一、平面立体及其表面上的线和点二、平面曲线和空间曲线三、曲面、回转体及其表面上的线和点四、圆柱螺旋线和平螺旋面
2.6 曲线、曲面和立体返回立体表面是由平面所围成的立体，称为平面立体。
平面立体的投影实质上是围成平面立体的各表面的投影的集合。常见的平面立体有：棱柱体、棱锥体和棱台。
在平面立体表面上作直线和点的投影，实质上是在平面立体相应棱面上作直线和点，棱面上直线和点的可见性取决于直线和点所处棱面的可见性。
（二）棱锥体及其表面上的直线和点
（一）棱柱体及其表面上的直线和点一、平面立体及其表面上的线和点
V
H
W
返回
1、棱柱体投影返回正六棱柱投影图返回斜四棱柱投影图
a′
b′
c′
1″
1
(1′)
a b
c
a″
b″
(c″)
返回直棱柱体表面上直线和点
a′
b′ c′
1′
2′
1
b
(2)
1″
b″
(c″)(2″)
a″
a
(c)
返回斜棱柱体表面上直线和点
H
W
V
返回
2、棱锥体的投影
a′ b′c′
a b
c
s′
s
a″b″ c″
s″
返回正三棱锥投影图返回三棱锥投影图
b
a
a′
b′
a″
b″
c′
c
(c″)
返回棱锥体表面上直线和点平面曲线 —— 曲线上各点均位于同一平面上，如：圆、
抛物线、双曲线等。
当平面曲线所在平面平行于投影面时，则平面曲线的投影反映实形；
当平面曲线所在平面垂直于投影面时，则平面曲线的投影为一直线；
当平面曲线所在平面倾斜于投影面时，平面曲线的投影仍为曲线，但不反映其实形。
1、平面曲线的投影返回二、平面曲线和空间曲线
（ 1）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；
（ 2）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；
β
返回圆及其投影特性
O
o
A
B
C
D
b
a d
c
返回
（ 3）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大倾斜线。
a
b
a′
b′
c
d
d′
c′
Ⅰ ′
Ⅱ ′
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ ′
Ⅲ ′
Ⅲ
Ⅳ
o
o′
返回
【 例题 】 在四边形平面上，以 O为圆心，半径 R=30，作圆的两面投影。
空间曲线 —— 曲线上连续四点不位于同一平面上，如：
圆柱螺旋线等。
空间曲线的投影为平面曲线；空间曲线的切线投影与空间曲线的投影相切与对应点。
M
N
A
BC
D
E F
a
fedm
c n
b ab
c
d e
f
e′b′d′c′
返回
2、空间曲线的投影
㈠ 曲面的形成和分类规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线段，也可以是曲线段；曲面的分类：
按母线是直线还是曲线，曲面可分为,直纹面和曲线面 ；
按母线的运动方式，曲面可分为,回转面和非回转面 ；
按曲面的可展性，曲面可分为,可展曲面和不可展曲面 ；
㈡ 回转面和回转体母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，
称为回转体。 返回三、曲面、曲面立体及其表面上的线和点返回
1,圆柱体的投影
1 2 3
4
1″
(3″)
2″
(4″)
a″(a′)
a
1′ 2′
3′ 4′
在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。
返回圆柱体表面上的线和点返回
2、圆锥体的投影
a′
a
a″
返回用素线法在锥面上定点
a′
a
a″
返回用纬圆法在锥面上定点返回
a′b′
c′
a
b
c
(a″) (b″)
c″
1″1″2′
3′ 2″3″
3 2 1
圆锥体表面上的线和点返回
3、圆台的投影返回
4、圆球体的投影
m″
(m)
m″
a b
c
(a′)
(b′)
(c′)
a″
b″
(c″)
返回圆球面上的线和点
n″n′
n
返回
5、圆环体
(a′)
a
(a″)
返回环面上的线和点返回
6、
单叶双曲回转面返回
1、柱 面
2、锥 面
3、双曲抛物面
4、柱 状 面
5、锥 状 面
㈢ 常用的非回转直纹面直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，称为柱面。
椭圆柱 斜圆柱曲导线 L1
直导线 L2
母线返回
1、柱 面直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形成的曲面称为锥面。
椭圆锥 斜圆锥曲导线母线 导点返回
2、锥 面直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。
V
H
A D
B C
b
a c
d
返回
3、双曲抛物面返回双曲抛物面的画法直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为柱状面。
柱状面的画法返回
4、柱 状 面直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。
锥状面的画法返回
5、锥 状 面一动点沿着圆柱面的直母线作等速移动，同时又绕圆柱面的轴线作等速旋转的合运动轨迹，
称为圆柱螺旋线。
圆柱螺旋线的画法
1、圆柱螺旋线返回
㈣ 圆柱螺旋线和平螺旋面平螺旋面的画法直母线沿着圆柱螺旋线和其轴线且平行于与轴线垂直的导平面运动所形成的曲面称为平螺旋面。平螺旋面属于锥状面的一种。
返回
2、平螺旋面返回中空的平螺旋面画法返回螺旋扶手的画法返回返回螺旋楼梯返回螺旋楼梯的画法返回
2.6 曲线、曲面和立体返回立体表面是由平面所围成的立体，称为平面立体。
平面立体的投影实质上是围成平面立体的各表面的投影的集合。常见的平面立体有：棱柱体、棱锥体和棱台。
在平面立体表面上作直线和点的投影，实质上是在平面立体相应棱面上作直线和点，棱面上直线和点的可见性取决于直线和点所处棱面的可见性。
（二）棱锥体及其表面上的直线和点
（一）棱柱体及其表面上的直线和点一、平面立体及其表面上的线和点
V
H
W
返回
1、棱柱体投影返回正六棱柱投影图返回斜四棱柱投影图
a′
b′
c′
1″
1
(1′)
a b
c
a″
b″
(c″)
返回直棱柱体表面上直线和点
a′
b′ c′
1′
2′
1
b
(2)
1″
b″
(c″)(2″)
a″
a
(c)
返回斜棱柱体表面上直线和点
H
W
V
返回
2、棱锥体的投影
a′ b′c′
a b
c
s′
s
a″b″ c″
s″
返回正三棱锥投影图返回三棱锥投影图
b
a
a′
b′
a″
b″
c′
c
(c″)
返回棱锥体表面上直线和点平面曲线 —— 曲线上各点均位于同一平面上，如：圆、
抛物线、双曲线等。
当平面曲线所在平面平行于投影面时，则平面曲线的投影反映实形；
当平面曲线所在平面垂直于投影面时，则平面曲线的投影为一直线；
当平面曲线所在平面倾斜于投影面时，平面曲线的投影仍为曲线，但不反映其实形。
1、平面曲线的投影返回二、平面曲线和空间曲线
（ 1）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；
（ 2）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；
β
返回圆及其投影特性
O
o
A
B
C
D
b
a d
c
返回
（ 3）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影椭圆的长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大倾斜线。
a
b
a′
b′
c
d
d′
c′
Ⅰ ′
Ⅱ ′
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ ′
Ⅲ ′
Ⅲ
Ⅳ
o
o′
返回
【 例题 】 在四边形平面上，以 O为圆心，半径 R=30，作圆的两面投影。
空间曲线 —— 曲线上连续四点不位于同一平面上，如：
圆柱螺旋线等。
空间曲线的投影为平面曲线；空间曲线的切线投影与空间曲线的投影相切与对应点。
M
N
A
BC
D
E F
a
fedm
c n
b ab
c
d e
f
e′b′d′c′
返回
2、空间曲线的投影
㈠ 曲面的形成和分类规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线段，也可以是曲线段；曲面的分类：
按母线是直线还是曲线，曲面可分为,直纹面和曲线面 ；
按母线的运动方式，曲面可分为,回转面和非回转面 ；
按曲面的可展性，曲面可分为,可展曲面和不可展曲面 ；
㈡ 回转面和回转体母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，
称为回转体。 返回三、曲面、曲面立体及其表面上的线和点返回
1,圆柱体的投影
1 2 3
4
1″
(3″)
2″
(4″)
a″(a′)
a
1′ 2′
3′ 4′
在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。
返回圆柱体表面上的线和点返回
2、圆锥体的投影
a′
a
a″
返回用素线法在锥面上定点
a′
a
a″
返回用纬圆法在锥面上定点返回
a′b′
c′
a
b
c
(a″) (b″)
c″
1″1″2′
3′ 2″3″
3 2 1
圆锥体表面上的线和点返回
3、圆台的投影返回
4、圆球体的投影
m″
(m)
m″
a b
c
(a′)
(b′)
(c′)
a″
b″
(c″)
返回圆球面上的线和点
n″n′
n
返回
5、圆环体
(a′)
a
(a″)
返回环面上的线和点返回
6、
单叶双曲回转面返回
1、柱 面
2、锥 面
3、双曲抛物面
4、柱 状 面
5、锥 状 面
㈢ 常用的非回转直纹面直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，称为柱面。
椭圆柱 斜圆柱曲导线 L1
直导线 L2
母线返回
1、柱 面直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形成的曲面称为锥面。
椭圆锥 斜圆锥曲导线母线 导点返回
2、锥 面直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。
V
H
A D
B C
b
a c
d
返回
3、双曲抛物面返回双曲抛物面的画法直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为柱状面。
柱状面的画法返回
4、柱 状 面直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。
锥状面的画法返回
5、锥 状 面一动点沿着圆柱面的直母线作等速移动，同时又绕圆柱面的轴线作等速旋转的合运动轨迹，
称为圆柱螺旋线。
圆柱螺旋线的画法
1、圆柱螺旋线返回
㈣ 圆柱螺旋线和平螺旋面平螺旋面的画法直母线沿着圆柱螺旋线和其轴线且平行于与轴线垂直的导平面运动所形成的曲面称为平螺旋面。平螺旋面属于锥状面的一种。
返回
2、平螺旋面返回中空的平螺旋面画法返回螺旋扶手的画法返回返回螺旋楼梯返回螺旋楼梯的画法返回
