第五章相似矩阵及二次型
§ 1 向量的内积、长度及正交性定义,设有 n 维向量令则称 [x,y] 为向量 x 和 y 的 内积,
1 1 2 2[,] nnx y x y x yxy
向量的内积
11
22
,,
nn
xy
xy
xy
xy
1
2
12
,,,
n
n
y
y
x x x
y
Txy?
1 1 2 2
1 1 2 2
[,]
[,]
nn
nn
x y x y x y x y
y x y x y x
yx
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
[,] ( ) ( ) [,]T T Tx y x y x y x y x yl l l l l
[,] ( ) ( ) ( ) ( ) [,] [,]T T T T Tx y z x y z x y z x z y z x z y z
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
当 x = 0（零向量） 时,[x,x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,[x,x] > 0．
[x,x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
当 x = 0（零向量） 时,[x,x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,[x,x] > 0．
施瓦兹（ Schwarz）不等式
[x,y]2 ≤ [x,x] [y,y]．
回顾：线段的长度
2212| | [,]O P x x x x
x1
x2
x1
x2
x3
P(x1,x2)
O
P
O
若令 x = (x1,x2)T，则
2221 2 3| | [,]O P x x x x x
若令 x = (x1,x2,x3)T，则
[x,x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
2[,] [,] [,] [,]x x x x x x x xl l l l l l l
向量的长度定义,令称 || x || 为 n 维向量 x 的 长度 （或 范数 ）．
当 || x || = 1时，称 x 为 单位向量,
向量的长度具有下列性质：
非负性,当 x = 0（零向量） 时,|| x || = 0；
当 x≠0（零向量） 时,|| x || > 0．
齐次性,|| l x || = | l | ·|| x ||,
2 2 212| | | | [,] 0nx x x xx x
2|| || [,] [,] | | [,] || || ||x x x x x x x xl l l l ll
向量的长度定义,令称 || x || 为 n 维向量 x 的 长度 （或 范数 ）．
当 || x || = 1时，称 x 为 单位向量,
向量的长度具有下列性质：
非负性,当 x = 0（零向量） 时,|| x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,|| x || > 0．
齐次性,|| l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式,|| x + y || ≤|| x || + || y ||．
2 2 212[||,| ]| nx x xx xx
x
y
x + y
y
向量的正交性施瓦兹（ Schwarz）不等式
[x,y]2 ≤ [x,x] [y,y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
定义,当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的 夹角,
当 [x,y] = 0，称向量 x 和 y 正交,
结论,若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,
[,]a r c c o s
| | | | | | | |
xy
xy
[,] 1
|| || | | ||
xy
xy
x
y
定义,两两正交的非零向量组成的向量组成为 正交向量组,
定理,若 n 维向量 a1,a2,…,ar 是一组两两正交的非零向量，
则 a1,a2,…,ar 线性无关．
证明,设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量）,那么
0 = [a1,0] = [a1,k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
= k1 [a1,a1] + k2 [a1,a2] + … + kr [a1,ar]
= k1 [a1,a1] + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
从而 k1 = 0．
同理可证,k2 = k3 = … = kr =0．
综上所述,a1,a2,…,ar 线性无关．
例,已知 3 维向量空间 R3中两个向量正交，试求一个非零向量 a3,使 a1,a2,a3 两两正交．
分析,显然 a1⊥ a2．
解,设 a3 = (x1,x2,x3)T,若 a1⊥ a3,a2⊥ a3,则
[a1,a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
[a2,a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
12
11
1,2
11
aa
1
2
3
1 1 1 0
1 2 1 0
x
A x x
x
1
2
3
1 1 1 0
1 2 1 0
x
A x x
x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1~ ~ ~
1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0
r r r
得从而有基础解系,令,
13
2 0
xx
x
1
0
1
3
1
0
1
a
定义,n 维向量 e1,e2,…,er 是向量空间 中的向量，
满足
e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；
e1,e2,…,er 两两正交；
e1,e2,…,er 都是单位向量，
则称 e1,e2,…,er 是 V 的一个 规范正交基,
例：
是 R4 的一个规范正交基．
nVR?
1 2 3 4
1 0 0 0
0 1 0 0
,,,
0 0 1 0
0 0 0 1
e e e e
也是 R4 的一个规范正交基．
1 2 3 4
001 2 1 2
00
1 2 1 2
,,,
1 2 1 200
0 0 1 2 1 2
e e e e
1 2 3 4
1 1 1 1
0 1 1 1
,,,
0 0 1 1
0 0 0 1
e e e e
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
设 e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个 正交基,则 V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
于是特别地，若 e1,e2,…,er 是 V 的一个 规范正交基,则问题,向量空间 V 中的一个基 a1,a2,…,ar
向量空间 V 中的一个规范正交基 e1,e2,…,er
2
[,] [,],1,2,,
[,] | | | |
ii
i
i i i
x e x e ir
e e el
[,],1,2,,iix e i rl
求规范正交基的方法第一步：正交化 —— 施密特（ Schimidt）正交化过程设 a1,a2,…,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
11ba?
a1 b1
a2
a3
c2
b2
c3
c31
c32
b3
12
2 2 2 2 1
11
[,]
[,]
bab a c a b
bb
3 3 3
3 3 1 3 2
1 3 2 3
3 1 2
1 1 2 2
[,] [,]
[,] [,]
b a c
a c c
b a b a
a b b
b b b b
基 正交基 规范正交基第一步：正交化 —— 施密特（ Schimidt）正交化过程设 a1,a2,…,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,…,br 两两正交，并且与 a1,a2,…,ar 等价，即
b1,b2,…,br 是向量空间 V 中的一个 正交基,
特别地,b1,…,bk 与 a1,…,ak 等价（ 1 ≤ k ≤ r）．
1 2 1
1 1 2 2
1 2 1
11
[,] [,] [,]
[,] [,] [,]rr
r
r
r
r r r
r
b a b a b a
b b b b
b a b b
bb
b?
11ba?
12
2 2 2 2 1
11
[,]
[,]
bab a c a b
bb
第二步：单位化设 b1,b2,…,br 是向量空间 V 中的一个 正交基,那么令因为从而 e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个 规范正交基,
1 1 2 2
12
1 1 1,,,
| | | | | | | | | | | |rr re b e b e bb b b
2
1
1 1 1 1 1 122
1 1 1 1
| | | |1 1 1[,],,1
| | | | | | | | | | | | | | | |
be e b b b b
b b b b
1 1 1| | | | [,] 1e e e
例,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．
解,第一步正交化，取
1 2 3
1 1 4
2,3,1
1 1 0
a a a
11
12
2 2 1
11
1 3 2 3
3 3 1 2
1 1 2 2
1 1 1
[,] 45
3 2 1
[,] 6 3
1 1 1
4 1 1 1
[,] [,] 15
1 2 1 2 0
[,] [,] 3 3
0 1 1 1
ba
ba
b a b
bb
b a b a
b a b b
b b b b
例,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．
解,第二步单位化，令
1 2 3
1 1 4
2,3,1
1 1 0
a a a
11
1
22
2
33
3
1
11
2
|| || 6
1
1
11
1
|| || 3
1
1
11
0
|| || 2
1
eb
b
eb
b
eb
b
例,已知,试求非零向量 a2,a3,使 a1,a2,a3 两两正交,
解,若 a1⊥ a2,a1⊥ a3,则
[a1,a2] = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0
[a1,a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
即 a2,a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0,
基础解系为把基础解系正交化即为所求．
1
1
1
1
a
12
10
0,1
11
23
11
1
0,2
2
11
aa
（以保证 a2⊥ a3 成立）
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E，
则称矩阵 A 为 正交矩阵,简称 正交阵,
即 A?1 = AT，
于是从而可得
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．
1,[,] (,1,2,,)
0,
T
i j i j
ija a a a i j n
ij
即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基,
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
T T T T
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
a a a a a a a
a a a a a a a
A A a a a
a a a a a a a
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,即 A－ 1 = AT，
则称矩阵 A为 正交矩阵,简称 正交阵,
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基,
因为 ATA = E 与 AAT = E 等价，所以
1,[,] (,1,2,,)
0,
T
i j i j
ijb b b b i j n
ij
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
T T T T
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
b b b b b b b
b b b b b b b
AA b b b
b b b b b b b
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,即 A－ 1 = AT，
则称矩阵 A为 正交矩阵,简称 正交阵,
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基．
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 行向量 都是单位向量，且两两正交,即 A 的 行向量组 构成 Rn 的规范正交基,
1 2 1 2 0 0
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
0 0 1 2 1 2
P
例,正交矩阵
R4 的一个规范正交基
1 2 3 4
001 2 1 2
00
1 2 1 2
,,,
1 2 1 200
0 0 1 2 1 2
e e e e
|| || ( ) ( ) || ||T T T T Ty y y P x P x x P P x x x x
正交矩阵具有下列性质：
若 A 是正交阵，则 A?1 也是正交阵，且 |A| = 1 或 － 1．
若 A 和 B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵．
定义,若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为 正交变换,
经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性．
§ 1 向量的内积、长度及正交性定义,设有 n 维向量令则称 [x,y] 为向量 x 和 y 的 内积,
1 1 2 2[,] nnx y x y x yxy
向量的内积
11
22
,,
nn
xy
xy
xy
xy
1
2
12
,,,
n
n
y
y
x x x
y
Txy?
1 1 2 2
1 1 2 2
[,]
[,]
nn
nn
x y x y x y x y
y x y x y x
yx
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
[,] ( ) ( ) [,]T T Tx y x y x y x y x yl l l l l
[,] ( ) ( ) ( ) ( ) [,] [,]T T T T Tx y z x y z x y z x z y z x z y z
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
当 x = 0（零向量） 时,[x,x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,[x,x] > 0．
[x,x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x,y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x,y,z 为 n 维向量,l 为实数）：
对称性,[x,y] = [y,x]．
线性性质,[lx,y] = l[x,y]．
[x + y,z] = [x,z] + [y,z]
当 x = 0（零向量） 时,[x,x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,[x,x] > 0．
施瓦兹（ Schwarz）不等式
[x,y]2 ≤ [x,x] [y,y]．
回顾：线段的长度
2212| | [,]O P x x x x
x1
x2
x1
x2
x3
P(x1,x2)
O
P
O
若令 x = (x1,x2)T，则
2221 2 3| | [,]O P x x x x x
若令 x = (x1,x2,x3)T，则
[x,x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
2[,] [,] [,] [,]x x x x x x x xl l l l l l l
向量的长度定义,令称 || x || 为 n 维向量 x 的 长度 （或 范数 ）．
当 || x || = 1时，称 x 为 单位向量,
向量的长度具有下列性质：
非负性,当 x = 0（零向量） 时,|| x || = 0；
当 x≠0（零向量） 时,|| x || > 0．
齐次性,|| l x || = | l | ·|| x ||,
2 2 212| | | | [,] 0nx x x xx x
2|| || [,] [,] | | [,] || || ||x x x x x x x xl l l l ll
向量的长度定义,令称 || x || 为 n 维向量 x 的 长度 （或 范数 ）．
当 || x || = 1时，称 x 为 单位向量,
向量的长度具有下列性质：
非负性,当 x = 0（零向量） 时,|| x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时,|| x || > 0．
齐次性,|| l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式,|| x + y || ≤|| x || + || y ||．
2 2 212[||,| ]| nx x xx xx
x
y
x + y
y
向量的正交性施瓦兹（ Schwarz）不等式
[x,y]2 ≤ [x,x] [y,y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
定义,当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的 夹角,
当 [x,y] = 0，称向量 x 和 y 正交,
结论,若 x = 0，则 x 与任何向量都正交,
[,]a r c c o s
| | | | | | | |
xy
xy
[,] 1
|| || | | ||
xy
xy
x
y
定义,两两正交的非零向量组成的向量组成为 正交向量组,
定理,若 n 维向量 a1,a2,…,ar 是一组两两正交的非零向量，
则 a1,a2,…,ar 线性无关．
证明,设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量）,那么
0 = [a1,0] = [a1,k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
= k1 [a1,a1] + k2 [a1,a2] + … + kr [a1,ar]
= k1 [a1,a1] + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
从而 k1 = 0．
同理可证,k2 = k3 = … = kr =0．
综上所述,a1,a2,…,ar 线性无关．
例,已知 3 维向量空间 R3中两个向量正交，试求一个非零向量 a3,使 a1,a2,a3 两两正交．
分析,显然 a1⊥ a2．
解,设 a3 = (x1,x2,x3)T,若 a1⊥ a3,a2⊥ a3,则
[a1,a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
[a2,a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
12
11
1,2
11
aa
1
2
3
1 1 1 0
1 2 1 0
x
A x x
x
1
2
3
1 1 1 0
1 2 1 0
x
A x x
x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1~ ~ ~
1 2 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0
r r r
得从而有基础解系,令,
13
2 0
xx
x
1
0
1
3
1
0
1
a
定义,n 维向量 e1,e2,…,er 是向量空间 中的向量，
满足
e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；
e1,e2,…,er 两两正交；
e1,e2,…,er 都是单位向量，
则称 e1,e2,…,er 是 V 的一个 规范正交基,
例：
是 R4 的一个规范正交基．
nVR?
1 2 3 4
1 0 0 0
0 1 0 0
,,,
0 0 1 0
0 0 0 1
e e e e
也是 R4 的一个规范正交基．
1 2 3 4
001 2 1 2
00
1 2 1 2
,,,
1 2 1 200
0 0 1 2 1 2
e e e e
1 2 3 4
1 1 1 1
0 1 1 1
,,,
0 0 1 1
0 0 0 1
e e e e
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
设 e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个 正交基,则 V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
于是特别地，若 e1,e2,…,er 是 V 的一个 规范正交基,则问题,向量空间 V 中的一个基 a1,a2,…,ar
向量空间 V 中的一个规范正交基 e1,e2,…,er
2
[,] [,],1,2,,
[,] | | | |
ii
i
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求规范正交基的方法第一步：正交化 —— 施密特（ Schimidt）正交化过程设 a1,a2,…,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
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a1 b1
a2
a3
c2
b2
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2 2 2 2 1
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[,]
[,]
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基 正交基 规范正交基第一步：正交化 —— 施密特（ Schimidt）正交化过程设 a1,a2,…,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,…,br 两两正交，并且与 a1,a2,…,ar 等价，即
b1,b2,…,br 是向量空间 V 中的一个 正交基,
特别地,b1,…,bk 与 a1,…,ak 等价（ 1 ≤ k ≤ r）．
1 2 1
1 1 2 2
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[,] [,] [,]
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b?
11ba?
12
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[,]
bab a c a b
bb
第二步：单位化设 b1,b2,…,br 是向量空间 V 中的一个 正交基,那么令因为从而 e1,e2,…,er 是向量空间 V 中的一个 规范正交基,
1 1 2 2
12
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b b b b
1 1 1| | | | [,] 1e e e
例,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．
解,第一步正交化，取
1 2 3
1 1 4
2,3,1
1 1 0
a a a
11
12
2 2 1
11
1 3 2 3
3 3 1 2
1 1 2 2
1 1 1
[,] 45
3 2 1
[,] 6 3
1 1 1
4 1 1 1
[,] [,] 15
1 2 1 2 0
[,] [,] 3 3
0 1 1 1
ba
ba
b a b
bb
b a b a
b a b b
b b b b
例,设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．
解,第二步单位化，令
1 2 3
1 1 4
2,3,1
1 1 0
a a a
11
1
22
2
33
3
1
11
2
|| || 6
1
1
11
1
|| || 3
1
1
11
0
|| || 2
1
eb
b
eb
b
eb
b
例,已知,试求非零向量 a2,a3,使 a1,a2,a3 两两正交,
解,若 a1⊥ a2,a1⊥ a3,则
[a1,a2] = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0
[a1,a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
即 a2,a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0,
基础解系为把基础解系正交化即为所求．
1
1
1
1
a
12
10
0,1
11
23
11
1
0,2
2
11
aa
（以保证 a2⊥ a3 成立）
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E，
则称矩阵 A 为 正交矩阵,简称 正交阵,
即 A?1 = AT，
于是从而可得
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．
1,[,] (,1,2,,)
0,
T
i j i j
ija a a a i j n
ij
即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基,
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
T T T T
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
a a a a a a a
a a a a a a a
A A a a a
a a a a a a a
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,即 A－ 1 = AT，
则称矩阵 A为 正交矩阵,简称 正交阵,
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基,
因为 ATA = E 与 AAT = E 等价，所以
1,[,] (,1,2,,)
0,
T
i j i j
ijb b b b i j n
ij
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
T T T T
n
T T T T
T n
n
T T T T
n n n n n
b b b b b b b
b b b b b b b
AA b b b
b b b b b b b
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,即 A－ 1 = AT，
则称矩阵 A为 正交矩阵,简称 正交阵,
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 列向量 都是单位向量，且两两正交．即 A 的 列向量组 构成 Rn 的规范正交基．
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的 行向量 都是单位向量，且两两正交,即 A 的 行向量组 构成 Rn 的规范正交基,
1 2 1 2 0 0
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
0 0 1 2 1 2
P
例,正交矩阵
R4 的一个规范正交基
1 2 3 4
001 2 1 2
00
1 2 1 2
,,,
1 2 1 200
0 0 1 2 1 2
e e e e
|| || ( ) ( ) || ||T T T T Ty y y P x P x x P P x x x x
正交矩阵具有下列性质：
若 A 是正交阵，则 A?1 也是正交阵，且 |A| = 1 或 － 1．
若 A 和 B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵．
定义,若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为 正交变换,
经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性．
