§ 2 向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,
k2,…,km,表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam
称为向量组 A 的一个 线性组合,
k1,k2,…,km 称为这个 线性组合的系数,
定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm,使得
b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则称 向量 b 能由向量组 A 的线性表示,
引言问题 1,给定向量组 A,零向量是否可以由 向量组 A 线性表示？
问题 2,如果 零向量可以由 向量组 A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？
( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
P.83 定理 1 的结论：
问题 1,给定向量组 A,零向量是否可以由 向量组 A 线性表示？
问题 1′,齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？
回答,齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解．
事实上，可令 k1 = k2 = … = km =0,则
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
问题 2,如果 零向量可以由 向量组 A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？
问题 2′,齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在 非零解？
回答,齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零．
例,设
1 2 3
1 0 0
,,0 1 0
0 0 1
E e e e
1
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
k
k e k e k e k k k k
k
若则 k1 = k2 = k3 =0,
向量组的线性相关性定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am,如果存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
则称 向量组 A 是 线性相关 的，否则称它是 线性无关 的．
向量组
A,a1,a2,…,am
线性相关
m 元齐次线性方程组
Ax = 0
有非零解
R(A) < m
备注：
给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形,
若向量组只包含一个向量：当 a 是 零向量 时，线性相关；
当 a 不是 零向量 时，线性无关．
向量组 A,a1,a2,…,am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A
中，至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
特别地，
a1,a2 线性相关当且仅当 a1,a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．
a1,a2,a3 线性相关的几何意义是三个向量共面．
向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）,
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,
矩阵 A = (a1,a2,…,am ) 的秩小于向量的个数 m,
向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）,
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,
矩阵 A = (a1,a2,…,am ) 的秩小于向量的个数 m,
向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
向量组线性无关性的判定（重点、难点）
,线性无关如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有
k1 = k2 = … = km =0,
元齐次线性方程组 只 有零解,
的秩等于向量的个数,
中任何一个向量都不能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
例,试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性．
例,已知试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组 a1,a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1,a2,a3 ) = 2，故向量组 a1,a2,a3 线性相关；
同时,R(a1,a2 ) = 2，故向量组 a1,a2 线性无关．
1 2 3
1 0 2
1,2,4,
1 5 7
a a a
1 0 2 1 0 2
1 2 4 ~ 0 2 2
1 5 7 0 0 0
r
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解题思路：
转化为齐次线性方程组的问题；
转化为矩阵的秩的问题．
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解法 1,转化为齐次线性方程组的问题．
已知,记作 B = AK,
设 Bx = 0,则 (AK)x = A(Kx) = 0,
因为 向量组 a1,a2,a3 线性无关，所以 Kx = 0,
又 |K| = 2?0，那么 Kx = 0 只有零解 x = 0,
从而向量组 b1,b2,b3 线性无关．
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 1 1 0
0 1 1
b b b a a a
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解法 2,转化为矩阵的秩的问题．
已知,记作 B = AK,
因为 |K| = 2 ≠ 0，所以 K 可逆,R(A) = R(B)，
又向量组 a1,a2,a3 线性无关,R(A) = 3，
从而 R(B) = 3,向量组 b1,b2,b3 线性无关．
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 1 1 0
0 1 1
b b b a a a
定理（ P.89定理 5）
若向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关,则向量组 B,a1,
a2,…,am,am+1 也线性相关．
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组
A 也线性无关．
m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m
时，一定线性相关．
特别地,n + 1个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A,a1,a2,…,am 线性无关,而向量组 B,a1,
a2,…,am,b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．
k2,…,km,表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam
称为向量组 A 的一个 线性组合,
k1,k2,…,km 称为这个 线性组合的系数,
定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm,使得
b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则称 向量 b 能由向量组 A 的线性表示,
引言问题 1,给定向量组 A,零向量是否可以由 向量组 A 线性表示？
问题 2,如果 零向量可以由 向量组 A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？
( ) (,)R A R A b?
向量 b 能由向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解
P.83 定理 1 的结论：
问题 1,给定向量组 A,零向量是否可以由 向量组 A 线性表示？
问题 1′,齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？
回答,齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解．
事实上，可令 k1 = k2 = … = km =0,则
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
问题 2,如果 零向量可以由 向量组 A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？
问题 2′,齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在 非零解？
回答,齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零．
例,设
1 2 3
1 0 0
,,0 1 0
0 0 1
E e e e
1
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
k
k e k e k e k k k k
k
若则 k1 = k2 = k3 =0,
向量组的线性相关性定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am,如果存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
则称 向量组 A 是 线性相关 的，否则称它是 线性无关 的．
向量组
A,a1,a2,…,am
线性相关
m 元齐次线性方程组
Ax = 0
有非零解
R(A) < m
备注：
给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形,
若向量组只包含一个向量：当 a 是 零向量 时，线性相关；
当 a 不是 零向量 时，线性无关．
向量组 A,a1,a2,…,am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A
中，至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
特别地，
a1,a2 线性相关当且仅当 a1,a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．
a1,a2,a3 线性相关的几何意义是三个向量共面．
向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）,
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,
矩阵 A = (a1,a2,…,am ) 的秩小于向量的个数 m,
向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关存在 不全为零 的实数 k1,k2,…,km,使得
k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）,
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,
矩阵 A = (a1,a2,…,am ) 的秩小于向量的个数 m,
向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
向量组线性无关性的判定（重点、难点）
,线性无关如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有
k1 = k2 = … = km =0,
元齐次线性方程组 只 有零解,
的秩等于向量的个数,
中任何一个向量都不能由其余 m－ 1 个向量线性表示．
例,试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性．
例,已知试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组 a1,a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1,a2,a3 ) = 2，故向量组 a1,a2,a3 线性相关；
同时,R(a1,a2 ) = 2，故向量组 a1,a2 线性无关．
1 2 3
1 0 2
1,2,4,
1 5 7
a a a
1 0 2 1 0 2
1 2 4 ~ 0 2 2
1 5 7 0 0 0
r
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解题思路：
转化为齐次线性方程组的问题；
转化为矩阵的秩的问题．
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解法 1,转化为齐次线性方程组的问题．
已知,记作 B = AK,
设 Bx = 0,则 (AK)x = A(Kx) = 0,
因为 向量组 a1,a2,a3 线性无关，所以 Kx = 0,
又 |K| = 2?0，那么 Kx = 0 只有零解 x = 0,
从而向量组 b1,b2,b3 线性无关．
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 1 1 0
0 1 1
b b b a a a
例,已知 向量组 a1,a2,a3 线性无关，且
b1 = a1+a2,b2 = a2+a3,b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关．
解法 2,转化为矩阵的秩的问题．
已知,记作 B = AK,
因为 |K| = 2 ≠ 0，所以 K 可逆,R(A) = R(B)，
又向量组 a1,a2,a3 线性无关,R(A) = 3，
从而 R(B) = 3,向量组 b1,b2,b3 线性无关．
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 1 1 0
0 1 1
b b b a a a
定理（ P.89定理 5）
若向量组 A,a1,a2,…,am 线性相关,则向量组 B,a1,
a2,…,am,am+1 也线性相关．
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组
A 也线性无关．
m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m
时，一定线性相关．
特别地,n + 1个 n 维向量一定线性相关．
设向量组 A,a1,a2,…,am 线性无关,而向量组 B,a1,
a2,…,am,b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．
