0 0
( e )1( ) e d
2 πe
i
i
i
f z Rf z iR
iR
q
q
q q
2 π
00
1 ( e ) d
2 π
if z R q q
0 Re ifz
------ 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
平均值公式推论 2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则
1
0
00
1
2 CC
f z f zf z d z d z
i z z z z?
0,zD
D
0z
C
1C
例题 1
C
z
rrzCdzzzz e )2,1(:)2)(1(计算积分解：,10 r
C
z
dz
z
zz
e
)2)(1( i
zz
ei
z
z
0)2)(1(
2
,21 r
21 CC
2 1
)2(
C
z
dz
z
zz
e
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1)2(
2
z
z
zz
eii i
ei 3
2 1C2C 3C
01? 2
3 2
)1(
3
2
C
z
dz
z
zz
e
i
e
i
2)1(
2
3
2
z
z
zz
eii
e
i
ieiei 332
2
,2?r
321 CCC
练习题 1：
22 9,( ) ( )z
zI dz
z z i计算积分：
§ 3.4 解析函数的高阶导数不一定,更不要说它有高阶导数存在了,
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示,这一点和实变函数完全不同,一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的 n阶导数为,
()
0 1
0
! ( )( ) d ( 1,2,)
2 π ( )
n
n
C
n f zf z z n
i z z
其中 C为在函数 f (z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条
[证 ] 设 z0为 D内任意一点,先证 n=1的情形,即即证,
00
0 Δ0
( Δ ) ( )( ) l im,
Δz
f z z f zfz
z?
按定义
(Δ 0 ).z?
0 2
0
1 ( )( ) d
2 π ()C
fzf z z
i z z
00
2
0
( Δ ) ( )1 ( ) d0
2 π ( ) ΔC
f z z f zfz z
i z z z
正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
按柯西积分公式有
0
0
1 ( )( ) d,
2 π C
fzf z z
i z z 0 0
1 ( )( Δ ) d
2 πΔC
fzf z z z
i z z z
00
00
( Δ ) ( ) 1 ( ) d
Δ 2 π ( ) ( Δ )C
f z z f z fz z
z i z z z z z
因此
00
2
0
( Δ ) ( )1 ( ) d
2 π ( ) ΔC
f z z f zfz z
i z z z
2
0 0 0
1 ( ) 1 ( )dd
2 π ( ) 2 π ( ) ( Δ )CC
f z f zzz
i z z i z z z z z
2
00
1 Δ ( ) d
2 π ( ) ( Δ )C
zf z zI
i z z z z z
下证当 Dz?0时 I?0:
现要证当 Dz?0时 I?0,而
2
00
1 Δ ( ) d||
2 π ( ) ( Δ )C
z f z zI
z z z z z
200
1| Δ || ( ) | d
2 | | | Δ |C
z f z s
z z z z z
f (z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有 | f (z) |? M,d
为 z0 到 C上各点的最短距离,则取 |Dz| 适当地小使其满足
|Dz| < d/2,因此
0
0
11| |,,
||z z d z z d
L是 C的长度
00| Δ | | | | Δ |,2
dz z z z z z
0
12,
| Δ|z z z d 23
00
1| Δ || ( ) | d| | | Δ|
2 π | | | Δ | πC
z f z s M LIz
z z z z z d
这就证得了当 Dz?0时,I?0.
D
z0
d
C
2
00
1 Δ ( ) d||
2 π ( ) ( Δ )C
z f z zI
z z z z z
200
1| Δ || ( ) | d
2 | | | Δ |C
z f z s
z z z z z
0
0
11| |,,
||z z d z z d
L是 C的长度,
00| Δ | | | | Δ |,2
dz z z z z z
0
12,
| Δ|z z z d
23
00
1| Δ || ( ) | d| | | Δ|
2 π | | | Δ | πC
z f z s M LIz
z z z z z d
这就证得了当 Dz?0时,I?0.
D
z0
d
C
f (z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有 | f (z) |? M.
d为 z0 到 C上各点的最短距离,取 Dz,|Dz| < d/2,则这 就证得了
00
Δ0
( Δ ) ( )l im
Δz
f z z f z
z?
再利用同样的方法去求极限,
0 2
0
1 ( )( ) d
2 π ( )C
fzf z z
i z z
0 3
0
2 ! ( )( ) d
2 π ( )C
fzf z z
i z z
便可得依此类推,用数学归纳法可以证明,
()
0 1
0
! ( )( ) d
2 π ()
n
n
C
n f zf z z
i z z
()
1
! ( )( ( ) )
2 ( )
n
nC
nff z d
iz
注：高阶导数公式主要通过求导数来求复积分。
例题 2 求下列积分的值,其中 C为正向圆周,| z | = r >1.
C
z
C
zzzz z d)1( e)2;d)1( c o s)1 225?
[解 ] 1) 函数 在 C内的 z=1处不解析,但 cos?z在
5)1(
c os
z
z?
.12)( c o s)!15( 2d)1( c o s
5
1
)4(
5 |
iziz
z
z
z
C
C内却是处处解析的,
222 1) ()
z
C
e dz
z
12CC
C
2C
1C
12CC
12
22
( ) ( )
( ) ( )
zz
CC
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z i z i
d z d z
z i z i
22
2?
( ) ( )
zz
z i z i
ee
i
z i z i
21 4s i n ( )i
练习题 2：
32 41
c o s,,.
()C
zI d z C z
zz计算积分：
0() 在 内解析，在 上连续，则RRf z C z z R C
))(m a x(!)( 0)( zfMR nMzf
RC
n
n
定理 3.10(Cauchy不等式 )
证明：
RC n
n dz
zz
zf
i
nzf
1
0
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)(
)(
)(
2
!)(
RC
n
n dz
zz
zfn
zf 1
0
0
)( )(
2
!)(
nn R
nMR
R
Mn !2
2
!
1
注 1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；
注 2：
00( ) m a x ( )RCn f z M f z
刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数 。
,i n t,RRC R z C
,)( )(2 1)( 2
RC
dzfizf
Mf?)(?
RC
d
z
fzf?
2
)(
2
1)(0 )(0
)(
2
2 2 RzR
RM?
0)( zf
( ),fz 常数
( ) R e ( ),f z f z M?在全平面解析，且注:
( ),fz?同样可以得到 常数 ))(( )( zfezF?只需考虑函数证明：对复平面上任一点 z,则最大模原理,设 D为有界单连通或复闭路多连通区域,
( ) ( )f z D D D D f z在 内解析，在 上连续，则
D在 上取到最大值。
证明,),(,)(m a x DLLzfM
D记
),,(,00 Dzd i s tdDz 记
D
n
n dz
zz
zf
izf 00
)(
2
1)(
D
n
n dz
zz
zf
zf
0
0
)(
2
1)(
LdM
n
2
1? )(
2)(
1
0
nM
d
LMzf n
Mzf )( 0
注：
时，当 c on s tzf)( 上取到最大值。在且只在 Dzf?)(
推论 1 在区域 D内解析的函数，若其模在 D的内点达到最大值，则此函数必恒为常数。
推论 2 若 f(z)在区域 D内解析，在 上连续，则D
()fz 必在 D的边界上达到最大值。
例题 3 设函数 在全平面解析，()fz 0
,( ) ( ),zrr M r M a x f z令
M(r) 是r的单调上升函数。证明：
证明,0,( )r f z z r在 上解析，
( ) ma x ( ) ma x ( ),z r z rM r f z f z
2()f z z r r由推论,在 上的最大值必在z 上达到。
即
121 2 1 2
,( ) ma x ( ) ma x ( ) ( ),z r z rr r M r f z f z M r
解析函数的充要条件
1.充分条件,莫累拉定理 (柯西积分的逆定理 )
定理 如果 ()f z D在区域 中是连续的，
封闭曲线C,有且对D中任何
0 ( ),C f z d z
则 ()f z D在 内解析。
提示,
()fd
0
z
zf(z)=F ＇( z ) =
