§ 3 线性方程组的解一、线性方程组的表达式
1,一般形式
3,向量方程的形式方程组可简化为 AX = b,
2,增广矩阵的形式
4,向量组线性组合的形式
1 2 3
1 2 3
3 4 5
21
x x x
x x x
3 4 1 5
1 1 2 1
1
2
3
3 4 1 5
1 1 2 1
x
x
x
1 2 3
3 4 1 5
1 1 2 1x x x
二、线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
定义,线性方程组如果有解，就称它是 相容的 ；如果无解，
就称它是 不相容的,
问题 1,方程组是否有解？
问题 2,若方程组有解，则解是否唯一？
问题 3,若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？
m,n 不一定相等！
定理,n元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
分析,只需证明条件的充分性，即
R(A) < R(A,b) 无解；
R(A) = R(A,b) = n 唯一解；
R(A) = R(A,b) < n 无穷多解,
那么
无解 R(A) < R(A,b) ；
唯一解 R(A) = R(A,b) = n ；
无穷多解 R(A) = R(A,b) < n,
证明,设 R(A) = r,为叙述方便，不妨设 B = (A,b) 的 行最简形矩阵 为第一步,往证 R(A) < R(A,b) 无解．
若 R(A) < R(A,b),即 R(A,b) = R(A)＋ 1，则 dr+1 = 1,
于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解．
11 1,1
21 2,2
,1,
1
( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
nr
nr
r r n r r
r
mn
b b d
b b d
b b d
B
d
R(A) ≤ R(A,b) ≤ R(A)＋ 1
前 r 列 后 n - r 列前 n 列前 r 列
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
B
1
2
( 1)
0
0
0
n
mn
d
d
d
第二步,往证 R(A) = R(A,b) = n 唯一解．
若 R(A) = R(A,b) = n，
故原线性方程组有唯一解．
后 n - r 列则 dr+1 = 0 且 r = n，
对应的线性方程组为
11
22
,
,
.
nn
xd
xd
xd
B
从而 bij 都不出现,
1 1 1,
2 1 2,
,1,
00
00
00
nr
nr
r r n r
bb
bb
bb
1
2
1
( 1)
0
0
r
r
d
d
d
d
第三步,往证 R(A) = R(A,b) < n 无穷多解,
若 R(A) = R(A,b) < n,
对应的线性方程组为
前 r 列则 dr+1 = 0,
后 n - r 列即 r < n,
11 1,1
21 2,2
,1,
1
( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
nr
nr
r r n r r
r
mn
b b d
b b d
b b d
B
d
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
B
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
令 xr+1,…,xn 作自由变量，则再令 xr+1 = c1,xr+2 = c2,…,xn = cn-r,则
1 11 1 1,1
1 1,
11
n r n r
r r r n r n r r
r
n n r
x b c b c d
x b c b c d
xc
xc
11 1,1
1,
1
1 0 0
0 1 0
nr
r r n r r
nr
b b d
b b d
cc
线性方程组的通解例,求解非齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
1 1 2 1 4 0 1 1 0 3
~
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3 6 9 7 9 0 0 0 0 0
r
B
解：
R(A) = R(A,b) = 3 < 4，故原线性方程组有无穷多解．
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
1 1 2 1 4 0 1 1 0 3
~
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3 6 9 7 9 0 0 0 0 0
r
B
解（续）：
即得与原方程组同解的方程组令 x3 做自由变量，则方程组的通解可表示为,
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
1
2
3
4
14
13
10
03
x
x
c
x
x
例,求解非齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1,
3 5 3 2,
2 2 2 3,
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 2 ~ 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3 0 0 0 0 2
r
B
解：
R(A) = 2,R(A,b) = 3,故原线性方程组无解．
例,求解齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 0,
2 2 2 0,
4 3 0.
x x x x
x x x x
x x x x
提问,为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形矩阵？
答,因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是必有 R(A,0) = R(A),所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况．
例,设有 线性方程组问 l 取何值时，此方程组有 (1) 唯一解； (2) 无解； (3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0,
( 1 ) 3,
( 1 ),
x x x
x x x
x x x
l
l
ll
定理,n元线性方程组 AX = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
B
l
l
ll
解法 1,对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
l
l
ll
13
1 1 1
~ 1 1 1 3
1 1 1 0
rr
ll
l
l
21
31( 1 )
1 1 1
~ 0 3
0 ( 2 ) ( 1 )
rr
rr l
ll
l l l
l l l l l
32
1 1 1
~ 0 3
0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
rr
ll
l l l
l l l l
附注：
对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1,l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：
如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）
的情况另作讨论．
21
1
1rrl
2 (1 )r l 3 ( 3 )r l
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 3 ~ 0 3
1 1 1 0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
r
B
l l l
l l l l
l l l l l l
分析：
讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l取何值时,r2,
r3 是非零行,
在 r2,r3 中，有 5 处地方出现了 l，要使这 5 个元素等于零,l = 0,3，－ 3,1,
实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论,先 从方程组有唯一解入手．
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 3 ~ 0 3
1 1 1 0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
r
B
l l l
l l l l
l l l l l l
于是
当 l ≠ 0 且 l ≠－ 3 时,R(A) = R(B) = 3,有唯一解．
当 l = 0 时,R(A) = 1,R(B) = 2,无解．
当 l = － 3 时,R(A) = R(B) = 2,有无限多解．
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
B
l
l
ll
解法 2,因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是 |A| ≠ 0,
2
1 1 1
| | 1 1 1 ( 3 )
1 1 1
A
l
l l l
l
于是 当 l ≠ 0 且 l ≠－ 3 时,方程组有唯一解．
当 l = 0 时，
R(A) = 1,R(B) = 2,方程组无解．
1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 3 ~ 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0
r
B
当 l = － 3 时，
R(A) = R(B) = 2,方程组有无限多个解，其通解为
2 1 1 0 1 0 1 1
1 2 1 3 ~ 0 1 1 2
1 1 2 3 0 0 0 0
r
B
1
2
3
11
12
10
x
xc
x
定理,n元线性方程组 AX = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
分析,因为对于 AX = 0 必有 R(A,0) = R(A),所以可从 R(A)
判断齐次线性方程组的解的情况．
定理,n元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n,
定理,线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,b),
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
证明,设 A 是 m× n 矩阵,B 是 m× l 矩阵,X 是 n× l 矩阵,
把 X 和 B 按列分块，记作
X = ( x1,x2,…,xl ),B = ( b1,b2,…,bl )
则即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A,bi )
12(,,,)nA X A x x x? 12(,,,)nA x A x A x? 12(,,,)nb b b B
设 R(A) = r,A 的行最简形矩阵为,则 有 r 个非零行，
且 的后 m－ r 行全是零,
再设从而,
A A
A
1 2 1 2(,) (,,,,) ~ (,,,,)
r
llA B A b b b A b b b?
(,) ~ (,)riiA b A b
矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A,bi )
的后 m－ r 个元素全是零的后 m－ r 行全是零
R(A) = R(A,B),
ib
12(,,,)lb b b
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
定理,设 AB = C,则 R(C) ≤ min{R(A),R(B)},
证明,因为 AB = C,所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B，
于是 R(A) = R(A,C),
R(C) ≤ R(A,C),故 R(C) ≤ R(A),
又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解
X = AT,同理可得,R(C) ≤ R(B),
综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A),R(B)},
非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含 n-R(A) 个自由变量的通解
( ) ( )R A R B?
()R A n?
1,一般形式
3,向量方程的形式方程组可简化为 AX = b,
2,增广矩阵的形式
4,向量组线性组合的形式
1 2 3
1 2 3
3 4 5
21
x x x
x x x
3 4 1 5
1 1 2 1
1
2
3
3 4 1 5
1 1 2 1
x
x
x
1 2 3
3 4 1 5
1 1 2 1x x x
二、线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
定义,线性方程组如果有解，就称它是 相容的 ；如果无解，
就称它是 不相容的,
问题 1,方程组是否有解？
问题 2,若方程组有解，则解是否唯一？
问题 3,若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？
m,n 不一定相等！
定理,n元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
分析,只需证明条件的充分性，即
R(A) < R(A,b) 无解；
R(A) = R(A,b) = n 唯一解；
R(A) = R(A,b) < n 无穷多解,
那么
无解 R(A) < R(A,b) ；
唯一解 R(A) = R(A,b) = n ；
无穷多解 R(A) = R(A,b) < n,
证明,设 R(A) = r,为叙述方便，不妨设 B = (A,b) 的 行最简形矩阵 为第一步,往证 R(A) < R(A,b) 无解．
若 R(A) < R(A,b),即 R(A,b) = R(A)＋ 1，则 dr+1 = 1,
于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解．
11 1,1
21 2,2
,1,
1
( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
nr
nr
r r n r r
r
mn
b b d
b b d
b b d
B
d
R(A) ≤ R(A,b) ≤ R(A)＋ 1
前 r 列 后 n - r 列前 n 列前 r 列
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
B
1
2
( 1)
0
0
0
n
mn
d
d
d
第二步,往证 R(A) = R(A,b) = n 唯一解．
若 R(A) = R(A,b) = n，
故原线性方程组有唯一解．
后 n - r 列则 dr+1 = 0 且 r = n，
对应的线性方程组为
11
22
,
,
.
nn
xd
xd
xd
B
从而 bij 都不出现,
1 1 1,
2 1 2,
,1,
00
00
00
nr
nr
r r n r
bb
bb
bb
1
2
1
( 1)
0
0
r
r
d
d
d
d
第三步,往证 R(A) = R(A,b) < n 无穷多解,
若 R(A) = R(A,b) < n,
对应的线性方程组为
前 r 列则 dr+1 = 0,
后 n - r 列即 r < n,
11 1,1
21 2,2
,1,
1
( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
nr
nr
r r n r r
r
mn
b b d
b b d
b b d
B
d
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
B
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
1 1 1 1 1,1
2 2 1 1 2,2
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n r
x b x b x d
x b x b x d
x b x b x d
令 xr+1,…,xn 作自由变量，则再令 xr+1 = c1,xr+2 = c2,…,xn = cn-r,则
1 11 1 1,1
1 1,
11
n r n r
r r r n r n r r
r
n n r
x b c b c d
x b c b c d
xc
xc
11 1,1
1,
1
1 0 0
0 1 0
nr
r r n r r
nr
b b d
b b d
cc
线性方程组的通解例,求解非齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
1 1 2 1 4 0 1 1 0 3
~
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3 6 9 7 9 0 0 0 0 0
r
B
解：
R(A) = R(A,b) = 3 < 4，故原线性方程组有无穷多解．
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
1 1 2 1 4 0 1 1 0 3
~
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3 6 9 7 9 0 0 0 0 0
r
B
解（续）：
即得与原方程组同解的方程组令 x3 做自由变量，则方程组的通解可表示为,
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
1
2
3
4
14
13
10
03
x
x
c
x
x
例,求解非齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1,
3 5 3 2,
2 2 2 3,
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 2 ~ 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3 0 0 0 0 2
r
B
解：
R(A) = 2,R(A,b) = 3,故原线性方程组无解．
例,求解齐次 线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 0,
2 2 2 0,
4 3 0.
x x x x
x x x x
x x x x
提问,为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形矩阵？
答,因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是必有 R(A,0) = R(A),所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况．
例,设有 线性方程组问 l 取何值时，此方程组有 (1) 唯一解； (2) 无解； (3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 0,
( 1 ) 3,
( 1 ),
x x x
x x x
x x x
l
l
ll
定理,n元线性方程组 AX = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
B
l
l
ll
解法 1,对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
l
l
ll
13
1 1 1
~ 1 1 1 3
1 1 1 0
rr
ll
l
l
21
31( 1 )
1 1 1
~ 0 3
0 ( 2 ) ( 1 )
rr
rr l
ll
l l l
l l l l l
32
1 1 1
~ 0 3
0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
rr
ll
l l l
l l l l
附注：
对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1,l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：
如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）
的情况另作讨论．
21
1
1rrl
2 (1 )r l 3 ( 3 )r l
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 3 ~ 0 3
1 1 1 0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
r
B
l l l
l l l l
l l l l l l
分析：
讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l取何值时,r2,
r3 是非零行,
在 r2,r3 中，有 5 处地方出现了 l，要使这 5 个元素等于零,l = 0,3，－ 3,1,
实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论,先 从方程组有唯一解入手．
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 3 ~ 0 3
1 1 1 0 0 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 )
r
B
l l l
l l l l
l l l l l l
于是
当 l ≠ 0 且 l ≠－ 3 时,R(A) = R(B) = 3,有唯一解．
当 l = 0 时,R(A) = 1,R(B) = 2,无解．
当 l = － 3 时,R(A) = R(B) = 2,有无限多解．
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1
B
l
l
ll
解法 2,因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是 |A| ≠ 0,
2
1 1 1
| | 1 1 1 ( 3 )
1 1 1
A
l
l l l
l
于是 当 l ≠ 0 且 l ≠－ 3 时,方程组有唯一解．
当 l = 0 时，
R(A) = 1,R(B) = 2,方程组无解．
1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 3 ~ 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0
r
B
当 l = － 3 时，
R(A) = R(B) = 2,方程组有无限多个解，其通解为
2 1 1 0 1 0 1 1
1 2 1 3 ~ 0 1 1 2
1 1 2 3 0 0 0 0
r
B
1
2
3
11
12
10
x
xc
x
定理,n元线性方程组 AX = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A,b)；
② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) = n ；
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) < n,
分析,因为对于 AX = 0 必有 R(A,0) = R(A),所以可从 R(A)
判断齐次线性方程组的解的情况．
定理,n元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n,
定理,线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,b),
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
证明,设 A 是 m× n 矩阵,B 是 m× l 矩阵,X 是 n× l 矩阵,
把 X 和 B 按列分块，记作
X = ( x1,x2,…,xl ),B = ( b1,b2,…,bl )
则即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A,bi )
12(,,,)nA X A x x x? 12(,,,)nA x A x A x? 12(,,,)nb b b B
设 R(A) = r,A 的行最简形矩阵为,则 有 r 个非零行，
且 的后 m－ r 行全是零,
再设从而,
A A
A
1 2 1 2(,) (,,,,) ~ (,,,,)
r
llA B A b b b A b b b?
(,) ~ (,)riiA b A b
矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A,bi )
的后 m－ r 个元素全是零的后 m－ r 行全是零
R(A) = R(A,B),
ib
12(,,,)lb b b
定理,矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A,B),
定理,设 AB = C,则 R(C) ≤ min{R(A),R(B)},
证明,因为 AB = C,所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B，
于是 R(A) = R(A,C),
R(C) ≤ R(A,C),故 R(C) ≤ R(A),
又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解
X = AT,同理可得,R(C) ≤ R(B),
综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A),R(B)},
非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含 n-R(A) 个自由变量的通解
( ) ( )R A R B?
()R A n?
