第四章向量组的线性相关性
§ 1 向量组及其线性组合定义,n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个 分量,第 i 个数 ai 称为第 i
个分量．
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）,
行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．
所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．
本书中，列向量用黑色小写字母 a,b,a,b 等表示，行向量则用 aT,bT,aT,bT 表示．
定义,若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组,
当 R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．
11 12 13 14
34 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
1 2 3 4,,,a a a a?
1
2
3
T
T
T
b
b
b
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
有限向量组定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am,对于任何一组实数
k1,k2,…,km,表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam
称为向量组 A 的一个 线性组合,
k1,k2,…,km 称为这个 线性组合的系数,
定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm,使得
b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 向量 b 能由向量组
A 的线性表示,
例,设
1 2 3
1 0 0
,,0 1 0
0 0 1
E e e e
1 0 0
2 0 3 1 7 0
0 0 1
1 2 32 3 7e e e
2
3
7
b
那么线性组合的系数
e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的 n 维向量 b,必有
1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
b b b b
1
2
3
n
b
b
bb
b
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,
1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
b b b b
1
2
3
n
b
b
bb
b
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
E
回顾：线性方程组的表达式
1,一般形式
3,向量方程的形式
2,增广矩阵的形式
4,向量组线性组合的形式
1 2 3
1 2 3
3 4 5
21
x x x
x x x
3 4 1 5
1 1 2 1
1
2
3
3 4 1 5
1 1 2 1
x
x
x
1 2 3
3 4 1 5
1 1 2 1x x x
方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？3 4 1,,
1 1 2
5
1
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
1 1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
12
,,,
m
m
m m m
m n n n m m
x a a a x
x a a a x
x a x a x a a a a
x a a a x
1 1 2 2 mmb a a al l l
11 12 1 1
21 22 2 2
12
m
m
n n n m m
a a a
a a a
b
a a a
l
l
l
( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
P.83 定理 1 的结论：
定义,设有向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl,若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称 向量组 B 能由向量组 A 线性表示,
若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个 向量组等价,
设有向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl,若向量组
B 能由向量组 A 线性表示，即
1 1 21 1 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1
2 2 2 2
m
l
m
l
m
ml ml
m
b k a k a k a
b k a k a k a
b k a k a k a
1 1 1
2 2 2
1
12
2
12
12
12
,,,,,,
m
m m m
l
l
m
l
ll
k k k
k k k
b b b a a a
k k k
线性表示的系数矩阵若 Cm× n = Am× l Bl× n,即则
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
,,,,,,
n
n
nl
l l ln
b b b
b b b
c c c a a a
b b b
结论,矩阵 C 的列向量组 能由矩阵 A 的列向量组 线性表示，
B 为这一线性表示的系数矩阵．
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
n l n
n l n
m m m n m m m l l l ln
c c c a a a b b b
c c c a a a b b b
c c c a a a b b b
若 Cm× n = Am× l Bl× n,即
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
n l n
n l n
m m m n m m m l l l ln
c c c a a a b b b
c c c a a a b b b
c c c a a a b b b
则
11 12 111
21 22 222
12
TT
l
l
TT
m m m lml
a a arb
a a a
a a arb
结论,矩阵 C 的行向量组 能由矩阵 B 的行向量组 线性表示，
A 为这一线性表示的系数矩阵．
口诀：左行右列定理,设 A是一个 m× n 矩阵，
对 A 施行一次 初等行变换,相当于在 A 的左边 乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 A 施行一次 初等列变换,相当于在 A 的右边 乘以相应的 n 阶初等矩阵,
结论,若 C = AB,那么
矩阵 C 的行向量组 能由矩阵 B 的行向量组 线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵,（ A在左边）
矩阵 C 的列向量组 能由矩阵 A 的列向量组 线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵,（ B在右边）
~cAB A 经过有限次初等 列 变换变成 B
存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pl,使 AP1 P2 …,Pl = B
存在 m 阶 可逆矩阵 P，使得 AP = B
矩阵 B 的列向量组 与矩阵 A 的列向量组 等价
~rAB 矩阵 B 的行向量组 与矩阵 A 的行向量组 等价同理可得口诀：左行右列,
把 P 看成是线性表示的系数矩阵向量组 B,b1,b2,…,bl 能由向量组 A,a1,a2,…,am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A,B) （ P.84 定理 2）
R(B) ≤ R(A) （ P.85 定理 3）
推论,向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A,B)．
证明,向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A线性表示向量组 A 能由向量组 B 线性表示从而有 R(A) = R(B) = R(A,B),
因为 R(B) ≤ R(A,B)
R(A) = R(A,B)
R(B) = R(A,B)
例,设证明向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式．
1 2 3
1 1 1 1
1 2 1 0
,,,
2 1 4 3
2 3 0 1
a a a b
解,向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当 R(A) = R(A,b),
1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1
(,) ~
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
r
Ab
因为 R(A) = R(A,b) = 2,所以向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示．
1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1
(,) ~
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
r
Ab
行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b = (－ 3c + 2) a1 + (2c－ 1) a2 + c a3,
13
23
32
21
xx
xx
3 2 3 2
2 1 2 1
10
c
x c c
c
n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量,
设有 n× m 矩阵 A = (a1,a2,…,am),试证,n维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是
R(A) = n,
分析：
n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示
R(A) = R(A,E)
R(A) = n,（注意到,R(A,E) = n 一定成立）
小结
( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
( ) (,)R A R A B?
向量组 B 能由向量组 A
线性表示矩阵方程组
AX = B
有解
( ) ( )R B R A?
( ) ( ) (,)R A R B R A B
向量组 A 与向量组 B
等价知识结构图
n维向量向量组 向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理
§ 1 向量组及其线性组合定义,n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个 分量,第 i 个数 ai 称为第 i
个分量．
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）,
行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．
所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．
本书中，列向量用黑色小写字母 a,b,a,b 等表示，行向量则用 aT,bT,aT,bT 表示．
定义,若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组,
当 R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．
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34 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
1 2 3 4,,,a a a a?
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T
T
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b
b
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结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
有限向量组定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am,对于任何一组实数
k1,k2,…,km,表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam
称为向量组 A 的一个 线性组合,
k1,k2,…,km 称为这个 线性组合的系数,
定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm,使得
b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 向量 b 能由向量组
A 的线性表示,
例,设
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,,0 1 0
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E e e e
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2 0 3 1 7 0
0 0 1
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b
那么线性组合的系数
e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的 n 维向量 b,必有
1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
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n
b b b b
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b
b
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b
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,
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n
b b b b
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b
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0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
E
回顾：线性方程组的表达式
1,一般形式
3,向量方程的形式
2,增广矩阵的形式
4,向量组线性组合的形式
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x x x
x x x
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方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？3 4 1,,
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结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
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2 2 1 2 2 2 2
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,,,
m
m
m m m
m n n n m m
x a a a x
x a a a x
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m
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b
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( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
P.83 定理 1 的结论：
定义,设有向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl,若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称 向量组 B 能由向量组 A 线性表示,
若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个 向量组等价,
设有向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl,若向量组
B 能由向量组 A 线性表示，即
1 1 21 1 1 2
1 1 2 2
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m
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m
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n
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b b b
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c c c a a a
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结论,矩阵 C 的列向量组 能由矩阵 A 的列向量组 线性表示，
B 为这一线性表示的系数矩阵．
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
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n l n
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c c c a a a b b b
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1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
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n l n
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TT
l
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a a a
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结论,矩阵 C 的行向量组 能由矩阵 B 的行向量组 线性表示，
A 为这一线性表示的系数矩阵．
口诀：左行右列定理,设 A是一个 m× n 矩阵，
对 A 施行一次 初等行变换,相当于在 A 的左边 乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 A 施行一次 初等列变换,相当于在 A 的右边 乘以相应的 n 阶初等矩阵,
结论,若 C = AB,那么
矩阵 C 的行向量组 能由矩阵 B 的行向量组 线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵,（ A在左边）
矩阵 C 的列向量组 能由矩阵 A 的列向量组 线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵,（ B在右边）
~cAB A 经过有限次初等 列 变换变成 B
存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pl,使 AP1 P2 …,Pl = B
存在 m 阶 可逆矩阵 P，使得 AP = B
矩阵 B 的列向量组 与矩阵 A 的列向量组 等价
~rAB 矩阵 B 的行向量组 与矩阵 A 的行向量组 等价同理可得口诀：左行右列,
把 P 看成是线性表示的系数矩阵向量组 B,b1,b2,…,bl 能由向量组 A,a1,a2,…,am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A,B) （ P.84 定理 2）
R(B) ≤ R(A) （ P.85 定理 3）
推论,向量组 A,a1,a2,…,am 及 B,b1,b2,…,bl 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A,B)．
证明,向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A线性表示向量组 A 能由向量组 B 线性表示从而有 R(A) = R(B) = R(A,B),
因为 R(B) ≤ R(A,B)
R(A) = R(A,B)
R(B) = R(A,B)
例,设证明向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式．
1 2 3
1 1 1 1
1 2 1 0
,,,
2 1 4 3
2 3 0 1
a a a b
解,向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当 R(A) = R(A,b),
1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1
(,) ~
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
r
Ab
因为 R(A) = R(A,b) = 2,所以向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示．
1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1
(,) ~
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
r
Ab
行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b = (－ 3c + 2) a1 + (2c－ 1) a2 + c a3,
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xx
xx
3 2 3 2
2 1 2 1
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c
x c c
c
n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量,
设有 n× m 矩阵 A = (a1,a2,…,am),试证,n维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是
R(A) = n,
分析：
n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示
R(A) = R(A,E)
R(A) = n,（注意到,R(A,E) = n 一定成立）
小结
( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
( ) (,)R A R A B?
向量组 B 能由向量组 A
线性表示矩阵方程组
AX = B
有解
( ) ( )R B R A?
( ) ( ) (,)R A R B R A B
向量组 A 与向量组 B
等价知识结构图
n维向量向量组 向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理
