2.2 直线的投影
A
B
a
b
αβ
γ
b″
a′
b′
Z
X
Y
a″
V
H
W
直线的投影
直线上的点
直线的真长及其倾角
两直线间的相对位置
一边平行于投影面的直角投影规律
H
A
B
b
a
C
D
c
d
E
F
e ( f )
直线的投影特性：
一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线投影面平行线投影面垂直线
—— 直线与三个投影面均倾斜。
—— 直线平行于其中的一个投影面，
倾斜于另外两个投影面。
—— 直线垂直于某一投影面。
1、直线的投影
a′
b′ b″
a″
b
a Y
H
YWX
Z
A
B
a
b
αβ γ a″
b″
a′
b′
Z
X
Y
一般线的投影特性：
一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，
也不反映直线与投影面的倾角。
一般位置线直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：
水平线 直线平行于 H面，倾斜于 V,W面。
正平线 直线平行于 V面，倾斜于 H,W面。
侧平线 直线平行于 W面，倾斜于 H,V面。
投影面平行线投影面平行线水平线的投影特性：
1.水平线的 H投影反映真长，真长投影与 OX夹角为 β ；与
OY轴的夹角为 γ ； α= 0 ° 。
2.水平线的 V投影 a′b′∥OX ； W投影 a″b″∥OY ；
a′ b′ b″ a″
b
a
βγ
反映真长 TL YH
YWX
Z
a
a″
a′ b′
B b″
A
β γ
b
Z
X
Y
水平线正平线的投影特性：
1、正平线的 V投影反映真长，真长投影与 OX夹角为 α ；
与 OZ轴的夹角为 γ;β = 0 ° 。
2、正平线的 H投影 a b∥OX ； W投影 a″b″∥OZ ；
a′
b′ b″
a″
ba
γα
反映真长 TL
YH
YWX
Z
a′
b′
A
a b
α
B
a″
b″γ
Z
X
Y
正平线
a′
b′ b″
a″
b
a
α
反映真长 TL
β
YH
YWX
Z
a′
b′
A
a
b
α
B
a″
b″
β
Z
X
Y
侧平线的投影特性：
1.侧平线的 W投影反映真长，真长投影与 OY夹角为 α ；与
OZ轴的夹角为 β ； γ = 0 ° 。
2.侧平线的 V投影 a′b′∥OZ ； H投影 a b∥OY ；
侧平线按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：
铅垂线 直线垂直于 H面，平行于 V,W面。
正垂线 直线垂直于 V面，平行于 H,W面。
侧垂线 直线垂直于 W面，平行于 H,V面。
投影面垂直线投影面垂直线
a′
b′ b″
a″
b(a) YH
YWX
Z
a′
b′
A
(a)b
B
a″
b″
Z
X
Y
铅垂线投影特性：
1、铅垂线的 H投影积聚为一点；
2、铅垂线的 V,W投影反映直线的真长，且平行于 OZ轴。
铅垂线
b″ a″
a
( b′ )
b
a′
YH
YWX
Za′ ( b
′ )
B b″
A
a
b
a″
Z
X
Y
正垂线投影特性：
1、正垂线的 V投影积聚为一点；
2、正垂线的 H,W投影反映直线的真长，且平行于 OY轴。
正垂线
a′ b′ （ b″ ）a″
ba
YH
YWX
Z
a′ b′
A
a b
B
a″ (b″ )
Z
X
Y
侧垂线投影特性：
1、侧垂线的 W投影积聚为一点；
2、侧垂线的 V,H投影反映直线的真长，且平行于 OX轴。
侧垂线
A
B
C
a (b)
E
F
D
e d
f
直线上点的投影特性,
1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。
2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：
ED:DF = e d:d f = e′d′,d′f′=e″d″:d″f″
(c)
2、直线上的点
a′
b′
a
b
k′
k
k″
a″
b″
X
Z
YH
YW
O
K
点在直线
AB
上
【 例题 1】 判定下题中，点 K是否在直线 AB上？
X
YH
YW
Za′
b′
a
b
k′
k
a″
b″
k″
K
点不在直线
AB
上
O
【 例题 2】 判断点 K是否在直线 AB上。
a
b
a′
b′
C ′
c
X O
【 例题 3】 试在直线 AB上确定一点 C，使 AC:CB=2:3，求 C点的两面投影。
直角三角形法
3、一般线的实长与倾角
AB真长
α
AB真长
β
a
b
a′
b′
A
B
a
b
α
β γ
b″
a′
b′ Z
X
Y
a″
△ ZAB
量取
△ ZAB
△ YAB
量取
△ YAB
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，
另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。
真长（ TL) 坐标差
△ Z,△ Y,△ X
H,V,W投影长α,β,γ
直角三角形法
【 例题 4】 试在直线 AB上其一点 C，使 AC = 25 mm,求点
C的投影。
a
b
a′
b′
X O
Δ ZAB
=Δ ZAB
C
在 AB上量取
AC=25mm c
c′
B
A
【 例题 5】 已知直线 AB的 V投影，且 AB=40mm，求 AB的 H投影。
量取 △ YAB
△ YAB a
′
b′
a
b
【 例题 6】 已知直线 AB的 V投影，且 β=30 °,求 AB的 H投影。
a′
b′
a
b
△ YAB
量取 △ YAB
β
【 例题 7】 已知直线 AB的 V投影，且 α=30 °,求 AB的 H投影。
a′
b′
a
b
α
Δ zAB
直线的 H投影长以直线的 H投影长为半径，作圆弧直线 AB真长两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行
4、两直线的相对位置两直线平行的投影特性：
两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即 AB∥CD,
则,ab∥cd ； a′b′∥c′d′ ； a″b″∥c″d ″ 。
x o
b
′
a
a
′
d
′
b b
c
c
′
x o
b′
a′
a
b d
c′
d′
c
A
B
C
D
两直线平行
o
b’
x
a’
a
b
k’
c’
d’
d
c
k
x o
B
D
A
C
K
b
b’
a
a’
c’
c
d
d’
k’
k
两直线相交的投影特性,
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。
两直线相交
O
b’
X
a’
a
b
c’
d’
d
c
1
1’(2’)
2
X O
B
D
A
C b
b’
a
a’ c’
c d
d’
2
1
1’(2’)
2
1
两直线交叉的投影特性,
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉,
两直线交叉
【 例题 8】 判断两直线的相对位置（方法一）
X
a′
a
c′
d′
d
c b
b′
o
d″
c″
a″
b″
YW
YH
Z 两直线交叉
【 例题 9】 判断两直线的相对位置 (方法二）
c b
o
a′
a
c′
d′
d
b′
x
1′
1
=1′d′ =1′c′
两直线交叉
【 例题 10】 作直线 KL与 AB,CD相交，且平行于 EF直线。
d ′
e′
f ′
f
e
c′
a′
a
b
c
d
(b′) (k′)
l ′
l
k
作 kˊ lˊ∥ e ˊ f ˊ
作 kl∥ ef
【 例题 11】 已知水平线 AB的两面投影及点 C的两面投影，
求作直线 CD，使其与直线 AB相交且与 H面成 30o夹角。
Cˊ
aˊ bˊ
c
a
b
△ ZCD
CD水平投影长
CD真长
α
以 CD水平投影长为半径作弧
d
有两解
dˊ
A
H
B
C
ac b
c
OX
b′a ′
c′
b
a
直角投影规律：
空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。
5、一边平行于投影面的直角投影两直线交叉垂直
OX
b′a′
b
a
m
n
n
m
B
H
A
C
c b
a
M
N
nm
【 例题 12】 求点 K到直线 AB的距离 。
k
k′
a
b
a′ b′
l
l′
垂线 KL的实长
△ ZK
L
△ ZK
L
【 例题 13】 已知直角三角形 ABC，其一直角边 BC在 EF线上，
长 30mm，试完成三角形 ABC的投影。
e′ f′
e
f
a′
a
b
b′
c
c′
量取 bc=30mm
【 例题 14】 已知正方形 ABCD的对角线位于侧平线 EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。
a′
f′
e′ e″
f″
a″
b″
c″
d″
b′
d′
c′
o″
o′
=△ XAO
△ XAO
半对角线长
【 例题 15】 求两直线 AB,CD之间的距离。
a
aˊ
b
bˊ cˊ
dˊ
c(d)
nˊmˊ
m
两交叉线间距离
(n)