线性代数 （第五版）
同济大学数学系 编在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组,
但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等,
我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形,
在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具,
第一章 行列式
内容提要
§ 1 二阶与三阶行列式
§ 2 全排列及其逆序数
§ 3 n 阶行列式的定义
§ 4 对换
§ 5 行列式的性质
§ 6 行列式按行（列）展开
§ 7 克拉默法则行列式的概念,
行列式的 性质及计算,
—— 线性方程组的求解,
（选学内容）
行列式是线性代数的一种工具！
学习行列式主要就是要能计算行列式的值,
§ 1 二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式,
一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
由消元法，得
211211221122211 )( abbaxaaaa
212221121122211 )( baabxaaaa
当 时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa
21122211
212221
1 aaaa
baabx
21122211
211211
2 aaa
abbax
求解公式为
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
1 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1
2
1 1 2 2 1 2 2 1
b a a b
x
a a a a
a b b a
x
a a a a
二元线性方程组请观察，此公式有何特点？
分母相同，由方程组的四个系数确定,
分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得,
其求解公式为
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
1 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1
2
1 1 2 2 1 2 2 1
b a a b
x
a a a a
a b b a
x
a a a a
二元线性方程组 我们引进新的符号来表示,四个数分成两对相乘再相减,,
1 1 1 2
1 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 2
aaD a a a a
aa
11 12
21 22
aa
aa
记号 1 1 1 2
2 1 2 2
aa
aa
数表表达式 称为由该数表所确定的 二阶行列式,即
1 1 2 2 1 2 2 1a a a a?
其中,称为 元素,( 1,2 ; 1,2 )
ija i j
i 为 行标,表明元素位于第 i 行；
j 为 列标,表明元素位于第 j列,原则：横行竖列二阶行列式的计算
1 1 1 2
2 1 2 2
aa
aa
1 1 2 2 1 2 2 1a a a a
主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
—— 对角线法则二元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
若令
1 1 1 2
2 1 2 2
aaD
aa?
12
1
1
2 22
b
b
aD
a?
1
2
2
11
21
baD
a b?
(方程组的系数行列式 )
则上述二元线性方程组的解可表示为
11 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
D
D
b a a bx
a a a a?
1 1 2 1 2 1 2
2
1 1 2 2 1 2 2 1
a b b a Dx
a a a a D
例 1 求解二元线性方程组
12
1223
21
21
xx
xx
解 因为 12
23D
07)4(3
14)2(1211 2121D
2124312 1232D
所以
1
1
14 2,
7
Dx
D
2
2
21 3
7
Dx
D
二、三阶行列式定义 设有 9个数排成 3行 3列的数表原则：横行竖列引进记号称为 三阶行列式,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 3 2 1 3 2a a a?1 1 2 2 3 3a a a? 1 2 2 3 3 1a a a?
1 3 2 2 3 1a a a? 1 2 2 1 3 3a a a? 1 1 2 3 3 2a a a?
注意,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
实线上的三个元素的乘积冠正号，
虚线上的三个元素的乘积冠负号,
1 2 - 4
- 2 2 1
- 3 4 - 2
D?
例 2 计算行列式解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
方程左端解由 得
2
1 1 1
2 3 0,
49
x
x
例 3 求解方程
12291843 22 xxxxD
,652 xx
2 5 6 0xx
3.2 xx 或
同济大学数学系 编在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组,
但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等,
我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形,
在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具,
第一章 行列式
内容提要
§ 1 二阶与三阶行列式
§ 2 全排列及其逆序数
§ 3 n 阶行列式的定义
§ 4 对换
§ 5 行列式的性质
§ 6 行列式按行（列）展开
§ 7 克拉默法则行列式的概念,
行列式的 性质及计算,
—— 线性方程组的求解,
（选学内容）
行列式是线性代数的一种工具！
学习行列式主要就是要能计算行列式的值,
§ 1 二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式,
一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
由消元法，得
211211221122211 )( abbaxaaaa
212221121122211 )( baabxaaaa
当 时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa
21122211
212221
1 aaaa
baabx
21122211
211211
2 aaa
abbax
求解公式为
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
1 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1
2
1 1 2 2 1 2 2 1
b a a b
x
a a a a
a b b a
x
a a a a
二元线性方程组请观察，此公式有何特点？
分母相同，由方程组的四个系数确定,
分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得,
其求解公式为
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
1 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1
2
1 1 2 2 1 2 2 1
b a a b
x
a a a a
a b b a
x
a a a a
二元线性方程组 我们引进新的符号来表示,四个数分成两对相乘再相减,,
1 1 1 2
1 1 2 2 1 2 2 1
2 1 2 2
aaD a a a a
aa
11 12
21 22
aa
aa
记号 1 1 1 2
2 1 2 2
aa
aa
数表表达式 称为由该数表所确定的 二阶行列式,即
1 1 2 2 1 2 2 1a a a a?
其中,称为 元素,( 1,2 ; 1,2 )
ija i j
i 为 行标,表明元素位于第 i 行；
j 为 列标,表明元素位于第 j列,原则：横行竖列二阶行列式的计算
1 1 1 2
2 1 2 2
aa
aa
1 1 2 2 1 2 2 1a a a a
主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
—— 对角线法则二元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
a x a x b
a x a x b
若令
1 1 1 2
2 1 2 2
aaD
aa?
12
1
1
2 22
b
b
aD
a?
1
2
2
11
21
baD
a b?
(方程组的系数行列式 )
则上述二元线性方程组的解可表示为
11 2 2 1 2 2
1
1 1 2 2 1 2 2 1
D
D
b a a bx
a a a a?
1 1 2 1 2 1 2
2
1 1 2 2 1 2 2 1
a b b a Dx
a a a a D
例 1 求解二元线性方程组
12
1223
21
21
xx
xx
解 因为 12
23D
07)4(3
14)2(1211 2121D
2124312 1232D
所以
1
1
14 2,
7
Dx
D
2
2
21 3
7
Dx
D
二、三阶行列式定义 设有 9个数排成 3行 3列的数表原则：横行竖列引进记号称为 三阶行列式,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 3 2 1 3 2a a a?1 1 2 2 3 3a a a? 1 2 2 3 3 1a a a?
1 3 2 2 3 1a a a? 1 2 2 1 3 3a a a? 1 1 2 3 3 2a a a?
注意,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
实线上的三个元素的乘积冠正号，
虚线上的三个元素的乘积冠负号,
1 2 - 4
- 2 2 1
- 3 4 - 2
D?
例 2 计算行列式解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
方程左端解由 得
2
1 1 1
2 3 0,
49
x
x
例 3 求解方程
12291843 22 xxxxD
,652 xx
2 5 6 0xx
3.2 xx 或
