§ 5 行列式的性质一、行列式的性质 1 1 1 2
12
2 1 2 2
1
2
,
n
n
n n nn
a a a
a
a
a
a
a
D
a
行列式 称为行列式 的 转置行列式,TD D
若记,则,d e t ( ),d e t ( )T
i j i jD a D b ij jiba?
记性质 1 行列式与它的转置行列式相等,即,TDD?
21
22
111
2
1 2
12
n
n
n
n
T
n n
a
a
a
a
a
a
D
aa a
12
12
12
()
12( 1 ) n n
n
t p p pT
p p n p
p p p
D b b b
性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
证明根据行列式的定义，有若记,则d e t ( ),d e t ( )T
i j i jD a D b
,1,2,,i j i jb a i j n
1
12
12
2 1() 2( 1 ) n
n
npp
t p p p
p p p
pna a a
D?
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
验证于是
1 7 5
6 6 2
3 5 8
1 7 5
3 5 8
6 6 2
196 196?
1 7 5 1 7 5
6 6 2 3 5 8
3 5 8 6 6 2

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有,所以,DD 0D?
备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作,ji ()
i j i jr r c c
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数,等于用数 乘以此行列式,
验证
k k
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
,
a a a
D a a a
a a a
我们以 三 阶行列式为例,记根据三阶行列式的对角线法则，有
11 12 13
1 21 22 23
31 32 33
kk
a a a
D a a a
a a a
k?
备注：第 行（列）乘以,记作,ki ()
iir k c k
11 12 13
1 21 22 23
31 32 33
kk
a a a
D a a a
a a a
k?
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a a a a a a a a
a a a a a a
k k k
k k ka a a


1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a ak a



Dk?
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
备注：第 行（列）提出公因子,记作,ki ()
iir k c k
2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2
3
1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2
1 3 2
1
3
3
3 3 4
31
14
14
00
a a a a a
kk
k a k
a a a a a a a a
a a a a a a a
a k a k a a a a a
aa
a
a

验证 我们以 4阶行列式为例,
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
例如,
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 3
2 1 2 3
3 1 33 2 3 2 3
aa
D a a
ab
ab
abaa
则
1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3 3
1 2 1 2
2 2 2 2
3 2 33 1 32 3
a a a a
D a a a
ab
ab
ab
a
a a a a

12 12
22 22
11 13
21 23
31 332 32 3
aa
D a a
ab
ab
abaa
22
1 2 3
13
1 2 3
22
()
13( 1 ) ()pp
t p p p
pp
p p p
abaa
1 2 3 1 2 3
1 3 1 3
1 2 3
22
1 2 3
( ) ( )
13 22 13( 1 ) ( 1 )
t p p p t p p p
p p p p
p p p p p p
ppa a aab a
11 13 11 13
21 23 21 23
31 33 31 3
12 12
22 22
2 33 32
aa ab
a
a
b
a
a a a a
aa baa a

验证 我们以 三 阶行列式为例,
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
则
1,DD?
验证
12
22
1 1 1 3
2 1 2 3
3 1 332 3
,
aa
D a a
aaa
a
a?
我们以 三 阶行列式为例,记
1 1 1 2 1 3
1 2 1 2 2
13
23
33
23
3 1 3 2 3 3
a a a
D a a a
ka
ka
kaa aa
备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作k i
( ),i j i jr k r c k c
j
例１
2101044
614753
12402
59733
13211




D
二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
ijr kr?
3
2101044
614753
12402
59733
13211




D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2101044
614753
14020
20100
13211




2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2
3
12 2rr?
4
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211



22200
35120
14020
20100
13211



14 4rr?
13 3rr?
22200
01000
21100
35120
13211


34 rr?
22200
20100
21100
35120
13211



23 rr?
2
60000
01000
21100
35120
13211


61245 4rr?,12?
64000
01000
21100
35120
13211


35 2rr?
4?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D

解



abbbna
babbna
bbabna
bbbbna

1
1
1
1




D
将第 列都加到第一列得 n,,3,2?

1
1
( 1 ) 1
1
b b b
a b b
a n b b a b
b b a


1
( 1 )
b b b
ab
a n b ab
ab

0
0
1( 1 ) ( ),na n b a b
例 3 设
11 1
1
11 1 11 1
11
0
k
k kk
kn
n n k n n n
aa
aa
D
c c b b
c c b b
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD

,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD


.21 DDD?证明证明
11
1 11
1
0;kk
k kk
p
D p p
pp

对 作运算,把 化为下三角形行列式
1D ijr kr? 1D
设为对 作运算,把 化为下三角形行列式
2D ijc kc? 2D
11
2 11
1
0
.nn
n n k
q
D q q
qp

设为对 D 的前 k 行作运算,再对后 n 列作运算,
把 D 化为下三角形行列式
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
cc
cc
pp
p
D



1 1 1 1k k n nD p p q q 12.DD?
ijr kr? ijc kc?
故
(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
三、小结行列式的 6个性质