2.7 平面与立 体相交一、截 交 线 概 述二、平面与平面体相交三、平面与回转体相交平面截切立体，在立体表面留有的交线成为 截交线 。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线 和 曲面体截交线一、截交线概述平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。
⒉ 平面体 截交线的形状是由直线段围成的 平面多边形。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈ 平面体 截交线是截平面与平面立体表面的 公有线。
⒊ 平面 多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的 交点,边是截平面与平面立体各表面的 交线 。
二、平面与平面立体相交
P
㈡ 平面立体截交线的求法
1、线面交点法
2、面面交线法将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求 交点,
并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求 交线,
这些交线即围成所求的平面立体截交线。
1
2
34
S
A
B
C
D
㈢ 求截交线的作图步骤：
1) 空间分析及投影分析
2) 画出截交线的投影
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定 截交线的形状
—— 确定 截交线的投影特性
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置运用 线面交点法 或 面面交线法,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
【 例题 1】 完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间分析
2、投影分析
3、投影作图
4、整理图线
—— 截交线为平面五边形截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。
1′
2′
3′ 4′
5′
5
1
3
4
2
1〞
2〞
3〞 4〞
5〞
浏览三维动画采用的是哪种解题方法？
【 例题 2】 完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
5″ 4″
3″ 2″
1″
1
2 4
53
6
7
6″7″
1′
2′3′
4′5′
6′7′ 1、空间分析：
截交线为平面几边形？
—— 平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
—— 落在截平面的积聚性投影上；
截交线的水平投影？
—— 其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交于一条正垂线。
浏览三维动画
3、投影作图：
采用的是哪种解题方法？
4、整理图线：
【 例题 3】 求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
1、空间分析立体表面交线的形状？
—— 空间 10边形
2、投影分析截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′ 2′10′
3′9′
4′8′
5′7′6′
1
2
10
3
9
1″
2″10″
9″ 3″
8″ 4″
8
4
7″ 5″
6″
6
7
5
浏览三维动画采用的是哪种解题方法？
—— 水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；
—— 侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。
3、投影作图
4、整理图线
【 例题 4】 完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析水平截平面与四棱台四各棱面相交，交于四条边；
两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；
截平面之间有二条交线；
浏览三维动画
1′2′ 5′6′
7′8′4′3′
9′10′
1
2
5
6
2〞 6〞 1〞 5〞
4〞 7〞3〞 8〞
10〞 9〞
3
4 7
8
10
9
整理棱线投影平面截切回转体，在回转体表面留有的交线，
称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。
2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。 截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。
二、平面与回转体相交
㈡ 回转体截交线的求解方法与步骤
1、空间分析分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定回转体截交线的形状。
2、投影分析分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。
3、投影作图若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的 特殊点,在需要的地方补充 一般点,然后用光滑曲线连接各点。
4、整理回转体轮廓线检查回转体被截切后的轮廓素线。
依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：
圆 矩形 椭圆
1、圆柱体的截交线
【 例题 1】 完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间分析分析截平面与立体的相对位置
—— 水平面截切，截交线为矩形；
—— 侧平面截切为圆弧。
2、投影分析分析截平面与投影面的相对位置。1′3′ 2′4′
3、投影作图
4、整理轮廓素线
—— 截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；
—— 截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；
1〞 2〞3〞 4〞
1 2
3 4
浏览三维动画
【 例题 2】 作出圆柱体被截切后的水平投影。
c′d′ d〞 c〞
a〞
b〞
a b
1、空间分析分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状 —— 椭圆 。
2、投影分析截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。
3、投影作图
4、整理轮廓线
a′
b′
d
c
【 例题 3】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性
1、当?＜ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
仍为投影椭圆的长轴；
＜ 45°?＞ 45°?＝ 45°
2、当?＞ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
成为投影椭圆的短轴；
3、当?＝ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
与短轴相等,椭圆的投影成为圆 ；
【 例题 4】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【 例题 5】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【 例题 6】 完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
浏览三维动画
45°
【 例题 7】 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。
浏览三维动画依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五种：
2、圆锥体的截交线
【 例题 1】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，
要作出椭圆的水平投影和侧面投影。
2、投影作图运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。
3、整理轮廓线
【 例题 2】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。
2、投影作图运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。
3、整理轮廓线
【 例题 3】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。
2、投影作图截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。
3、整理轮廓线
【 例题 4】 完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。
2、投影作图分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。
3、整理轮廓线浏览三维动画平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映 实形 ；
当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为 直线段 ；
当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为 椭圆 。
3、圆球的截交线
【 例题 1】 完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
【 例题 2】 完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。
【 例题 3】 完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，
求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
4、组合回转体的截交线
【 例题 1】 完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析组合回转体是由同轴半球、
圆柱体和圆台组合而成。截平面为侧平面,组合回转体截交线由半园、直线段和双曲线组成,其正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，
【 例题 2】 完成组合回转体截切后的正面投影。
圆球体圆环体圆柱体
【 例题 3】 完成组合回转体截切后的正面投影。
球1 圆柱2 圆柱3
球1 圆柱2 圆柱3
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平面体截交线 和 曲面体截交线一、截交线概述平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。
⒉ 平面体 截交线的形状是由直线段围成的 平面多边形。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈ 平面体 截交线是截平面与平面立体表面的 公有线。
⒊ 平面 多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的 交点,边是截平面与平面立体各表面的 交线 。
二、平面与平面立体相交
P
㈡ 平面立体截交线的求法
1、线面交点法
2、面面交线法将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求 交点,
并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求 交线,
这些交线即围成所求的平面立体截交线。
1
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S
A
B
C
D
㈢ 求截交线的作图步骤：
1) 空间分析及投影分析
2) 画出截交线的投影
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定 截交线的形状
—— 确定 截交线的投影特性
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置运用 线面交点法 或 面面交线法,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
【 例题 1】 完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间分析
2、投影分析
3、投影作图
4、整理图线
—— 截交线为平面五边形截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。
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浏览三维动画采用的是哪种解题方法？
【 例题 2】 完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
5″ 4″
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6′7′ 1、空间分析：
截交线为平面几边形？
—— 平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
—— 落在截平面的积聚性投影上；
截交线的水平投影？
—— 其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交于一条正垂线。
浏览三维动画
3、投影作图：
采用的是哪种解题方法？
4、整理图线：
【 例题 3】 求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
1、空间分析立体表面交线的形状？
—— 空间 10边形
2、投影分析截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′ 2′10′
3′9′
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浏览三维动画采用的是哪种解题方法？
—— 水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；
—— 侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。
3、投影作图
4、整理图线
【 例题 4】 完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析水平截平面与四棱台四各棱面相交，交于四条边；
两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；
截平面之间有二条交线；
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整理棱线投影平面截切回转体，在回转体表面留有的交线，
称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。
2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。 截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。
二、平面与回转体相交
㈡ 回转体截交线的求解方法与步骤
1、空间分析分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定回转体截交线的形状。
2、投影分析分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。
3、投影作图若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的 特殊点,在需要的地方补充 一般点,然后用光滑曲线连接各点。
4、整理回转体轮廓线检查回转体被截切后的轮廓素线。
依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：
圆 矩形 椭圆
1、圆柱体的截交线
【 例题 1】 完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间分析分析截平面与立体的相对位置
—— 水平面截切，截交线为矩形；
—— 侧平面截切为圆弧。
2、投影分析分析截平面与投影面的相对位置。1′3′ 2′4′
3、投影作图
4、整理轮廓素线
—— 截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；
—— 截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；
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【 例题 2】 作出圆柱体被截切后的水平投影。
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1、空间分析分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状 —— 椭圆 。
2、投影分析截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。
3、投影作图
4、整理轮廓线
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【 例题 3】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性
1、当?＜ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
仍为投影椭圆的长轴；
＜ 45°?＞ 45°?＝ 45°
2、当?＞ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
成为投影椭圆的短轴；
3、当?＝ 45° 截交线椭圆的长轴投影后，
与短轴相等,椭圆的投影成为圆 ；
【 例题 4】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【 例题 5】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【 例题 6】 完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
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45°
【 例题 7】 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。
浏览三维动画依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五种：
2、圆锥体的截交线
【 例题 1】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，
要作出椭圆的水平投影和侧面投影。
2、投影作图运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。
3、整理轮廓线
【 例题 2】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。
2、投影作图运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。
3、整理轮廓线
【 例题 3】 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。
2、投影作图截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。
3、整理轮廓线
【 例题 4】 完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。
2、投影作图分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。
3、整理轮廓线浏览三维动画平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映 实形 ；
当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为 直线段 ；
当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为 椭圆 。
3、圆球的截交线
【 例题 1】 完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
【 例题 2】 完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。
【 例题 3】 完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，
求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
4、组合回转体的截交线
【 例题 1】 完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析组合回转体是由同轴半球、
圆柱体和圆台组合而成。截平面为侧平面,组合回转体截交线由半园、直线段和双曲线组成,其正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，
【 例题 2】 完成组合回转体截切后的正面投影。
圆球体圆环体圆柱体
【 例题 3】 完成组合回转体截切后的正面投影。
球1 圆柱2 圆柱3
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