§ 5 向量空间封闭的概念定义,所谓 封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．
例,试讨论下列数集对四则运算是否封闭？
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
向量空间的概念定义,设 V 是 n 维向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 对于向量的 加法 和 乘数 两种运算封闭，
具体地说，就是：
若 a ∈ V,b ∈ V，则 a + b ∈ V,（对加法封闭）
若 a ∈ V,l∈ R，则 l a ∈ V,（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为 向量空间,
例,下列哪些向量组构成向量空间？
1,n 维向量的全体 Rn
2,集合 V1 = { (0,x2,…,xn)T | x2,…,xn∈ R }
3,集合 V2 = { (1,x2,…,xn)T | x2,…,xn∈ R }
4,齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 }
5,非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b }
解,集合 Rn,V1,S1 是向量空间，
集合 V2,S2 不是向量空间．
定义,齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的 解空间,
例,设 a,b 为两个已知的 n 维向量，集合
L = {l a + m b | l,m∈ R }
是一个向量空间吗？
解,设 x1,x2 ∈ L,k∈ R，因为
x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b)
= (l1 + l2) a + (m1 + m2)b∈ L
k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1) a + (km1) b ∈ L
所以,L 是一个向量空间．
定义,把集合
L = {l a + m b | l,m ∈ R }
称为 由向量 a,b 所生成的向量空间,
一般地，把集合
L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1,l2,...,lm ∈ R }
称为 由向量 a1,a2,...,am 所生成的向量空间,
例,设向量组 a1,a2,...,am 和 b1,b2,...,bs 等价，记
L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1,l2,...,lm∈ R }，
L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1,m2,...,ms∈ R }，
试证 L1 = L2,
结论,等价的向量组所生成的空间相等．
向量空间的基的概念定义,设有 向量空间 V,如果在 V 中能选出 r 个向量 a1,a2,…,
ar，满足
① a1,a2,…,ar 线性无关；
② V 中任意一个向量都能由 a1,a2,…,ar 线性表示；
那么称向量组 a1,a2,…,ar 是 向量空间 V 的一个 基,
r 称为 向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间,
向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩
1,n 维向量的全体 Rn
解,En 的列向量组是 Rn 的一个基，故 Rn的维数等于 n,
2,集合 V1 = { (0,x2,…,xn)T | x2,…,xn∈ R }
解,En 的后 n－ 1个 列向量是 V1 的一个基，故 V1 的维数等于
n－ 1,
3,n 元 齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 }
解,齐次线性方程组的基础解系 是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 n－ R(A),
4,由 a1,a2,...,am 所生成的向量空间
L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1,l2,...,lm∈ R }
若 a1,a2,...,am 线性无关，则
a1,a2,...,am 是向量空间 L 的一个基．
若 a1,a2,...,am 线性相关，则向量组 A,a1,a2,...,am
等价于 向量组 A 的最大无关组 A0,a1,a2,...,ar
从而 L =L1= { l1a1 + l2a2 + …+ lr ar | l1,l2,...,lr∈ R }
故向量组 A0 就是 L 的一个基,A0中向量的个数就是 L 的维数,
定义,如果在向量空间 V 中取定一个基 a1,a2,...,ar,那么 V
中任意一个向量可唯一表示为
x = l1a1 + l2a2 + …+ lrar
数组 l1,l2,...,lr 称为向量 x 在基 a1,a2,...,ar 中的 坐标,
例,的列向量组是 R3 的一个基，? )
1 2 3
1 0 0
,,0 1 0
0 0 1
E e e e




1 0 0
2 0 3 1 7 0
0 0 1





1 2 32 3 7e e e
2
3
7
b





那么
b 在基 e1,e2,e3 中的坐标
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,
n 阶单位矩阵 En 的列向量组称为 Rn 的 自然基,
1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
b b b b








1
2
3
n
b
b
bb
b








1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
E







上三角形矩阵 的列向量组也是 R3
的一个基，那么
)1 2 3
1 1 1
,,0 1 1
0 0 1
A a a a




1 2 3
2 1 1 1
5 ( 3 ) 0 ( 2 ) 1 7 1 3 2 7
7 0 0 1
a a a





结论,同一个向量在不同基中的坐标是不同的,
例,设验证 a1,a2,a3 是 R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标,
1 2 3 1 2
2 2 1 1 4
(,,) 2 1 2,(,) 0 3
1 2 2 4 2
A a a a B b b





分析：
a1,a2,a3 是 R3 的一个基 R(a1,a2,a3 ) = 3
b1,b2 在这个基中的坐标 用 a1,a2,a3 表示 b1,b2
当 时,A 的 列向量组 与 B的 列向量组 有相同的线性关系．（ P,93 例 11）
为此，考虑把 (A,B) = (a1,a2,a3,b1,b2) 化为 行最简形矩阵,
~rAB
1 2 3 1 2
2 2 1 1 4
(,,) 2 1 2,(,) 0 3
1 2 2 4 2
A a a a B b b





解：
24
1 0 0
33
2 2 1 1 4
2
(,) 2 1 2 0 3 ~ 0 1 0 1
3
1 2 2 4 2
2
0 0 1 1
3
r
AB










于是
1 1 2 3 2 1 2 3
2 2 4 2,
3 3 3 3b a a a b a a a
例,设验证 a1,a2,a3 是 R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标,
例,在 R3中取定一个基 a1,a2,a3,再取一个新基 b1,b2,b3，
设 A = (a1,a2,a3),B = (b1,b2,b3),
① 求用 a1,a2,a3 表示 b1,b2,b3 的表示式 （基变换公式） ；
② 求向量在两个基中的坐标之间的关系式 （坐标变换公式）,
分析：
求解矩阵方程 AX = B．
设 x∈ R3，且,求解矩阵方程,
11
1 2 3 2 1 2 3 2
33
(,,) (,,)
yz
x a a a y b b b z
yz





11
22
33
yz
X y z
yz