一、概 述二、换 面 法三、旋 转 法例 题
2.5 投 影 变 换返回在画法几何中，对点、线、面的定位和度量问题，
若所给空间元素位特殊位置时，则它们的投影能反映一些度量关系，若所给元素为一般位置时，它们的投影则不能反映度量关系，需通过一些基本作图才能求得。
能否将所给的处于一般位置的空间几何元素，通过投影变换使其在投影体系中处于特殊位置或者对解题有利的位置。在画法几何中，常用的方法有,换面法 和 旋转法 。
一、概 述
1、换面法的基本概念
3、点的投影变换规律
4、六个基本问题
2,新投影面的设置原则
5,例 题返回二、换面法换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影 体系 取代原投影体系，使空间几何元素在新投影体系下，
处于特殊位置或对解题有利的位置。
V
A
H
aC
B
c′
b′
X a
1
′
c1
′ b
1
′
V1
c1
′
b1
′
a1
′
X1
bc
a
b′
a′
c′
X
X1
V/H 投影体系变换为 V1/H投影体系返回
1、换面法的基本概念
V
A
H
a’C
B
c’
b’
X
V1
c1’
b1’a1’
X1
返回
⑴ 新投影面必须处于 对 解题有利的位置。
⑵ 新投影面必须垂直原投影体系中的某一投影面。
2,新投影面的设置原则返回
3、点的投影变换规律点的一次变换点的投影变换规律点的两次变换
a’
X VH
a
V
H
X
X1
V1 a1’
a′
A
a
a1’
返回点的一次变换
点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
a1′
a′
X VH
a
返回点的投影变换规律
V
H
X
H1
点在 V/H1 体系中的投影
a1
a’
A
a
a1
X VH
a′
a
返回
a2
a1’
a
a1’
XVH
V
X
H
V1
X1
a1’
a’
A
a
X2a2
返回点的两次变换
⑴ 一般位置直线变换为 投影面平行线
⑶ 一般位置直线 变换为 投影面垂直线
⑵ 投影面平行线 变换为 投影面垂直线
⑷ 一般位置平 面 变换为 投影面垂直面
⑹ 一般位置平 面 变换为 投影面平行面
⑸ 投影面垂直面 变换为 投影面平行面返回
4、六个基本问题
V
H
X
A
a’
B
b’
a
b
V1
X1
a1’
b1’
a1’
b1’
X1
b
a
b’
a’
XVH
返回一般位置直线变换为 投影面平行线
a1
b1
b’
a’
b
a
X
H
V
返回
a1b1
V
H
X
a’
A
a
b’
B
b
H1
a1’
b1’
X VH
a’
a b
b’
返回投影面平行线 变换为 投影面垂直线
a'
a
X VH
b'
b
a2b2
X
H
a'
A
a
b'
b
B
V
V1
X1
a1'
b1'X2
返回一般位置直线 变为 投影面垂直线
a2b2
a' c'
X VH
b'
b
a
c
V
H
X
c
b
a'
b'
C
A
c'
B
a d
d'
D H1a1
c1
b1
d1
d
返回一般位置平 面 变换为 投影面垂直面
H
X
V
C
A
c’
b’
a’
B
V1
c1’
b1’
a1’
X1 a
c (b)
返回投影面垂直面 变换为 投影面平行面
a1′
c1′
b1′
X1
bc
a
b′
a′
c′
X
V
H
a'
c'
b'
X
b c
a
返回
a' c'
X VH
b'
b
a c
d'
d
a2'
c2'
b2'
d2'
返回一般位置平 面 变换为 投影面平行面反映点 C到直线 AB的距离
X
a′
b′
c′
a
bc
下一题 返回上一题
【 例题 1】 求点 C到直线 AB的距离,并作出垂线的投影。
d2
d
d′
a2 b2
c2
d1′
a1′
b1′
c1′
e2
【 例题 2】 求直线 AB与 CD间的距离，并作出过 B点的垂线。
a
bc
d
c′
d′
b′
a′
X VH
a1′
b1′
c1′
d1′
a2b2
c2d2 反映两直线间距离下一题 返回上一题
e1′
e
e′
a2b2d2
c2
d1'c1'
m1
'
n1'
n
m
b'
n'
m'
m2n2
【 例题 3】 求两直线 AB与 CD的公垂线 并求公垂线的实长。
H2
C
D
B
A
N
M
下一题 返回上一题
a
b
d
c
a'
X VH
d'
c'
k'
s'a' c'
b'
b
a
c
d'
s
s'
【 例题 4】 求点 S到平面 ABC的距离,并作出垂线的投影。
反映点 S 到平面的距离下一题 返回上一题k
k'
d
N
a′ c′
b′
b
a
c
N
d′
d
k′
e′
k
【 例题 5】 已知 E到平面 ABC的距离为 N，求作过 E点的垂线。
下一题 返回上一题
`
a' c'
X VH
b'
b
a c
d'
d
a2'
c2'
b2'
d2'
15
e
e'
e1
e2'
【 例题 6】 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点投影。
下一题 返回上一题下一题 返回上一题
【 例题 7】 求直线与平面间的夹角 θ 。
θ
b1′(a1′)
f1′
c1′
e1′
X1
X3
c2
a2
b2
e2
f2
b3′
c3′
a3′
f3′
e3′
a′
c′
b′
b
a
c
f
e
e′
f′
X
θ
k′
f′
e′
a′c′b′
B
C
A
F
EK
k a
b
f
e
θ
k3′k2
k1′
k
k′
下一题 返回上一题
【 例题 8】 已知△ ABC底边 BC的两面投影和 BC边上高线的 H
投影方向,∠ A=60°,求 ABC的两面投影。
d′
c′
b′
b
c
d
p
X2 a1′
c1′
b1′ d1′
p1′
a2
p2
c2b2d2
X3
a3′
p3′
b3′d3′c3′ a
30°30°
60°
a′
2.5 投 影 变 换返回在画法几何中，对点、线、面的定位和度量问题，
若所给空间元素位特殊位置时，则它们的投影能反映一些度量关系，若所给元素为一般位置时，它们的投影则不能反映度量关系，需通过一些基本作图才能求得。
能否将所给的处于一般位置的空间几何元素，通过投影变换使其在投影体系中处于特殊位置或者对解题有利的位置。在画法几何中，常用的方法有,换面法 和 旋转法 。
一、概 述
1、换面法的基本概念
3、点的投影变换规律
4、六个基本问题
2,新投影面的设置原则
5,例 题返回二、换面法换面法 — 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影 体系 取代原投影体系，使空间几何元素在新投影体系下，
处于特殊位置或对解题有利的位置。
V
A
H
aC
B
c′
b′
X a
1
′
c1
′ b
1
′
V1
c1
′
b1
′
a1
′
X1
bc
a
b′
a′
c′
X
X1
V/H 投影体系变换为 V1/H投影体系返回
1、换面法的基本概念
V
A
H
a’C
B
c’
b’
X
V1
c1’
b1’a1’
X1
返回
⑴ 新投影面必须处于 对 解题有利的位置。
⑵ 新投影面必须垂直原投影体系中的某一投影面。
2,新投影面的设置原则返回
3、点的投影变换规律点的一次变换点的投影变换规律点的两次变换
a’
X VH
a
V
H
X
X1
V1 a1’
a′
A
a
a1’
返回点的一次变换
点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
a1′
a′
X VH
a
返回点的投影变换规律
V
H
X
H1
点在 V/H1 体系中的投影
a1
a’
A
a
a1
X VH
a′
a
返回
a2
a1’
a
a1’
XVH
V
X
H
V1
X1
a1’
a’
A
a
X2a2
返回点的两次变换
⑴ 一般位置直线变换为 投影面平行线
⑶ 一般位置直线 变换为 投影面垂直线
⑵ 投影面平行线 变换为 投影面垂直线
⑷ 一般位置平 面 变换为 投影面垂直面
⑹ 一般位置平 面 变换为 投影面平行面
⑸ 投影面垂直面 变换为 投影面平行面返回
4、六个基本问题
V
H
X
A
a’
B
b’
a
b
V1
X1
a1’
b1’
a1’
b1’
X1
b
a
b’
a’
XVH
返回一般位置直线变换为 投影面平行线
a1
b1
b’
a’
b
a
X
H
V
返回
a1b1
V
H
X
a’
A
a
b’
B
b
H1
a1’
b1’
X VH
a’
a b
b’
返回投影面平行线 变换为 投影面垂直线
a'
a
X VH
b'
b
a2b2
X
H
a'
A
a
b'
b
B
V
V1
X1
a1'
b1'X2
返回一般位置直线 变为 投影面垂直线
a2b2
a' c'
X VH
b'
b
a
c
V
H
X
c
b
a'
b'
C
A
c'
B
a d
d'
D H1a1
c1
b1
d1
d
返回一般位置平 面 变换为 投影面垂直面
H
X
V
C
A
c’
b’
a’
B
V1
c1’
b1’
a1’
X1 a
c (b)
返回投影面垂直面 变换为 投影面平行面
a1′
c1′
b1′
X1
bc
a
b′
a′
c′
X
V
H
a'
c'
b'
X
b c
a
返回
a' c'
X VH
b'
b
a c
d'
d
a2'
c2'
b2'
d2'
返回一般位置平 面 变换为 投影面平行面反映点 C到直线 AB的距离
X
a′
b′
c′
a
bc
下一题 返回上一题
【 例题 1】 求点 C到直线 AB的距离,并作出垂线的投影。
d2
d
d′
a2 b2
c2
d1′
a1′
b1′
c1′
e2
【 例题 2】 求直线 AB与 CD间的距离，并作出过 B点的垂线。
a
bc
d
c′
d′
b′
a′
X VH
a1′
b1′
c1′
d1′
a2b2
c2d2 反映两直线间距离下一题 返回上一题
e1′
e
e′
a2b2d2
c2
d1'c1'
m1
'
n1'
n
m
b'
n'
m'
m2n2
【 例题 3】 求两直线 AB与 CD的公垂线 并求公垂线的实长。
H2
C
D
B
A
N
M
下一题 返回上一题
a
b
d
c
a'
X VH
d'
c'
k'
s'a' c'
b'
b
a
c
d'
s
s'
【 例题 4】 求点 S到平面 ABC的距离,并作出垂线的投影。
反映点 S 到平面的距离下一题 返回上一题k
k'
d
N
a′ c′
b′
b
a
c
N
d′
d
k′
e′
k
【 例题 5】 已知 E到平面 ABC的距离为 N，求作过 E点的垂线。
下一题 返回上一题
`
a' c'
X VH
b'
b
a c
d'
d
a2'
c2'
b2'
d2'
15
e
e'
e1
e2'
【 例题 6】 点 E在平面 ABC上，距离 A,B为 15，求 E点投影。
下一题 返回上一题下一题 返回上一题
【 例题 7】 求直线与平面间的夹角 θ 。
θ
b1′(a1′)
f1′
c1′
e1′
X1
X3
c2
a2
b2
e2
f2
b3′
c3′
a3′
f3′
e3′
a′
c′
b′
b
a
c
f
e
e′
f′
X
θ
k′
f′
e′
a′c′b′
B
C
A
F
EK
k a
b
f
e
θ
k3′k2
k1′
k
k′
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【 例题 8】 已知△ ABC底边 BC的两面投影和 BC边上高线的 H
投影方向,∠ A=60°,求 ABC的两面投影。
d′
c′
b′
b
c
d
p
X2 a1′
c1′
b1′ d1′
p1′
a2
p2
c2b2d2
X3
a3′
p3′
b3′d3′c3′ a
30°30°
60°
a′
