§ 2 方阵的特征值与特征向量引言
纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即
(lEn)An = An (lEn) = lAn,
矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB ≠ BA,
数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)．
Ax = l x?
例,3 4 0 0 3 4 2 2
,12 3 0 0 2 3 1 1l
一、基本概念定义,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维 非零向量 x 满足
Ax = l x，
那么这样的数 l称为矩阵 A 的 特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l的 特征向量,
例：
则 l = 1 为 的特征值,为对应于 l = 1 的特征向量,
3 4 2 21
2 3 1 1
34
23
2
1
一、基本概念定义,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维 非零向量 x 满足
Ax = l x，
那么这样的数 l称为矩阵 A 的 特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l的 特征向量,
Ax = l x = lE x
非零向量 x 满足 (A?lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解系数行列式 | A?lE | = 0
特征方程特征多项式
特征方程 | A?lE | = 0
特征多项式 | A?lE |
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
| | 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
AE
a a a
l
l
l
l
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解,A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4,
当 l1 = 2 时,对应的特征向量应满足
，即解得基础解系,
31
13A
2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )
13AE
ll l l l l l
l
1
2
3 1 0
1
2
302
x
x
1
2
1 1 0
1 1 0
x
x
1
1
1p
k p1（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解,A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4,
当 l2 = 4 时,对应的特征向量应满足
，即解得基础解系,
31
13A
2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )
13AE
ll l l l l l
l
1
2
3 1 0
1
4
304
x
x
1
2
1 1 0
1 1 0
x
x
2
1
1p
k p2（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解：
所以 A 的特征值为 l1 =?1,l2 = l3 = 2,
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
22
2 1 1
21
0 2 0 ( 2 )
43
4 1 3
( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
AE
l
l
l l l
l
l
l l l l l
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解（续）,当 l1 =?1 时，因为解方程组 (A + E) x = 0．
解得基础解系,
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
1
1 1 1 1 0 1
0 3 0 ~ 0 1 0
4 1 4 0 0 0
r
A E A El
1
1
0
1
p
k p1（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解（续）,当 l2 = l3 = 2 时，因为解方程组 (A?2E) x = 0．
解得基础解系,
k2 p2 + k3 p3 （ k2,k3 不同时为零） 就是对应的特征向量．
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
4 1 1 4 1 1
2 0 0 0 ~ 0 0 0
4 1 1 0 0 0
r
AE
23
10
0,1
41
pp
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
例,设 l 是方阵 A 的特征值，证明
(1) l2 是 A2 的特征值；
(2) 当 A 可逆时,1/l是 A?1 的特征值．
结论,若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l的特征向量，则
l2 是 A2 的特征值,对应的特征向量也是 p,
lk 是 Ak 的特征值,对应的特征向量也是 p,
当 A 可逆时,1/l是 A?1 的特征值,对应的特征向量仍然是 p,
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am lm
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例,设 3 阶方阵 A 的特征值为 1,?1,2，求
A* +3A?2E
的特征值．
解,A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E =?2A?1 +3A?2E = j (A)
其中 |A| = 1× (?1) × 2 =?2,
设 l 是 A 的一个特征值,p 是 对应的特征向量,令则
2( ) 3 2j l l
l
11( ) ( 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2
22
3 2 3 2 ( )
A p A A E p A p A p p
p p p p p
j
l l j l
ll
定理,设 l1,l2,…,lm 是方阵 A 的特征值,p1,p2,…,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,…,lm 各不相同，则
p1,p2,…,pm 线性无关．
例,设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 p1 和 p2,证明 p1 + p2不是 A 的特征向量．
纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即
(lEn)An = An (lEn) = lAn,
矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB ≠ BA,
数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)．
Ax = l x?
例,3 4 0 0 3 4 2 2
,12 3 0 0 2 3 1 1l
一、基本概念定义,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维 非零向量 x 满足
Ax = l x，
那么这样的数 l称为矩阵 A 的 特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l的 特征向量,
例：
则 l = 1 为 的特征值,为对应于 l = 1 的特征向量,
3 4 2 21
2 3 1 1
34
23
2
1
一、基本概念定义,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l和 n 维 非零向量 x 满足
Ax = l x，
那么这样的数 l称为矩阵 A 的 特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l的 特征向量,
Ax = l x = lE x
非零向量 x 满足 (A?lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解系数行列式 | A?lE | = 0
特征方程特征多项式
特征方程 | A?lE | = 0
特征多项式 | A?lE |
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
| | 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
AE
a a a
l
l
l
l
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解,A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4,
当 l1 = 2 时,对应的特征向量应满足
，即解得基础解系,
31
13A
2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )
13AE
ll l l l l l
l
1
2
3 1 0
1
2
302
x
x
1
2
1 1 0
1 1 0
x
x
1
1
1p
k p1（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解,A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 l1 = 2,l2 = 4,
当 l2 = 4 时,对应的特征向量应满足
，即解得基础解系,
31
13A
2231| | ( 3 ) 1 8 6 ( 4 ) ( 2 )
13AE
ll l l l l l
l
1
2
3 1 0
1
4
304
x
x
1
2
1 1 0
1 1 0
x
x
2
1
1p
k p2（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解：
所以 A 的特征值为 l1 =?1,l2 = l3 = 2,
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
22
2 1 1
21
0 2 0 ( 2 )
43
4 1 3
( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
AE
l
l
l l l
l
l
l l l l l
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解（续）,当 l1 =?1 时，因为解方程组 (A + E) x = 0．
解得基础解系,
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
1
1 1 1 1 0 1
0 3 0 ~ 0 1 0
4 1 4 0 0 0
r
A E A El
1
1
0
1
p
k p1（ k ≠ 0） 就是对应的特征向量．
例,求矩阵 的特征值和特征向量．
解（续）,当 l2 = l3 = 2 时，因为解方程组 (A?2E) x = 0．
解得基础解系,
k2 p2 + k3 p3 （ k2,k3 不同时为零） 就是对应的特征向量．
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
4 1 1 4 1 1
2 0 0 0 ~ 0 0 0
4 1 1 0 0 0
r
AE
23
10
0,1
41
pp
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
例,设 l 是方阵 A 的特征值，证明
(1) l2 是 A2 的特征值；
(2) 当 A 可逆时,1/l是 A?1 的特征值．
结论,若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l的特征向量，则
l2 是 A2 的特征值,对应的特征向量也是 p,
lk 是 Ak 的特征值,对应的特征向量也是 p,
当 A 可逆时,1/l是 A?1 的特征值,对应的特征向量仍然是 p,
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）,
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,…,ln，则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am lm
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例,设 3 阶方阵 A 的特征值为 1,?1,2，求
A* +3A?2E
的特征值．
解,A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E =?2A?1 +3A?2E = j (A)
其中 |A| = 1× (?1) × 2 =?2,
设 l 是 A 的一个特征值,p 是 对应的特征向量,令则
2( ) 3 2j l l
l
11( ) ( 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2
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A p A A E p A p A p p
p p p p p
j
l l j l
ll
定理,设 l1,l2,…,lm 是方阵 A 的特征值,p1,p2,…,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,…,lm 各不相同，则
p1,p2,…,pm 线性无关．
例,设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 p1 和 p2,证明 p1 + p2不是 A 的特征向量．
