§ 6 行列式按行 (列 )展开
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式,
一、引言
1 2 2 3 3 1 11 1 2 2
1 2 2 1 3 3
33 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 11 1 2 3 3 2
a a aa a a
a
a a a
a a aaa aaa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 2 2 3 3
1 3 2 1 3
11
2 2 2 3
2 2 3 3 1 2 1 3 332
1
23 a a a aaa
a a a a
aa
a
aa
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3
a a a a a a
a a aa a a a a a
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示,
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
例如 1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
4 1 4 2 4 3 4 4
a a a a
a a a a
D
a a a a
a a a a
11 12 14
23 31 32 34
41 42 44
a a a
M a a a
a a a
232 3 2 3 2 31A M M
把 称为元素 的 代数余子式,1 ij
ij ijAM
ija
在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，
留下来的 n－ 1阶行列式叫做元素 的 余子式,记作,
i j
ijMija
ija
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以 行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,
ij ijD a A?
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
33
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
a a a a
a a a a
D
a
a a a a
11 12 14
33
33 21 22 24
41 42 44
1
a a a
a a a a
a a a
例如 33
33 33 33 331a A a M
11 12 14
33 21 22 24
41 42 44
a a a
a a a
a a a
i
ija
ija
11
21 22 2
12
00
n
n n n n
a
a a a
D
a a a
即有
1 1 1 1,D a M?
又
11
1 1 1 1 1 11,A M M
从而
1 1 1 1,D a A?
下面再讨论一般情形,
分析 当 位于第 1行第 1列时,
ija
（根据 P.14例 10的结论）
11 12 13 14
21 22 23 24
41 42 43 44
34
0 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
a
我们以 4阶行列式为例,
23
34
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
( 1 )
rr
a a a a
a a a a
a a a a
a?
12
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3
3
44
4
2
0 0 0
( 1 )
rr a a a a
a a a a
a a a a
a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4
34
( 3 1
4
)
0 0 0
( 1 )
a a a a
a a a a
a a a a
a
思考题,能否以 代替上述两次行变换？
13rr?
23
12
34
2
34
4 1 4 2 4 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 3
3 1 4
1 1 1 2 1 3 1 424
2 1 2 2 2 3 2 4
0 0 0
( 1 )
0 0 0
rr
rr
a
a
aa
a a a a
a a a a
a
aa
a a a a a
aa
a a a a
思考题,能否以 代替上述两次行变换？
13
34
34
41
1 1 1 2 1
42
3 1 4
1 1 1
4 3 4 4 4 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 2
2 1 3
2 3 4
1
4
4
4
4
0 0 0
( 1 )
0 0 0
rr
a a a a
a a a
a a a a a a a
a
a
a a a a a a a
a
a
a
答,不能,
13rr?
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4
34
( 3 1
4
)
0 0 0
( 1 )
a a a a
a a a a
a a a a
a
34
23
12
1 4 1 1 1 2 1 3
2 4 2 1 2 2 2 3
4 4 4
34
( 3 1 )
3
3
1 4 2 4
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
cc
cc
cc a
a
a a a
a a a a
a a a a
1 4 1 1 1 2
34
( 13 1 ) 3
2 4 2 1 2 2 2 3
4 4 4 1 4 2 4 3
( 4 1 )
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
a a a a
a a a a
a a a
a
a
342( 1 ) 34 34( 1 ) a 3434a A?
被调换到第 1行，第 1列34a
11 12 13
21 22 23
41 42 43
34
a a a
a a a
a a a
a 34M
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4 4
340 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
a
二、行列式按行（列）展开法则定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1 1 2 2 1,2,,i i i i i n i nD a A a A a A i n
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
0 0 0 0 0 0a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
0 0 0 0 0 0a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 11aA? 12 12aA? 13 13aA?
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3a A a A a A
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3a A a A a A
同理可得例 （ P.12例 7续）
3 1 1 2
5 1 3 4
2011
1 5 3 3
D
5 1 1 1
1 1 1 3 1
0 0 1 0
5 5 3 0
31 2 cc
34 cc?
33
5 1 1
( 1 ) 1 1 1 1
5 5 0
5 1 1
6 2 0
5 5 0
21rr?
13 62( 1 )
55
82
05
40.?
证明 用数学归纳法
2
12
11
D
xx
21
()ij
ij
xx
例 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
12
2 2 2
12
1
1 1 1
12
1 1 1
( ),
n
nn i j
n i j
n n n
n
x x x
x x xD x x
x x x
(1)
所以 n=2时 (1)式成立,
21xx
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
假设 (1)对于 n－ 1阶范德蒙行列式成立，从第 n行开始，后行减去前行的 倍：
1x
按照第 1列展开，并提出每列的公因子,就有
1()ixx?
2 1 3 1 1
2
( ) ( ) ( ) ( )n n i j
n i j
D x x x x x x x x
1
( ),ij
n i j
xx
23
2 1 3 1 1
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
n
n n n
n
x x x
x x x x x x
x x x
n?1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
1 1 2 2 0,.i j i j i n j na A a A a A i j
1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3AAa a a A
21 22 23
31 32 3
21 22 23
3
a a a
aa
aa
a
a
分析 我们以 3阶行列式为例,
11 12 13
11 11 12 12 13 13 21 22 23
31 32 33
a a a
a A a A a A a a a
a a a
把第 1行的元素换成第 2行的对应元素，则
0.?
定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1 1 2 2 1,2,,i i i i i n i na A a A a A D i n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
1 1 2 2 0,.i j i j i n j na A a A a A i j
1 1 2 2
,
0,nii ni j j j
D i ja A a A a A
ij
1 1 2 2
,
0,i j i j i n jn
D i ja A a A a A
ij
综上所述，有同理可得
5 3 1 2 0
1 7 2 5 2
0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 5 0
D
例 计算行列式解
5 3 1 2 0
1 7 2 5 2
0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 5 0
D
25
5 3 1 2
0 2 3 1
12
0 4 1 4
0 2 3 5
2 3 1
1 0 0 7 2
0 6 6
721 0 ( 2)
66
2 0 ( 4 2 1 2 ) 1 0 8 0,
2 3 1
2 5 4 1 4
2 3 5
5320
4140
1320
2135
21
52
31rr?
21( 2)rr
例 设,的 元的余子式和代数余子式依次记作 和,求分析 利用
3 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
D
D (,)ij
ijM ijA
1 1 1 2 1 3 1 4A A A A
及
1 1 2 1 3 1 4 1,M M M M
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
3 1 3 2 3 3 3 4
4 1 4 2 4 3 4 4
a a a a
a a a a
a A a A a A a A
a a a a
a a a a
1 2 5
2 0 2
1 0 0
解 11 12 13 14
1 1 1
1 1 0 5
13
43
1
13
21
A A A A
43rr?
31rr?
1 1 1 1
1 1 0 5
2 2 0 2
1 1 0 0
115
2 2 2
110
21cc?
25
02
4.?
1 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
1 4 1 3
1 0 5
1 0 5
1 1 3
43rr?
1 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
0 1 0 0
1 2 1
1 0 5
1 1 3
132rr?
0.?
1 1 2 1 3 4 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1M M M M A A A A
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,
本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式,
一、引言
1 2 2 3 3 1 11 1 2 2
1 2 2 1 3 3
33 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 11 1 2 3 3 2
a a aa a a
a
a a a
a a aaa aaa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 2 2 3 3
1 3 2 1 3
11
2 2 2 3
2 2 3 3 1 2 1 3 332
1
23 a a a aaa
a a a a
aa
a
aa
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3
a a a a a a
a a aa a a a a a
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示,
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
例如 1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
4 1 4 2 4 3 4 4
a a a a
a a a a
D
a a a a
a a a a
11 12 14
23 31 32 34
41 42 44
a a a
M a a a
a a a
232 3 2 3 2 31A M M
把 称为元素 的 代数余子式,1 ij
ij ijAM
ija
在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，
留下来的 n－ 1阶行列式叫做元素 的 余子式,记作,
i j
ijMija
ija
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以 行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,
ij ijD a A?
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
33
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
a a a a
a a a a
D
a
a a a a
11 12 14
33
33 21 22 24
41 42 44
1
a a a
a a a a
a a a
例如 33
33 33 33 331a A a M
11 12 14
33 21 22 24
41 42 44
a a a
a a a
a a a
i
ija
ija
11
21 22 2
12
00
n
n n n n
a
a a a
D
a a a
即有
1 1 1 1,D a M?
又
11
1 1 1 1 1 11,A M M
从而
1 1 1 1,D a A?
下面再讨论一般情形,
分析 当 位于第 1行第 1列时,
ija
（根据 P.14例 10的结论）
11 12 13 14
21 22 23 24
41 42 43 44
34
0 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
a
我们以 4阶行列式为例,
23
34
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4 4
0 0 0
( 1 )
rr
a a a a
a a a a
a a a a
a?
12
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3
3
44
4
2
0 0 0
( 1 )
rr a a a a
a a a a
a a a a
a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4
34
( 3 1
4
)
0 0 0
( 1 )
a a a a
a a a a
a a a a
a
思考题,能否以 代替上述两次行变换？
13rr?
23
12
34
2
34
4 1 4 2 4 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 3
3 1 4
1 1 1 2 1 3 1 424
2 1 2 2 2 3 2 4
0 0 0
( 1 )
0 0 0
rr
rr
a
a
aa
a a a a
a a a a
a
aa
a a a a a
aa
a a a a
思考题,能否以 代替上述两次行变换？
13
34
34
41
1 1 1 2 1
42
3 1 4
1 1 1
4 3 4 4 4 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 2
2 1 3
2 3 4
1
4
4
4
4
0 0 0
( 1 )
0 0 0
rr
a a a a
a a a
a a a a a a a
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a
a a a a a a a
a
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a
答,不能,
13rr?
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4
34
( 3 1
4
)
0 0 0
( 1 )
a a a a
a a a a
a a a a
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34
23
12
1 4 1 1 1 2 1 3
2 4 2 1 2 2 2 3
4 4 4
34
( 3 1 )
3
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1 4 2 4
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
cc
cc
cc a
a
a a a
a a a a
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1 4 1 1 1 2
34
( 13 1 ) 3
2 4 2 1 2 2 2 3
4 4 4 1 4 2 4 3
( 4 1 )
0 0 0
( 1 ) ( 1 )
a a a a
a a a a
a a a
a
a
342( 1 ) 34 34( 1 ) a 3434a A?
被调换到第 1行，第 1列34a
11 12 13
21 22 23
41 42 43
34
a a a
a a a
a a a
a 34M
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
4 1 4 2 4 3 4 4
340 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
a
二、行列式按行（列）展开法则定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1 1 2 2 1,2,,i i i i i n i nD a A a A a A i n
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
0 0 0 0 0 0a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
0 0 0 0 0 0a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 11aA? 12 12aA? 13 13aA?
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3a A a A a A
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3a A a A a A
同理可得例 （ P.12例 7续）
3 1 1 2
5 1 3 4
2011
1 5 3 3
D
5 1 1 1
1 1 1 3 1
0 0 1 0
5 5 3 0
31 2 cc
34 cc?
33
5 1 1
( 1 ) 1 1 1 1
5 5 0
5 1 1
6 2 0
5 5 0
21rr?
13 62( 1 )
55
82
05
40.?
证明 用数学归纳法
2
12
11
D
xx
21
()ij
ij
xx
例 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
12
2 2 2
12
1
1 1 1
12
1 1 1
( ),
n
nn i j
n i j
n n n
n
x x x
x x xD x x
x x x
(1)
所以 n=2时 (1)式成立,
21xx
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
假设 (1)对于 n－ 1阶范德蒙行列式成立，从第 n行开始，后行减去前行的 倍：
1x
按照第 1列展开，并提出每列的公因子,就有
1()ixx?
2 1 3 1 1
2
( ) ( ) ( ) ( )n n i j
n i j
D x x x x x x x x
1
( ),ij
n i j
xx
23
2 1 3 1 1
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
n
n n n
n
x x x
x x x x x x
x x x
n?1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
1 1 2 2 0,.i j i j i n j na A a A a A i j
1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3AAa a a A
21 22 23
31 32 3
21 22 23
3
a a a
aa
aa
a
a
分析 我们以 3阶行列式为例,
11 12 13
11 11 12 12 13 13 21 22 23
31 32 33
a a a
a A a A a A a a a
a a a
把第 1行的元素换成第 2行的对应元素，则
0.?
定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
1 1 2 2 1,2,,i i i i i n i na A a A a A D i n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
1 1 2 2 0,.i j i j i n j na A a A a A i j
1 1 2 2
,
0,nii ni j j j
D i ja A a A a A
ij
1 1 2 2
,
0,i j i j i n jn
D i ja A a A a A
ij
综上所述，有同理可得
5 3 1 2 0
1 7 2 5 2
0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 5 0
D
例 计算行列式解
5 3 1 2 0
1 7 2 5 2
0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 5 0
D
25
5 3 1 2
0 2 3 1
12
0 4 1 4
0 2 3 5
2 3 1
1 0 0 7 2
0 6 6
721 0 ( 2)
66
2 0 ( 4 2 1 2 ) 1 0 8 0,
2 3 1
2 5 4 1 4
2 3 5
5320
4140
1320
2135
21
52
31rr?
21( 2)rr
例 设,的 元的余子式和代数余子式依次记作 和,求分析 利用
3 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3
D
D (,)ij
ijM ijA
1 1 1 2 1 3 1 4A A A A
及
1 1 2 1 3 1 4 1,M M M M
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
3 1 3 2 3 3 3 4
4 1 4 2 4 3 4 4
a a a a
a a a a
a A a A a A a A
a a a a
a a a a
1 2 5
2 0 2
1 0 0
解 11 12 13 14
1 1 1
1 1 0 5
13
43
1
13
21
A A A A
43rr?
31rr?
1 1 1 1
1 1 0 5
2 2 0 2
1 1 0 0
115
2 2 2
110
21cc?
25
02
4.?
1 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
1 4 1 3
1 0 5
1 0 5
1 1 3
43rr?
1 5 2 1
1 1 0 5
1 3 1 3
0 1 0 0
1 2 1
1 0 5
1 1 3
132rr?
0.?
1 1 2 1 3 4 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1M M M M A A A A
