第二章 矩阵及其运算
§ 1 矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换
√
√
√ √
√
其中 √表示有航班始发地
A
B
C
D
目的地
A B C D
例 某航空公司在 A,B,C,D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地,
B
A C
D
城市间的航班图情况常用表格来表示,
√
√
一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的 √改成 1，空白地方填上 0，
就得到一个数表：
A
B
C
D
A B C D
√
√ √
√
√ √
√
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况,
1 1
11
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
由 m× n 个数 排成的
m 行 n 列的数表 ( 1,2,,; 1,2,,)ija i m j n
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称为 m 行 n 列矩阵,简称 m× n 矩阵,记作二、矩阵的定义
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
简记为 ( ) ( )
m n i j m n i jA A a a
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
这 m× n 个数称为矩阵 A的 元素,简称为元,
行数不等于列数
共有 m× n个元素
本质上就是一个数表
行数等于列数
共有 n2个元素矩阵行列式
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
12
12
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
12
( 1 ) n
n
n
n
n
n n nn
t p p p
p p np
p p p
a a a
a a a
a a a
a a a
det( )ija ()ij m na?
1,行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵,可记作,
2,只有一行的矩阵 称为 行矩阵 (或 行向量 ),
只有一列的矩阵 称为 列矩阵 (或 列向量 ),
3,元素全是零的矩阵称为 零距阵,可记作 O,
12(,,,)nA a a a?
nA
1
2
n
a
a
B
a
例如：
22
00
00O?
14 0000O
三、特殊的矩阵
4,形如 的方阵称为 对角阵,
特别的，方阵 称为 单位阵,
1
2
00
00
00
n
12(,,,)nA d i a g
记作
1 0 0
0 1 0
0 0 1
记作,
nE
同型矩阵与矩阵相等的概念
1,两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为 同型矩阵,
例如 1 2 1 4 35 6 8 4
3 7 3 9
与 为同型矩阵,
2,两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A = B,
()ijAa?
( 1,2,,; 1,2,,)i j i ja b i m j n
()ijBb?
注意：不同型的零矩阵是不相等的,
0000
0000
0 0 0 0,
0000
0000
例如?
表示一个从变量 到变量 线性变换，
其中 为常数,
四、矩阵与线性变换
n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式
12,,,my y y
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m m n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
ija
12,,,nx x x
12,,,my y y12,,,nx x x
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m m n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
1 1 2
2 1 2
12
0 0,
0
1
1 0
00 1
,
n
n
nn
y x x x
y x x x
y x x x
例 线性变换
11
22
,
,
nn
yx
yx
yx
称为 恒等变换,
11
22
,
,
nn
yx
yx
yx
对应
1 0 0
0 1 0
0 0 1
单位阵 En
10
00
对应
1
1
,
0.
xx
y
y
x0
(,)P x y
111(,)P x y
投影变换例 2阶方阵
c o s s i n
s i n c o s
对应
1
1
co s s i n,
s i n co s,
x x y
y x y
以原点为中心逆时针旋转? 角 的 旋转变换例 2阶方阵
111(,)P x y
(,)P x y?
y
x0
§ 1 矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换
√
√
√ √
√
其中 √表示有航班始发地
A
B
C
D
目的地
A B C D
例 某航空公司在 A,B,C,D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地,
B
A C
D
城市间的航班图情况常用表格来表示,
√
√
一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的 √改成 1，空白地方填上 0，
就得到一个数表：
A
B
C
D
A B C D
√
√ √
√
√ √
√
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况,
1 1
11
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
由 m× n 个数 排成的
m 行 n 列的数表 ( 1,2,,; 1,2,,)ija i m j n
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称为 m 行 n 列矩阵,简称 m× n 矩阵,记作二、矩阵的定义
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
简记为 ( ) ( )
m n i j m n i jA A a a
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
这 m× n 个数称为矩阵 A的 元素,简称为元,
行数不等于列数
共有 m× n个元素
本质上就是一个数表
行数等于列数
共有 n2个元素矩阵行列式
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
12
12
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
()
12
( 1 ) n
n
n
n
n
n n nn
t p p p
p p np
p p p
a a a
a a a
a a a
a a a
det( )ija ()ij m na?
1,行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵,可记作,
2,只有一行的矩阵 称为 行矩阵 (或 行向量 ),
只有一列的矩阵 称为 列矩阵 (或 列向量 ),
3,元素全是零的矩阵称为 零距阵,可记作 O,
12(,,,)nA a a a?
nA
1
2
n
a
a
B
a
例如：
22
00
00O?
14 0000O
三、特殊的矩阵
4,形如 的方阵称为 对角阵,
特别的，方阵 称为 单位阵,
1
2
00
00
00
n
12(,,,)nA d i a g
记作
1 0 0
0 1 0
0 0 1
记作,
nE
同型矩阵与矩阵相等的概念
1,两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为 同型矩阵,
例如 1 2 1 4 35 6 8 4
3 7 3 9
与 为同型矩阵,
2,两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A = B,
()ijAa?
( 1,2,,; 1,2,,)i j i ja b i m j n
()ijBb?
注意：不同型的零矩阵是不相等的,
0000
0000
0 0 0 0,
0000
0000
例如?
表示一个从变量 到变量 线性变换，
其中 为常数,
四、矩阵与线性变换
n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式
12,,,my y y
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
nn
m m m m n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
ija
12,,,nx x x
12,,,my y y12,,,nx x x
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
.
nn
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m m m m n n
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
11
n
n
m m m n
a a a
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A
a a a
系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
1 1 2
2 1 2
12
0 0,
0
1
1 0
00 1
,
n
n
nn
y x x x
y x x x
y x x x
例 线性变换
11
22
,
,
nn
yx
yx
yx
称为 恒等变换,
11
22
,
,
nn
yx
yx
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对应
1 0 0
0 1 0
0 0 1
单位阵 En
10
00
对应
1
1
,
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xx
y
y
x0
(,)P x y
111(,)P x y
投影变换例 2阶方阵
c o s s i n
s i n c o s
对应
1
1
co s s i n,
s i n co s,
x x y
y x y
以原点为中心逆时针旋转? 角 的 旋转变换例 2阶方阵
111(,)P x y
(,)P x y?
y
x0
