§ 2.3 初等函数
3.1 指数函数定义,)s i n( c o s yiyeee xiyxz
1,:0 0 eeey xz
yiyeex iyz s i nc o s:0性质：
( 1 ) 0zzee?定义在全平面上，且
( 2 ) z z ze e e在全平面解析，且
21,)3( 2121 zzeee zzzz加法定理：
( 4 ) 2zei?是以 为基本周期的周期函数
( 0,c o s sin 0 0 )x iy ze e y i y e
22( c o s 2 s i n 2,)z k i z k i z ze e e e k i k e k Z
( 5 ) l i m,zz e 不存在 ( l i m,l i m 0 )zz
z x z x
ee
3.2 三角函数定义：
,
2
s in
i
eez iziz,
2
c o s
iziz ee
z
性质：
(1)Euler 公式仍然成立,zize iz s inc o s
(2)全平面解析函数, zzzz s i nc o s,c o ss i n且
(3)各种三角恒等式仍然成立 (半角公式除外 )
(4)sin z为奇函数,cos z为偶函数
( 5 ) 2?以 为基本周期的周期函数：
s i n 2 s i n,c o s 2 s i n,( )z k z z k z k Z
( 6 ) s i n c o szz与 的模可以大于一甚至无界：
例如 11
c o s 1,
2
eeic o s,
2
yyee
iy y
(7)定义其他的三角函数：
.
s i n
1
c s c,
c os
1
s e c
,
s i n
c os
c t g,
c os
s i n
tg
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
3.3 双曲函数定义,e e e e
c h,s h,
22
z z z z
zz
（ 1）全平面解析函数,
,.s h z c h z c h z s h z
（ 2）以 2?i为基本周期的周期函数：
2,2,s h z k i s h z c h z k i c h z
（ 3） chz为偶函数,shz为奇函数。
（ 4）与三角函数的关系：
例题 1 解方程
s in 1,z is h?
解：
s i n s i n s i n c o s c o s s i nz x i y x i y x i y
s i n c o s 1x c h y i x s h y i s h
s in 0 1
c o s 1 2
x c h y
x s h y s h
,0 s i n 0,c h y x x k k Z由 1 因
2 1 1ks h y s h代入 1
1
yk
yk
为偶数为奇数
2
.
21
ni
z n Z
ni
3.4 对数函数定义：,( 0),ww e z z若 满足 L n ( 0 ),w z z则
,w u iv记,iz r e u iv u iv ie e e r e
l n l n
a r g 2
ue r u r z
v A r g z z k
l n a r g 2w L n z z i z k
l n a r g 2 l n 2z i z i k z k i多值性
l n l n a r gz z i z
-------主值支例如：
性质：
( 1 ) L n,0,z z z的定义域为
(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差 2π i的整数倍,
1 2 1 2 1 2( 3 ),0 L n ( ) L n L n,z z z z z z：
1
12
2
L n ( ) L n L n,z zz
z
(4) 除去原点与负实轴,ln z在复平面内处处解析：
11l n,.z Ln zzz
今后我们应用对数函数 Ln z时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支,
00
( l i m a r g,l i m a r g π,)
yy
zz
z
w
z
z
w
1
d
de
1
d
lnd
问题：
3.5 幂函数定义：
,L n zw z e
l n a r g 2n z i z i knze
ln ze?主值为 的多值函数.
n当 时,
ln a r g a r gnnz i n z i n ze e z e
---- 单值函数
1
n当 时,
1 a r g 21 zki
nnn nz z e z
---- n值函数
m
n mnzz?
---- n值函数
( 1,)ma n m nn当 与 互质 时,
I m 0当 为无理数或 时,zez Ln
)2a r g( l n ikzize ikziz eee 2a r gln
---- 无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且
11L n z L n zz e e zz
22 1,ii例 求 和 的值
2 l n1 22 2 L n1 2 2[ ] 1 e eki kie解
l n 2 2Ln 22
ee
i i i k i i i k ii i i
ie
22
e,( 0,1,2,),
k
k
2,e,ii
由此可见 是正实数 它的主值是
c os( 2 2 ) si n( 2 2 ),( 0,1,2,) ;k i k k
例 3 解下列方程：
1 ) l n ; 2 ) l n 1 ; 3 ) l n 2,26z i z i z i
[解 ]
021 ) c o s s i n ;
22
i
z e e i i
12 ) c o s s i n ;iz e e i e
2 22
6 33 ) c o s s i n,
6 6 2
i i
z e e i e
3.1 指数函数定义,)s i n( c o s yiyeee xiyxz
1,:0 0 eeey xz
yiyeex iyz s i nc o s:0性质：
( 1 ) 0zzee?定义在全平面上，且
( 2 ) z z ze e e在全平面解析，且
21,)3( 2121 zzeee zzzz加法定理：
( 4 ) 2zei?是以 为基本周期的周期函数
( 0,c o s sin 0 0 )x iy ze e y i y e
22( c o s 2 s i n 2,)z k i z k i z ze e e e k i k e k Z
( 5 ) l i m,zz e 不存在 ( l i m,l i m 0 )zz
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3.2 三角函数定义：
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2
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性质：
(1)Euler 公式仍然成立,zize iz s inc o s
(2)全平面解析函数, zzzz s i nc o s,c o ss i n且
(3)各种三角恒等式仍然成立 (半角公式除外 )
(4)sin z为奇函数,cos z为偶函数
( 5 ) 2?以 为基本周期的周期函数：
s i n 2 s i n,c o s 2 s i n,( )z k z z k z k Z
( 6 ) s i n c o szz与 的模可以大于一甚至无界：
例如 11
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2
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(7)定义其他的三角函数：
.
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3.3 双曲函数定义,e e e e
c h,s h,
22
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（ 1）全平面解析函数,
,.s h z c h z c h z s h z
（ 2）以 2?i为基本周期的周期函数：
2,2,s h z k i s h z c h z k i c h z
（ 3） chz为偶函数,shz为奇函数。
（ 4）与三角函数的关系：
例题 1 解方程
s in 1,z is h?
解：
s i n s i n s i n c o s c o s s i nz x i y x i y x i y
s i n c o s 1x c h y i x s h y i s h
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,0 s i n 0,c h y x x k k Z由 1 因
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为偶数为奇数
2
.
21
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3.4 对数函数定义：,( 0),ww e z z若 满足 L n ( 0 ),w z z则
,w u iv记,iz r e u iv u iv ie e e r e
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l n a r g 2 l n 2z i z i k z k i多值性
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-------主值支例如：
性质：
( 1 ) L n,0,z z z的定义域为
(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差 2π i的整数倍,
1 2 1 2 1 2( 3 ),0 L n ( ) L n L n,z z z z z z：
1
12
2
L n ( ) L n L n,z zz
z
(4) 除去原点与负实轴,ln z在复平面内处处解析：
11l n,.z Ln zzz
今后我们应用对数函数 Ln z时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支,
00
( l i m a r g,l i m a r g π,)
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问题：
3.5 幂函数定义：
,L n zw z e
l n a r g 2n z i z i knze
ln ze?主值为 的多值函数.
n当 时,
ln a r g a r gnnz i n z i n ze e z e
---- 单值函数
1
n当 时,
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---- n值函数
( 1,)ma n m nn当 与 互质 时,
I m 0当 为无理数或 时,zez Ln
)2a r g( l n ikzize ikziz eee 2a r gln
---- 无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且
11L n z L n zz e e zz
22 1,ii例 求 和 的值
2 l n1 22 2 L n1 2 2[ ] 1 e eki kie解
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由此可见 是正实数 它的主值是
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例 3 解下列方程：
1 ) l n ; 2 ) l n 1 ; 3 ) l n 2,26z i z i z i
[解 ]
021 ) c o s s i n ;
22
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