一、平面的表示方法二、平面对投影面的各种相对位置三、平面上的点、直线以及平面图形
2.3 平面的投影
a′
b′
B
A C
a
c
c"
a"
b"
X
H Y
V Z
W
b
1、用几何元素表示平面一、平面的表示方法
2、用迹线表示平面
Z
X
YH
V
W
PH
PV
PWPa′
b′ B
A C
a
c
c"a"
b"
X
H Y
V Z
W
b
c
X O
a
b
a′
b′
c′
X O
a
b
c
a′
b′
c′
(1) 不在同一直线上的三点
(2) 一直线和线外一点
(3)两相交直线
(4)两平行直线
d′
X O
a
c
d
a′
c′
b
b′
c
X O
a
b
a′
b′
c′
(5) 平面图形
X O
a
b
c
a′
b′
c′
1、用几何元素表示平面
Z
X
Y
H
V
W
PH
PV
PWP
PV
PH
PW
YH
X YW
Z
O
2、用迹线表示平面平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面对 H,V,W面均倾斜二、平面对投影面的各种相对位置
⊥H 面，对 V,W面均倾斜
⊥V 面，对 H,W面均倾斜
⊥W 面，对 H,V面均倾斜
∥H 面,⊥ V面,⊥ W面
∥V 面,⊥ H面,⊥ W面
∥W 面,⊥ H面,⊥ V面
X
Z
Y
一般位置平面的投影特性,
1,abc,a′ b′ c′ 和 a″ b″ c″ 均为?ABC的类似形。
2、不反映?,?,? 的真实角度 。
a ″
c″
b
a c
a ′
b ′
b ″
C
A
B
YW
Z
X
a ′
b ′ b ″
o
YH
a ″
c ′ c ″
b
a
c
一般位置平面铅垂面的投影特性：
1、平面的水平投影 abc积聚为一条线，积聚线与 OX,OY
夹角 反映 了平面与 V,W面的?,? 角，其 α= 90 ゜ ；
2,a′ b′ c′ 和 a″ b″ c″ 为?ABC的类似形 ;
a ′
b ′
a ″
b ″
b
a o
z
YH
YW
c
c ″c ′
Xx
Y
V
W
H
o
z
P
PH
A
B
Ca
cb
投影面垂直面 —— 铅垂面
x
z
Y
V
W
H
o
P
PH
PW
PV
A
a
Z
X
YH
YW
γ
β
PV PW
PH
铅垂面迹线表示法
a
a′ a″
正垂面的投影特性：
1、平面的正面投影 a′ b′ c′ 积聚为一条线 ；积聚线与
OX,OZ夹角 反映了平面 与 H,W的 α,? 角，其?=90゜ 。
2,abc,a″ b″ c″ 为? ABC的类似形 ;
z
x
a ′
b ′
a ″
b ″
b
a
o
YH
YW
α
c ″c ′
cX
z
Y
V
W
H
o
QV
A
c ′
C
a ′
b ′
B
投影面垂直面 —— 正垂面
Y
V
H
W
X
Z
O
QWQV
QH
Q
QV
α
γ
QW
QH
YH
YWX
Z
O
正垂面的迹线表示法侧垂面的投影特性：
1、平面的侧面投影 a″ b″ c″ 积聚为一条线 ；积聚线与 OY,OZ的夹角 反映平面 的 α,β 角,其? = 90゜ ；
2,abc,a′ b′ c′ 为? ABC的类似形 ；
X
z
Y
V
W
H
O
SHS
B
C a
″
b ″
A
c ″
投影面垂直面 —— 侧垂面
YWX
a′
b ′ b ″
b
a
o
YH
a ″
α
β
c
c ′ c ″
Z
SW
SH
SV
αβ
YH
YW
Z
X
O
Y
X
ZV
H
W
OS
SV
SW
SH
侧垂面的迹线表示法
x
z
Y
V
W
H
O
水平面的投影特性：
1,a′ b′ c′,a″ b″ c″ 积聚为一条线，具有积聚性。
2、水平投影 abc 反映? ABC实形。
C
A
B
c′a′
a″
b″
ba
c
b′
c″
投影面平行面 —— 水平面
z
c
YWX
a ′ b ′ b ″
b
a
o
YH
a ″c ′ c ″
正平面的投影特性：
1,abc,a″ b″ c″ 积聚为一条线，具有积聚性。
2、正平面投影 a′ b′ c′ 反映? ABC实形 。
X
z
Y
V
W
H
O
投影面平行面 —— 正平面
b′
a′
c′
a″
b″
c″
bc a
C
B
A c
″ YW
a″
b″b ′
o
YH
a ′
c ′
bc a
X
Z
X
z
Y
V
W
H
O
c″
侧平面的投影特性：
1,abc,a′ b′ c′ 积聚为一条线，具有积聚性；
2、侧平面投影 a″ b″ c″ 反映? ABC实形 。
投影面平行面 —— 侧平面
b
b″
c′
a
c
a′
b′
a″
C
B
A
YW
a′
b′ b″
b
o
YH
a″
c′ c″
c
a
X
Z
（一）平面上的点和直线
（二）平面上的特殊直线
（三）例 题 a′
b′
B
A C
a
c
c"a"
b"
X
H Y
V Z
W
b
N
n′
n
n"
三、平面上的点、直线和图形
1,点在平面上的几何条件：
若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线上。反之，若一点位于平面上的某一直线上，则该点必定位于平面上。
2、直线在平面上的几何条件：
若直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个已知点或通过平面上的一个点且平行于平面上某一直线。
3、基本作图：
⑴ 判定点或直线是否在平面上；
⑵ 在平面上进行定点或定直线。
（一）平面上的点和直线的几何条件
a
b
c
a'
b'
c'
k
k'
e
e'
K点不在 Δ ABC上
【 例题 1】 判定点 K是否在平面 ΔABC 上？
a
b c
b′
c′
a′
25
25
k
k′1′ 2′
1
2
【 例题 2】 试在平面 ΔABC 上确定一点 K，使点 K到 V,H投影面的距离均为 25mm。
a
a′
b
b′
c
c′
d
d′
e
f
e′
f′
k
l
不 在
l′
k′
【 例题 3】 判定点 EF是否在平面 AB∥CD 上？
b
a
c
d e
b′
a′
c′
d′
e′
f
f ′
【 例题 4】 五边形 ABCDE为平面图形,BC∥H 面,AE∥BC,
试完成其正面投影。
e′
d c
ea
b
a′
b ′
c′
d′
【 例题 5】 已知平面四边形 ABCD，其中 DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。
eˊ
fˊ
dˊ
aˊ
bˊ
cˊ
d 〞
f〞
e 〞
a〞
c〞
b〞
3ˊ 3〞
2ˊ 2〞
1ˊ 1〞
【 例题 6】 已知△ ABC与点 D和直线 EF共面，试完成△ ABC的两面投影。
1、平面内的投影面平行线
2、平面内对投影面的最大倾斜线
A
B
C
D
d
b
caH
（二）平面内的投影面平行线和最大斜度线
3、例 题
a
b
c
aˊ
bˊ
cˊ
dˊ
d
eˊ
e
平面上的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性。
1、平面内的投影面平行线平面内与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大倾斜线。在平面内有无数条最大倾斜线，是一组互相平行的直线。
α
θ
A
a
B
C
PH
E
F
P
H
最大倾斜线的投影特性：
1.对投影面倾角最大的直线；
2.最大倾斜线垂直于平面内的投影面平行线；
3.平面对投影面的夹角等于平面内的最大倾斜线对投影面的倾角。
2、平面上对投影面的最大倾斜线
a
b
c
a′
c′
b′
m′
m
α
△ ZC
M
△
【 例题 7】 求平面△ ABC的 α 角。
a
b
c
a′
c′
b′
△ YCM
△ YCM
Ⅰ
Ⅰ ′
m
m′
β
【 例题 8】 求平面△ ABC的 β 角。
c
a
b
a′ b′
α
△ ZC
D
d′
c′
d
【 例题 9】 已知△ ABC平面的 α=30 °,边 AB为水平线，试完成△ ABC的正面投影。
c
b
a
b′
a′
c′
d
d′
【 例题 10】 已知 AB为平面△ ABC对 H面的最大倾斜线，试完
△ ABC的正面投影。