§ 3 n 阶行列式的定义一、概念的引入
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
规律：
1.三阶行列式共有 6项，即 3!项．
2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3.每一项可以写成 （正负号除外），其中是 1,2,3的某个排列,
4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ；
当 是 奇排列 时，对应的项取 负号,
1 2 31 2 3p p pa a a 1 2 3
p p p
1 2 3p p p
1 2 3p p p
所以，三阶行列式可以写成
1 2 3
1 2 3
1 2 3
()
1 2 3( 1 )
t p p p
p p p
p p p
a a a
其中 表示对 1,2,3的所有排列求和,
1 2 3p p p
二阶行列式有类似规律,下面将行列式推广到一般的情形,
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
二,n 阶行列式的定义
1,n 阶行列式共有 n! 项．
2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
3.每一项可以写成 （正负号除外），其中是 1,2,…,n 的某个排列,
4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ；
当 是 奇排列 时，对应的项取 负号,
1212 np p n pa a a 12 n
p p p
12 np p p
12 np p p
12
12
12
11 12 1
21 22 2 ()
12
12
( 1 ) n
n
n
n
n t p p p
p p np
p p p
n n nn
a a a
a a a
D a a a
a a a
简记作,
其中 为行列式 D的 (i,j)元
det( )ija
ija
思考题,成立 吗？
答,符号 可以有两种理解：
若理解成绝对值，则 ；
若理解成一阶行列式，则,
11
1?
11
11
注意,当 n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆,例如：一阶行列式,11
1 1 1 2 1 3 1 4
2 2 2 3 2 4
3
3 3 3 4
44
0
00
0 0 0
a a a a
aaa
D
aa
a
例,写出四阶行列式中含有因子 的项,2311aa
例,计算行列式解：
1 1 2 3 3 2 4 4a a a a? 1 1 2 3 3 4 4 2,a a a a
和
14
23
2
32
41
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
11
22
1
33
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
11
2 1 2 2
4
3 2 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
00
0
a
aa
D
aaa
a a a a
解：
11
22
1
33
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
14
23
2
32
41
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?
( 4 3 2 1) 1 4 2 3 3 3 4 1( 1 ) t a a a a 1 4 2 3 3 3 4 1a a a a?
( 4 3 2 1 ) 0 1 2 3t34 6.
2
其中
1 1 1 2 1 3 1 4
2 2 2 3 2 4
3
3 3 3 4
44
0
00
0 0 0
a a a a
aaa
D
aa
a
11
2 1 2 2
4
3 2 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
00
0
a
aa
D
aaa
a a a a
1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?
1 4 2 3 3 3 4 1a a a a?
1
2,1
1
n
n
n
a
a
D
a
11
22
nn
a
a
D
a
四个结论：
(1) 对角行列式
nnaaa?2211?
(2)
( 1 )
2 1 2,1 1( 1 )
nn
n n na a a
nnnn
aaa
aa
a
D
21
2221
11
0
00
nn
n
n
a
aa
aaa
D
00
0
222
11211
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
nnaaa?2211?
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为 0）
nnaaa?2211?
思考题已知,求 的系数,
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
3x
故 的系数为 － 1.
解 含 的项有两项，即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
1243
1 1 2 2 3 4 4 3( 1 )
t a a a a( 1 2 3 4 ) 1 1 2 2 3 3 4 4( 1 ) t a a a a?
( 1 2 3 4 ) 31 1 2 2 3 3 4 4( 1 ),t a a a a x
1243 3
1 1 2 2 3 4 4 3( 1 ) 2
t a a a a x3x
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
规律：
1.三阶行列式共有 6项，即 3!项．
2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3.每一项可以写成 （正负号除外），其中是 1,2,3的某个排列,
4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ；
当 是 奇排列 时，对应的项取 负号,
1 2 31 2 3p p pa a a 1 2 3
p p p
1 2 3p p p
1 2 3p p p
所以，三阶行列式可以写成
1 2 3
1 2 3
1 2 3
()
1 2 3( 1 )
t p p p
p p p
p p p
a a a
其中 表示对 1,2,3的所有排列求和,
1 2 3p p p
二阶行列式有类似规律,下面将行列式推广到一般的情形,
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
a a a
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
二,n 阶行列式的定义
1,n 阶行列式共有 n! 项．
2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
3.每一项可以写成 （正负号除外），其中是 1,2,…,n 的某个排列,
4.当 是 偶排列 时，对应的项取 正号 ；
当 是 奇排列 时，对应的项取 负号,
1212 np p n pa a a 12 n
p p p
12 np p p
12 np p p
12
12
12
11 12 1
21 22 2 ()
12
12
( 1 ) n
n
n
n
n t p p p
p p np
p p p
n n nn
a a a
a a a
D a a a
a a a
简记作,
其中 为行列式 D的 (i,j)元
det( )ija
ija
思考题,成立 吗？
答,符号 可以有两种理解：
若理解成绝对值，则 ；
若理解成一阶行列式，则,
11
1?
11
11
注意,当 n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆,例如：一阶行列式,11
1 1 1 2 1 3 1 4
2 2 2 3 2 4
3
3 3 3 4
44
0
00
0 0 0
a a a a
aaa
D
aa
a
例,写出四阶行列式中含有因子 的项,2311aa
例,计算行列式解：
1 1 2 3 3 2 4 4a a a a? 1 1 2 3 3 4 4 2,a a a a
和
14
23
2
32
41
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
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22
1
33
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0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
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2 1 2 2
4
3 2 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
00
0
a
aa
D
aaa
a a a a
解：
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22
1
33
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0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
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0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
a
D
a
a
1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?
( 4 3 2 1) 1 4 2 3 3 3 4 1( 1 ) t a a a a 1 4 2 3 3 3 4 1a a a a?
( 4 3 2 1 ) 0 1 2 3t34 6.
2
其中
1 1 1 2 1 3 1 4
2 2 2 3 2 4
3
3 3 3 4
44
0
00
0 0 0
a a a a
aaa
D
aa
a
11
2 1 2 2
4
3 2 3 2 3 3
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
00
0
a
aa
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aaa
a a a a
1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?
1 4 2 3 3 3 4 1a a a a?
1
2,1
1
n
n
n
a
a
D
a
11
22
nn
a
a
D
a
四个结论：
(1) 对角行列式
nnaaa?2211?
(2)
( 1 )
2 1 2,1 1( 1 )
nn
n n na a a
nnnn
aaa
aa
a
D
21
2221
11
0
00
nn
n
n
a
aa
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D
00
0
222
11211
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
nnaaa?2211?
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为 0）
nnaaa?2211?
思考题已知,求 的系数,
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
3x
故 的系数为 － 1.
解 含 的项有两项，即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
1243
1 1 2 2 3 4 4 3( 1 )
t a a a a( 1 2 3 4 ) 1 1 2 2 3 3 4 4( 1 ) t a a a a?
( 1 2 3 4 ) 31 1 2 2 3 3 4 4( 1 ),t a a a a x
1243 3
1 1 2 2 3 4 4 3( 1 ) 2
t a a a a x3x
