§ 2 矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义,在 m× n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列 ( k ≤ m,k≤n)，
位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,
显然,m× n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,kk
mnCC
概念辨析,k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素 a12相对应的 余子式
21 23
12
31 33
aaM
aa?
相应的 代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块
12 13
22 23
aa
aa
矩阵 A 的一个 2 阶子式
12 13
22 23
aa
aa
2 1 2 312
1 2 1 2
3 1 3 3
( 1 ) aaAM aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
a a a a
a a a a
定义,设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有
r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵
A 的 最高阶非零子式,数 r 称为 矩阵 A 的秩,记作 R(A)．
规定,零矩阵的秩等于零．
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2
a a a a a aa a a
a a a a a a
矩阵 A 的一个 3 阶子式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
矩阵 A 的 2 阶子式如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零,
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
定义,设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有
r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵
A 的 最高阶非零子式,数 r 称为 矩阵 A 的秩,记作 R(A)．
根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个
r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示．
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2
阶子式也都等于零,
事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零,
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,
规定,零矩阵的秩等于零．
矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,
显然，
若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ；
若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) < t,
若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即 |A|,
当 |A|≠0 时,R(A) = n ;
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为 满秩矩阵,
当 |A| = 0 时,R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为 降秩矩阵,
若 A 为 m× n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m,n),
R(AT) = R(A),
矩阵 A 的一个 2 阶子式
TD?
矩阵 AT 的一个 2 阶子式
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
12 13
22 23
aa
aa
D?
AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A),
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
T
a a a
a a a
A
a a a
a a a
12 22
13 23
aa
aa
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
解,在 A 中,2 阶子式,12
023?
A 的 3 阶子式只有一个，即 |A|，而且 |A| = 0，因此 R(A) = 2,
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
解（续）,B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零,
以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0
0 0 4
，因此 R(B) = 3,
还存在其它 3 阶非零子式吗？
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
解（续）,B还有其它 3 阶非零子式，例如
2 0 3
0 1 2 8
0 0 4
2 1 2
0 3 5 1 8
0 0 3
2 0 2
0 1 5 6
0 0 3
结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
二、矩阵的秩的计算例,求 矩阵 A 的秩，其中,
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
分析,在 A 中,2 阶子式,20
1 2 016
A 的 3 阶子式共有 (个 )，
要从 40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．
3345 40CC?
一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的,
行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,
一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵,
两个等价的矩阵的秩是否相等？
定理,若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
证明思路：
1,证明 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
2,B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B)≤R(A)，于是 R(A) = R(B),
3,经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．
4,设 A 经过 初等列变换 变为 B,则 AT 经过 初等行变换 变为
BT,从而 R(AT) = R(BT),
又 R(A) = R(AT),R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B),
第 1 步,A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
证明：
设 R(A) = r,且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0,
当 或 时，
在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1,
由于 D1 = D 或 D1 = － D 或 D1 = kD，因此 D1 ≠ 0,从而
R(B) ≥r,
当 时，只需考虑 这一特殊情形．
~ijrrAB? ~irkAB?
~ijr krAB? 12~r krAB?
1 irr? 2,jrr? 12,r kr?ijr kr? 1,irr? 2,jrr?
12
pp
qq
rr
rr
k
rr
第 1 步,A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
证明（续）,分两种情形讨论：
(1) D 中不包含 r1 中的元素这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r,
(2) D 中包含 r1 中的元素这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为
12
1
p
q
r kr
r
D
r
2D k D
1 2 1 2
12
p p p
q q q
r k r r r
r r r
D k D k D
r r r
若 p = 2，则 D2 = 0,D = D1 ≠ 0,从而 R(B) ≥ r ；
若 p≠2，则 D1－ kD2 = D≠ 0,
因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，
所以 D1,D2 不同时等于零，
于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2,从而 R(B) ≥ r,
即 R(A)≤R(B),
定理,若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
应用,根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,
例,求 矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
解,第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故 R(A) = 3,
第二步求 A 的最高阶非零子式,选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列
0
1 6 1
0 4 1
0 0 4
0 0 0
B
0
3 2 5
3 2 6
~
2 0 5
1 6 1
r
A
，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
二、四列,
3 2 0 5 0 1 6 4 1 4
3 2 3 6 1 0 4 3 1 1
~
2 0 1 5 3 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 0 0 0 0
r
A
00
3 2 5 1 6 1
3 2 6 0 4 1
~
2 0 5 0 0 4
1 6 1 0 0 0
r
AB
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3 2 5 3 2 5
6 1 1
3 2 6 6 0 1 1 2 1 6 0
25
2 0 5 2 0 5
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式,
分析,对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯形矩阵为,则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出 R(A)及 R(B),
例,设,求矩阵 A 及矩阵
B = (A,b) 的秩．
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
,
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
Ab
(,)B A b? A
解：
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
2 4 8 0 2 0 0 2 1 0
~
2 4 2 3 3 0 0 0 0 1
3 6 0 6 4 0 0 0 0 0
r
B
R(A) = 2
R(B) = 3
矩阵的秩的性质
① 若 A 为 m× n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m,n),
② R(AT) = R(A),
③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
④ 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B),
⑤ max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋ R(B),
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有
R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋ 1,
⑥ R(A＋ B)≤R(A)＋ R(B),
⑦ R(AB)≤min{R(A),R(B)},
⑧ 若 Am× n Bn× l = O，则 R(A)＋ R(B)≤n,
例,设 A 为 n 阶矩阵,证明 R(A＋ E)＋ R(A－ E)≥n,
证明,因为 (A＋ E)＋ (E－ A) = 2E，
由性质,R(A＋ B)≤R(A)＋ R(B),有
R(A＋ E)＋ R(E－ A)≥R(2E) = n,
又因为 R(E－ A) = R(A－ E)，所以
R(A＋ E)＋ R(A－ E)≥n．
例,若 Am× n Bn× l = C，且 R(A) = n，则 R(B) = R(C),
解,因为 R(A) = n,所以 A 的行最简形矩阵为,
设 m 阶可逆矩阵 P,满足,
于是因为 R(C) = R(PC)，而,故 R(B) = R(C),
n
mn
E
O?
n
mn
EPA
O?
nEP C P A B B
O
B
() BR B R O
例,若 Am× n Bn× l = C，且 R(A) = n，则 R(B) = R(C),
附注：
当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为 列满秩矩阵,
特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵,
因此，本例的结论当 A 为 为方阵时，就是性质④,
本题中，当 C = O，这时结论为：
设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O,
位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,
显然,m× n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,kk
mnCC
概念辨析,k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素 a12相对应的 余子式
21 23
12
31 33
aaM
aa?
相应的 代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块
12 13
22 23
aa
aa
矩阵 A 的一个 2 阶子式
12 13
22 23
aa
aa
2 1 2 312
1 2 1 2
3 1 3 3
( 1 ) aaAM aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
a a a a
a a a a
定义,设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有
r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵
A 的 最高阶非零子式,数 r 称为 矩阵 A 的秩,记作 R(A)．
规定,零矩阵的秩等于零．
2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2
1 1 1 2 1 3
3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2
a a a a a aa a a
a a a a a a
矩阵 A 的一个 3 阶子式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
矩阵 A 的 2 阶子式如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零,
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
定义,设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有
r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵
A 的 最高阶非零子式,数 r 称为 矩阵 A 的秩,记作 R(A)．
根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个
r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示．
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2
阶子式也都等于零,
事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零,
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,
规定,零矩阵的秩等于零．
矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,
显然，
若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ；
若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) < t,
若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即 |A|,
当 |A|≠0 时,R(A) = n ;
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为 满秩矩阵,
当 |A| = 0 时,R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为 降秩矩阵,
若 A 为 m× n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m,n),
R(AT) = R(A),
矩阵 A 的一个 2 阶子式
TD?
矩阵 AT 的一个 2 阶子式
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
12 13
22 23
aa
aa
D?
AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A),
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
T
a a a
a a a
A
a a a
a a a
12 22
13 23
aa
aa
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
解,在 A 中,2 阶子式,12
023?
A 的 3 阶子式只有一个，即 |A|，而且 |A| = 0，因此 R(A) = 2,
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
解（续）,B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零,
以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式
2 1 3
0 3 2 24 0
0 0 4
，因此 R(B) = 3,
还存在其它 3 阶非零子式吗？
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
例,求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3
2 3 5
4 7 1
A
解（续）,B还有其它 3 阶非零子式，例如
2 0 3
0 1 2 8
0 0 4
2 1 2
0 3 5 1 8
0 0 3
2 0 2
0 1 5 6
0 0 3
结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,
2 1 0 3 2
0 3 1 2 5
0 0 0 4 3
0 0 0 0 0
B
二、矩阵的秩的计算例,求 矩阵 A 的秩，其中,
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
分析,在 A 中,2 阶子式,20
1 2 016
A 的 3 阶子式共有 (个 )，
要从 40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．
3345 40CC?
一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的,
行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,
一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵,
两个等价的矩阵的秩是否相等？
定理,若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
证明思路：
1,证明 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
2,B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B)≤R(A)，于是 R(A) = R(B),
3,经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．
4,设 A 经过 初等列变换 变为 B,则 AT 经过 初等行变换 变为
BT,从而 R(AT) = R(BT),
又 R(A) = R(AT),R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B),
第 1 步,A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
证明：
设 R(A) = r,且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0,
当 或 时，
在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1,
由于 D1 = D 或 D1 = － D 或 D1 = kD，因此 D1 ≠ 0,从而
R(B) ≥r,
当 时，只需考虑 这一特殊情形．
~ijrrAB? ~irkAB?
~ijr krAB? 12~r krAB?
1 irr? 2,jrr? 12,r kr?ijr kr? 1,irr? 2,jrr?
12
pp
rr
rr
k
rr
第 1 步,A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B),
证明（续）,分两种情形讨论：
(1) D 中不包含 r1 中的元素这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r,
(2) D 中包含 r1 中的元素这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为
12
1
p
q
r kr
r
D
r
2D k D
1 2 1 2
12
p p p
q q q
r k r r r
r r r
D k D k D
r r r
若 p = 2，则 D2 = 0,D = D1 ≠ 0,从而 R(B) ≥ r ；
若 p≠2，则 D1－ kD2 = D≠ 0,
因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，
所以 D1,D2 不同时等于零，
于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2,从而 R(B) ≥ r,
即 R(A)≤R(B),
定理,若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
应用,根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,
例,求 矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
解,第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故 R(A) = 3,
第二步求 A 的最高阶非零子式,选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列
0
1 6 1
0 4 1
0 0 4
0 0 0
B
0
3 2 5
3 2 6
~
2 0 5
1 6 1
r
A
，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
二、四列,
3 2 0 5 0 1 6 4 1 4
3 2 3 6 1 0 4 3 1 1
~
2 0 1 5 3 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 0 0 0 0
r
A
00
3 2 5 1 6 1
3 2 6 0 4 1
~
2 0 5 0 0 4
1 6 1 0 0 0
r
AB
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3 2 5 3 2 5
6 1 1
3 2 6 6 0 1 1 2 1 6 0
25
2 0 5 2 0 5
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式,
分析,对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯形矩阵为,则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出 R(A)及 R(B),
例,设,求矩阵 A 及矩阵
B = (A,b) 的秩．
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
,
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
Ab
(,)B A b? A
解：
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
2 4 8 0 2 0 0 2 1 0
~
2 4 2 3 3 0 0 0 0 1
3 6 0 6 4 0 0 0 0 0
r
B
R(A) = 2
R(B) = 3
矩阵的秩的性质
① 若 A 为 m× n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m,n),
② R(AT) = R(A),
③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B),
④ 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B),
⑤ max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋ R(B),
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有
R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋ 1,
⑥ R(A＋ B)≤R(A)＋ R(B),
⑦ R(AB)≤min{R(A),R(B)},
⑧ 若 Am× n Bn× l = O，则 R(A)＋ R(B)≤n,
例,设 A 为 n 阶矩阵,证明 R(A＋ E)＋ R(A－ E)≥n,
证明,因为 (A＋ E)＋ (E－ A) = 2E，
由性质,R(A＋ B)≤R(A)＋ R(B),有
R(A＋ E)＋ R(E－ A)≥R(2E) = n,
又因为 R(E－ A) = R(A－ E)，所以
R(A＋ E)＋ R(A－ E)≥n．
例,若 Am× n Bn× l = C，且 R(A) = n，则 R(B) = R(C),
解,因为 R(A) = n,所以 A 的行最简形矩阵为,
设 m 阶可逆矩阵 P,满足,
于是因为 R(C) = R(PC)，而,故 R(B) = R(C),
n
mn
E
O?
n
mn
EPA
O?
nEP C P A B B
O
B
() BR B R O
例,若 Am× n Bn× l = C，且 R(A) = n，则 R(B) = R(C),
附注：
当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为 列满秩矩阵,
特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵,
因此，本例的结论当 A 为 为方阵时，就是性质④,
本题中，当 C = O，这时结论为：
设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O,
