§ 3 相似矩阵定义,设 A,B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P?1AP = B,
则 称 B 为矩阵 A 的 相似矩阵,或称矩阵 A和 B 相似．
对 A 进行运算 P?1AP 称为对 A 进行 相似变换,
称 可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的 相似变换矩阵,
定理,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
证明,根据题意，存在 可逆矩阵 P,使得 P?1AP = B,
于是
| B?lE | = | P?1AP? P?1(lE) P | = | P?1(A?lE ) P |
= | P?1| |A?lE | |P | = |A?lE |,
定理,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似．
证明,设 存在 可逆矩阵 P,使得 P?1AP = B,则 P?1AkP = Bk,
设 j(x) = cmxm + cm?1xm?1 + … + c1x + c0，那么
P?1 j (A) P
= P?1(cmAm + cm?1Am?1 + … + c1A + c0 E) P
= cm P?1 Am P + cm?1P?1 A m?1 P + … + c1 P?1 A P + c0 P?1 EP
= cmBm + cm?1Bm?1 + … + c1B + c0 E
= j (B),
定理,设 n 阶矩阵 L = diag(l1,l2,…,ln )，则 l1,l2,…,ln 就是 L 的 n 个特征值．
证明：
故 l1,l2,…,ln 就是 L 的 n 个特征值．
1
2
12( ) ( ) ( )n
n
E
l
l
l l l l
l
l
l
l l l
l


L



定理,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1,l2,…,ln ) 相似，则从而通过计算 j(L) 可方便地计算 j(A).
若 j(l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩阵）,
1 21
1
()
()
( ) ( )
()
n
A P P P P
j
j
j
j
l
l
l
j



L?


可逆矩阵 P,满足 P?1AP = L （对角阵）
AP = PL
Api = li pi (i = 1,2,…,n)
A 的特征值对应的特征向量
1
2
1 2 1 2
(,,,) (,,,)
nn
n
A p p p p p p
l
l
l




其中
P.123定理 4：
n 阶矩阵 A 和对角阵 相似当且仅当
A 有 n 个线性无关的特征向量推论,如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A
和对角阵 相似．