第三章 矩阵的初等变换与线性方程组知识点回顾：克拉默法则结论 1 如 果线性方程组 (1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的,（ P,24定理 4）
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,（ P.24定理 4'）
设
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( 1 )
nn
nn
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
用克拉默法则解线性方程组的两个条件：
(1) 方程个数等于未知量个数；
(2) 系数行列式不等于零,
线性方程组的解受哪些因素的影响？
§ 1 矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用引例,求解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
①
②
③
④
一、矩阵的初等变换
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
① ②
③÷ 2
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
② － ③
③ － 2×①
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
④ － 3×①
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
② ÷ 2
③ ＋ 5×②
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
④ － 3×②
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
④ － 2×③
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
③ ④
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
取 x3 为自由变量，则 13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
令 x3 = c,则
1
2
3
4
4
3
3
x c
x c
X
x c
x
恒等式
14
13
.
10
03
c
①
②
③
④
三种变换：
交换方程的次序，记作 ；
以非零常数 k 乘某个方程，记作 ；
一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作,
其逆变换是,结论：1,由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解,
2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．
i j
i × k
i ＋ k j
i j
i × k
i × k j
i j
i ÷ k
i － k j
定义,下列三种变换称为矩阵的 初等行变换,
对调两行，记作 ；
ijrr?
以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；
irk?
某一行加上另一行的 k 倍，记作,
ijr kr?
其逆变换是：
ijrr?
irk?
ijr kr?;ijrr?;irk?
.ijr kr?
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的 初等列变换 的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为 初等变换
．
初等变换初等行变换初等列变换
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
增广矩阵结论：
对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
1
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
B
① ②
③÷ 2
12rr?
3 2r?
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
1
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
B
2
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
B
② － ③
③ － 2×①
④ － 3×①
23rr?
312rr?
413rr?
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
2
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
B
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
B
2 2r?
325rr?
423rr?
② ÷ 2
③ ＋ 5×②
④ － 3×②
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
B
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
34rr?
432rr?④ － 2×③
③ ④
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
12rr?
23rr?
①
②
③
④
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
B5 对应方程组为令 x3 = c,则
1
2
3
4
4
3
3
x c
x c
X
x c
x
14
13
.
10
03
c
备注
带有运算符的矩阵运算，用,=,．例如：
矩阵加法 ＋
数乘矩阵、矩阵乘法 ×
矩阵的转置 T（上标）
方阵的行列式 |?|
不带运算符的矩阵运算，用,～,．例如：
初等行变换初等列变换
A B
有限次初等行变换有限次初等列变换
~rAB行等价,记作
~cAB列等价,记作二、矩阵之间的等价关系
A B
有限次初等变换
~AB矩阵 A 与矩阵 B 等价,记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 ；
对称性 若,则 ；
传递性 若,则,
~AA
~AB
~,~A B B C
~BA
~AC
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
行阶梯形矩阵,
1,可画出一条阶梯线，线的下方全为零；
2,每个台阶只有一行；
3,阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素,
行最简形矩阵,
4,非零行的第一个非零元为 1;
5,这些非零元所在的列的其它元素都为零,
12rr?
23rr?
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
行最简形矩阵,
4,非零行的第一个非零元为 1;
5,这些非零元所在的列的其它元素都为零,
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
00000
F
标准形矩阵,
6,左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零,
34cc?
4 1 2c c c
5 1 2 34 3 3c c c c
行阶梯形矩阵
r
mn
OEF
OO?
标准形矩阵由 m,n,r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数,
行最简形矩阵 标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等矩阵,
(1)对调单位阵的两行（列）；
(2)以常数 k≠ 0 乘单位阵的某一 行（列）；
(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列）,
三、初等变换与矩阵乘法的关系
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35rr?
00 1 00
0000 1
35cc?
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
(1) 对调单位阵的第 i,j 行（列），
记作 E5(3,5)
记作 Em( i,j )．
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
3rk?
3ck?
0
0
0
0
1
(2)以常数 k≠ 0 乘单位阵第 i 行（列），
记作 E5(3(5))
记作 Em(i(k))．
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
100k
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
1
1
1
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35r r k
35c c k
0
0
0
0
1
(3)以 k 乘单位阵 第 j 行 加到 第 i 行,
记作 E5(35(k))
记作 Em(ij(k))．
以 k 乘单位阵 第 i 列 加到 第 j 列,
53
0
0
0
0000
1
k?
两种理解！
11 12 13 14
3 4 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
3
1 0 0
( 2,3 ) 0 0 1
0 1 0
E
3 3 4( 2,3 )EA?
31 32 33 3
21 22 2
11 12 13 14
24
4
3aa
a a a a
a
a
aa
a
a
2
11 12 1
1 22 23 2
31 32 3
31
3
4
34
41 0 0
0 0 1
0 1 0
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 14
3 4 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
4
1 0 0 0
0 0 1 0
( 2,3 )
0 1 0 0
0 0 0 1
E
3 4 4 ( 2,3 )AE?
1 1 1 4
2 1 2 4
31
13
23
3
12
22
32 3 34
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
aa
aa
aa
aa
a
a
a
a
11 14
21 24
31
13
23
12
22
3 3 3423
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
结论
(,)mm nE i j A? 把矩阵 A的第 i 行与第 j 行对调，即,ijrr?
(,)nnmA E i j? 把矩阵 A的第 i 列与第 j 列对调，即,ijcc?
( ( ) )mm nE i k A?以非零常数 k 乘矩阵 A的第 i 行，即,irk?
( ( ) )nnmA E i k? 以非零常数 k 乘矩阵 A的第 i 列，即,ick?
( ( ) )m nmE i j k A?把矩阵 A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即,ijr kr?
( ( ) )nnmA E i j k? 把矩阵 A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即,jic kc?
性质 1 设 A是一个 m× n 矩阵，
对 A 施行一次 初等行变换,相当于在 A 的左边 乘以相应的 m
阶初等矩阵；
对 A 施行一次 初等列变换,相当于在 A 的右边 乘以相应的 n
阶初等矩阵,
口诀：左行右列,
初等变换初等变换的逆变换初等矩阵
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35rr?
00 1 00
0000 1
35rr?
55 ( 3,5 ) EE 5 55 ( 3,5 )( 3,5 )E EE
55( 3,5 ) ( 3,5 )EE?
5E?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
所以,1
55( 3,5 ) ( 3,5 )EE
一般地,．1(,) (,)E i j E i j
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
3rk? 3rk?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
55 ( 3 ( ))Ek E
55 5 ( 3 ( ) )
13E
k k EE
55
13 ( 3 ( ) )E E k
k
5E?
所以,
1
55
1( 3 ( ) ) 3E k E
k
一般地,．1 1
( ( ) )E i k E i k
55 ( 3 5 ( ) )EE k 55 5( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )EE Ek k?
55( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )E k E k
5E?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
所以,1
55( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )E k E k
一般地,．1( ( ) ) ( ( ) )E i j k E i j k
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
1
1
1
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
53c c k 53 ()c c k
初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵
1(,) (,) ;E i j E i j
1 1( ( ) ) ;E i k E i
k
1( ( ) ) ( ( ) ),E i j k E i j k
初等矩阵的逆矩阵是：
性质 2 方阵 A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,
Pl，使 A = P1 P2 …,Pl,
这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵,其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．
推论 1 方阵 A 可逆的充要条件是,~rAE
推论 2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及
n 阶可逆矩阵 Q,使 PAQ = B,
四、初等变换的应用设 A 是方阵,E是同阶单位阵，若,
则 A 是可逆矩阵且,
(,) ~ (,)rA E E X
1AX
0 2 1
3 0 2
2 3 0
A
1A?例,设,求,
0 2 1 1 0 0
(,) 3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
AE
12
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
2 3 0 0 0 1
rr?
3 3
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
6 9 0 0 0 3
r?
31 2
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 9 4 0 2 3
rr?
3 2
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 1 8 8 0 4 6
r?
32 9
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 0 1 9 4 6
rr?
13
23
2
3 0 0 1 8 9 1 2
~ 0 2 0 8 4 6
0 0 1 9 4 6
rr
rr
1
2
3
( 2 )
1 0 0 6 3 4
~ 0 1 0 4 2 3
0 0 1 9 4 6
r
r
例,设,求,0 2 13 0 2
2 3 0
A
1A?
0 2 1 1 0 0
(,) 3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
AE
解：
1 0 0 6 3 4
~ 0 1 0 4 2 3
0 0 1 9 4 6
所以,A可逆且 1 6 3 4423
9 4 6
A?
结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,（ P.24定理 4'）
设
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( 1 )
nn
nn
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
用克拉默法则解线性方程组的两个条件：
(1) 方程个数等于未知量个数；
(2) 系数行列式不等于零,
线性方程组的解受哪些因素的影响？
§ 1 矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用引例,求解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
①
②
③
④
一、矩阵的初等变换
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
① ②
③÷ 2
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
② － ③
③ － 2×①
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
④ － 3×①
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
② ÷ 2
③ ＋ 5×②
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
④ － 3×②
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
④ － 2×③
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
③ ④
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
取 x3 为自由变量，则 13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
令 x3 = c,则
1
2
3
4
4
3
3
x c
x c
X
x c
x
恒等式
14
13
.
10
03
c
①
②
③
④
三种变换：
交换方程的次序，记作 ；
以非零常数 k 乘某个方程，记作 ；
一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作,
其逆变换是,结论：1,由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解,
2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．
i j
i × k
i ＋ k j
i j
i × k
i × k j
i j
i ÷ k
i － k j
定义,下列三种变换称为矩阵的 初等行变换,
对调两行，记作 ；
ijrr?
以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；
irk?
某一行加上另一行的 k 倍，记作,
ijr kr?
其逆变换是：
ijrr?
irk?
ijr kr?;ijrr?;irk?
.ijr kr?
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的 初等列变换 的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为 初等变换
．
初等变换初等行变换初等列变换
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
增广矩阵结论：
对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2,
2 4,
4 6 2 2 4,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
1
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
B
① ②
③÷ 2
12rr?
3 2r?
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4,
2 2,
2 3 2,
3 6 9 7 9,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
1
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
B
2
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
B
② － ③
③ － 2×①
④ － 3×①
23rr?
312rr?
413rr?
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4,
2 2 2 0,
5 5 3 6,
3 3 4 3,
x x x x
x x x
x x x
xxx
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
2
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
B
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
B
2 2r?
325rr?
423rr?
② ÷ 2
③ ＋ 5×②
④ － 3×②
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
4
2 4,
0,
2 6,
3.
x x x x
x x x
x
x
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
3
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 2 6
0 0 0 1 3
B
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
34rr?
432rr?④ － 2×③
③ ④
①
②
③
④
①
②
③
④
1 2 3 4
2 3 4
4
2 4,
0,
3,
0 0,
x x x x
x x x
x
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
12rr?
23rr?
①
②
③
④
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
13
23
4
4,
3,
3.
xx
xx
x
B5 对应方程组为令 x3 = c,则
1
2
3
4
4
3
3
x c
x c
X
x c
x
14
13
.
10
03
c
备注
带有运算符的矩阵运算，用,=,．例如：
矩阵加法 ＋
数乘矩阵、矩阵乘法 ×
矩阵的转置 T（上标）
方阵的行列式 |?|
不带运算符的矩阵运算，用,～,．例如：
初等行变换初等列变换
A B
有限次初等行变换有限次初等列变换
~rAB行等价,记作
~cAB列等价,记作二、矩阵之间的等价关系
A B
有限次初等变换
~AB矩阵 A 与矩阵 B 等价,记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 ；
对称性 若,则 ；
传递性 若,则,
~AA
~AB
~,~A B B C
~BA
~AC
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
4
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
行阶梯形矩阵,
1,可画出一条阶梯线，线的下方全为零；
2,每个台阶只有一行；
3,阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素,
行最简形矩阵,
4,非零行的第一个非零元为 1;
5,这些非零元所在的列的其它元素都为零,
12rr?
23rr?
5
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
行最简形矩阵,
4,非零行的第一个非零元为 1;
5,这些非零元所在的列的其它元素都为零,
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
00000
F
标准形矩阵,
6,左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零,
34cc?
4 1 2c c c
5 1 2 34 3 3c c c c
行阶梯形矩阵
r
mn
OEF
OO?
标准形矩阵由 m,n,r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数,
行最简形矩阵 标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等矩阵,
(1)对调单位阵的两行（列）；
(2)以常数 k≠ 0 乘单位阵的某一 行（列）；
(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列）,
三、初等变换与矩阵乘法的关系
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35rr?
00 1 00
0000 1
35cc?
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
(1) 对调单位阵的第 i,j 行（列），
记作 E5(3,5)
记作 Em( i,j )．
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
3rk?
3ck?
0
0
0
0
1
(2)以常数 k≠ 0 乘单位阵第 i 行（列），
记作 E5(3(5))
记作 Em(i(k))．
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
100k
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
1
1
1
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35r r k
35c c k
0
0
0
0
1
(3)以 k 乘单位阵 第 j 行 加到 第 i 行,
记作 E5(35(k))
记作 Em(ij(k))．
以 k 乘单位阵 第 i 列 加到 第 j 列,
53
0
0
0
0000
1
k?
两种理解！
11 12 13 14
3 4 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
3
1 0 0
( 2,3 ) 0 0 1
0 1 0
E
3 3 4( 2,3 )EA?
31 32 33 3
21 22 2
11 12 13 14
24
4
3aa
a a a a
a
a
aa
a
a
2
11 12 1
1 22 23 2
31 32 3
31
3
4
34
41 0 0
0 0 1
0 1 0
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 14
3 4 21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
A a a a a
a a a a
4
1 0 0 0
0 0 1 0
( 2,3 )
0 1 0 0
0 0 0 1
E
3 4 4 ( 2,3 )AE?
1 1 1 4
2 1 2 4
31
13
23
3
12
22
32 3 34
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
aa
aa
aa
aa
a
a
a
a
11 14
21 24
31
13
23
12
22
3 3 3423
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
结论
(,)mm nE i j A? 把矩阵 A的第 i 行与第 j 行对调，即,ijrr?
(,)nnmA E i j? 把矩阵 A的第 i 列与第 j 列对调，即,ijcc?
( ( ) )mm nE i k A?以非零常数 k 乘矩阵 A的第 i 行，即,irk?
( ( ) )nnmA E i k? 以非零常数 k 乘矩阵 A的第 i 列，即,ick?
( ( ) )m nmE i j k A?把矩阵 A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即,ijr kr?
( ( ) )nnmA E i j k? 把矩阵 A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即,jic kc?
性质 1 设 A是一个 m× n 矩阵，
对 A 施行一次 初等行变换,相当于在 A 的左边 乘以相应的 m
阶初等矩阵；
对 A 施行一次 初等列变换,相当于在 A 的右边 乘以相应的 n
阶初等矩阵,
口诀：左行右列,
初等变换初等变换的逆变换初等矩阵
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0000
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
1
1
1
1
1
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
35rr?
00 1 00
0000 1
35rr?
55 ( 3,5 ) EE 5 55 ( 3,5 )( 3,5 )E EE
55( 3,5 ) ( 3,5 )EE?
5E?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
所以,1
55( 3,5 ) ( 3,5 )EE
一般地,．1(,) (,)E i j E i j
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1000
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
3rk? 3rk?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
55 ( 3 ( ))Ek E
55 5 ( 3 ( ) )
13E
k k EE
55
13 ( 3 ( ) )E E k
k
5E?
所以,
1
55
1( 3 ( ) ) 3E k E
k
一般地,．1 1
( ( ) )E i k E i k
55 ( 3 5 ( ) )EE k 55 5( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )EE Ek k?
55( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )E k E k
5E?
因为,对于 n 阶方阵 A,B，如果 AB = E，那么 A,B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”,
所以,1
55( 3 5 ( ) ) ( 3 5 ( ) )E k E k
一般地,．1( ( ) ) ( ( ) )E i j k E i j k
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
1000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
1
1
1
k
5
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0 100
E
53c c k 53 ()c c k
初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵
1(,) (,) ;E i j E i j
1 1( ( ) ) ;E i k E i
k
1( ( ) ) ( ( ) ),E i j k E i j k
初等矩阵的逆矩阵是：
性质 2 方阵 A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,
Pl，使 A = P1 P2 …,Pl,
这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵,其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．
推论 1 方阵 A 可逆的充要条件是,~rAE
推论 2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及
n 阶可逆矩阵 Q,使 PAQ = B,
四、初等变换的应用设 A 是方阵,E是同阶单位阵，若,
则 A 是可逆矩阵且,
(,) ~ (,)rA E E X
1AX
0 2 1
3 0 2
2 3 0
A
1A?例,设,求,
0 2 1 1 0 0
(,) 3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
AE
12
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
2 3 0 0 0 1
rr?
3 3
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
6 9 0 0 0 3
r?
31 2
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 9 4 0 2 3
rr?
3 2
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 1 8 8 0 4 6
r?
32 9
3 0 2 0 1 0
~ 0 2 1 1 0 0
0 0 1 9 4 6
rr?
13
23
2
3 0 0 1 8 9 1 2
~ 0 2 0 8 4 6
0 0 1 9 4 6
rr
rr
1
2
3
( 2 )
1 0 0 6 3 4
~ 0 1 0 4 2 3
0 0 1 9 4 6
r
r
例,设,求,0 2 13 0 2
2 3 0
A
1A?
0 2 1 1 0 0
(,) 3 0 2 0 1 0
2 3 0 0 0 1
AE
解：
1 0 0 6 3 4
~ 0 1 0 4 2 3
0 0 1 9 4 6
所以,A可逆且 1 6 3 4423
9 4 6
A?
