2.4 线面相对位置一、直线与平面以及两平面平行问题二、直线与平面以及两平面相交问题三、直线与平面以及两平面垂直问题四、综合作图题一、直线与平面以及两平面平行
1、直线与平面平行
2、平面与平面平行
E
F
A
B
Q
Q
P A B
C
D
M
N
E F
3、基本作图
1、直线与平面平行几何条件,
直线必需平行于平面上的某一直线。
PH a
b
a'
b'PV
PH
C
D
c d
A
B
a
b
P
E
F
A
B
Q
若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。
2、平面与平面平行几何条件：
一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。
Q
P A B
C
D
M
N
E F
P
PH Q
H
Q
PH QH
若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。
3、基本作图
（ 1）判别直线与平面是否平行
（ 2）过空间一点作平面的平行线
（ 3）过空间一直线作已知直线的平行面
（ 4）判别平面与平面是否平行
（ 5）过空间一点作已知平面的平行面
【 基本作图一 】 判别直线与平面是否平行；
e f
e′
f ′
a
b
c
a′
b′
c′
d ′
d
作 a′d′∥ e′f′
EF不平行△ ABC
【 基本作图二 】 过空间一点作平面的平行线
a
a′
d
e
f
f′
e′
d′
g′
g
b′
b作 ab∥ fg
并量取 ab=35mm
过空间点 A作一条水平线 AB=35mm，
且平行于△ DEF。
【 基本作图三 】 过空间一直线作已知直线的平行面
a
b
a′
b′
e
f
f′
e′
c′
c
【 基本作图四 】 判别平面与平面是否平行？
a
b
c
a′
b′
c′
h
e
f
g
g′
f′
e′
h′
d′
d
AD∥HG
BC∥HE
两平面平行
【 基本作图五 】 过空间一点作已知平面的平行面
b′
b
c
c′
a′
a
d
e
f
d′
f′
e′
二、直线与平面以及两平面相交
1、利用积聚性求交
2、无积聚性时求交直线与平面相交于一点，交点是直线与平面的共有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。
1、利用积聚性求交
H
a
c
b
k
m
n
N
M
A
B
C
K
基本作图
H
M
m
n
l
P A
B
C
a
cP
H
k
f
F
K
N
L
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。
① 一般线与投影面垂直面相交
② 投影面垂直线与一般面相交
③ 一般面与投影面垂直面相交
④ 两个同一投影面垂直面相交
【 基本作图一 】 一般线与投影面垂直面相交
x
b
′
b
a
′
a
c
c′
m′
m
n
n′
k
V
H
a
c
b
k
m
n
N
M
A
B
C
K
k
′
【 基本作图二 】 投影面垂直线与一般面相交
1′
1
a
b
c
e′
f′ c′
b′
e(f)
a′
(k)
k′
V
H
E
F
A
B
C
E
e′
f ′
a′
b′
e(f )b c
a
K
k′
(k)
【 基本作图三 】 一般面与投影面垂直面相交
V
H
M
m
n
l
P
A
B
C
a
cP
H
kf
F
K
N
L
n
l
m
m′
l′
n′
b a
c
c
′ a
′
b
′
f′
k′
f
k
【 基本作图三 】 一般面与投影面垂直面相交
a
a′
b
b′
c
c′
d′
d e
e′
f
f′
n
n′
m0
m0′ m′
m
【 基本作图四 】 两个同一投影面垂直面相交
m(n)
m′
n′
PH
QH
PV QV
N
M
PQ
QV
QH
PV
PH
2、无积聚性时求交由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置 特殊辅助平面 进行求解。
（ 5）一般线与一般面相交；
（ 6）两一般位置平面相交。
基本作图
M
B
C
A
F
K
N
L
F
E
A
B
CQ
M
N
K
【 基本作图五 】 一般线与一般面相交
m
′
n′
QV 解题步骤,
1,过 EF作正垂面 Q。
2,求 Q平面与 ΔABC的交线 MN。
3,求交线 MN与 EF的交点 K。
f ′
e′
e
f
b
a′
a
c
b′
c′
m
n
F
E
C
A
BQ
M
N
K
k
′
k
4,可见性判别
H
V
a
′
b′
c′
c e
a
AB
b
C
F
E
f ′
f
k′
K
k
e′
可见性判别方法
Ⅰ
Ⅱ
1′ (2′)
判别可见性的原理是利用重影点。
Ⅲ
Ⅳ
3(4)
利用重影点判别可见性
f ′
e′
e
f
b
a′
a
c
b′
c′
k
k
′
1
2
1′ 2′
4′
3′
4 3
( )
( )
【 基本作图六 】 两一般位置平面相交求交线步骤,
1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；
n′
b
a
c
c′
b′
a′
h
h′
n
m
m
′
QV
1′
2′
2
1
PV
k
k
′
e
e′
2、判别可见性。
M
B
C
A
K
E
N
H
判别两平面的可见性
n′
b
a
c
c′
b′
a′
h
h′
n
m
m
′
（ ）
1′
2′
1 2
( )
3
4
3′ 4′
判别可见性的原理是利用重影点。
三、直线与平面以及两平面垂直
1、直线与平面垂直
2、平面与平面垂直
A
BC
D
L1
L2
E
F
PH
PV
1、直线与平面垂直几何条件,直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线；
基本作图：
① 判别直线是否与平面垂直
A
BC
D
L1
L2
E
F
PH
PV
② 过空间一点作已知平面的垂线
③ 过空间一点作已知直线的垂面
【 基本作图一 】 判别直线是否与平面垂直
1′
1
2
2′
e′
e
f′
f
a′
a
b
b′
c
c′
K
K′
PH
g′ h′
g
h
EF⊥ △ ABC
GH⊥ P平面
【 基本作图二 】 过空间一点作已知平面的垂线
1′
1
2
2′ f′
f
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
【 基本作图三 】 过空间一点作已知直线的垂面
b
b′
c
c′
f
a
a′
e
f′
e′
2、平面与平面垂直几何条件：
一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。
基本作图：
④ 判别两平面是否垂直
⑤ 过空间一直线作已知平面的垂面
Q
P
L1L2
N
M
【 基本作图四 】 判别两平面是否垂直
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
f
f′
g
g′
1
1′
2
2′
△ ABC⊥ △ EFG
d′
d
【 基本作图五 】 过空间一直线作已知平面的垂面
1′
1
2
2′
f′
f
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
g
g′
四、综合作图题示例
1、审题明确题意、已知条件和作图要求。
2、空间分析逆推分析法,假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，
综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。
轨迹分析法,根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。
3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。
并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。
【 例题 1】 求点 K到直线 AB的距离。
a′
b
a
b′
k
k′
m′
m
n′
n
KL真长
l′
l
△ ZKL
△ ZKL
作图步骤
1、过点 A作直线 AB
的垂面 KM*KN；
2、求所作垂面与直线 AB的交点 L；
3、连接 KL,用直角三角形法求 KL的实长。
【 例题 2】 已知直角三角形 ABC的水平投影，及直角边 AB的
V投影，试完成其正面投影。
b′
c
b
a
a′
c′
1′
1
2′
2
作图步骤
1、过点Ａ作直线
AB的垂直面 AⅠⅡ ；
2、在垂直面
AⅠⅡ 上，运用平面定线方法确定 AC边；
3、连线完成直角三角形 ABC的投影。
【 例题 3】 作一直线与两交叉直线 AB和 CD相交，同时与直线 EF平行。
f
2′
21
1′
n
m
m′
n′
a
b
b′
a′
e′
f′
c′ d′
c′
d
eA
B
C
D
E
F
1
M
N
【 例题 4】 过点 N作直线，使其与△ ABC平行，且与直线 EF
相交。
e
f
f′
e′
m′
m
a′
b′
b
a
c
c′
2′
2
1′
1
n
n′
作图步骤
1、过点 M作平面 MⅠⅡ 平行于已知平面
ABC；
2、求平面 M
ⅠⅡ 与已知直线 EF的交点 N；
3、连接 MN
【 例题 5】 过点 K作直线 KL与直线 MN垂直，并与△ ABC平行。
g
g′
l′
l
a
a′
b
c
c′
b′
k′
k
m
n
n′
m′
作图步骤
1、过 MN 作平面
MNG垂直于平面
ABC；
2、过点 K作直线
KL垂直于平面
MNG。
【 例题 6】 已知直线 AB与△ EFG平面的夹角为 60°,AB在
△ EFG上的正投影为 AC，求作 AB的两投影。
e′
f ′
g′
g
f
e
a′
c′
ca 60 °
A C
B
= A0 c
b′
b
B0
A0
△ ZAC
△ ZAC
△ ZC 1
1′
△ ZC 1
1
【 例题 7】 已知等边△ ABC与 H面的倾角 α=30 °,试完成该等边△ ABC的两面投影。
c
a
a′ c′
b
b′
B0
等边△ ABC
高 BD的实长
d′
d
α
△ ZB
D
△ ZB
D
作图步骤
1、求作等边△ＡＢＣ
高的实长
2、直角三角形法求作
ＢＤ的Ｚ坐标差
【 例题 8】 已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰 DE在直线 DG
上，另一腰ＤＦ ∥ △ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，
试完成△ＤＥＦ的两面投影。
a
a′
b
b′
c
c′
m′
n′
d
m
n
d′
g′
gf
f′
2′
2
1′
1
e′
e
作图步骤：
1、过 D作平面 D12
2、求 D12与 MN交点 F
3、求 DF的实长
4、在 dg上，取 DE=DF
5、连接等腰三角形各条边，完成投影图
1、直线与平面平行
2、平面与平面平行
E
F
A
B
Q
Q
P A B
C
D
M
N
E F
3、基本作图
1、直线与平面平行几何条件,
直线必需平行于平面上的某一直线。
PH a
b
a'
b'PV
PH
C
D
c d
A
B
a
b
P
E
F
A
B
Q
若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。
2、平面与平面平行几何条件：
一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。
Q
P A B
C
D
M
N
E F
P
PH Q
H
Q
PH QH
若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。
3、基本作图
（ 1）判别直线与平面是否平行
（ 2）过空间一点作平面的平行线
（ 3）过空间一直线作已知直线的平行面
（ 4）判别平面与平面是否平行
（ 5）过空间一点作已知平面的平行面
【 基本作图一 】 判别直线与平面是否平行；
e f
e′
f ′
a
b
c
a′
b′
c′
d ′
d
作 a′d′∥ e′f′
EF不平行△ ABC
【 基本作图二 】 过空间一点作平面的平行线
a
a′
d
e
f
f′
e′
d′
g′
g
b′
b作 ab∥ fg
并量取 ab=35mm
过空间点 A作一条水平线 AB=35mm，
且平行于△ DEF。
【 基本作图三 】 过空间一直线作已知直线的平行面
a
b
a′
b′
e
f
f′
e′
c′
c
【 基本作图四 】 判别平面与平面是否平行？
a
b
c
a′
b′
c′
h
e
f
g
g′
f′
e′
h′
d′
d
AD∥HG
BC∥HE
两平面平行
【 基本作图五 】 过空间一点作已知平面的平行面
b′
b
c
c′
a′
a
d
e
f
d′
f′
e′
二、直线与平面以及两平面相交
1、利用积聚性求交
2、无积聚性时求交直线与平面相交于一点，交点是直线与平面的共有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。
1、利用积聚性求交
H
a
c
b
k
m
n
N
M
A
B
C
K
基本作图
H
M
m
n
l
P A
B
C
a
cP
H
k
f
F
K
N
L
两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。
① 一般线与投影面垂直面相交
② 投影面垂直线与一般面相交
③ 一般面与投影面垂直面相交
④ 两个同一投影面垂直面相交
【 基本作图一 】 一般线与投影面垂直面相交
x
b
′
b
a
′
a
c
c′
m′
m
n
n′
k
V
H
a
c
b
k
m
n
N
M
A
B
C
K
k
′
【 基本作图二 】 投影面垂直线与一般面相交
1′
1
a
b
c
e′
f′ c′
b′
e(f)
a′
(k)
k′
V
H
E
F
A
B
C
E
e′
f ′
a′
b′
e(f )b c
a
K
k′
(k)
【 基本作图三 】 一般面与投影面垂直面相交
V
H
M
m
n
l
P
A
B
C
a
cP
H
kf
F
K
N
L
n
l
m
m′
l′
n′
b a
c
c
′ a
′
b
′
f′
k′
f
k
【 基本作图三 】 一般面与投影面垂直面相交
a
a′
b
b′
c
c′
d′
d e
e′
f
f′
n
n′
m0
m0′ m′
m
【 基本作图四 】 两个同一投影面垂直面相交
m(n)
m′
n′
PH
QH
PV QV
N
M
PQ
QV
QH
PV
PH
2、无积聚性时求交由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置 特殊辅助平面 进行求解。
（ 5）一般线与一般面相交；
（ 6）两一般位置平面相交。
基本作图
M
B
C
A
F
K
N
L
F
E
A
B
CQ
M
N
K
【 基本作图五 】 一般线与一般面相交
m
′
n′
QV 解题步骤,
1,过 EF作正垂面 Q。
2,求 Q平面与 ΔABC的交线 MN。
3,求交线 MN与 EF的交点 K。
f ′
e′
e
f
b
a′
a
c
b′
c′
m
n
F
E
C
A
BQ
M
N
K
k
′
k
4,可见性判别
H
V
a
′
b′
c′
c e
a
AB
b
C
F
E
f ′
f
k′
K
k
e′
可见性判别方法
Ⅰ
Ⅱ
1′ (2′)
判别可见性的原理是利用重影点。
Ⅲ
Ⅳ
3(4)
利用重影点判别可见性
f ′
e′
e
f
b
a′
a
c
b′
c′
k
k
′
1
2
1′ 2′
4′
3′
4 3
( )
( )
【 基本作图六 】 两一般位置平面相交求交线步骤,
1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；
n′
b
a
c
c′
b′
a′
h
h′
n
m
m
′
QV
1′
2′
2
1
PV
k
k
′
e
e′
2、判别可见性。
M
B
C
A
K
E
N
H
判别两平面的可见性
n′
b
a
c
c′
b′
a′
h
h′
n
m
m
′
（ ）
1′
2′
1 2
( )
3
4
3′ 4′
判别可见性的原理是利用重影点。
三、直线与平面以及两平面垂直
1、直线与平面垂直
2、平面与平面垂直
A
BC
D
L1
L2
E
F
PH
PV
1、直线与平面垂直几何条件,直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线；
基本作图：
① 判别直线是否与平面垂直
A
BC
D
L1
L2
E
F
PH
PV
② 过空间一点作已知平面的垂线
③ 过空间一点作已知直线的垂面
【 基本作图一 】 判别直线是否与平面垂直
1′
1
2
2′
e′
e
f′
f
a′
a
b
b′
c
c′
K
K′
PH
g′ h′
g
h
EF⊥ △ ABC
GH⊥ P平面
【 基本作图二 】 过空间一点作已知平面的垂线
1′
1
2
2′ f′
f
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
【 基本作图三 】 过空间一点作已知直线的垂面
b
b′
c
c′
f
a
a′
e
f′
e′
2、平面与平面垂直几何条件：
一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。
基本作图：
④ 判别两平面是否垂直
⑤ 过空间一直线作已知平面的垂面
Q
P
L1L2
N
M
【 基本作图四 】 判别两平面是否垂直
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
f
f′
g
g′
1
1′
2
2′
△ ABC⊥ △ EFG
d′
d
【 基本作图五 】 过空间一直线作已知平面的垂面
1′
1
2
2′
f′
f
e′
e
a′
a
b
b′
c
c′
g
g′
四、综合作图题示例
1、审题明确题意、已知条件和作图要求。
2、空间分析逆推分析法,假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，
综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。
轨迹分析法,根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。
3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。
并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。
【 例题 1】 求点 K到直线 AB的距离。
a′
b
a
b′
k
k′
m′
m
n′
n
KL真长
l′
l
△ ZKL
△ ZKL
作图步骤
1、过点 A作直线 AB
的垂面 KM*KN；
2、求所作垂面与直线 AB的交点 L；
3、连接 KL,用直角三角形法求 KL的实长。
【 例题 2】 已知直角三角形 ABC的水平投影，及直角边 AB的
V投影，试完成其正面投影。
b′
c
b
a
a′
c′
1′
1
2′
2
作图步骤
1、过点Ａ作直线
AB的垂直面 AⅠⅡ ；
2、在垂直面
AⅠⅡ 上，运用平面定线方法确定 AC边；
3、连线完成直角三角形 ABC的投影。
【 例题 3】 作一直线与两交叉直线 AB和 CD相交，同时与直线 EF平行。
f
2′
21
1′
n
m
m′
n′
a
b
b′
a′
e′
f′
c′ d′
c′
d
eA
B
C
D
E
F
1
M
N
【 例题 4】 过点 N作直线，使其与△ ABC平行，且与直线 EF
相交。
e
f
f′
e′
m′
m
a′
b′
b
a
c
c′
2′
2
1′
1
n
n′
作图步骤
1、过点 M作平面 MⅠⅡ 平行于已知平面
ABC；
2、求平面 M
ⅠⅡ 与已知直线 EF的交点 N；
3、连接 MN
【 例题 5】 过点 K作直线 KL与直线 MN垂直，并与△ ABC平行。
g
g′
l′
l
a
a′
b
c
c′
b′
k′
k
m
n
n′
m′
作图步骤
1、过 MN 作平面
MNG垂直于平面
ABC；
2、过点 K作直线
KL垂直于平面
MNG。
【 例题 6】 已知直线 AB与△ EFG平面的夹角为 60°,AB在
△ EFG上的正投影为 AC，求作 AB的两投影。
e′
f ′
g′
g
f
e
a′
c′
ca 60 °
A C
B
= A0 c
b′
b
B0
A0
△ ZAC
△ ZAC
△ ZC 1
1′
△ ZC 1
1
【 例题 7】 已知等边△ ABC与 H面的倾角 α=30 °,试完成该等边△ ABC的两面投影。
c
a
a′ c′
b
b′
B0
等边△ ABC
高 BD的实长
d′
d
α
△ ZB
D
△ ZB
D
作图步骤
1、求作等边△ＡＢＣ
高的实长
2、直角三角形法求作
ＢＤ的Ｚ坐标差
【 例题 8】 已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰 DE在直线 DG
上，另一腰ＤＦ ∥ △ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，
试完成△ＤＥＦ的两面投影。
a
a′
b
b′
c
c′
m′
n′
d
m
n
d′
g′
gf
f′
2′
2
1′
1
e′
e
作图步骤：
1、过 D作平面 D12
2、求 D12与 MN交点 F
3、求 DF的实长
4、在 dg上，取 DE=DF
5、连接等腰三角形各条边，完成投影图
