§ 3 逆矩阵
矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算,
矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？
这就是本节所要讨论的问题,
这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵,
从乘法的角度来看,n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位,一个复数 a ≠ 0的倒数 a－ 1可以用等式 a a－ 1 = 1 来刻划,类似地，我们引入对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
n n n n nA E E A A
定义,n 阶方阵 A 称为 可逆的,如果有 n 阶方阵 B，使得这里 E 是 n 阶单位矩阵,
A B B A E
根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式,
对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯一的（如果有的话）,
定义,如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的 逆矩阵,
记作 A－ 1,
下面要解决的问题是：
在什么条件下，方阵 A 是可逆的？
如果 A 可逆，怎样求 A－ 1？
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a




11 21 1
12 22 2*
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A




结论：,其中** ||A A A A A E
定理,若,则方阵 A可逆，而且| | 0A?
1*1,
||AAA

推论,若,则,| | 0A?
1 1||
||A A

元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列
ija
ijA
例,求二阶矩阵 的逆矩阵,ab
A cd

1 1 dbA
a d b c c a


例,求 3阶方阵 的逆矩阵,2 2 1
3 1 5
323
A




解,| A | = 1，
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
7,6,3,
4,3,2,
9,7,4,
M M M
M M M
M M M



则
11 21 31
1 * *
12 22 32
13 23 33
1
||
A A A
A A A A A A
A
A A A





1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3
M M M
M M M
M M M




7 4 9
6 3 7
3 2 4




方阵 A可逆
| | 0A?
此时，称矩阵 A
为 非奇异矩阵容易看出：对于 n 阶方阵 A,B，如果
,AB E?
那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵,
1*1
||AAA

定理,若方阵 A可逆，则,| | 0A?
推论,如果 n 阶方阵 A,B可逆，那么,,
与 AB也可逆，且
11( ),AA
1A? TA ( 0 )A
11( ) ( ),TTAA
111( ),AA?

1 1 1( ),A B B A
线性变换
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
nn
nn
n n n n n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x



的系数矩阵是一个 n 阶方阵 A,若记
11
22
,
nn
xy
xy
XY
xy






则上述线性变换可记作 Y = AX,
例,设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵
11
22
33
,,
xy
X x Y y
xy





2 2 1
3 1 5
323
A




记则上述线性变换可记作 Y = AX,
求变量 y1,y2,y3 到变量 x1,x2,x3的线性变换相当于求方阵 A
的逆矩阵,
已知,于是,即1 7 4 9
6 3 7
3 2 4
A?




1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
7 4 9,
6 3 7,
3 2 4,
x y y y
x y y y
x y y y



1X A Y