§ 5 二次型及其标准形
10
00


对应
1
1
,
0.
xx
y


y
x0
(,)P x y
111(,)P x y
投影变换例 2阶方阵
c o s s i n
s i n c o s




对应
11
11
cos s i n,
s i n cos,
x x y
y x y




以原点为中心逆时针旋转? 角 的 旋转变换例 2阶方阵
(,)P x y
111(,)P x y?
y
x0
解析几何中，二次曲线的一般形式
ax2 + bxy + cy2 = 0
通过选择适当的的旋转变换使得 mx' 2 + ny' 2 = 0,
定义,含有 n 个变量 x1,x2,…,xn 的二次齐次函数称为 二次型,
c o s s i n,
s i n c o s,
x x y
y x y




2 2 2
1 2 11 1 22 2
12 1 2 13 1 3 1,1
(,,,)
2 2 2
n nn n
n n n n
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x


2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 3 1 3 1,1
2
1 1 1 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2
,1
2 2 2
(,,,)
n n n n
n n n n
nn
nn
n n n n n n n
n
ij i j
ij
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x
a x x







令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj,于是
2
1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2
(,,,)
n n n
nn
n n n n n n n
f x x x a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x



1 1 1 1 1 2 2 1() nnx a x a x a x
2 2 1 1 2 2 2 2 nnx a x a x a x
1 1 2 2()n n n n n nx a x a x a x
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
12
1 1 2 2
(,,,)
nn
nn
n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
x x x
a x a x a x





11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
(,,,)
n
n
n
n n nn n
a a a x
a a a x
x x x
a a a x






Tx Ax?
对称阵
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
1 2 1 2
12
(,,,) (,,,)
n
n
nn
n n n n n
a a a x
a a a x
f x x x x x x
a a a x






11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a




对称阵 A 的秩也叫做 二次型 f 的秩,
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
对称阵的二次型二次型的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
定义,只含平方项的二次型称为二次型的 标准形 （或法式）,
如果标准形的系数 k1,k2,…,kn 只在?1,0,1三个数中取值,
即 f = k1 y12 + … + kp yp2? kp+1 yp+12?…? kr yr2
则上式称为二次型的 规范形,
说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围,
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
n n m nn n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y



简记为 x = C y,
于是 f = xTAx
= (C y)T A (C y)
= yT (CTAC) y
定义,设 A,B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P?1AP = B,
则 称矩阵 A和 B 相似,（ P.121定义 7）
定义,设 A,B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 C 满足
CTAC = B,
则 称矩阵 A和 B 合同,（ P.129定义 9）
显然，
BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称 阵，则 B 也为对称 阵．
R(B) = R(A),
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵
CTAC，且二次型的秩不变．
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
2 2 2
1 1 2 2
11
22
12
( ) ( )
()
(,,,)
T
T
TT
nn
n
nn
f x A x
C y A C y
y C A C y
k y k y k y
ky
ky
y y y
ky







问题,对 于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）,
定义,如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,即 A?1 = AT，
则称矩阵 A为 正交矩阵,简称 正交阵,
定理,设 A 为 n 阶对称阵，则必有 正交阵 P，使得
P?1AP = PTAP = L，
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）,
（ P.124定理 7）
定理,任给二次型 f (x) = xTAx （其中 A = AT）,总存在正交变换 x = P y,使 f 化为 标准形
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
其中 l1,l2,…,ln 是 f 的矩阵 A 的特征值．
推论,任给二次型 f (x) = xTAx （其中 A = AT）,总存在可逆变换 x = C z,使 f (Cz) 为 规范形,
推论,任给二次型 f (x) = xTAx （其中 A = AT）,总存在可逆变换 x = C z,使 f (C z) 为规范形,
证明,f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若 R(A) = r，不妨设 l1,l2,…,lr 不等于零,lr+1 = … = ln =0,
令则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为
f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz
其中
1
2
1
,,
||=,
1,.
ii
n
k
irk
Kk
ir
k
l







其 中
12
12
,,,,0,,0| | | | | |T r
r
K K d ia g l l ll l lL

例,求一个正交变换 x = P y,把二次型
f = － 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
化为标准形．
解,二次型的矩阵根据 P.125例 12的结果，有正交阵使得于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形
f = － 2y12 + y22 + y32
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A




1 1 1
3 2 6
1 1 1
3 2 6
12
0
36
P







1
00
00
00
2
1
1
P A P?

L?


如果要把 f 化为规范形，令
，即可得 f 的规范形,f = － z12 + z22 + z32
00
00
00
1 / 2
1
1
K




1
00
00
00
2
1
1
P A P?

L?


11
22
22
1 / 2yz
yz
yz