§ 4 对称矩阵的对角化定理,设 l1,l2,…,lm 是方阵 A 的特征值,p1,p2,…,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,…,lm 各不相同，则
p1,p2,…,pm 线性无关,（ P.120定理 2）
可逆矩阵 P,满足 P?1AP = L （对角阵）
AP = PL
Api = li pi (i = 1,2,…,n)
A 的特征值对应的特征向量
1
2
1 2 1 2
(,,,) (,,,)
nn
n
A p p p p p p
l
l
l




其中
(A?li E) pi = 0
矩阵 P 的列向量组线性无关定理,设 l1,l2,…,lm 是方阵 A 的特征值,p1,p2,…,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,…,lm 各不相同，则
p1,p2,…,pm 线性无关,（ P.120定理 2）
定理,n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量,（ P.123定理 4）
推论,如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵 相似．
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化,（ P.118例 6）
定理,设 l1,l2,…,lm 是方阵 A 的特征值,p1,p2,…,pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1,l2,…,lm 各不相同，则
p1,p2,…,pm 线性无关,（ P.120定理 2）
定理,设 l1 和 l2 是 对称阵 A 的特征值,p1,p2 是 对应的特征向量,如果 l1 ≠l2,则 p1,p2 正交,（ P.124定理 6）
证明,A p1= l1 p1,A p2= l2p2,l1 ≠l2
l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （ A 是对称阵）
l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2p2 ) = l2 p1T p2
(l1? l2) p1T p2 = 0
因为 l1 ≠l2,则 p1T p2 = 0，即 p1,p2 正交,
定理,设 A 为 n 阶对称阵，则必有 正交阵 P，使得
P?1AP = PTAP = L，
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）,
（ P.124定理 7）
定理,n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量,（ P.123定理 4）
推论,如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵 相似．
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．
定理,n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量,（ P.123定理 4）
推论,如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵 相似．
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．
推论,设 A 为 n 阶对称阵,l是 A 的特征方程的 k 重根，则
矩阵 A?lE 的秩等于 n? k，
恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l对应．
例,设,求 正交阵 P，使 P?1AP = L对角阵,
解,因为 A 是 对称阵，所以 A 可以对角化．
求得 A 的特征值 l1 =?2,l2 = l3 = 1,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A




2
11
| | 1 1 ( 1 ) ( 2 )
11
AE
l
l l l l
l


当 l1 =?2 时,解方程组 (A + 2E) x = 0．
，得基础解系,
当 l2 = l3 = 1 时,解方程组 (A?E) x = 0．
，得,
令,则,
问题：这样的解法对吗？
2 1 1 1 0 1
2 1 2 1 ~ 0 1 1
1 1 2 0 0 0
r
AE





1
1
1
1





1 1 1 1 1 1
1 1 1 ~ 0 0 0
1 1 1 0 0 0
r
AE





23
11
1,0
01






1 2 3
1 1 1
(,,) 1 1 0
1 0 1
P




1
00
00
00
2
1
1
P A P?

L?


当 l1 =?2时，对应的特征向量为 ；
当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为,
显然，必有?1⊥?2,?1⊥?3,但?2⊥?3 未必成立．
于是把?2,?3 正交化：
此时?1⊥ h2,?1⊥ h3,h2⊥ h3,
1
1
1
1





23
11
1,0
01






32
2 2 3 3 2
22
11
[,] 1
1,1
[,] 2
02
h
h? h? h
hh





单位化：
当 l1 =?2时，对应的特征向量为 ；
当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为,
1
1
1
1





23
11
1
1,1
2
02
hh





1
1
1
1
3
1
p





23
11
11
1,1
26
02
pp





当 l1 =?2时，对应的特征向量为 ；
当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为于是 p1,p2,p3 构成正交阵从而,
1
1
1
1
3
1
p





23
11
11
1,1
26
02
pp





1 2 3
1 1 1
3 2 6
1 1 1
(,,)
3 2 6
12
0
36
P p p p









1
00
00
00
2
1
1
P A P?

L?


把对称阵 A 对角化的步骤为：
1,求出 A 的所有各不相同的特征值 l1,l2,…,ls,它们的重数依次为 k1,k2,…,ks （ k1 + k2 + … + ks = n）．
2,对每个 ki 重特征值 li,求方程组 | A?li E | = 0 的基础解系，得 ki 个线性无关的特征向量．
把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki
个两两正交的单位特征向量．
因为 k1 + k2 + … + ks = n,总共可得 n 个两两正交的单位特征向量．
3,这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有
P?1AP = L,
L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应,
例,设,求 An,
分析：
数学归纳法
21
12A


22
2
22
2 1 2 1 5 4 1 3 1 31
1 2 1 2 4 5 2 1 3 1 3A



33
32
33
5 4 2 1 1 4 1 3 1 3 1 31
4 5 1 2 1 3 1 4 2 1 3 1 3A A A



11
1
11
211 3 1 3 1 3 1 311
2 1 2 21 3 1 3 1 3 1 3
n n n n
nn
n n n nA A A





定理,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论,若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1,l2,…,ln ) 相似，则从而通过计算 j(L) 可方便地计算 j(A).
若 j(l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩阵）,
1 21
1
()
()
( ) ( )
()
n
A P P P P
j
j
j
j
l
l
l
j



L?


例,设,求 An,
分析：
数学归纳法
因为 A 是 对称阵，所以 A 可以对角化．
求得 A 的特征值 l1 = 1,l2 = 3．
下面求满足 P?1AP = Λ的可逆矩阵 P,
21
12A


221| | ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3 )
12AE l l l
l l
l

10
03
L?

10
03
n
n
L?

下面求满足 P?1AP = Λ的可逆矩阵 P,
当 l1 = 1 时,解方程组 (A?E) x = 0,
，得基础解系,
当 l2 = 3 时,解方程组 (A?3E) x = 0．
，得基础解系,
问题：是否需要单位化？
于是 Ap1 = p1,A p2= 3 p2，即,
若,则,
1 1 1 1~
1 1 0 0
r
AE
1
1
1p


1 1 1 13~
1 1 0 0
r
AE
2
1
1p


1 2 1 2
10(,) (,)
03A p p p p


12
11(,)
11P p p

1
10
03P A P


1 111
2 1 1P


于是,即 11
()
1 1 1 0 1 11
2 1 1 0 3 1 1
1 1 1 0 1 1 1 3 1 311
2 1 1 0 3 1 1 2 1 3 1 3
n n n
n
n
n
n
n n
A P P P P

L? L






1 10
03P A P
L

1A P PL