§ 4 线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定
1,包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有 非零解 的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n,
2,包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A,b)，并且
当 R(A) = R(A,b) = n时，方程组有 唯一解 ；
当 R(A) = R(A,b) < n时，方程组有 无限多个解,
引言问题,什么是线性方程组的解的结构？
答,所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．
备注：
当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
下面的讨论都是假设线性方程组有解．
解向量的定义定义,设有齐次线性方程组 Ax = 0,如果
x1 = x11,x2 = x21,...,xn = xn1
为该方程组的解，则称为 方程组的 解向量,
11
21
1n
x
x
x
x






齐次线性方程组的解的性质性质 1,若 x = x1,x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，
则 x = x1 + x2 还 是 Ax = 0 的解,
证明,A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0,
性质 2,若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,k 为实数，
则 x = kx 还 是 Ax = 0 的解,
证明,A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0,
结论,若 x = x1,x = x2,...,,x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解,则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还 是 Ax = 0 的解,
结论,若 x = x1,x = x2,...,,x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解,则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还 是 Ax = 0 的解,
已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．
能否通过 有限个解向量的线性组合 把 Ax = 0 的解全部表示出来？
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个最大无关组 S0,x = x1,x = x2,...,,x = xt,那么 Ax = 0 的通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt,
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系 （不唯一）,
基础解系的概念定义,齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量,x1,x2,...,xr
如果满足
① x1,x2,...,xr 线性无关；
② 方程组中任意一个解都可以表示 x1,x2,...,xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个 基础解系,
后 n - r 列前 r 列设 R(A) = r,为叙述方便，
不妨设 A 行最简形矩阵 为 对应的齐次线性方程组令 xr+1,…,xn 作自由变量，则
11 1,
21 2,
,1,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
nr
nr
r r n r
mn
bb
bb
bb
B
-
-
-








1 11 1 1,
2 21 1 2,
1 1,
0,
0,
0.
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
+-
+-
+-
+ + +
+ + +?
+ + +
1 11 1 1,
2 21 1 2,
1 1,
,
,
.
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
+-
+-
+-
- - -?
- - -
- - -?
1 11 1 1,
1 1,
11
n r n r
r r r n r n r
r
n n r
x b c b c
x b c b c
xc
xc
--
--
+
-
- - -


- - -






令 xr+1 = c1,xr+2 = c2,…,xn = cn-r,则
1 1 1 2 1,
1 2,
11
1 1 0
0 0 0
0 0 1
nr
r r r n r
nr
b b b
b b b
c c c
-
-
-
- - -


- - -

+ + +





齐次线性方程组的通解
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2,
,
,
.
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
+ + -
+ + -
+ + -
- - - -?
- - - -
- - - -?
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r,（满足基础解系 ② ）
11 12 1,
21 22 2,
,1,2,
12
(,,,)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
nr
nr
r r r n r
nr
b b b
b b b
b b b
x x x
-
-
-
-
- - -

- - -

- - -





n? r 列前 r 行后 n? r 行故 R(x1,x2,…,xn-r ) = n? r,
即 x1,x2,…,xn-r 线性无关,（满足基础解系 ① ）
于是 x1,x2,…,xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
1 11 1 1,
1 1,
11
22
n r n r
r r r n r n r
r
r
n n r
x b c b c
x b c b c
xc
xc
xc
--
--
+
+
-
- - -


- - -







令 xr+1 = c1,xr+2 = c2,…,xn = cn-r,则
1 1 1 2 1,
1 2,
11
1 1 0
0 0 0
0 0 1
nr
r r r n r
nr
b b b
b b b
c c c
-
-
-
- - -


- - -

+ + +





线性方程组的通解
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2,
,
,
.
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
+ + -
+ + -
+ + -
- - - -?
- - - -
- - - -?
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r,（满足基础解系 ② ）
1
2
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
r
r
n
x
x
x
+
+






1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2,
,
,
.
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
+ + -
+ + -
+ + -
- - - -?
- - - -
- - - -?
此即为 Ax = 0 的基础解系．
通解为
x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r
1,1 11 12
2,2 21 22
,12
,
,,,
nr
nr
r n rr r r
bx b b
bx b b
bx b b
-
-
-
---
---



---
1 1 1 2 1,
1 2,
12
,,,1 1 0
0 0 0
0 0 1
nr
r r r n r
nr
b b b
b b b
x x x
-
-
-
- - -


- - -







，则令定理,设 m× n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组
Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n? r,
基础解系的求解例,求齐次线性方程组 的基础解系,
方法 1,先求出通解，再从通解求得基础解系,
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 0
2 3 0
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + -
+ -
- - +?
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
r
A
--
- -

--

1 3 4
2 3 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
- +
+ -?
1 3 4
2 3 4
34
23
x x x
x x x
-?
- +
即令 x3 = c1,x4 = c2,得通解表达式
1 1 2
2 1 2
1 2 1 1 2 2
31
42
34 34
23 23
10
01
x c c
x c c
c c c c
xc
xc
xx
- -

-+ -
+? +



因为
方程组的 任意一个解都可以表示为 x1,x2 的线性组合．
x1,x2 的四个分量不成比例，所以 x1,x2 线性无关．
所以 x1,x2 是原方程组的基础解系．
方法 2,先求出基础解系，再写出通解．
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
r
A
--
- -

--

1 3 4
2 3 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
- +
+ -?
1 3 4
2 3 4
34
23
x x x
x x x
-?
- +
即令
3
4
10,
01
x
x

1
2
34,
23
x
x
-
-
12
34
23
,
10
01
xx
-

-




合起来便得到基础解系
，得还能找出其它基础解系吗？
问题,是否可以把 x1 选作自由变量？
答,可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵 行等价 时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
r
A
--
- -

--

31
32 2
12
5
3 ( 1 )
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
1 1 5 7 6 9 0 3
1 2 1 2 3 4 1 0
~ 2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
rr
rr r
rr
A
+
-?-
+
--

- -


- - -
- - -

- - -



令 x1 = c1,x2 = c2,得通解表达式
1 2 1 2 3 4 1 0
2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
1 1 5 7 0 0 0 0
r
A
- - -
- - -

--

1 2 3
1 2 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
- - +
- - +?
3 1 2
4 1 2
34
23
x x x
x x x
+?
+
即
11
22
1 2 1 1 2 2
3 1 2
4 1 2
10
01
34 34
23 23
xc
xc
c c c c
x c c
x c c



+? +
+

+
从而可得另一个基础解系,?1和?2,
定理,设 m× n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组
Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n? r,
例,设 Am× nBn× l = O （零矩阵），证明 R(A) + R(B) ≤ n,
例,证明 R(ATA) = R(A),
例,设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，证明
R(A) = R(B),
非齐次线性方程组的解的性质性质 3,若 x =?1,x =?2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，
则 x =?12 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组） 的解,
证明,A(?12 ) = A?1? A?2 = b? b = 0,
性质 4,若 x =? 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解,x = x 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = x +? 还 是 Ax = b 的解,
证明,A(x +?) = Ax + A? = 0 + b = b,
根据性质 3 和性质 4 可知
若 x =?* 是 Ax = b 的解,x = x 是 Ax = 0 的解，那么
x = x +?* 也 是 Ax = b 的解,
设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+ cn-rxn-r．
于是 Ax = b 的通解为
= c1x1+c2x2+…+ cn-rxn-r +?*
例,求线性方程组 的通解,1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 3
2 3 5
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + -
+ -
- - +?
解,容易看出 是方程组的一个特解,
其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为
*
1
1
0
0






1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 0
2 3 0
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + -
+ -
- - +?
12
34
23
,
10
01
xx
-

-




于是，原方程组的通解为
*
1 1 2 2 1 2
3 4 1
2 3 1
1 0 0
0 1 0
c c c c? x x?
-

-
+ +? + +



小结：关于线性方程组
求解线性方程组（ 第三章,利用矩阵的初等行变换）
线性方程组的几何意义（ 第四章,四种等价形式）
1,齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．
① 基础解系是解集 S 的最大无关组．
② 解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合．
2,非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系,