1
第四章 解析函数的级数表示
复数项级数幂级数复级数复变函数项级数 泰勒级数——单连域洛朗级数——双连域
2
成立,则 a称为复数列 {an}当 n时的 极限,记作
lim nn aa
此时也称复数列 {an}收敛 于 a.
一,复数列的极限：
1.定义,
又设 a=a+ib 为一确定的复数,如果任意给定 >0,?
相应地能找到一个正数 N( ),使 |an-a|< 在 n>N时
设 {an}(n=1,2,...)为一复数列,其中 an=an+ibn,
第一节 复数项级数
3
定理 1 复数列 { n}(n=1,2,...)收敛于 的充要条件是
li m,li mnnnna a b b
l i m,l i m,nnnna a b b所以 同理
[证 ]如果,则对于任意给定的,
lim nn
0
就能找到一个正数 N,当 n>N 时,
2.判定与计算,
| ( ) ( ) |nna ib a ib
| | | ( ) ( ) |n n na a i b b则
4
反之,如果
lim,nn所以
l i m,l i mnnnna a b b
22
,,,| |,| |
nnN n N a a b b时
| | | ( ) ( ) | | | | |n n n n na a i b b a a b b
从而有则
5
设 { n }={an+ibn}为一复数列,表达式
n
n
n 21
1
1
{ },.nn
n
s?如果数列 不收敛 则级 称为 发散数称为级数的 部分和,如果部分和数列 {Sn}收敛,
Sn=a1+a2+...+an
称为 无穷级数,其最前面 n项的和
1
,lim,nn
nn
ss?则级数 称为收敛 并且极限 称为级数的和
3.级数概念,?
6
和 {tn}的极限存在,即级数
1n
na
1n
nb
1n
na?
1n
nb
和
[证 ] 因 Sn=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,
其中 sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为的部分和,由定理 1,{Sn}有极限存在的充要条件是 {sn}
注,将复数项级数的审敛转化为实数项级数的审敛问题,
1n
n
1n
nb
定理 2 收敛的充要条件是级数
1n
na
和 都收敛
4.判定与计算,
和 都收敛,
7
1
0
lim,nn
nn
收敛的必要条件是
11
nn
nn
ab而由实数项级数 和 收敛的必要条件
00l i m l i m,nnnnab和
0l i m,nn立即可得 从而推出复数项级数定理 3
1
0
lim,nn
nn
收敛的必要条件是证明,
8
定理 4
11
| |.nn
nn
2 2 2 2| |,| |
n n n n n na a b b a b而
[证 ]
11
| |,,nn
nn
如果 收敛 则 也收敛 且有不等式
22
11
| |,n n n
nn
ab由于
9
1 1 1 1
li m li m | | | |
nn
k k k knn
k k k k
或
.非绝对收敛的收敛级数 为 条件收敛级数称
11
| | | |,nn
nn
ab可知级数 及 都收敛 因而
1 1 1
,.n n n
n n n
ab和 也都收敛 则 是收敛的?
11
| |,
nn
kk
kk
而又因 因此
11
| |,.nn
nn
如果 收敛 则 绝称级数 对收敛
10
11
,nn
nn
ab与 绝对收敛
22| | | |,
n n n na b a b由于 因此
22
1 1 1
| | | |,n n n n
n n n
a b a b
1 1 1
,,n n n
n n n
ab所以当 与 绝对收敛时 也绝对收敛?
1
n
n
因此 绝对收敛?
注,因为 的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定,
1
||n
n
11
例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限,
111
);
i
n
n en
[解 ] 1) 因
111
l i m,
i
n
nnen数列 收敛,且 有
1111
c os si n
i
n
n ein n n n
1111
c os,si n,nnab n n n n
10l i m,l i mnnnnab
12
2) c osn n in
解,由于 an=n cos in=n ch n,因此,当 n时,
an,所以 an发散,
13
例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
1 0 1
1 ( 8 ) ( 1 ) 1
1 ) 1 ; 2 ) ; 3 )
!2
nn
n
n n n
ii
i
n n n n
[解 ] 1) 因 发散 ; 收敛,
11
1
n
nn
a n
2
11
1
n
nn
b n
故原级数发散,
14
2) 因,由正项级数的比值审敛法知( 8 ) 8
!!
nni
nn
01
8 1 123
2
( ) ( )) ; )!
nn
n
nn
i i
nn
1
( 1)n
n n
1
1
2nn
3)因 收敛 ; 也收敛,
1
8
!
n
n n
收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛,
1
( 1) n
n n
为条件收敛,所以原级数非绝对收敛,
故原级数收敛,但
15
§ 2 幂级数
16
1.幂级数的概念 设 {fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数
)1.2.4()()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
称为这级数的 部分和,
称为 复变函数项级数,最前面 n项的和
Sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
序列,其中各项在区域 D内有定义,表达式
17
如果对于 D内的某一点 z0,极限
00lim ( ) ( )nn S z S z
1
()n
n
fzS(z)称为级数 的 和函数,
存在,则称复变函数项级数 (4.2.1)在 z0收敛,
而 s(z0)称为它的 和,如果级数在 D内处处收敛,
则它的和一定是 z的一个函数 S(z):
S(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+.
..
18
就得到函数项级数的特殊情形,
2
0 1 2
0
nnnn
n
c z c c z c z c z或
2
0 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
n
c z a c c z a c z a c z a
这种级数称为 幂级数,
当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=cn-1zn-1时,
(4.2.3)
(4.2.2)
19
定理 1 (阿贝尔 Abel定理 )
.级数必发散
y
z0
xO
则
0?zz如果在
0 0( ),zz 收敛
0
nn
n
cz如果级数 在
0,| | | |,,z z z 级数必绝对收敛
0?,| | | |,z z z级数发散 则对满足 的
2.判断与计算
20
[证 ]
0
0
| | | |
n
n n n
nn
z
c z c z M q
z
00
0
0
,lim,nnnn
nn
c z c z因 收敛 则
0?|| nnM n c z M则存在 使对所有的 有
0
0
1||| | | |,,
||
zz z q
z
如果 则 而
21
0
,nn
n
cz从而级数 是绝对收敛的
0
0
| | | |
n
n n n
nn
z
c z c z Mq
z
0
1
,n
n
Mq由于 为公比小于 的等比级数 故收敛
00
|| nnn
nn
c z Mq因此 亦收敛
22
0
,nn
n
cz矛盾 因此只能是 发散
00
0
,| | | |nn
n
c z z z如果级数 发散 且如果
0
,,nn
n
cz用反证法 设级数 反而收敛 则根据
0
0
,nn
n
cz前面的结论可导出 收敛 与所设
23
级数发散,
3,
对一个幂级数来说,它的收敛情况,
i) 对所有的正实数都是收敛的,这时,根据阿贝尔定理
ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的,这时,级数在复
iii) 既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数,设 z=a (正实数 )时,级数收敛,z=b (正实数 )时,
平面内除原点外处处发散,
可知级数在复平面内处处绝对收敛,
利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,
24
显然?<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色,
R
CR
O? b
C?
Cb
x
y
25
中心的圆域,在收敛圆上是否收敛,则不一定,
为中心,R为半径的圆周 CR,在 CR的内部都是红色,
外部都是蓝色,这个红蓝两色的分界圆周 CR称为幂级数的收敛圆,在收敛圆的外部,级数发散,收敛圆的内部,级数绝对收敛,收敛圆的半径 R称为收敛半径,所以幂级数 (4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域,对幂级数 (4.2.2)来说,收敛范围是以 z=a为当由 小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点?
26
例 1 求幂级数
n
n
n zzzz 2
0
1
2 111
1
,( )
n
n
n
zs z z z z
z
[解 ] 级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范围与和函数,
27
21 1
1
nz z z
z
2 111
1
,( )
n
n
n
zs z z z z
z
110
1| |,lim,lim,
n
nnnz z s z当 时 由于 从而有
1
11
1
| |,,n
n
zz
z
即 时级数 收敛 和函数为
1| |,,.nz n z当 时 由于 时 不趋于零 级数发散
1?| |,,z收敛范围为 在此范围内绝对收敛 并有
28
4.收敛半径的求法
[证 ] 由于 1
11| || |l i m l i m | | | | 1
| || |
n
nn
nnn
nn
c z c
zz
c z c
〈
定理 2 (比值法 )
1 0?
lim n
n
n
c
c
若?
1
,R
即 级数 0 nnn cz 在圆 1|| z 内 收敛,
，则收敛半径
29
1
11
1
1
| | | |l i m | | 1
| | | |
n
n
nn
n
cz z
cz
有一点 z0,使级数 收敛,在圆外再取一点
0
0
n
n
n
cz
z1:|z1|<|z0|,根据阿贝尔定理,级数 必收敛,
1
0
n
n
n
cz
再证 当时,级数 发散,假设在圆外
0
n
n
n
cz
1 1||z
1||z
然而,
所以
30
有一点 z 0,使级数 00 nnn cz 收敛的假定不能成立,
半径 1R
因而 在圆外发散,以上结果表明了收敛
0
n
n
n
cz
这跟 收敛相矛盾,即在圆周 外
1
0
| | | |nn
n
cz
1||z
31
R =?,如果? =+?,则对复平面内除 z =0 外的注意,定理中的极限是假定存在的且不为零,
也不能收敛,即 R=0.
如果?=0,则对任何 z,级数 收敛,
0
| || |nn
n
cz
从而级数 在复平面内处处收敛,即
0
n
n
n
cz
z,级数 都不收敛,因此
0
| || |nn
n
cz
0 nnn cz
32
定理三 (根值法 ) 如果
0||lim
n n
n
c则收 敛半径,
1?R
33
例 2 求下列幂级数的收敛半径
1) (并讨论在收敛圆周上的情形 );
3
1
n
n
z
n
2) (并讨论 z=0,2时的情形 );
1
( 1 ) n
n
z
n
3)
0
( c os ) n
n
in z
34
数,p = 3 > 1,所以原级数在收敛圆上是
[解 ] 1) 因为,3
1l im l im 1
2
n
nn
n
c n
cn
或
3 3
11l im | | l im l im 1n
n
n nn n nc n
n
所以收敛半径 R=1,也就是原级数在圆 |z|=1
内收敛,在圆周外发散,在圆周 |z|=1上,级数是收敛的,因为 这是一个 p级
33
11
1n
nn
z
nn
处处收敛的,
35
在收敛圆 | z? 1 |= 1 上,当 z =0 时,原级数成为
2),即 R=1.1l i m l i m 1
1
n
nn
n
c n
cn
,级数收敛 ; 当 z=2时,原级数成为
1
1( 1 ) n
n n
,发散,这个例子表明,在收敛圆周上
1
1
n n
即有级数的收敛点,也有级数的发散点,
36
11
1l im l im
nn
n
nnnn
n
c ee
e
c e e
3) 因为 1
c o s c h ( )
2
nn
nc i n n e e
所以故收敛半径 1
R e?
37
5,幂级数的运算和性质
2
0
1
0
,)(,,)( rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
数分别就是 f(z)与 g(z)的和,差与积,
在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函
38
00
0 1 1 0
0
12
( ) ( )
()
| |,m in (,)
nn
nn
nn
n
n n n
n
f z g z a z b z
a b a b a b z
z R R r r
00
0
( ) ( )
( ),| |,
nn
nn
nn
n
nn
n
f z g z a z b z
a b z z R
39
代换 (复合 )运算
0
01
| |,( ),| |,nn
n
z r f z a z z R如果当 时 又设在
这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,
有着广泛的应用,
( ) | ( ) |,| |,g z g z r z R内 解析且满足 则当 时
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
f g z a g z
40
例 4 把函数 表成形如的幂级数,
其中 a与 b是不相等的复常数,
bz?
1
0
)(
n
n
n azc
[解 ]
收敛半径为 R=|b?a|
41
O x
y
a
b
当 |z?a|<|b?a|=R时级数收敛
42
得到,即定理 4 设幂级数 的收敛半径为 R,则
0
() nn
n
c z a
1)它的和函数 是收敛圆 |z?a|<R
0
)()(
n
n
n azczf
2) f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导内的解析函数,
1
1)()(
n
n
n aznczf
43
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即
1
0 1
( ) d ( )z nn
a n
cf z a
n或
0
( ) d ( ) d,| |nn
nCC
f z z c z a z C z a R
第四章 解析函数的级数表示
复数项级数幂级数复级数复变函数项级数 泰勒级数——单连域洛朗级数——双连域
2
成立,则 a称为复数列 {an}当 n时的 极限,记作
lim nn aa
此时也称复数列 {an}收敛 于 a.
一,复数列的极限：
1.定义,
又设 a=a+ib 为一确定的复数,如果任意给定 >0,?
相应地能找到一个正数 N( ),使 |an-a|< 在 n>N时
设 {an}(n=1,2,...)为一复数列,其中 an=an+ibn,
第一节 复数项级数
3
定理 1 复数列 { n}(n=1,2,...)收敛于 的充要条件是
li m,li mnnnna a b b
l i m,l i m,nnnna a b b所以 同理
[证 ]如果,则对于任意给定的,
lim nn
0
就能找到一个正数 N,当 n>N 时,
2.判定与计算,
| ( ) ( ) |nna ib a ib
| | | ( ) ( ) |n n na a i b b则
4
反之,如果
lim,nn所以
l i m,l i mnnnna a b b
22
,,,| |,| |
nnN n N a a b b时
| | | ( ) ( ) | | | | |n n n n na a i b b a a b b
从而有则
5
设 { n }={an+ibn}为一复数列,表达式
n
n
n 21
1
1
{ },.nn
n
s?如果数列 不收敛 则级 称为 发散数称为级数的 部分和,如果部分和数列 {Sn}收敛,
Sn=a1+a2+...+an
称为 无穷级数,其最前面 n项的和
1
,lim,nn
nn
ss?则级数 称为收敛 并且极限 称为级数的和
3.级数概念,?
6
和 {tn}的极限存在,即级数
1n
na
1n
nb
1n
na?
1n
nb
和
[证 ] 因 Sn=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,
其中 sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为的部分和,由定理 1,{Sn}有极限存在的充要条件是 {sn}
注,将复数项级数的审敛转化为实数项级数的审敛问题,
1n
n
1n
nb
定理 2 收敛的充要条件是级数
1n
na
和 都收敛
4.判定与计算,
和 都收敛,
7
1
0
lim,nn
nn
收敛的必要条件是
11
nn
nn
ab而由实数项级数 和 收敛的必要条件
00l i m l i m,nnnnab和
0l i m,nn立即可得 从而推出复数项级数定理 3
1
0
lim,nn
nn
收敛的必要条件是证明,
8
定理 4
11
| |.nn
nn
2 2 2 2| |,| |
n n n n n na a b b a b而
[证 ]
11
| |,,nn
nn
如果 收敛 则 也收敛 且有不等式
22
11
| |,n n n
nn
ab由于
9
1 1 1 1
li m li m | | | |
nn
k k k knn
k k k k
或
.非绝对收敛的收敛级数 为 条件收敛级数称
11
| | | |,nn
nn
ab可知级数 及 都收敛 因而
1 1 1
,.n n n
n n n
ab和 也都收敛 则 是收敛的?
11
| |,
nn
kk
kk
而又因 因此
11
| |,.nn
nn
如果 收敛 则 绝称级数 对收敛
10
11
,nn
nn
ab与 绝对收敛
22| | | |,
n n n na b a b由于 因此
22
1 1 1
| | | |,n n n n
n n n
a b a b
1 1 1
,,n n n
n n n
ab所以当 与 绝对收敛时 也绝对收敛?
1
n
n
因此 绝对收敛?
注,因为 的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定,
1
||n
n
11
例 1 下列数列是否收敛? 如果收敛,求出其极限,
111
);
i
n
n en
[解 ] 1) 因
111
l i m,
i
n
nnen数列 收敛,且 有
1111
c os si n
i
n
n ein n n n
1111
c os,si n,nnab n n n n
10l i m,l i mnnnnab
12
2) c osn n in
解,由于 an=n cos in=n ch n,因此,当 n时,
an,所以 an发散,
13
例 2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
1 0 1
1 ( 8 ) ( 1 ) 1
1 ) 1 ; 2 ) ; 3 )
!2
nn
n
n n n
ii
i
n n n n
[解 ] 1) 因 发散 ; 收敛,
11
1
n
nn
a n
2
11
1
n
nn
b n
故原级数发散,
14
2) 因,由正项级数的比值审敛法知( 8 ) 8
!!
nni
nn
01
8 1 123
2
( ) ( )) ; )!
nn
n
nn
i i
nn
1
( 1)n
n n
1
1
2nn
3)因 收敛 ; 也收敛,
1
8
!
n
n n
收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛,
1
( 1) n
n n
为条件收敛,所以原级数非绝对收敛,
故原级数收敛,但
15
§ 2 幂级数
16
1.幂级数的概念 设 {fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数
)1.2.4()()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
称为这级数的 部分和,
称为 复变函数项级数,最前面 n项的和
Sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
序列,其中各项在区域 D内有定义,表达式
17
如果对于 D内的某一点 z0,极限
00lim ( ) ( )nn S z S z
1
()n
n
fzS(z)称为级数 的 和函数,
存在,则称复变函数项级数 (4.2.1)在 z0收敛,
而 s(z0)称为它的 和,如果级数在 D内处处收敛,
则它的和一定是 z的一个函数 S(z):
S(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+.
..
18
就得到函数项级数的特殊情形,
2
0 1 2
0
nnnn
n
c z c c z c z c z或
2
0 1 2
0
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
n
c z a c c z a c z a c z a
这种级数称为 幂级数,
当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=cn-1zn-1时,
(4.2.3)
(4.2.2)
19
定理 1 (阿贝尔 Abel定理 )
.级数必发散
y
z0
xO
则
0?zz如果在
0 0( ),zz 收敛
0
nn
n
cz如果级数 在
0,| | | |,,z z z 级数必绝对收敛
0?,| | | |,z z z级数发散 则对满足 的
2.判断与计算
20
[证 ]
0
0
| | | |
n
n n n
nn
z
c z c z M q
z
00
0
0
,lim,nnnn
nn
c z c z因 收敛 则
0?|| nnM n c z M则存在 使对所有的 有
0
0
1||| | | |,,
||
zz z q
z
如果 则 而
21
0
,nn
n
cz从而级数 是绝对收敛的
0
0
| | | |
n
n n n
nn
z
c z c z Mq
z
0
1
,n
n
Mq由于 为公比小于 的等比级数 故收敛
00
|| nnn
nn
c z Mq因此 亦收敛
22
0
,nn
n
cz矛盾 因此只能是 发散
00
0
,| | | |nn
n
c z z z如果级数 发散 且如果
0
,,nn
n
cz用反证法 设级数 反而收敛 则根据
0
0
,nn
n
cz前面的结论可导出 收敛 与所设
23
级数发散,
3,
对一个幂级数来说,它的收敛情况,
i) 对所有的正实数都是收敛的,这时,根据阿贝尔定理
ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的,这时,级数在复
iii) 既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数,设 z=a (正实数 )时,级数收敛,z=b (正实数 )时,
平面内除原点外处处发散,
可知级数在复平面内处处绝对收敛,
利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,
24
显然?<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色,
R
CR
O? b
C?
Cb
x
y
25
中心的圆域,在收敛圆上是否收敛,则不一定,
为中心,R为半径的圆周 CR,在 CR的内部都是红色,
外部都是蓝色,这个红蓝两色的分界圆周 CR称为幂级数的收敛圆,在收敛圆的外部,级数发散,收敛圆的内部,级数绝对收敛,收敛圆的半径 R称为收敛半径,所以幂级数 (4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域,对幂级数 (4.2.2)来说,收敛范围是以 z=a为当由 小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点?
26
例 1 求幂级数
n
n
n zzzz 2
0
1
2 111
1
,( )
n
n
n
zs z z z z
z
[解 ] 级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范围与和函数,
27
21 1
1
nz z z
z
2 111
1
,( )
n
n
n
zs z z z z
z
110
1| |,lim,lim,
n
nnnz z s z当 时 由于 从而有
1
11
1
| |,,n
n
zz
z
即 时级数 收敛 和函数为
1| |,,.nz n z当 时 由于 时 不趋于零 级数发散
1?| |,,z收敛范围为 在此范围内绝对收敛 并有
28
4.收敛半径的求法
[证 ] 由于 1
11| || |l i m l i m | | | | 1
| || |
n
nn
nnn
nn
c z c
zz
c z c
〈
定理 2 (比值法 )
1 0?
lim n
n
n
c
c
若?
1
,R
即 级数 0 nnn cz 在圆 1|| z 内 收敛,
，则收敛半径
29
1
11
1
1
| | | |l i m | | 1
| | | |
n
n
nn
n
cz z
cz
有一点 z0,使级数 收敛,在圆外再取一点
0
0
n
n
n
cz
z1:|z1|<|z0|,根据阿贝尔定理,级数 必收敛,
1
0
n
n
n
cz
再证 当时,级数 发散,假设在圆外
0
n
n
n
cz
1 1||z
1||z
然而,
所以
30
有一点 z 0,使级数 00 nnn cz 收敛的假定不能成立,
半径 1R
因而 在圆外发散,以上结果表明了收敛
0
n
n
n
cz
这跟 收敛相矛盾,即在圆周 外
1
0
| | | |nn
n
cz
1||z
31
R =?,如果? =+?,则对复平面内除 z =0 外的注意,定理中的极限是假定存在的且不为零,
也不能收敛,即 R=0.
如果?=0,则对任何 z,级数 收敛,
0
| || |nn
n
cz
从而级数 在复平面内处处收敛,即
0
n
n
n
cz
z,级数 都不收敛,因此
0
| || |nn
n
cz
0 nnn cz
32
定理三 (根值法 ) 如果
0||lim
n n
n
c则收 敛半径,
1?R
33
例 2 求下列幂级数的收敛半径
1) (并讨论在收敛圆周上的情形 );
3
1
n
n
z
n
2) (并讨论 z=0,2时的情形 );
1
( 1 ) n
n
z
n
3)
0
( c os ) n
n
in z
34
数,p = 3 > 1,所以原级数在收敛圆上是
[解 ] 1) 因为,3
1l im l im 1
2
n
nn
n
c n
cn
或
3 3
11l im | | l im l im 1n
n
n nn n nc n
n
所以收敛半径 R=1,也就是原级数在圆 |z|=1
内收敛,在圆周外发散,在圆周 |z|=1上,级数是收敛的,因为 这是一个 p级
33
11
1n
nn
z
nn
处处收敛的,
35
在收敛圆 | z? 1 |= 1 上,当 z =0 时,原级数成为
2),即 R=1.1l i m l i m 1
1
n
nn
n
c n
cn
,级数收敛 ; 当 z=2时,原级数成为
1
1( 1 ) n
n n
,发散,这个例子表明,在收敛圆周上
1
1
n n
即有级数的收敛点,也有级数的发散点,
36
11
1l im l im
nn
n
nnnn
n
c ee
e
c e e
3) 因为 1
c o s c h ( )
2
nn
nc i n n e e
所以故收敛半径 1
R e?
37
5,幂级数的运算和性质
2
0
1
0
,)(,,)( rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
数分别就是 f(z)与 g(z)的和,差与积,
在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函
38
00
0 1 1 0
0
12
( ) ( )
()
| |,m in (,)
nn
nn
nn
n
n n n
n
f z g z a z b z
a b a b a b z
z R R r r
00
0
( ) ( )
( ),| |,
nn
nn
nn
n
nn
n
f z g z a z b z
a b z z R
39
代换 (复合 )运算
0
01
| |,( ),| |,nn
n
z r f z a z z R如果当 时 又设在
这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,
有着广泛的应用,
( ) | ( ) |,| |,g z g z r z R内 解析且满足 则当 时
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
f g z a g z
40
例 4 把函数 表成形如的幂级数,
其中 a与 b是不相等的复常数,
bz?
1
0
)(
n
n
n azc
[解 ]
收敛半径为 R=|b?a|
41
O x
y
a
b
当 |z?a|<|b?a|=R时级数收敛
42
得到,即定理 4 设幂级数 的收敛半径为 R,则
0
() nn
n
c z a
1)它的和函数 是收敛圆 |z?a|<R
0
)()(
n
n
n azczf
2) f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导内的解析函数,
1
1)()(
n
n
n aznczf
43
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即
1
0 1
( ) d ( )z nn
a n
cf z a
n或
0
( ) d ( ) d,| |nn
nCC
f z z c z a z C z a R
