§ 4 对换
1 1 1l m na a b b cb ca
一、对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对换，叫做 相邻对换,
例如
11lmaba a b b
11lmbaa a b b 1 1 1l m na a b b ca cb
备注
1,相邻对换是对换的特殊情形,
2,一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现,
3,如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了,
m 次相邻对换
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b ca cb
m+1次相邻对换
m 次相邻对换
1 1 1 l m na a b b ca cb
1 1 1 l m na a b b cb ca
m+1次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系定理 1 对换改变排列的奇偶性,
证明 先考虑相邻对换的情形．
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
注意到除 外，其它元素的逆序数不改变,,ab
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
当 时，,,,ab?
当 时，,,,ab?
因此相邻对换改变排列的奇偶性,
1aart bbrt?
aart? 1bbrt
1rt
1rt
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变,
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b ca cb
推论 奇排列 变成标准排列的对换次数为 奇数,
偶排列 变成标准排列的对换次数为 偶数,
由定理 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列 (逆序数为零 )，因此可知推论成立,
证明
1 1 2 122 121 12 2,,nn nni j i j i j pp pnp n p paa aa a aaa a
因为数的乘法是可以交换的,所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列与 都同时作一次对换，即 与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变,
12 ni i i
12 nj j j 12 nj j j12 ni i i
于是 与 同时为奇数或同时为偶数,
即 是偶数,
因为对换改变排列的奇偶性,是奇数,也是奇数,
设对换前行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,s
t?
s?
t
所以 是偶数，
ss tt
( ) ( )s s t t
( ) ( )s t s t
()st ()st?
因此，交换 中任意两个元素的位置后，
其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变,
1 1 2 2,,nni j i j i ja a a
设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为
1 2 1 2 1 2
12
( ) ( ) ( 1 2 ) ( )
()
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
n n n
n
t i i i t j j j t n t p p p
t p p p
经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此,所以，
在一系列对换之后有定理 2 n 阶行列式也可定义为
12
12
12
()
12( 1 )
n
n
n
t p p p
p p p n
p p p
D a a a
定理 3 n 阶行列式也可定义为
1 2 1 2
1 1 2 2
12
12
( ) ( )( 1 ) nn
nn
n
n
t i i i t j j j
i j i j i j
i i i
j j j
D a a a
例 1 试判断 和
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a 3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
是否都是六阶行列式中的项,
解 下标的逆序数为
4 3 1 2 6 5 0 1 2 2 0 1 6t
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a
所以 是六阶行列式中的项,
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a
行标和列标的逆序数之和
( 3 4 1 5 2 6 ) ( 2 3 4 1 5 6 ) 5 3 8tt
3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
所以 不是六阶行列式中的项,3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
例 2 用行列式的定义计算 0 0 0 1 0
0 0 2 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0
n
D
n
n
1221!nnnDn
解
1,1 2,2 1,1
1
1 1 2 1
1 !
t
n n n n n n
t
t
D a a a a
nn
n
1 2 2 1
2 3 2 1
1 2 2
t n n n
nn
nn
1,对换改变排列奇偶性．
2,行列式的三种表示方法三、小结
12
12
12
()
12( 1 )
n
n
n
t p p p
p p n p
p p p
D a a a
12
12
12
()
12( 1 )
n
n
n
t p p p
p p p n
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D a a a
1 2 1 2
1 1 2 2
12
12
( ) ( )( 1 ) nn
nn
n
n
t i i i t j j j
i j i j i j
i i i
j j j
D a a a
1 1 1l m na a b b cb ca
一、对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对换，叫做 相邻对换,
例如
11lmaba a b b
11lmbaa a b b 1 1 1l m na a b b ca cb
备注
1,相邻对换是对换的特殊情形,
2,一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现,
3,如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了,
m 次相邻对换
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b ca cb
m+1次相邻对换
m 次相邻对换
1 1 1 l m na a b b ca cb
1 1 1 l m na a b b cb ca
m+1次相邻对换二、对换与排列奇偶性的关系定理 1 对换改变排列的奇偶性,
证明 先考虑相邻对换的情形．
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
注意到除 外，其它元素的逆序数不改变,,ab
11 lmaba a b b
11 lmbaa a b b
11 lmaba a b btt t t ttt
11 lmbaa a b brr t t trt
当 时，,,,ab?
当 时，,,,ab?
因此相邻对换改变排列的奇偶性,
1aart bbrt?
aart? 1bbrt
1rt
1rt
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变,
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1 l m na a b b ca cb
推论 奇排列 变成标准排列的对换次数为 奇数,
偶排列 变成标准排列的对换次数为 偶数,
由定理 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列 (逆序数为零 )，因此可知推论成立,
证明
1 1 2 122 121 12 2,,nn nni j i j i j pp pnp n p paa aa a aaa a
因为数的乘法是可以交换的,所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列与 都同时作一次对换，即 与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变,
12 ni i i
12 nj j j 12 nj j j12 ni i i
于是 与 同时为奇数或同时为偶数,
即 是偶数,
因为对换改变排列的奇偶性,是奇数,也是奇数,
设对换前行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,s
t?
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所以 是偶数，
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( ) ( )s s t t
( ) ( )s t s t
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因此，交换 中任意两个元素的位置后，
其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变,
1 1 2 2,,nni j i j i ja a a
设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为
1 2 1 2 1 2
12
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( 1 ) ( 1 )
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n n n
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t i i i t j j j t n t p p p
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经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此,所以，
在一系列对换之后有定理 2 n 阶行列式也可定义为
12
12
12
()
12( 1 )
n
n
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D a a a
定理 3 n 阶行列式也可定义为
1 2 1 2
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( ) ( )( 1 ) nn
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n
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t i i i t j j j
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i i i
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D a a a
例 1 试判断 和
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a 3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
是否都是六阶行列式中的项,
解 下标的逆序数为
4 3 1 2 6 5 0 1 2 2 0 1 6t
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a
所以 是六阶行列式中的项,
1 4 2 3 3 1 4 2 5 6 6 5a a a a a a
行标和列标的逆序数之和
( 3 4 1 5 2 6 ) ( 2 3 4 1 5 6 ) 5 3 8tt
3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
所以 不是六阶行列式中的项,3 2 4 3 1 4 5 1 2 5 6 6a a a a a a?
例 2 用行列式的定义计算 0 0 0 1 0
0 0 2 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0
n
D
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1 1 2 1
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D a a a a
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1 2 2 1
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1 2 2
t n n n
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1,对换改变排列奇偶性．
2,行列式的三种表示方法三、小结
12
12
12
()
12( 1 )
n
n
n
t p p p
p p n p
p p p
D a a a
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12( 1 )
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D a a a
1 2 1 2
1 1 2 2
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( ) ( )( 1 ) nn
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n
n
t i i i t j j j
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