§ 2 矩阵的运算例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
试求：工厂在一年内向 各商店发送货物的数量．
其中 aij 表示 上半年 工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
其中 cij 表示工厂 下半年 向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 4
a c a c a c a c
a c a c a c a c
a c a c a c a c
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
11 11 12 12 13 13 14 14
21 21 22 22 23 23 24 24
31 31 32 32 33 33 34 34
a c a c a c a c
a c a c a c a c
a c a c a c a c
解,工厂在一年内向 各商店发送货物的数量
一、矩阵的加法定义,设有两个 m× n 矩阵 A = (aij),B = (bij),那么矩阵
A 与 B 的和记作 A＋ B，规定为
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
AB
a b a b a b
说明,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
1 2 1 2
2
1 1 1 3
21 2 23
3 1 3
2
23 3
2
32
ab
ab
aa
a
aaab
a
1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3
1 2 2
2 2 2 2
3 32 332 13
a a a a
a a a a
a
ab
ab
aba a a
知识点比较
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3 3 3 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 21 3 33233
aa a a a ab a b
a b a b
a b a b
a
a a a a a a
a a a a a a
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3 3 3 1 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 23 1 3 3
22
22
22
a a b a b
ab
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
ab
a b a b
交换律结合律其他矩阵加法的运算规律
,,a b c R
a b b a
( ) ( )a b c a b c
A B B A
( ) ( )A B C A B C
( ) 0AA,( )A B A B
设 A,B,C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij),记 － A = (－ aij)，称为矩阵 A 的 负矩阵,
显然设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,
例（续） 该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：
其中 bi 1 表示第 i 种货物的 单价,
bi 2 表示第 i 种货物的 单件重量,
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
ll
ll
ll
ll
1 1 1 2
2 1 2 2
1 3 2
1 4 2
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
解,工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量
l?
其中 bi 1 表示第 i 种货物的 单价,
bi 2 表示第 i 种货物的 单件重量,
二、数与矩阵相乘定义,数 l 与矩阵 A 的乘积记作 lA 或 A l,规定为
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
AA
a a a
l l l
l l l
ll
l l l
结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律
,,a b c R
( ) ( )a b c a b c?
()a b c a c b c
( ) ( )AAl? l
() A A Al? l
()c a b c a c b ()A B A Bl l l
设 A,B是同型矩阵,l,?是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为 矩阵的线性运算,
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l
l
l
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l l l
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l
知识点比较
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
l l l
l l l l
l l l
其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．
解：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
11 12
21 22
31 32
41 42
bb
bb
bb
bb
以 ci1,ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i = 1,2,3．于是其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
11c?
11
11
a
b
12
21
a
b
13
31
a
b
14
41
a
b
11
4
1
kk
k
ab
1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 11 442 2c a b a b a b a b
12
4
1
kk
k
ab
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1
i j i j i j i j k k
k
i j i jc a b a b a b a b a b
( 1,2,3 ; 1,2 )ij
11 12
11 12 13 14 11 12
21 22
21 22 23 24 21 22
31 32
31 32 33 34 31 32
41 42
bb
a a a a c c
bb
a a a a c c
bb
a a a a c c
bb
可用矩阵表示为一般地，
一、矩阵与矩阵相乘定义,设,,那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m× n 矩阵,其中
()ij m sAa ()ij s nBb
()ijCc?
1 1 2 2
1
s
i j i j i sij s j k k
k
ijc a b a b a b a b
( 1,2,; 1,2,,)i m j n
并把此乘积记作 C = AB．
0 3 4
1 0 1 2
1 2 1
1 1 3 0,
3 1 1
0 5 1 4
1 2 1
AB
例,设
5 6 7
10 2 6
2 17 10
AB
则
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
b b b
aa
b b b
aa
b b b
知识点比较
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
b b b
aa
b b b
aa
b b b
有意义,
没有意义,
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，
两个矩阵才能相乘,
3
1 2 3 2
1
10
3
2 1 2 3
1
3 6 9
2 4 6
1 2 3
例 P.35例 5
2 2 2 2
2 4 2 4
1 2 3 6
22
1 6 3 2
8 1 6?
2 2 2 2
2 4 2 4
3 6 1 2
22
00
00?
结论：
1,矩阵乘法不一定满足交换律,
2,矩阵,却有,
从而不能由 得出 或 的结论．
,A O B O AB O?
AB O? AO? BO?
矩阵乘法的运算规律
(1) 乘法结合律 ( ) ( )A B C A B C?
(3) 乘法对加法的分配律
( ) ( )A B C A B A C B C A B A C A
(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数） ()A B A Bll?
(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数 1，即
mm mn nnE A A E A
推论,矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE与任何同阶方阵都是可交换的,
纯量阵不同于对角阵
(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶 方阵,定义
k
k
A A A A?
显然,( )k l k l k l k lA A A A A
2 2 2
22
()
( ) 2
( ) ( )
k k kA B A B
A B A A B B
A B A B A B
思考,下列等式在什么时候成立？
A,B可交换时成立四、矩阵的转置定义,把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的 转置矩阵,记作 AT.
例 1 2 2
,4 5 8A
1 8 6,B?
14
2 5 ;
28
TA
18,
6
TB
转置矩阵的运算性质
( 1 ) ( ) ;TTAA?
( 2 ) ( ) ;T T TA B A B
( 3 ) ( ) ;TTAAll?
(4 ) ( ),T T TA B B A?
例,已知
1 7 1
2 0 1
,4 2 3,.
1 3 2
2 0 1
T
A B A B
求解法 1
1 7 1
2 0 1
4 2 3
1 3 2
2 0 1
0 14 3
,
17 13 10
AB
0 1 7
( ) 1 4 1 3,
3 1 0
TAB
解法 2
() T T TA B B A?
1 4 2 2 1 0 1 7
7 2 0 0 3 1 4 1 3,
1 3 1 1 2 3 1 0
定义,设 A 为 n 阶方阵，如果满足,即那么 A 称为 对称阵,
,1,2,,ij jia a i j n
TAA?
1 2 6 1
6 8 0
1 0 6
A
如果满足 A = － AT，那么 A 称为 反对称阵,
对称阵
0 6 1
6 0 7
1 7 0
A
反对称阵例,设列矩阵 X = ( x1,x2,…,xn )T 满足 X T X = 1,E 为 n 阶单位阵,H = E－ 2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.
证明：
( 2 )T T TH E X X 2 ( )TTE X X( 2 )T T TE X X
2 ( )T T TE X X 2 TE X X H?
从而 H 是对称阵,
22( 2 )TTH H H E X X 224 ( 2 )TTE X X X X
44 T T TE X X X X X X 44 ()T T TE X X X X X X
44TTE X X X X E?
五、方阵的行列式定义,由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做 方阵 A 的行列式,记作 |A|或 detA.
运算性质 ( 1 ) ;TAA? ( 2 ) ;nAAll?
( 3 ) ;A B A B?,A B B A
证明,要使得 |AB| = |A| |B| 有意义,A,B必为同阶方阵，
假设 A = (aij)n× n,B = (bij)n× n,
我们以 n= 3 为例，构 造一个 6阶 行列式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
D
b b b
b b b
b b b
| | | |AB
11 12 13 11 11 11 12 11 13
21 22 23 21 11 21 12 21 13
31 32 33 31 11 31 12 31 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a b a b a b
a a a a b a b a b
a a a a b a b a b
b b b
b b b
5 12 1c b c?
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
b b b
b b b
b b b
4 11 1c b c?
6 13 1c b c?
5 22 2c b c?
11 12 13 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 22 23 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23
31 32 33 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
4 21 2c b c?
6 32 2c b c?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 2 3 1 3 33
2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 3 33
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 3 3 1 3 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 3
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b
2 3 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
ab?
5 32 3c b c?
11 12 13 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 22 23 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23
31 32 33 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
4 31 3c b c?
6 33 3c b c?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 2 3 1 3 33
2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 3 33
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 3 3 1 3 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 3
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b
2 3 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
ab?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
25rr?
14rr?
36rr?
令,则 C = (cij)= AB,3
1
ij ik k j
k
c a b
3
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
( 1 )
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
从而,
3| | | |EC ||C? ||AB?
A B A B?
定义,行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的 伴随矩阵,
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A
元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列
ija
ijA
性质,A A A A A E
| | 0 0
0 | | 0
0 0 | |
A
A
A
性质,A A A A A E
证明 AA?
||AE?
00
00
||
||
00||
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2
nn
nn
m m m n n n nn
a a a A A A
a a a A A A
a a a A A A
（设 A,B为复矩阵,l 为复数，且运算都是可行的）：
六、共轭矩阵运算性质当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，
记,称为 的 共轭矩阵,
()ijAa? ija ija
()ijAa? A A
2;AAll?
3.A B A B?
1;A B A B
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
试求：工厂在一年内向 各商店发送货物的数量．
其中 aij 表示 上半年 工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
其中 cij 表示工厂 下半年 向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4
3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 4
a c a c a c a c
a c a c a c a c
a c a c a c a c
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
a a a a
a a a a
a a a a
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
c c c c
c c c c
c c c c
11 11 12 12 13 13 14 14
21 21 22 22 23 23 24 24
31 31 32 32 33 33 34 34
a c a c a c a c
a c a c a c a c
a c a c a c a c
解,工厂在一年内向 各商店发送货物的数量
一、矩阵的加法定义,设有两个 m× n 矩阵 A = (aij),B = (bij),那么矩阵
A 与 B 的和记作 A＋ B，规定为
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
AB
a b a b a b
说明,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
1 2 1 2
2
1 1 1 3
21 2 23
3 1 3
2
23 3
2
32
ab
ab
aa
a
aaab
a
1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3
1 2 2
2 2 2 2
3 32 332 13
a a a a
a a a a
a
ab
ab
aba a a
知识点比较
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3 3 3 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 21 3 33233
aa a a a ab a b
a b a b
a b a b
a
a a a a a a
a a a a a a
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
3 1 3 3 3 1 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 23 1 3 3
22
22
22
a a b a b
ab
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
ab
a b a b
交换律结合律其他矩阵加法的运算规律
,,a b c R
a b b a
( ) ( )a b c a b c
A B B A
( ) ( )A B C A B C
( ) 0AA,( )A B A B
设 A,B,C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij),记 － A = (－ aij)，称为矩阵 A 的 负矩阵,
显然设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,
例（续） 该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：
其中 bi 1 表示第 i 种货物的 单价,
bi 2 表示第 i 种货物的 单件重量,
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
ll
ll
ll
ll
1 1 1 2
2 1 2 2
1 3 2
1 4 2
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
解,工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量
l?
其中 bi 1 表示第 i 种货物的 单价,
bi 2 表示第 i 种货物的 单件重量,
二、数与矩阵相乘定义,数 l 与矩阵 A 的乘积记作 lA 或 A l,规定为
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
AA
a a a
l l l
l l l
ll
l l l
结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律
,,a b c R
( ) ( )a b c a b c?
()a b c a c b c
( ) ( )AAl? l
() A A Al? l
()c a b c a c b ()A B A Bl l l
设 A,B是同型矩阵,l,?是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为 矩阵的线性运算,
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l
l
l
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l l l
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
l
知识点比较
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
l l l
l l l l
l l l
其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
1 1 1 2
2 1 2 2
3 1 3 2
4 1 4 2
bb
bb
bb
bb
试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．
解：
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
11 12
21 22
31 32
41 42
bb
bb
bb
bb
以 ci1,ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i = 1,2,3．于是其中 aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量．
其中 bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
11c?
11
11
a
b
12
21
a
b
13
31
a
b
14
41
a
b
11
4
1
kk
k
ab
1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 11 442 2c a b a b a b a b
12
4
1
kk
k
ab
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1
i j i j i j i j k k
k
i j i jc a b a b a b a b a b
( 1,2,3 ; 1,2 )ij
11 12
11 12 13 14 11 12
21 22
21 22 23 24 21 22
31 32
31 32 33 34 31 32
41 42
bb
a a a a c c
bb
a a a a c c
bb
a a a a c c
bb
可用矩阵表示为一般地，
一、矩阵与矩阵相乘定义,设,,那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m× n 矩阵,其中
()ij m sAa ()ij s nBb
()ijCc?
1 1 2 2
1
s
i j i j i sij s j k k
k
ijc a b a b a b a b
( 1,2,; 1,2,,)i m j n
并把此乘积记作 C = AB．
0 3 4
1 0 1 2
1 2 1
1 1 3 0,
3 1 1
0 5 1 4
1 2 1
AB
例,设
5 6 7
10 2 6
2 17 10
AB
则
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
b b b
aa
b b b
aa
b b b
知识点比较
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2
3 1 3 2 3 3
b b b
aa
b b b
aa
b b b
有意义,
没有意义,
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，
两个矩阵才能相乘,
3
1 2 3 2
1
10
3
2 1 2 3
1
3 6 9
2 4 6
1 2 3
例 P.35例 5
2 2 2 2
2 4 2 4
1 2 3 6
22
1 6 3 2
8 1 6?
2 2 2 2
2 4 2 4
3 6 1 2
22
00
00?
结论：
1,矩阵乘法不一定满足交换律,
2,矩阵,却有,
从而不能由 得出 或 的结论．
,A O B O AB O?
AB O? AO? BO?
矩阵乘法的运算规律
(1) 乘法结合律 ( ) ( )A B C A B C?
(3) 乘法对加法的分配律
( ) ( )A B C A B A C B C A B A C A
(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数） ()A B A Bll?
(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数 1，即
mm mn nnE A A E A
推论,矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE与任何同阶方阵都是可交换的,
纯量阵不同于对角阵
(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶 方阵,定义
k
k
A A A A?
显然,( )k l k l k l k lA A A A A
2 2 2
22
()
( ) 2
( ) ( )
k k kA B A B
A B A A B B
A B A B A B
思考,下列等式在什么时候成立？
A,B可交换时成立四、矩阵的转置定义,把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的 转置矩阵,记作 AT.
例 1 2 2
,4 5 8A
1 8 6,B?
14
2 5 ;
28
TA
18,
6
TB
转置矩阵的运算性质
( 1 ) ( ) ;TTAA?
( 2 ) ( ) ;T T TA B A B
( 3 ) ( ) ;TTAAll?
(4 ) ( ),T T TA B B A?
例,已知
1 7 1
2 0 1
,4 2 3,.
1 3 2
2 0 1
T
A B A B
求解法 1
1 7 1
2 0 1
4 2 3
1 3 2
2 0 1
0 14 3
,
17 13 10
AB
0 1 7
( ) 1 4 1 3,
3 1 0
TAB
解法 2
() T T TA B B A?
1 4 2 2 1 0 1 7
7 2 0 0 3 1 4 1 3,
1 3 1 1 2 3 1 0
定义,设 A 为 n 阶方阵，如果满足,即那么 A 称为 对称阵,
,1,2,,ij jia a i j n
TAA?
1 2 6 1
6 8 0
1 0 6
A
如果满足 A = － AT，那么 A 称为 反对称阵,
对称阵
0 6 1
6 0 7
1 7 0
A
反对称阵例,设列矩阵 X = ( x1,x2,…,xn )T 满足 X T X = 1,E 为 n 阶单位阵,H = E－ 2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.
证明：
( 2 )T T TH E X X 2 ( )TTE X X( 2 )T T TE X X
2 ( )T T TE X X 2 TE X X H?
从而 H 是对称阵,
22( 2 )TTH H H E X X 224 ( 2 )TTE X X X X
44 T T TE X X X X X X 44 ()T T TE X X X X X X
44TTE X X X X E?
五、方阵的行列式定义,由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做 方阵 A 的行列式,记作 |A|或 detA.
运算性质 ( 1 ) ;TAA? ( 2 ) ;nAAll?
( 3 ) ;A B A B?,A B B A
证明,要使得 |AB| = |A| |B| 有意义,A,B必为同阶方阵，
假设 A = (aij)n× n,B = (bij)n× n,
我们以 n= 3 为例，构 造一个 6阶 行列式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
D
b b b
b b b
b b b
| | | |AB
11 12 13 11 11 11 12 11 13
21 22 23 21 11 21 12 21 13
31 32 33 31 11 31 12 31 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a b a b a b
a a a a b a b a b
a a a a b a b a b
b b b
b b b
5 12 1c b c?
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
b b b
b b b
b b b
4 11 1c b c?
6 13 1c b c?
5 22 2c b c?
11 12 13 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 22 23 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23
31 32 33 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
4 21 2c b c?
6 32 2c b c?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 2 3 1 3 33
2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 3 33
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 3 3 1 3 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 3
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b
2 3 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
ab?
5 32 3c b c?
11 12 13 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 22 23 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23
31 32 33 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23
31 32 33
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
4 31 3c b c?
6 33 3c b c?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 1 3 1 2 2 3 1 3 33
2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 3 33
3 1 3 2 3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 3 3 1 3 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 3
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a a a a b a b a b a b a b a b a b a b
2 3 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
ab?
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
25rr?
14rr?
36rr?
令,则 C = (cij)= AB,3
1
ij ik k j
k
c a b
3
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
( 1 )
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
从而,
3| | | |EC ||C? ||AB?
A B A B?
定义,行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的 伴随矩阵,
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A
元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列
ija
ijA
性质,A A A A A E
| | 0 0
0 | | 0
0 0 | |
A
A
A
性质,A A A A A E
证明 AA?
||AE?
00
00
||
||
00||
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2
nn
nn
m m m n n n nn
a a a A A A
a a a A A A
a a a A A A
（设 A,B为复矩阵,l 为复数，且运算都是可行的）：
六、共轭矩阵运算性质当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，
记,称为 的 共轭矩阵,
()ijAa? ija ija
()ijAa? A A
2;AAll?
3.A B A B?
1;A B A B
