§ 4 矩阵分块法前言
由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?
这时我们可以借助 WINRAR把文件分块，依次上传,
家具的拆卸与装配问题一,什么是矩阵分块法？
问题二,为什么提出矩阵分块法？
问题一,什么是矩阵分块法？
定义,用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为 对矩阵进行分块 ；
每一个小块称为 矩阵的子块 ；
矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a




12
21
11
22
A
A A
A


这是 2阶方阵吗？
思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？
答,不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵．
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A




问题二,为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，
可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，
体现了 化整为零 的思想,
11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 21 22 23 24
31 32 33 34 31 32 33 34
,
a a a a b b b b
A a a a a B b b b b
a a a a b b b b





11 11 12 12 13 13 14 14
21 21 22 22 23 23 24 24
31 31 32 32 33 33 34 34
a b a b a b a b
A B a b a b a b a b
a b a b a b a b




11A 12A
21A 22A
11B 12B
21B 22B
11 11AB? 1 2 1 2AB?
2 1 2 1AB? 22 22AB?
分块矩阵的加法若矩阵 A,B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即
11 1 11 1
11
,
rr
s s r s s r
A A B B
AB
A A B B





则有 11 11 1 1
11
rr
s s s r s r
A B A B
AB
A B A B




形式上看成是普通矩阵的加法！
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a




11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a






11A 12A
21A 22A
分块矩阵的数乘
11A? 12A?
21A? 22A?
若? 是数，且 11 1
1
r
s sr
AA
A
AA




则有 11 1
1
r
s sr
AA
A
AA






形式上看成是普通的数乘运算！
分块矩阵的乘法一般地，设 A为 m?l 矩阵,B为 l?n矩阵,把 A,B 分块如下,11
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2
2
1 2 2 2
12
2
1
2
2
1
2
1
,,
tr
s s s t t t t
t r
t rs
A A A B B B
A A A B
n n n
m
m
m
BB
AB
A A A
l l l
l
l
Bl BB






11 12 1
21 22 2
1
12
,
( 1,,; 1,,)
r t
r ij ik kj
k
s s sr
C C C
C C C C A B
C A B
i s j r
C C C






12
12
12
s
t
r
l
m m m m
n n n n
l l l


按行分块以及按列分块
m?n 矩阵 A 有 m 行 n 列，若将第 i 行记作若将第 j 列记作则
12(,,,)Ti i i i na a a

1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
12
,,,.
T
n
T
n
n
T
m m m n m
a a a
a a a
A
a a a








1
2
,
j
j
j
mj
a
a
a







于是设 A 为 m?s 矩阵,B 为 s?n 矩阵，
若把 A 按行分块，把 B 按列块，则

1 1 1 1
2 2 2
12
1
12
2 1 2
2
( ),,,
T
TT
n
T
T T T
n
TT
ij m n n
T T T
m m m nm
C c AB















1
2
12
1
,,,.
j
s
jT
i j i j i i i s i k k j
k
sj
b
b
c a a a a b
b









分块矩阵的转置若,则例如：
11 1
1
r
s sr
AA
A
AA




1 1 1
1
TT
s
T
TT
r s r
AA
A
AA





11 12 13 14
21 22 23 24 1 2 3 4
31 32 33 34
,,,
a a a a
A a a a a
a a a a






1 1 2 1 3 1 1
1 2 2 2 3 2 2
1 3 2 3 3 3 3
1 4 2 4 3 4 4
T
T
T
T
T
a a a
a a a
A
a a a
a a a







分块矩阵不仅形式上进行转置，
而且每一个子块也进行转置．
分块对角矩阵定义,设 A 是 n 阶矩阵，若
1,A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，
2,其余子块都为零矩阵，
3,对角线上的子块都是方阵，
那么称 A 为 分块对角矩阵,
例如：
1
1
2
2
3
5 0 0 0
0 1 0 0
0 0 8 3
0 0 5 2
A O O
BO
A O A O
OB
O O A







分块对角矩阵的性质
| A | = | A1 | | A2 | … | As |
若 | As | ≠0，则 | A | ≠0，并且
1
2
s
A
A
A
A




1
1
1
1 2
1
s
A
A
A
A




例,设,求 A－ 1,
解：
500
0 3 1
0 2 1
A




1
2
500
0 3 1
0 2 1
AO
A
OA





1
11
1( 5),
5AA


1
22
3 1 1 1,
2 1 2 3AA


1
1 1
1
2
1 / 5 0 0
0 1 1
0 2 3
AO
A
OA








例,往证 Am?n = Om?n的充分必要条件是方阵 ATA = On?n,
证明,把 A 按列分块，有于是那么即 A = O．
12( ),,,i j m n nAa

11 12
2 1 2
2
11
2 2 2
12
1
,,,
T
TT
n
T
T T T
n
TT
T
n
T T T
n n nn n
A A O














1
2 2 2 2
1 2 1 2
,,,0
j
jT
j j j j m j j j m j
mj
a
a
a a a a a a
a








12 0j j m ja a a