§ 1.6 复变函数的极限和连续性则称 A为 f (z)当 z趋向于 z0时的 极限,记作
Azf
zz
)(lim
0
或记作当 z?z0 时,f (z)?A.
1,函数的极限定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|<?
内,如果有一确定的数 A存在,对于任意给定的 e >0,存在一正数 d (e) (0 <d),使得当 0 <|z-z0|<d 时有
| f (z)-A |<e,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束第二节 目录 上页 下页 返回 结束几何意义,
x
y
O
z0d
z
O u
v
Ae
f(z)
0
l i m ( )zzA f z 意味着：
0 ()
z
z f z
当 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 时,均以A 为极限。
第二节 目录 上页 下页 返回 结束等价定义,设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y),A = u0+iv0,z0 = x0+iy0,则
0
0
0
0
0
0
0
l im (,)
l im ( ),
l im (,)
xx
yy
zz
xx
yy
u x y u
f z A
v x y v





证明：
22000,.,e d d -? -?0,> 0,,0 < z - zz x x y y s t
0
" " l i m ( )由于,则zz f z A
220 0 0 0f z A u iv u iv u u v v e- - -? -?
22000x,y,x x y y,s,t,d -? -?
220 0 0u u u u v v,e-? -? -?
220 0 0v v u u v v e-? -? -?
即 00
0
0
0
0
li m (,)
.
li m (,)
xx
yy
xx
yy
u x y u
v x y v




第二节 目录 上页 下页 返回 结束
""? 由于
00
00l i m (,),l i m (,)x x x x
y y y y
u x y u v x y v
22000 0 0,,x,y,x x y y,s,t,e d d -? -?
0 2u u,
e-?
0 2vv
e-?
0 0 0 0f z A u i v u i v u u v v e- - -?
,.,d 0故,0 < z - zz s t
即
0
lim ( ),zz f z A
第二节 目录 上页 下页 返回 结束运算性质：

0)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim)3(
0
0
0
0
zg
zg
zf
zg
zf
zz
zz
zz
zz
第二节 目录 上页 下页 返回 结束关于含无穷远点的极限的定义：
0 111 l i m l i m ; (tzf a f a atz 为有限复数）

00
12 l i m 0 l i m ;
z z z z
fzfz



0
13 l i m 0 l i m ;
1tz
fz
f
t




第二节 目录 上页 下页 返回 结束当 z?0 时的极限不存在。例 1 证明函数 Re ( )
()
||
zfz
z
[证 ] 令 z = x + i y,则
22
( ),xfz
xy
由此得
22
(,),(,) 0,
x
u x y v x y
xy

让 z 沿直线 y = k x 趋于零,我们有
2200
( ) ( )
l im (,) l im
xx
y k x y k x
x
u x y
xy

2 2 20
1l im,
( 1 ) 1x
x
k x k?


故极限不存在,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 2：函数 () zfz
z?
在 z=0有无极限？
提示：
0,( c o s )z z r i s i n设
0
00
0
( ) c o s( 2 ) sin ( 2 ),
l im ( ) c o s( 2 ) sin ( 2 )
z
A r g z
f z i
f z i


-? -
-? -
第二节 目录 上页 下页 返回 结束练习 1：函数 1( ),0,
2
zzf z z
izz
-

在 z=0的极限不存在。
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 3：计算
2lim,(1 )zi
zi
zz?
-
练习 2：计算
2
22l im,
( 1 )zi
z z z z
z?
- -
-
解：
2lim (1 )zi
zi
zz?
-
11l im l im,
( ) ( ) ( ) 2z i z i
zi
z z i z i z z i
- -
-?
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2,函数的连续性定义,
)()(lim 0
0
zfzfzz如果则说 f (z)在 z
0 处 连续,如果 f (z) 在区域 D内处处连续,我们说 f (z) 在 D内连续,
判定,函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在 (x0,y0)处连续,
性质,(1)连续函数的四则运算仍然连续；
(2)连续函数的复合函数仍然连续；
(3)连续函数的模也连续；
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
(4)有界闭区域 D上的连续函数必有界,且其模在 D上取到最大值与最小值 ;
(5)有界闭区域 D上的连续函数必一致连续,
例题 1 讨论 zzf a rg)(? 的连续性。
x
2
2
2
-
2
-
-
a r g
a r g
z
z-
在区域内连续，
a r g z
在负实轴上不连续。
0 0;z?
（ 2）
00 0;zx
（ 1）
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例题 1 讨论 zzf a rg)(? 的连续性。
0,e 要有
00( ) ( ) a r g a r gf z f z z z e-? -?
z0
e
d
只需取
0 sin 0
2
z ed
（ 3）
0z 其他第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 4 讨论 2
2
Im
( ) ( 0 )
zz
f z z
z

irez
解：
2s in)( rzf?
0)(lim
0

zf
z
0)0(?f补充定义 ( ) 0f z z 在 连续.
的连续性。
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 5 讨论 的连续性。wz?
解法一：
00,0,0,:,.,z C z z z s te d e d -?
00z z z z d?-? -
解法二：
0,zC
0 0 0
0
2 2 2 2
0 0 0l im ( ) l im l im,z z z z x x
yy
f z z x y x y z


第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 6：证明,1
( ) 1
1
fz
z

-
在z 内连续。
解：

00
0
0 0 0
11( ) ( )
1 1 1 1 1 1
z z z zf z f z
z z z z z e?
---? -
- - - - - -
只需取
011 zd? e? - -
00,1,,1,,1,1 1z z z z z z -? -
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 7：证明：
62
()
,0
()
0,0
y y ix
z
fz xy
z
-



3x
,在z = 0 处连续。
提示：令 c o s,s i n,0 0,x r y r z r
00
l i m (,) 0,l i m (,) 0
xx
yy
u x y v x y


第二节 目录 上页 下页 返回 结束练习 3：证明：
42
,0
()
0,0
y
z
fz xy
z



3x
,在复平面内处处连续。
第二节 目录 上页 下页 返回 结束第二节 目录 上页 下页 返回 结束习题：
1.化 为三角形式与指数形式,1,2i c t y
解,
1 3 3c o s s i n
s i n 2 2i

- -? -

c o s 11 1 s i n c o ss i n s i ni c t y i i
1 s i n c o ss i n i - - -
1 c o s s i n
s i n 2 2i

- -

2.证明三角不等式,
32
23
c o s 3 c o s 3 c o s s i n
s i n 3 3 c o s s i n s i n


-
-
证明,
3c o s 3 s i n 3 c o s s i nii
3 2 2 3c o s 3 c o s s i n 3 c o s s i n s i nii - -
3 2 2 3c o s 3 c o s s i n 3 c o s s i n s i ni -? -
3,设
,z x iy,
2
xy z x y证明,
证明,
2
xyx y z
222z x y x y x y
22 2 2 2 22 2 2z x y x y x y x y
4.若 证明,1 2 3 1,z z z 且 1 2 3 0,z z z
1 2 3,,z z z 是内接于单位圆的一个正三角形的顶点.
证明,2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 342 z z z z z z z z z - -?
12 3zz-?
同理
13 3zz-?
23 3zz-?
得正,
5.证明,四点 共圆
3 4
34
:z zzz- -? --1 1
22
z z = 实数.
zz
1 2 3 4,,,z z z z