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主讲：周自刚 Ph.D.
西南师范大学光电所
Email:zigzhou@163.net
2
第二章 光的衍射
2-1 光的衍射现象 惠更斯 -菲涅耳原理
* 光的衍射现象波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为衍射现象。
S
A
B
E
S
A
B
E
'b
b
a
'a
3
* 惠更斯 -菲涅耳原理
r
dSdSrtFCpdE )](2c os [)()(
0
SS r
dSdSrtFCpdEpE )](2co s [)()()(
0
菲涅耳衍射积分公式：
对于点光源发出的球面波，初相位可取为零，且倾斜因子
2
c o s1)(F
它说明子波为什麽不会向后退。
p
r?
n?
光源 S
dS
4
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
* 衍射的分类
菲涅耳衍射
夫琅和费衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离为 有限 远。
光源 — 障碍物 — 接收屏距离为 无限 远。
5
除干涉现象外，波动的另一重要特征是衍射现象，本节首先对光的衍射现象作较充分的介绍，然后阐明衍射问题的理论基础 ----惠更斯 -菲涅耳原理。
1 光的衍射现象在日常生活的经验中，人们对水波和声波的衍射是比较熟悉的。在房间里，
人产即使不能直接看见窗外的发声的物体，却能听到从窗外传来的喧闹声。在一堵高墙两侧的人，也都能听到对方说的话这些现象表表，声波能绕过障碍物传播，
也就是说，当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播。这种现象叫 波的衍射 。
在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉。与此相反，光的直线传播行为给人们的印象却很深。这是由于光的波长很短，
以及普通光源是不相干的面光源，以上两方面的原因使得在通常的条件下的光的衍射现象 很不显著。只要我们注意到这些，在实验室的条件下采用高亮度的相干光或普通的强点光源，并保证屏幕的距离足够大，是可以将光的衍射现象演示出来的。
6
此外我们还能看到，衍射击不仅使物体的几何阴影失去了清晰的轮廓，而且在边缘附近还出现一系列吸暗相间的条纹，这些现象表明，在几何阴影区和几何照明区光强都受到了衍射效应的影响而发生重新分布，衍射不简单是偏离真线传播的问题，看来它与某种复杂的干涉效应有联系 。 这里有几组光波衍射的演示实验，
以便使读者对衍射现象的物点得到某些带有规律性的认识。
单缝的衍射 用一束激光照射在一个宽度可调节器的竖直单缝上，在数米外放置接收屏幕。右图便是一系列这样的衍射图样，其中从（ a)到 (d)对应缝宽从大变小，当狭缝较宽时，对入射光束未加限制，幕上出现一个亮斑，它是入射光束沿直线投射的结果，可以说，此时衍射效应极不明显。收缩缝宽，使之对光束左右两侧施加越来越大的限制时，幕上的光斑将向左右两侧水平方向铺展，同时出现一系列亮暗相间的结构，其中中央亮斑强度最大，两侧递减，可以说，此时衍射击现象相当明显，随着狭缝进一步充窄，中央亮斑不断沿水平方向扩展，两侧亮斑向外地人疏散，最后当狭缝很窄时，中央亮斑已扩展为一条水平细带，在整个视场内不再察觉到光强的周期性起伏，可以说，这时衍射已向散射过渡，当然，在狭缝收缩的过程中，幕上光强总的来说是变得越来越暗淡了。不的衍射效应是否明显，除了光孔的线度外，还与观察的距离和方式，光源的强度等多方面的因素有关。
7
用激光来演示上列现象时,ρ 的数量级大体可如下划分,衍射效应不明显 衍射效应明显 向散射过渡 (2)从矩孔到圆孔的衍射如果转动上述实验中的狭缝，则衍射图样式也随之转动，而其延伸的方向总保持与缝的走向正交，如果我们把缝的长度也缩小，使之成为矩孔，从相互垂直的两个方向上来限制光束，则衍射图样也沿相互正交的两个方向延伸，如果采用三角形孔，衍射图样将沿六个方向扩展。可以想到，随着多边数的增加，衍射图样向外扩展的方向也增加。圆形相当于多边形边数趋于无穷的极限，圆孔的衍射图样过渡过到一系同心环。 将双上各个实验归纳起来，可以看出衍射现象具有如下鲜明的特点：第一，光束在衍射屏上的什么方位受到限制，遇接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展；第二，光孔线度越小，对光束的限制越厉害，则衍射图样越加扩展，即衍射效应越强，以后我们将证明，光孔的线度与衍射图样的扩展之间存在着反比关系，对上述特点的理论解释，将在今后的章节里陆续阐明。
8
9
6.1 实验现象在点光源（或激光束）的照明空间中插入带圆孔的衍射屏，在较远的接收屏幕上就可看到清晰的衍射图样。对于可见光，实验装置的数据一般可取：
圆孔半径 毫米的量级； ρ---毫米的量级 ;
光源到圆孔的距离 米的量级； R---米的量级 ;
接收屏幕到圆孔的距离 b---3m-5m
衍射花样是以轴上场点 P0为中心的一亮暗相间的同心圆环，中心点可能是亮的，与右能是暗的。如果我们用可调的光阑作实验，
在孔径变化的过程中，可以发现衍射击图样的中心亮暗交替变化。
我们还可在保持孔径 ρ 不变的情况下移动屏幕，在此过程中也可观察到衍射图样中心的亮暗交替变化。不过中心强度随 ρ 的变化是很敏感的，而随 b的变化则是相当迟缓的。
如果用圆屏代替上述实验中的圆孔我们观察到的衍射图样也是同心圆环。与圆孔情形显著不同的是，无论改变半径 ρ 不是距离 b,衍射击图样的中心总是一个亮点。 1818年巴黎科学院曾举行一次规模很大的科学竞赛，当时参加竞赛
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评比委员会的有多位著名学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松等是光的微粒说的积极拥护者，竞赛题目的具体表达方式带有明显的有利于微粒说的倾向性。然而，菲涅耳阐述的次波相干迭加的新观点具有极大的说服力，使用反对派也马上接受了。会后泊松又仔细地审核菲涅耳理论，并用圆盘衍射，导致圆盘中心轴线上应有亮斑这样一个当时看来似乎不可思议的结论。过后不久，在实验中果真发现了这一惊人现象。这一发现对光的波动理论和惠更斯 --菲涅耳原理是十分有力的支持。
11
2 半波带法半波带法是处理次波相干迭加的一种简化方法。菲涅耳的衍射公式本要求参波前作无限分割，半波带法则用较粗糙的分割来代替，
从而使式中的积分化为有限项求和。此法虽不够精细，但可较方便函地得出衍射图样的某些定性特征，故为人们所喜用。取波前 Σ 以点源为中心的球面（等相面），设其半径为 R，其顶点 O与场院点 P0
为中心，分别以 b+λ /2,b+λ,b+3λ /2 b+2λ,…… 为半径作球面，
将波前 Σ 分割为一系列环形带，由于这些环形带的边缘点 O,M1，
M2,M3,M4…… 到 P0的光程靛个相差半个波长，故称之为 半波带 。
用 代表各半波带发出的次波在 P0点产生的复振幅，由于相邻半波事业贡献的复振幅度中位相差 π 即
12
故 P0点菲的合成复振幅为
13
14
下面们来比较 A1,A2,A3......各振幅的大小,惠更斯 -菲涅耳原理告诉我们，
现在让我们回到式,式中各项加减交替,可用图中上下交替的知量来表晃,为了能让人看得清,图中的知量故意画得彼此错开,由图可见,合成振幅为 先看自由传播情形,这时整个波前裸露,最后一个半波带上,从而,于是非曲直也就是,自由传播时整个波前在 P0产生的振幅是第一个半波带的效果之半,
再看圆孔衍射设想在波前上放一带圆孔的屏,当孔的大小刚好等到于第一个半波带时,即中心是亮点,若孔中包含两个半波带时,
中心是暗点,一般说来,当圆孔中凶含水量厅数个半波带时,中心是亮点 ;包含偶数个半波带时,中心是暗点,这就解释了衍射图样 中心强度随孔径 ρ 的增大这时暗交替变化的现象,叫心强度随时距离 b变分的现象也是不难解释的,
最后们看圆屏衍射,设贺屏遮住前 k个半波带,则可见,无论 k是奇是偶,中心总是亮的,这样,我们便用半波带法解释了圆孔 \贺屏衍射击的一些主要特征。
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菲涅耳波带片个半波带的半径 如果用平行光照明圆孔，则 我们可做一块如图所示的透明板，在其上按照上式给予出的比例子画出各半波带，并将偶数或奇数的半波带涂黑，这就构成一块波带片，称为菲涅耳波带片，它右使轴上一定距离的场点光强增加很多倍,波带片与透镜相比，具有大面积、轻便、
可折叠等到优点，特别适宜于远程光通讯、光测距和宇航技术中。古老的菲涅耳波带片一度曾为们所淡忘。现代变换光学的兴起唤韦了人们对它的兴趣。现在可以说，利用衍射击规律有意地改变波前，以造成人们所需的衍射击场，这在经典光学中菲 涅耳波带片是一篇杰作，它属于振幅型黑白光学波带片。现代的品种已相当繁多，有振幅度型 的，也有位相型的；有黑白的，也有正弦的；除光学外，还有声波和微波的波带片，等等。
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2-2 单缝和圆孔的夫琅和费衍射
* 单缝夫琅和费衍射
S
1L
A
2L
E
Y
Y
X
X
光源在透镜 L1的物方焦平面 接收屏在 L2象方焦平面
17
2
C
A
B
3A
1A
2A
# 菲涅耳半波带法
18
# 菲涅耳半波带法
E
A
B
单缝
f
x
o
p
3A
1A
2A
a
A
B
3A
1A
2A
C
将波面分成整数个波带，各波带面积相等，相邻波带的相位差为,则：?
2/2s in ka?
2/)12(s in ka
暗纹中心明纹中心
2,1k
结论：
19
a/s in
中央两侧第一暗条纹之间的区域,称做零极（或中央）
明条纹,它满足条件：
中央明条纹的 半角宽 为：
s ina
sin
a
a
5.1? a?2
I
o
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
2/2s in ka?
2/)12(s in ka
2,1k
暗纹中心明纹中心
X
光强
20
E
A
B
单缝
f
x
o
p
a
条纹在接收屏上的位置 afkx /
afkx 2/)12(
暗纹中心明纹中心?2,1k
afx /2
屏幕上中央明条纹的线宽度为：（焦距 ）f
a/s in
因为中央明条纹 半角宽,
21
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
afkx /由微分式 看出缝越窄（ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
几何光学是 波动光学在时的极限情况。a
当 或 时会出现明显的衍射现象。?aa
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
结论
22
# # 振幅矢量图法：
A
B
3A
1A
2A
C
N
i
iAA
1
N
NAR 1? )
2/()2s i n ()2s i n (2 1
NNNANRA
将 AB波面等分成 N份，相邻两波面的光程差,Na /s in
)/2(相位差,
o
R
L
M
p
N
NiA?
A?
s i n
2
aNu引入：
uuNAA /s i n1?
23
uuNAA /s i n1?
当 时，,,中央明条纹中心 O
处的光强：
0 0?u 1/s in?uu 1NAA?
2120 ANI?
2
0
)s in(
u
u
I
I?则屏幕上 P 点的光强 为：2AI?
它给出单缝衍射图样相对光强分布情况。 暗条纹中心位置满足,
3,2,/s in au
即,与半波带法结果相同。?,2,1,s in kka
光强极大的地方应满足,
0)s in( 2
2
u
u
du
d
du
dI
即,uu?ta n
47.3,46.2,43.1,0u
24
47.3,46.2,43.1,0u
各级明条纹的光强比为：
0083.0:017.0:047.0:1::,3210?IIII
可见单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处除零级外，其它明条纹中心位置与半波带法结果略有不同。
u?2
43.1o
I
u
uy ta n?
uy?
43.1
2
43.1t a n uu
25
单缝衍射的强度公式考虑点光源照明是单缝的夫琅和费衍射，取坐标系如图,z轴沿光轴，
y轴沿狭缝的走向,x轴与之垂直，如图所述，衍射只在 x-z面内进行，计算光程时，我们只需作 x-z平面图。按惠更斯 -菲涅耳原理，
我们把缝内的波前 AB分割为许多等宽的窄条 △ S，它们是振幅相等到的次波源，朝多个方向发出次波。由于接收屏幕位于透镜 L2的像方焦面上，角度 θ 相同的衍射击线会聚于幕后上同一点。设入射击光与光轴平行，则在波面 AB上无位相差，为求单缝隙上下边缘 A，
B到 P0的衍射线间的光程差，只需自 A引这组衍射线的垂线，它与自 B
发出的衍线相遇于 N,即 为所求的光程差。设缝宽为 a，
则 波前上介于 A,B各点发出衍射线的江程式可据此按比例推算。
振动的合成可用矢量图解和复数积分两种方法计算。
26
（ 1）矢量图解法如右图，由 A点作一系列等长的小矢量首尾相接，
逐个转过一个相同的小角度，最后到达 B点，共转过的角度为这时每个小矢量代表波前上一窄条△ S对 P0处振动的贡献。取△ S→0 的极限后，由小矢量连成的折线化为圆弧，设此弧的圆心在 C点，半径为
R，圆心角为 2a，显然后 2a=δ 。整个缝宽在 P0
处产生的合成振幅 A0等于弦长,由图不难看出：,而 故现在看弧长 的物理意义。设相民将此弧舒展开来，成为一条直线。在傍轴条件下忽略倾斜因子 f(θ )的影响,此直线的长度就代表 θ =0(即在幕中心 P0点 )的振幅度 A0.于是我们可得到
，其中 前两式的平方得这就是单缝的夫琅和费衍射的强度分布公式,衍射场中相对强度 等于,这个因子称为单缝衍射因子,
(2)复数积分法在傍轴条件下,按菲涅耳 --
基尔霍夫公式式中 r是波前上坐标为 x的点
Q到场点心的光程,由图可知光程差为 它与 y无关,在正入射的情况下一步是与 x,y
都无关的常数,将式中先对 y
积分,并把所有与 x无关的因子归并到一个常数 C中,于是得
27
单缝衍射因子的特点单缝衍射强度分布与单缝衍射因子有关，研究这个函数的性质和特点。图 7-7虚线是振幅因子的曲线，实线是强度因子的曲线，其中,曲线是以为横坐标画出的。由图知，在单缝衍射的强度因子中心 的地方的有个主极大，两侧都有一系列次极大和极小，它们分别代表衍射图样中主极强、次极强和暗纹的位置。下面有一些讨论。
(1)主极强 ----零级衍射斑主极强出现在 a=0的地方,a=0相当于各衍射之间无光程差。根据费马原理，这说是几何光学像点的位置。在这里我们看到了,物像等兴程性,的物理意义。几何光学中着重从保持光束的同心性方面研究成像问题，从波动光学的角度说，光线会聚于一点，未必产生很大的光强，这里还需看各光线的位相关系。正是等到光程性保证了到达像点各光线有相同的位相，从而产生最大的强度，费马原理中所谓的,实际光线,就是零级衍射线，而零级衍射斑的中心就是几何光学的像点，这是具有普遍意义的结论。利用它我们可以找到零级衍射斑的位置。
（ 2）次极强 ----高级衍射斑
28
次极强出现在 的位置上，它们是超越方程 的根，其数值为 对应的 sinθ 值为各次可见高级衍射斑的强度比零级少得多。这里未考虑倾斜因子的作用，考虑到它，高级衍射斑的强度还要进一步减小，故经衍射后，绝大部分光能集中在零级衍射斑内。
（ 3）暗斑位置由单缝衍射因子的函数形式立即看出，它在 而 sin=0的地方等于 0，这就是说暗纹出现在下列地方：
（ 4）亮斑的角宽度我们规定，以相邻暗纹的角距离作为其间亮斑的角宽度。在傍轴条件下，式子可写成 由此可以看出，
零级亮斑在 之间，它的半角宽为等于其它亮斑的角宽度，亦即零级亮斑的角度比其余的大一倍。这特点在衍射图样中反映出来。
29
如前所述，零级亮斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度的大小可作为衍射效应强弱的标志。式子告诉我们，
对于给定的波长，△ θ 与缝宽在反比，即在波前上对光束限制越大，衍射场越弥散，衍射斑铺开得越宽；反之，
当缝宽很大，光束几乎自由传播时 △ θ →0,这表明衍射场基本上集中在沿直线传播的原方向上，在透镜焦面上衍射斑收缩为几何光学像点。式还告诉我们，在保持缝宽不变的条件下，△ θ 和 λ 成反比，波长越长，衍射越显著；波长越短，衍射效应越可忽略，所以说，几何光学是短波的极限。
30
* 圆孔夫琅和费衍射
S
1L
光源
R
障碍物因为大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形，圆孔的夫琅和费衍射对成象质量有直接影响。
DR /22.1/61.0s i n 00
中央是个明亮的圆斑，外围是一组同心的明环和暗环。
E
接收屏
2L
f
中央明区集中了衍射光能的 %5.83
第一暗环对应的衍射角 称为 爱里斑的半角宽,
（它标志着衍射的程度）理论计算得,0
Dffr /22.100
式中 为圆孔的直径，若 为透镜 的焦距
，则爱里斑的半径为：
fRD 2? 2L
31
32
例题：在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径 R1=0.1mm
透镜 L2的 焦距 f =50cm,所用单色光波长,
试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用
R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？
这两个爱里斑的半径上平均光强的比为多少？
nm500
E
接收屏
2L
f
R
障碍物
S
1L
光源爱里斑圆孔
33
Dffr /22.100
解：因为所以：
mr 33
29
01 105.1101.02
10501050022.1?
2101 RIP
mr 43
29
02 105.1100.12
1050105 0 022.1?
设入射光的能流密度为 (即光强），则穿过半径为 R1和 R2
圆孔的光能流分别为,0
I
2202 RIP
设圆孔半径 R1=0.1mm,L2的 焦距 f =50cm,
试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用
R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？
这两个爱里斑的半径上平均光强的比为多少？
nm500
34
2222121 10// RRPP
爱里斑上集中了衍射光能的 83.8%,所以爱里斑上平均光强之比为：
4
2
022
2
011
02
01 10
/%8.83
/%8.83
rP
rP
I
I
110?可见，爱里斑半径缩小 倍（ ），
但爱里斑上平均光强却增大 倍。 10/ 0201?rr410
本节要点,
2,1k
2/2s in ka?暗纹中心衍射方向满足
afkx /
暗纹中心在屏上位置衍射角?
Dffr /22.100
爱里斑的半径
35
提纲
2-3 光学仪器的分辨本领
* 瑞利判据
* 人眼、显微镜、照相物镜的分辨本领
2-4 衍射光栅
* 光栅
* 光栅衍射图样
* 光栅衍射图样的几点讨论
36
2-3 光学仪器的分辨本领
* 瑞利判据光学仪器对点物成象是一个有一定大小的爱里斑一个透镜成象的光路可用两个透镜的作用来等效，
如图所示：
点物 S
象 S’
L
点物 象
L2L1
f2f1
A
37
点物就相当于在透镜 L1物方焦点处，经通光孔径
A，进行夫琅和费衍射，在透镜
L2的象方焦点处形成的中央零级明斑中心。
a
仅当通光孔径足够大时，
爱里斑才可能很小。
点物 象
L2L1
f2f1
A
38
同上所述，点物 S和
S1 对透镜中心 O 所张的角?，等于它们分别相应的中央零级衍射中心 S’,S1’对 O
所张的角。
S1’
S’
S1
S
L2L1
A
f1
f2
O
S1
S S’
S1’L
O
如图所示，是可分辨这两个物点的。
当两个物点距离足够小时，就有能否分辨的问题。
39
瑞利给出恰可分辨两个物点的判据：
点物 S1的爱里斑中心恰好与另一个点物 S2的爱里斑边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点。
S1
S2
S1
S2
S1
S2 可分辨恰可分辨不可分辨
100%
73.6%
40
41
满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离。对透镜中心所张的角称为最小分辨角。
=1.22?/D
光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的 分辨本领 。
* 人眼、显微镜、照相物镜的分辨本领
## 人眼设人眼瞳孔直径为 D，
玻璃体折射率为 n’，
可把人眼看成一枚凸透镜，焦距只有 20毫米,其成象实为夫琅和费衍射的图样。
y
n=1 n'=1.336
'
L
1
2
1'
2'
42
y
n=1 n'=1.336
'
L
1
2
1'
2'
’=1.22?’/D
=1.22?/(n’D)
由瑞利判据得：
折射定律：
)'s i n (')s i n ( nn
)'(')( nn
DnnDnnn /22.1)/'('/22.1/''
=1.22?/D 所以：
为眼外两个恰可分辨的物点对瞳孔中心所张的角，称为眼外最小分辨角。
43
## 显微镜的分辨本领
y
-u
根据几何光学理论、
衍射理论和瑞利判据可以得出显微镜最小可分辨间距为：
un
y
s i n
61.0
式中 u 是物镜半径对物点的张角
n?sin u被称为物镜的数值孔径简写为,N.A.
油浸显微镜、紫外显微镜和电子显微镜具有更高的分辨本领就是因所用光波波长短或物方折射率高的缘故。
44
## 照相物镜的分辨本领
y'= f''=f'(1.22?/D) D是物镜的有效孔径；
一般对远近不同物体拍摄时，其象距总是和镜头焦距
f ’很接近，类似人眼的讨论，物镜恰可分辨的两个象点的最小间距为：
照相机底片处每毫米所能分辨的最多刻线数为：
N=1/?y'
D/f ’ 称为物镜的相对孔径。其倒数俗称 光圈一般的胶卷颗粒大小只能分辨每毫米 200刻痕左右，这相应使用光圈为 8,来拍摄所能分辨的刻痕数。
45
衍射光栅
* 衍射光栅
d=a+b
光栅常数 d 的数量级约 10-6 米透射光栅
A
a
b
P
O
f
46
47
48
图中给出了不同数目的狭缝在幕上形成衍射花样的照片,其中图 (a)
是 点光源 照明的 ;图 (b)是 缝光源 照明的,
（ a） 点光源 (b)缝光源
49
50
51
52
53
54
55
* 光栅衍射图样
## 单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直与透镜 L
的光轴方向上的位置无关 。
衍射角相同的光线，
会聚在接收屏的相同位置上。
Oa?
Oa?
换句话说,单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。
56
## 多缝干涉若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。各狭缝上的子波波源一一对应,且满足相干条件。
相邻狭缝对应点在衍射角? 方向上的光程 差满足：
FG=(a+b)sin?=k?
多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹
A
a
b
P
O
f
E
FG
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，
条纹就越明亮。
57
### 光栅衍射光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波彼此相干叠加而形成。因此，它是单缝衍射和多缝干涉的 总效果 。
sin?
I
sin?
I
多缝干涉单 缝衍射
58
### 光栅衍射每个单缝的衍射光强决定于来自各单缝的光振幅矢量 Ai
的大小，它随衍射角?而变化。
而多缝干涉主极大的光强决定于 N·Ai
受 Ai 大小 的制约。
因此，光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。
59
60
# 主极大明条纹中心位置,
(a+b)sin?=k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
a ·sin?=k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
# 缺极时衍射角同时满足：
(a+b) ·sin?=k? k=0,± 1,± 2,· · ·
即,k =(a+b) /a· k' k 就是所缺的级次
61
# 相邻主极大明条纹的角间距,
k
k
k
k dd
k
co s
)
co s
( 1
光栅常数越小，条纹分布就越稀疏；反之越密。
k
k ba
k
co s)(?
# 相同级次的各色光，其衍射角展开的宽度随着级次 k的增高、衍射角的增大而增加：
Nd kk?
co s
缝数 N越多，
条纹越细锐。
# 主极大的半角宽：
所以，级次高的 光谱中发生重叠。
62
63
64
65
光谱的角色散 D
光栅光谱光谱学方法随着能量范围的变化相应地发展各种波谱学技术。下面讨论光谱的三个要素：
k
c o n s tk d
kD
co s
|?
kd s in对光栅公式,取微分：它表征着，同一级光谱中单位波长间隔的两条谱线散开角度的大小。
角色散 D 与光栅常数 d 成反比；与光谱级次 k成正比。
k 越大,越大,越小，角色散 D 也越大 。
k? k?co s
棱镜光谱 只有按波长次序的一个单一的排列，无级次可分，
称之为 零级光谱 。
66
光栅的色散本领和色分辨本领
(1)色散本领实际中很关心的问题之一，是对于一定波长差 δλ的两条谱线,
其角间隔 δθ或在幕上的距离 δ l有多大,这就是仪器的色散本领问题,角色散本领 定义为,Dθ ≡ δθ/δλ,线色散本领 定义为,Dl≡ δ l/δλ设光栅后面聚焦物镜的焦距为 f,则 δ l=fδθ,所以线色散本领与角色散本领之间的 关系 是,Dl=fDθ,
现在来计算光栅的色散本领,仍从光栅公式出发,取它两端的微分,得 光栅的角色散本领,Dθ =k/d·cosθ k 和 线色散本领,Dl=fk
/d·cosθ k.上面的结果表明,光栅的角色散本领与光栅常数 d成反比,
与级数 k成正比,此外,线色散本领还与集中 f成正比,但色散本领与光栅中衍射单元的总数 N无关,为了增大角色散本领,近代光栅的缝是很密的每毫米数百条到上千条,为了增大线色散本领,光栅的集中
f常达数米,这样其线色散本领 Dl可达 0.1--1mm/埃以上,
67
(2)色分辨本领如图 2-2所示,在 (a),(b),(c)三种情形里的色散本领都一样,
即波长分别为 λ 和 λ '=λ +δλ的两条谱的角间隔 δθ一样,但每条谱线的半角宽度△ θ 不同,在图 (a)中△ θ > δθ,两条谱线的全成强度如粗谱线无异,因此无法分辨它们本来有两条谱线,在图 (c)
中△ θ < δθ,合成强度在中间有个很明显 的极小,我们可以分辨出这是两条谱,和第二章 § 6中计论光学仪器的像分辨本领时一样,
通常规定△ θ =δθ(图 (b))是两谱线刚好能分辨的极限,这便是所谓 "瑞利判据 ".
对于每个光栅,谱线的半角宽度
△ θ 是一定的,根据瑞利判据,这也是能够分辨的两条谱线的色散角 δθ
,由此可以推断出能够分辨的最小波长差 δλ=λ /kN.δλ越小,说明仪器的色分辨本领越大,通常一个分光仪器的色分辨本领定义为 R≡ λ /δλ.
由此求得光栅的色分辨本领公式 R=kN.上式表明,光栅的色分辨本领正比于衍射单元总数 N和光谱的级别 k,与光栅常数 d无关,
68
重级现象
k
k ba
k
co s)(?
上式表明：对于相同的,在不同级次上展开的宽度不同。不同级次的光谱线就会重叠。
当两波长的光同时满足：
21s in)( kba
11s in)( kba
在该衍射方向上两波长对应的 和 级重叠,称为 重级现象 。
1k 2k
棱镜光谱是零级光谱。 只有一个级次，没有重级现象。
实验中常采用“缺级”的方法来克服重级现象。如 420nm的第三级谱线与 630nm 的第二级谱线重叠，可用 的光栅使其第二级谱线缺级，顺利地对 420nm的光谱进行测量。也可用滤色片将 630nm的光滤掉（即吸收），来避免重级。
2/?ad
69
光栅的分辨本领 R
定义恰能分辨的两条谱线的平均波长 与它们的波长差 之比为光栅的 分辨本领
R
R
根据瑞利判据：波长为? 的第 k 级谱线，能与波长为?+ 的第 k 级谱线分辨清楚的极限是：
Nkba /s i n)(
)(s i n)( kba
NkR
因此,
光栅分辨本领 R表征着分辨清楚两条谱线的能力 。
光栅的角色散 D是描述将谱线散开的能力。
因为谱线都有一定的宽度，散得开不一定能分辨。能分辨的，不一定散得很开。
70
"38.2 A?
例题：光栅 A 的 dA=2 微米，光栅宽度 WA=NA dA=4厘米，
另一光栅 B 的 dB=4 微米，光栅宽度 WB=10厘米，现有波长为 500nm和 500.01nm的平面波垂直照射这两块光栅，
选定在第二级工作。
试问：这两块光栅分别将这两条谱线分开多大的角度？
能否分辨这两条谱线？
解,由光栅公式求第二级对应的衍射角
02 30
用角色散的定义式求 D
k
k
d
kD
co s
光栅 A
kd k s in
米弧度 /10155.1 6AD
再求将 500.01nm和 500nm双线分开的角度。
"06.1 B? 米弧度 /10516.0 6
BD02 5.14
光栅 B
71
kdWNkR
5 0 0 0 0 kdWkNR
B
B
BB
虽然光栅 B将这两条谱线分开的角度小于光栅 A的，但 B光栅恰能分辨这两条谱线，
而 A光栅则不能分辨。
50000R
要分辨 500nm和 500.01nm这两条谱线，需要分辨本领大于：
4 0 0 0 0 kdWkNR
A
A
AA
因为：
结论
72
X 射线衍射 布喇格公式
X 射线原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为 X 射线。
其特点是,# 在电磁场中不发生偏转。
# 穿透力强
# 波长较短的电磁波，
范围在 0.001nm~10nm之间。
AK
高压
1895年德国的伦琴发现
X射线。
73
X 射线晶体衍射天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅 。
1912年劳厄的实验装置，如图：
B
C
P
铅版天然晶体乳胶板在乳胶板上形成对称分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究
X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
74
布喇格公式
A B1
2
3 d
同一晶面上相邻原子散射的光波的光程差零 AD-BC= 0,它们相干加强。若要在该方向上不同晶面上原子散射光相干加强，
则必须满足：
3,2,1 kkMPNM?
C D
M
N P
kd s in2即当 时各层面上的反射光相干加强，形成亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为 布喇格公式 。
因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各不相同所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
75
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，
而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广泛的应用。
在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。
1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度诺贝尔生物和医学奖。
本章作业：第 2章,1,2,3,5,7,8,9,12,15,16,17
76
主讲：周自刚 Ph.D.
西南师范大学光电所
Email:zigzhou@163.net
2
第二章 光的衍射
2-1 光的衍射现象 惠更斯 -菲涅耳原理
* 光的衍射现象波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为衍射现象。
S
A
B
E
S
A
B
E
'b
b
a
'a
3
* 惠更斯 -菲涅耳原理
r
dSdSrtFCpdE )](2c os [)()(
0
SS r
dSdSrtFCpdEpE )](2co s [)()()(
0
菲涅耳衍射积分公式：
对于点光源发出的球面波，初相位可取为零，且倾斜因子
2
c o s1)(F
它说明子波为什麽不会向后退。
p
r?
n?
光源 S
dS
4
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
* 衍射的分类
菲涅耳衍射
夫琅和费衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离为 有限 远。
光源 — 障碍物 — 接收屏距离为 无限 远。
5
除干涉现象外，波动的另一重要特征是衍射现象，本节首先对光的衍射现象作较充分的介绍，然后阐明衍射问题的理论基础 ----惠更斯 -菲涅耳原理。
1 光的衍射现象在日常生活的经验中，人们对水波和声波的衍射是比较熟悉的。在房间里，
人产即使不能直接看见窗外的发声的物体，却能听到从窗外传来的喧闹声。在一堵高墙两侧的人，也都能听到对方说的话这些现象表表，声波能绕过障碍物传播，
也就是说，当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播。这种现象叫 波的衍射 。
在日常生活中，光的衍射现象不易为人们所察觉。与此相反，光的直线传播行为给人们的印象却很深。这是由于光的波长很短，
以及普通光源是不相干的面光源，以上两方面的原因使得在通常的条件下的光的衍射现象 很不显著。只要我们注意到这些，在实验室的条件下采用高亮度的相干光或普通的强点光源，并保证屏幕的距离足够大，是可以将光的衍射现象演示出来的。
6
此外我们还能看到，衍射击不仅使物体的几何阴影失去了清晰的轮廓，而且在边缘附近还出现一系列吸暗相间的条纹，这些现象表明，在几何阴影区和几何照明区光强都受到了衍射效应的影响而发生重新分布，衍射不简单是偏离真线传播的问题，看来它与某种复杂的干涉效应有联系 。 这里有几组光波衍射的演示实验，
以便使读者对衍射现象的物点得到某些带有规律性的认识。
单缝的衍射 用一束激光照射在一个宽度可调节器的竖直单缝上，在数米外放置接收屏幕。右图便是一系列这样的衍射图样，其中从（ a)到 (d)对应缝宽从大变小，当狭缝较宽时，对入射光束未加限制，幕上出现一个亮斑，它是入射光束沿直线投射的结果，可以说，此时衍射效应极不明显。收缩缝宽，使之对光束左右两侧施加越来越大的限制时，幕上的光斑将向左右两侧水平方向铺展，同时出现一系列亮暗相间的结构，其中中央亮斑强度最大，两侧递减，可以说，此时衍射击现象相当明显，随着狭缝进一步充窄，中央亮斑不断沿水平方向扩展，两侧亮斑向外地人疏散，最后当狭缝很窄时，中央亮斑已扩展为一条水平细带，在整个视场内不再察觉到光强的周期性起伏，可以说，这时衍射已向散射过渡，当然，在狭缝收缩的过程中，幕上光强总的来说是变得越来越暗淡了。不的衍射效应是否明显，除了光孔的线度外，还与观察的距离和方式，光源的强度等多方面的因素有关。
7
用激光来演示上列现象时,ρ 的数量级大体可如下划分,衍射效应不明显 衍射效应明显 向散射过渡 (2)从矩孔到圆孔的衍射如果转动上述实验中的狭缝，则衍射图样式也随之转动，而其延伸的方向总保持与缝的走向正交，如果我们把缝的长度也缩小，使之成为矩孔，从相互垂直的两个方向上来限制光束，则衍射图样也沿相互正交的两个方向延伸，如果采用三角形孔，衍射图样将沿六个方向扩展。可以想到，随着多边数的增加，衍射图样向外扩展的方向也增加。圆形相当于多边形边数趋于无穷的极限，圆孔的衍射图样过渡过到一系同心环。 将双上各个实验归纳起来，可以看出衍射现象具有如下鲜明的特点：第一，光束在衍射屏上的什么方位受到限制，遇接收屏幕上的衍射图样就沿该方向扩展；第二，光孔线度越小，对光束的限制越厉害，则衍射图样越加扩展，即衍射效应越强，以后我们将证明，光孔的线度与衍射图样的扩展之间存在着反比关系，对上述特点的理论解释，将在今后的章节里陆续阐明。
8
9
6.1 实验现象在点光源（或激光束）的照明空间中插入带圆孔的衍射屏，在较远的接收屏幕上就可看到清晰的衍射图样。对于可见光，实验装置的数据一般可取：
圆孔半径 毫米的量级； ρ---毫米的量级 ;
光源到圆孔的距离 米的量级； R---米的量级 ;
接收屏幕到圆孔的距离 b---3m-5m
衍射花样是以轴上场点 P0为中心的一亮暗相间的同心圆环，中心点可能是亮的，与右能是暗的。如果我们用可调的光阑作实验，
在孔径变化的过程中，可以发现衍射击图样的中心亮暗交替变化。
我们还可在保持孔径 ρ 不变的情况下移动屏幕，在此过程中也可观察到衍射图样中心的亮暗交替变化。不过中心强度随 ρ 的变化是很敏感的，而随 b的变化则是相当迟缓的。
如果用圆屏代替上述实验中的圆孔我们观察到的衍射图样也是同心圆环。与圆孔情形显著不同的是，无论改变半径 ρ 不是距离 b,衍射击图样的中心总是一个亮点。 1818年巴黎科学院曾举行一次规模很大的科学竞赛，当时参加竞赛
10
评比委员会的有多位著名学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松等是光的微粒说的积极拥护者，竞赛题目的具体表达方式带有明显的有利于微粒说的倾向性。然而，菲涅耳阐述的次波相干迭加的新观点具有极大的说服力，使用反对派也马上接受了。会后泊松又仔细地审核菲涅耳理论，并用圆盘衍射，导致圆盘中心轴线上应有亮斑这样一个当时看来似乎不可思议的结论。过后不久，在实验中果真发现了这一惊人现象。这一发现对光的波动理论和惠更斯 --菲涅耳原理是十分有力的支持。
11
2 半波带法半波带法是处理次波相干迭加的一种简化方法。菲涅耳的衍射公式本要求参波前作无限分割，半波带法则用较粗糙的分割来代替，
从而使式中的积分化为有限项求和。此法虽不够精细，但可较方便函地得出衍射图样的某些定性特征，故为人们所喜用。取波前 Σ 以点源为中心的球面（等相面），设其半径为 R，其顶点 O与场院点 P0
为中心，分别以 b+λ /2,b+λ,b+3λ /2 b+2λ,…… 为半径作球面，
将波前 Σ 分割为一系列环形带，由于这些环形带的边缘点 O,M1，
M2,M3,M4…… 到 P0的光程靛个相差半个波长，故称之为 半波带 。
用 代表各半波带发出的次波在 P0点产生的复振幅，由于相邻半波事业贡献的复振幅度中位相差 π 即
12
故 P0点菲的合成复振幅为
13
14
下面们来比较 A1,A2,A3......各振幅的大小,惠更斯 -菲涅耳原理告诉我们，
现在让我们回到式,式中各项加减交替,可用图中上下交替的知量来表晃,为了能让人看得清,图中的知量故意画得彼此错开,由图可见,合成振幅为 先看自由传播情形,这时整个波前裸露,最后一个半波带上,从而,于是非曲直也就是,自由传播时整个波前在 P0产生的振幅是第一个半波带的效果之半,
再看圆孔衍射设想在波前上放一带圆孔的屏,当孔的大小刚好等到于第一个半波带时,即中心是亮点,若孔中包含两个半波带时,
中心是暗点,一般说来,当圆孔中凶含水量厅数个半波带时,中心是亮点 ;包含偶数个半波带时,中心是暗点,这就解释了衍射图样 中心强度随孔径 ρ 的增大这时暗交替变化的现象,叫心强度随时距离 b变分的现象也是不难解释的,
最后们看圆屏衍射,设贺屏遮住前 k个半波带,则可见,无论 k是奇是偶,中心总是亮的,这样,我们便用半波带法解释了圆孔 \贺屏衍射击的一些主要特征。
15
菲涅耳波带片个半波带的半径 如果用平行光照明圆孔，则 我们可做一块如图所示的透明板，在其上按照上式给予出的比例子画出各半波带，并将偶数或奇数的半波带涂黑，这就构成一块波带片，称为菲涅耳波带片，它右使轴上一定距离的场点光强增加很多倍,波带片与透镜相比，具有大面积、轻便、
可折叠等到优点，特别适宜于远程光通讯、光测距和宇航技术中。古老的菲涅耳波带片一度曾为们所淡忘。现代变换光学的兴起唤韦了人们对它的兴趣。现在可以说，利用衍射击规律有意地改变波前，以造成人们所需的衍射击场，这在经典光学中菲 涅耳波带片是一篇杰作，它属于振幅型黑白光学波带片。现代的品种已相当繁多，有振幅度型 的，也有位相型的；有黑白的，也有正弦的；除光学外，还有声波和微波的波带片，等等。
16
2-2 单缝和圆孔的夫琅和费衍射
* 单缝夫琅和费衍射
S
1L
A
2L
E
Y
Y
X
X
光源在透镜 L1的物方焦平面 接收屏在 L2象方焦平面
17
2
C
A
B
3A
1A
2A
# 菲涅耳半波带法
18
# 菲涅耳半波带法
E
A
B
单缝
f
x
o
p
3A
1A
2A
a
A
B
3A
1A
2A
C
将波面分成整数个波带，各波带面积相等，相邻波带的相位差为,则：?
2/2s in ka?
2/)12(s in ka
暗纹中心明纹中心
2,1k
结论：
19
a/s in
中央两侧第一暗条纹之间的区域,称做零极（或中央）
明条纹,它满足条件：
中央明条纹的 半角宽 为：
s ina
sin
a
a
5.1? a?2
I
o
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
2/2s in ka?
2/)12(s in ka
2,1k
暗纹中心明纹中心
X
光强
20
E
A
B
单缝
f
x
o
p
a
条纹在接收屏上的位置 afkx /
afkx 2/)12(
暗纹中心明纹中心?2,1k
afx /2
屏幕上中央明条纹的线宽度为：（焦距 ）f
a/s in
因为中央明条纹 半角宽,
21
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
afkx /由微分式 看出缝越窄（ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
几何光学是 波动光学在时的极限情况。a
当 或 时会出现明显的衍射现象。?aa
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
结论
22
# # 振幅矢量图法：
A
B
3A
1A
2A
C
N
i
iAA
1
N
NAR 1? )
2/()2s i n ()2s i n (2 1
NNNANRA
将 AB波面等分成 N份，相邻两波面的光程差,Na /s in
)/2(相位差,
o
R
L
M
p
N
NiA?
A?
s i n
2
aNu引入：
uuNAA /s i n1?
23
uuNAA /s i n1?
当 时，,,中央明条纹中心 O
处的光强：
0 0?u 1/s in?uu 1NAA?
2120 ANI?
2
0
)s in(
u
u
I
I?则屏幕上 P 点的光强 为：2AI?
它给出单缝衍射图样相对光强分布情况。 暗条纹中心位置满足,
3,2,/s in au
即,与半波带法结果相同。?,2,1,s in kka
光强极大的地方应满足,
0)s in( 2
2
u
u
du
d
du
dI
即,uu?ta n
47.3,46.2,43.1,0u
24
47.3,46.2,43.1,0u
各级明条纹的光强比为：
0083.0:017.0:047.0:1::,3210?IIII
可见单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处除零级外，其它明条纹中心位置与半波带法结果略有不同。
u?2
43.1o
I
u
uy ta n?
uy?
43.1
2
43.1t a n uu
25
单缝衍射的强度公式考虑点光源照明是单缝的夫琅和费衍射，取坐标系如图,z轴沿光轴，
y轴沿狭缝的走向,x轴与之垂直，如图所述，衍射只在 x-z面内进行，计算光程时，我们只需作 x-z平面图。按惠更斯 -菲涅耳原理，
我们把缝内的波前 AB分割为许多等宽的窄条 △ S，它们是振幅相等到的次波源，朝多个方向发出次波。由于接收屏幕位于透镜 L2的像方焦面上，角度 θ 相同的衍射击线会聚于幕后上同一点。设入射击光与光轴平行，则在波面 AB上无位相差，为求单缝隙上下边缘 A，
B到 P0的衍射线间的光程差，只需自 A引这组衍射线的垂线，它与自 B
发出的衍线相遇于 N,即 为所求的光程差。设缝宽为 a，
则 波前上介于 A,B各点发出衍射线的江程式可据此按比例推算。
振动的合成可用矢量图解和复数积分两种方法计算。
26
（ 1）矢量图解法如右图，由 A点作一系列等长的小矢量首尾相接，
逐个转过一个相同的小角度，最后到达 B点，共转过的角度为这时每个小矢量代表波前上一窄条△ S对 P0处振动的贡献。取△ S→0 的极限后，由小矢量连成的折线化为圆弧，设此弧的圆心在 C点，半径为
R，圆心角为 2a，显然后 2a=δ 。整个缝宽在 P0
处产生的合成振幅 A0等于弦长,由图不难看出：,而 故现在看弧长 的物理意义。设相民将此弧舒展开来，成为一条直线。在傍轴条件下忽略倾斜因子 f(θ )的影响,此直线的长度就代表 θ =0(即在幕中心 P0点 )的振幅度 A0.于是我们可得到
，其中 前两式的平方得这就是单缝的夫琅和费衍射的强度分布公式,衍射场中相对强度 等于,这个因子称为单缝衍射因子,
(2)复数积分法在傍轴条件下,按菲涅耳 --
基尔霍夫公式式中 r是波前上坐标为 x的点
Q到场点心的光程,由图可知光程差为 它与 y无关,在正入射的情况下一步是与 x,y
都无关的常数,将式中先对 y
积分,并把所有与 x无关的因子归并到一个常数 C中,于是得
27
单缝衍射因子的特点单缝衍射强度分布与单缝衍射因子有关，研究这个函数的性质和特点。图 7-7虚线是振幅因子的曲线，实线是强度因子的曲线，其中,曲线是以为横坐标画出的。由图知，在单缝衍射的强度因子中心 的地方的有个主极大，两侧都有一系列次极大和极小，它们分别代表衍射图样中主极强、次极强和暗纹的位置。下面有一些讨论。
(1)主极强 ----零级衍射斑主极强出现在 a=0的地方,a=0相当于各衍射之间无光程差。根据费马原理，这说是几何光学像点的位置。在这里我们看到了,物像等兴程性,的物理意义。几何光学中着重从保持光束的同心性方面研究成像问题，从波动光学的角度说，光线会聚于一点，未必产生很大的光强，这里还需看各光线的位相关系。正是等到光程性保证了到达像点各光线有相同的位相，从而产生最大的强度，费马原理中所谓的,实际光线,就是零级衍射线，而零级衍射斑的中心就是几何光学的像点，这是具有普遍意义的结论。利用它我们可以找到零级衍射斑的位置。
（ 2）次极强 ----高级衍射斑
28
次极强出现在 的位置上，它们是超越方程 的根，其数值为 对应的 sinθ 值为各次可见高级衍射斑的强度比零级少得多。这里未考虑倾斜因子的作用，考虑到它，高级衍射斑的强度还要进一步减小，故经衍射后，绝大部分光能集中在零级衍射斑内。
（ 3）暗斑位置由单缝衍射因子的函数形式立即看出，它在 而 sin=0的地方等于 0，这就是说暗纹出现在下列地方：
（ 4）亮斑的角宽度我们规定，以相邻暗纹的角距离作为其间亮斑的角宽度。在傍轴条件下，式子可写成 由此可以看出，
零级亮斑在 之间，它的半角宽为等于其它亮斑的角宽度，亦即零级亮斑的角度比其余的大一倍。这特点在衍射图样中反映出来。
29
如前所述，零级亮斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度的大小可作为衍射效应强弱的标志。式子告诉我们，
对于给定的波长，△ θ 与缝宽在反比，即在波前上对光束限制越大，衍射场越弥散，衍射斑铺开得越宽；反之，
当缝宽很大，光束几乎自由传播时 △ θ →0,这表明衍射场基本上集中在沿直线传播的原方向上，在透镜焦面上衍射斑收缩为几何光学像点。式还告诉我们，在保持缝宽不变的条件下，△ θ 和 λ 成反比，波长越长，衍射越显著；波长越短，衍射效应越可忽略，所以说，几何光学是短波的极限。
30
* 圆孔夫琅和费衍射
S
1L
光源
R
障碍物因为大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形，圆孔的夫琅和费衍射对成象质量有直接影响。
DR /22.1/61.0s i n 00
中央是个明亮的圆斑，外围是一组同心的明环和暗环。
E
接收屏
2L
f
中央明区集中了衍射光能的 %5.83
第一暗环对应的衍射角 称为 爱里斑的半角宽,
（它标志着衍射的程度）理论计算得,0
Dffr /22.100
式中 为圆孔的直径，若 为透镜 的焦距
，则爱里斑的半径为：
fRD 2? 2L
31
32
例题：在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径 R1=0.1mm
透镜 L2的 焦距 f =50cm,所用单色光波长,
试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用
R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？
这两个爱里斑的半径上平均光强的比为多少？
nm500
E
接收屏
2L
f
R
障碍物
S
1L
光源爱里斑圆孔
33
Dffr /22.100
解：因为所以：
mr 33
29
01 105.1101.02
10501050022.1?
2101 RIP
mr 43
29
02 105.1100.12
1050105 0 022.1?
设入射光的能流密度为 (即光强），则穿过半径为 R1和 R2
圆孔的光能流分别为,0
I
2202 RIP
设圆孔半径 R1=0.1mm,L2的 焦距 f =50cm,
试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用
R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？
这两个爱里斑的半径上平均光强的比为多少？
nm500
34
2222121 10// RRPP
爱里斑上集中了衍射光能的 83.8%,所以爱里斑上平均光强之比为：
4
2
022
2
011
02
01 10
/%8.83
/%8.83
rP
rP
I
I
110?可见，爱里斑半径缩小 倍（ ），
但爱里斑上平均光强却增大 倍。 10/ 0201?rr410
本节要点,
2,1k
2/2s in ka?暗纹中心衍射方向满足
afkx /
暗纹中心在屏上位置衍射角?
Dffr /22.100
爱里斑的半径
35
提纲
2-3 光学仪器的分辨本领
* 瑞利判据
* 人眼、显微镜、照相物镜的分辨本领
2-4 衍射光栅
* 光栅
* 光栅衍射图样
* 光栅衍射图样的几点讨论
36
2-3 光学仪器的分辨本领
* 瑞利判据光学仪器对点物成象是一个有一定大小的爱里斑一个透镜成象的光路可用两个透镜的作用来等效，
如图所示：
点物 S
象 S’
L
点物 象
L2L1
f2f1
A
37
点物就相当于在透镜 L1物方焦点处，经通光孔径
A，进行夫琅和费衍射，在透镜
L2的象方焦点处形成的中央零级明斑中心。
a
仅当通光孔径足够大时，
爱里斑才可能很小。
点物 象
L2L1
f2f1
A
38
同上所述，点物 S和
S1 对透镜中心 O 所张的角?，等于它们分别相应的中央零级衍射中心 S’,S1’对 O
所张的角。
S1’
S’
S1
S
L2L1
A
f1
f2
O
S1
S S’
S1’L
O
如图所示，是可分辨这两个物点的。
当两个物点距离足够小时，就有能否分辨的问题。
39
瑞利给出恰可分辨两个物点的判据：
点物 S1的爱里斑中心恰好与另一个点物 S2的爱里斑边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点。
S1
S2
S1
S2
S1
S2 可分辨恰可分辨不可分辨
100%
73.6%
40
41
满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离。对透镜中心所张的角称为最小分辨角。
=1.22?/D
光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的 分辨本领 。
* 人眼、显微镜、照相物镜的分辨本领
## 人眼设人眼瞳孔直径为 D，
玻璃体折射率为 n’，
可把人眼看成一枚凸透镜，焦距只有 20毫米,其成象实为夫琅和费衍射的图样。
y
n=1 n'=1.336
'
L
1
2
1'
2'
42
y
n=1 n'=1.336
'
L
1
2
1'
2'
’=1.22?’/D
=1.22?/(n’D)
由瑞利判据得：
折射定律：
)'s i n (')s i n ( nn
)'(')( nn
DnnDnnn /22.1)/'('/22.1/''
=1.22?/D 所以：
为眼外两个恰可分辨的物点对瞳孔中心所张的角，称为眼外最小分辨角。
43
## 显微镜的分辨本领
y
-u
根据几何光学理论、
衍射理论和瑞利判据可以得出显微镜最小可分辨间距为：
un
y
s i n
61.0
式中 u 是物镜半径对物点的张角
n?sin u被称为物镜的数值孔径简写为,N.A.
油浸显微镜、紫外显微镜和电子显微镜具有更高的分辨本领就是因所用光波波长短或物方折射率高的缘故。
44
## 照相物镜的分辨本领
y'= f''=f'(1.22?/D) D是物镜的有效孔径；
一般对远近不同物体拍摄时，其象距总是和镜头焦距
f ’很接近，类似人眼的讨论，物镜恰可分辨的两个象点的最小间距为：
照相机底片处每毫米所能分辨的最多刻线数为：
N=1/?y'
D/f ’ 称为物镜的相对孔径。其倒数俗称 光圈一般的胶卷颗粒大小只能分辨每毫米 200刻痕左右，这相应使用光圈为 8,来拍摄所能分辨的刻痕数。
45
衍射光栅
* 衍射光栅
d=a+b
光栅常数 d 的数量级约 10-6 米透射光栅
A
a
b
P
O
f
46
47
48
图中给出了不同数目的狭缝在幕上形成衍射花样的照片,其中图 (a)
是 点光源 照明的 ;图 (b)是 缝光源 照明的,
（ a） 点光源 (b)缝光源
49
50
51
52
53
54
55
* 光栅衍射图样
## 单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直与透镜 L
的光轴方向上的位置无关 。
衍射角相同的光线，
会聚在接收屏的相同位置上。
Oa?
Oa?
换句话说,单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。
56
## 多缝干涉若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。各狭缝上的子波波源一一对应,且满足相干条件。
相邻狭缝对应点在衍射角? 方向上的光程 差满足：
FG=(a+b)sin?=k?
多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹
A
a
b
P
O
f
E
FG
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，
条纹就越明亮。
57
### 光栅衍射光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波彼此相干叠加而形成。因此，它是单缝衍射和多缝干涉的 总效果 。
sin?
I
sin?
I
多缝干涉单 缝衍射
58
### 光栅衍射每个单缝的衍射光强决定于来自各单缝的光振幅矢量 Ai
的大小，它随衍射角?而变化。
而多缝干涉主极大的光强决定于 N·Ai
受 Ai 大小 的制约。
因此，光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。
59
60
# 主极大明条纹中心位置,
(a+b)sin?=k?
k=0,± 1,± 2,± 3 · · ·
a ·sin?=k'?
k'=0,± 1,± 2,· · ·
# 缺极时衍射角同时满足：
(a+b) ·sin?=k? k=0,± 1,± 2,· · ·
即,k =(a+b) /a· k' k 就是所缺的级次
61
# 相邻主极大明条纹的角间距,
k
k
k
k dd
k
co s
)
co s
( 1
光栅常数越小，条纹分布就越稀疏；反之越密。
k
k ba
k
co s)(?
# 相同级次的各色光，其衍射角展开的宽度随着级次 k的增高、衍射角的增大而增加：
Nd kk?
co s
缝数 N越多，
条纹越细锐。
# 主极大的半角宽：
所以，级次高的 光谱中发生重叠。
62
63
64
65
光谱的角色散 D
光栅光谱光谱学方法随着能量范围的变化相应地发展各种波谱学技术。下面讨论光谱的三个要素：
k
c o n s tk d
kD
co s
|?
kd s in对光栅公式,取微分：它表征着，同一级光谱中单位波长间隔的两条谱线散开角度的大小。
角色散 D 与光栅常数 d 成反比；与光谱级次 k成正比。
k 越大,越大,越小，角色散 D 也越大 。
k? k?co s
棱镜光谱 只有按波长次序的一个单一的排列，无级次可分，
称之为 零级光谱 。
66
光栅的色散本领和色分辨本领
(1)色散本领实际中很关心的问题之一，是对于一定波长差 δλ的两条谱线,
其角间隔 δθ或在幕上的距离 δ l有多大,这就是仪器的色散本领问题,角色散本领 定义为,Dθ ≡ δθ/δλ,线色散本领 定义为,Dl≡ δ l/δλ设光栅后面聚焦物镜的焦距为 f,则 δ l=fδθ,所以线色散本领与角色散本领之间的 关系 是,Dl=fDθ,
现在来计算光栅的色散本领,仍从光栅公式出发,取它两端的微分,得 光栅的角色散本领,Dθ =k/d·cosθ k 和 线色散本领,Dl=fk
/d·cosθ k.上面的结果表明,光栅的角色散本领与光栅常数 d成反比,
与级数 k成正比,此外,线色散本领还与集中 f成正比,但色散本领与光栅中衍射单元的总数 N无关,为了增大角色散本领,近代光栅的缝是很密的每毫米数百条到上千条,为了增大线色散本领,光栅的集中
f常达数米,这样其线色散本领 Dl可达 0.1--1mm/埃以上,
67
(2)色分辨本领如图 2-2所示,在 (a),(b),(c)三种情形里的色散本领都一样,
即波长分别为 λ 和 λ '=λ +δλ的两条谱的角间隔 δθ一样,但每条谱线的半角宽度△ θ 不同,在图 (a)中△ θ > δθ,两条谱线的全成强度如粗谱线无异,因此无法分辨它们本来有两条谱线,在图 (c)
中△ θ < δθ,合成强度在中间有个很明显 的极小,我们可以分辨出这是两条谱,和第二章 § 6中计论光学仪器的像分辨本领时一样,
通常规定△ θ =δθ(图 (b))是两谱线刚好能分辨的极限,这便是所谓 "瑞利判据 ".
对于每个光栅,谱线的半角宽度
△ θ 是一定的,根据瑞利判据,这也是能够分辨的两条谱线的色散角 δθ
,由此可以推断出能够分辨的最小波长差 δλ=λ /kN.δλ越小,说明仪器的色分辨本领越大,通常一个分光仪器的色分辨本领定义为 R≡ λ /δλ.
由此求得光栅的色分辨本领公式 R=kN.上式表明,光栅的色分辨本领正比于衍射单元总数 N和光谱的级别 k,与光栅常数 d无关,
68
重级现象
k
k ba
k
co s)(?
上式表明：对于相同的,在不同级次上展开的宽度不同。不同级次的光谱线就会重叠。
当两波长的光同时满足：
21s in)( kba
11s in)( kba
在该衍射方向上两波长对应的 和 级重叠,称为 重级现象 。
1k 2k
棱镜光谱是零级光谱。 只有一个级次，没有重级现象。
实验中常采用“缺级”的方法来克服重级现象。如 420nm的第三级谱线与 630nm 的第二级谱线重叠，可用 的光栅使其第二级谱线缺级，顺利地对 420nm的光谱进行测量。也可用滤色片将 630nm的光滤掉（即吸收），来避免重级。
2/?ad
69
光栅的分辨本领 R
定义恰能分辨的两条谱线的平均波长 与它们的波长差 之比为光栅的 分辨本领
R
R
根据瑞利判据：波长为? 的第 k 级谱线，能与波长为?+ 的第 k 级谱线分辨清楚的极限是：
Nkba /s i n)(
)(s i n)( kba
NkR
因此,
光栅分辨本领 R表征着分辨清楚两条谱线的能力 。
光栅的角色散 D是描述将谱线散开的能力。
因为谱线都有一定的宽度，散得开不一定能分辨。能分辨的，不一定散得很开。
70
"38.2 A?
例题：光栅 A 的 dA=2 微米，光栅宽度 WA=NA dA=4厘米，
另一光栅 B 的 dB=4 微米，光栅宽度 WB=10厘米，现有波长为 500nm和 500.01nm的平面波垂直照射这两块光栅，
选定在第二级工作。
试问：这两块光栅分别将这两条谱线分开多大的角度？
能否分辨这两条谱线？
解,由光栅公式求第二级对应的衍射角
02 30
用角色散的定义式求 D
k
k
d
kD
co s
光栅 A
kd k s in
米弧度 /10155.1 6AD
再求将 500.01nm和 500nm双线分开的角度。
"06.1 B? 米弧度 /10516.0 6
BD02 5.14
光栅 B
71
kdWNkR
5 0 0 0 0 kdWkNR
B
B
BB
虽然光栅 B将这两条谱线分开的角度小于光栅 A的，但 B光栅恰能分辨这两条谱线，
而 A光栅则不能分辨。
50000R
要分辨 500nm和 500.01nm这两条谱线，需要分辨本领大于：
4 0 0 0 0 kdWkNR
A
A
AA
因为：
结论
72
X 射线衍射 布喇格公式
X 射线原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为 X 射线。
其特点是,# 在电磁场中不发生偏转。
# 穿透力强
# 波长较短的电磁波，
范围在 0.001nm~10nm之间。
AK
高压
1895年德国的伦琴发现
X射线。
73
X 射线晶体衍射天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅 。
1912年劳厄的实验装置，如图：
B
C
P
铅版天然晶体乳胶板在乳胶板上形成对称分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究
X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
74
布喇格公式
A B1
2
3 d
同一晶面上相邻原子散射的光波的光程差零 AD-BC= 0,它们相干加强。若要在该方向上不同晶面上原子散射光相干加强，
则必须满足：
3,2,1 kkMPNM?
C D
M
N P
kd s in2即当 时各层面上的反射光相干加强，形成亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为 布喇格公式 。
因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各不相同所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
75
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，
而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广泛的应用。
在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。
1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度诺贝尔生物和医学奖。
本章作业：第 2章,1,2,3,5,7,8,9,12,15,16,17
76
