第十二章 静定结构 的位移计算计算结构位移的目的功 广义力和广义位移计算结构位移的一般公式静定结构由于荷载所引起的位移图乘法静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移互等定理小结第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第一节 计算结构位移的目的一、概念,— 由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因素产生结构变形,从而引起 截面位置的改变称为位移 。
线位移 — 截面位置的改变,即 截面形心的移动 。
角位移 — 截面方向的改变,即杆轴上一点切线方向的变化。
二、结构位移计算的目的：
1,校核刚度；
2,解超静定问题；
3,满足施工要求。
本章研究 线弹性变形体系的位移 计算。（线弹性变形体系的位移与荷载成正比，荷载的影响可以叠加；在弹性小变形情况下，应力与应变关系符合虎克定律。）
返回 下一张 上一张 小结第二节 功 广义力和广义位移功的定义,一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。
SPTc o s
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示为,功等于广义力与广义位移的乘积。
M
SPPT c o s
式中的广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；
广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
返回 下一张 上一张 小结
第三节 计算结构位移的一般公式一、外力虚功和虚变形能虚功 — 力在 其它因素 （其它荷载、温度改变、支座移动、变形、
制造误差等） 引起的位移 上所做的功 。 （力与位移互不相干）
外力虚功 — 作用在结构上的外力 (荷载,支座反力 )所做的虚功。
虚变形能（内力虚功 ） — 内力在相应变形上所做的虚功。
杆系结构，由微段 dx的内力
N,Q,M和变形 du,dv,dφ，
则 微段的虚变形能为,
φMdQd vN d udU；φ MdQ d vN d uU
整个结构的虚变形能为：
返回 下一张 上一张 小结均质弹性变形体系在平衡状态时，外力在虚位移上所做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做的内力虚功。 外力虚功 T＝内力虚功 U。
2,均质弹性体受外力 P作用平衡情况下的虚功原理：；φ MdQ d vN d uT
3,杆系结构的虚功原理：
虚功原理的两种用法：
1） 虚位移原理 — 虚设位移状态可求实际力状态的未知力；
2） 虚力原理 — 虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。
三、利用虚功原理计算结构的位移 （单位荷载法）
— 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单位力状态，
再利用虚功原理计算各虚功项，叠加即得所求位移。
二、虚功原理
1,质点的虚功原理：
02211 PPPP nn
返回 下一张 上一张 小结图示刚架，求 D点的水平位移。
沿 D点水平方向虚设一单位力 P=1,
求出力状态各支座反力和相应截面的内力,；、、、、,NQMVRR
B21
虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移所做的总虚功为：
CRCRCRT 22111
以 φ,ν、ｕ 表示实际状态中微段的变形，则结构总虚变形能为：； lll duNdvQdMU?
lll dvQduNdMCR?＋
：由杆件结构的虚功方程
CRduNdvQdM lll?
结构位移计算的一般公式：
注意,该等式左端为位移，等式右端为功 ；
两边相差一个力的单位。
返回 下一张 上一张 小结单位荷载的设置：
1,求某截面线位移,沿位移方向加一个单位集中力；
2,求某截面角位移,沿位移方向加一个单位集中力偶；
3,求某两个截面间的相对线位移,沿两个截面连线方向加一对单位集中力；
4,求某两个截面间的相对角位移,沿两个截面连线方向加一对单位集中力偶；
5,求桁架某杆件的角位移：
在杆件两端结点上加一对垂直杆轴方向的集中力，二力构成一个单位力偶；
6,求桁架某两个杆件的相对角位移,在二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向的集中力，二力构成一个单位力偶；
返回 下一张 上一张 小结
第四节 静定结构由于荷载所引起的位移
dsEIMdxEIMd Pp
dsGAQdxGAQdv PP
dsEANdxEANdu PP
若结构仅受荷载作用，以 MP,QP,NP表示结构实际状态的内力，则在实际状态下梁微段的变形为：
荷载作用下静定结构的位移计算公式：
l Pl Pl P dsEANNdsGA QQdsEIMM?
l P dxEIMM:力和轴力的影响，则对直梁和刚架，略去剪
EA lNN P杆长不变，则：对桁架，仅有轴力且沿返回 下一张 上一张 小结例 11-1 试求图示桁架 C点的竖向位移。各杆 EA为常量。
解,1,建立虚设状态，如图：
2,分别求两种状态各杆轴力：
3,由公式计算位移：
)(
)22(2
2))(1(
]02
2
1
2)2)(
2
2
[(
2
EA
Pd
EA
dP
dPdP
EA
EA
lNN
P
cv
简单桁架，先求支反力，再用结点法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。
若求 DE杆转角，应设一对集中力。
返回 下一张 上一张 小结例 11-2 试求图示悬臂刚架 A截面的水平位移 ΔAH和转角 φA。
解,1,求 ΔAH：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：
（忽略轴力、剪力影响）
)0(;0;2 1
2
1 axMqxM p
)0(;;2 222 axxMqaM p
)0(;1 1 axM k )0(;1 2 axM K
③ 由公式求位移,)(
82
2/ 4
0 22
2
EIqadxxEIqaaAH
2,求 φA：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：（实际状态不变）
③ 由公式求位移：
)(1252 2/2/
3
0 2
2
0 1
2
1
EI
qadx
EI
qadx
EI
qx aa
A?
返回 下一张 上一张 小结第五节 图乘法一、适用条件,①直杆；② EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、公式推导：
已知直杆 AB两种状态的弯矩图符合图乘三条件。取坐标系如图。;; dxMdtgxM p由几何关系：
B
A
B
A p
B
A p
B
A
p
dx
EI
tg
dxMx
EI
tg
dxMx t g
EI
dx
EI
MM
1
则：由合力矩定理,;cBA xdx EI yEI xtgdxEIMM ccBA p
EI ydxEIMM cl p?＝位移公式为：
返回 下一张 上一张 小结注意,①图乘必须满足三条件；
② yc坐标必须从直线图形中查找；
③ 二弯矩图在杆轴同侧，
ωyc为正值；否则为负值；
④ 复杂图形分解为简单图形，
查图表计算，图中顶点 Q=0。
);
3
2
3
1
(;
3
1
3
2
)
22
(
1
21
21
dcydcy
y
bl
y
al
EIEI
y c
;
3
2
3
1;
3
1
3
2
)
22
(
1
21
21
dcydcy
y
bl
y
al
EIEI
y c
返回 下一张 上一张 小结
例 11-4 图示外伸梁,EI=常数，
试求 c点的竖向位移 。cv?
解,1）画实际状态弯矩图：
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
)(
1
332211 YYYEI
EI
Y cp
cp
)(
128
]
4
)
83
2
(
3
)
82
1
(
8
3
)
283
1
[(
1
4
2
2
2
EI
ql
l
l
ql
l
l
ql
llql
EI
返回 下一张 上一张 小结
例 11-5 试求图示三铰刚架 c铰处左右两截面的相对角位移,
EI=常数。
c?
解,1）作实际状态的弯矩图：
2）建立虚设状态，
并作其弯矩图：
EI
y c
c
]2
3
2
2
1
2
1
12
2
1
3
2
12
2
1
(
1
2
22
lqa
aqaaqa
EI
)(3
2
laEIqa
3）由公式求位移：
返回 下一张 上一张 小结第六节 静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
CRk
一、支座移动的影响：
静定结构由于支座移动不产生应力和应变，故位移公式简化为：
注意,①公式中有一不可缺少的负号 ；②虚设状态的反力与实际状态的位移方向一致时,R,c乘积为正，否则为负。
如图悬臂刚架，由于固定端支座移动 C1,C2,C3产生刚体转动。
为求其 K截面线位移 KK’,建立虚设力状态并求出三个支座反力，
则：
332211
332211 )]()([
CRCRCR
CRCRCR
CR
返回 下一张 上一张 小结
例 11-6 图示静定刚架，若支座为 A发生如图所示 的移动，试求 C点 水平位移和竖向位移,a=1cm,b=2cm。
解,1.建立虚设状态：并计算由于水平单位力作用下移动支座的反力。并由公式求位移：
)(1)2111(
CRcH
2.建立虚设状态，计算由于水平单位力作用下移动支座的反力，并由公式求位移：
)(221
cm
CRcV
返回 下一张 上一张 小结二、温度改变的影响静定结构由于温度改变而产生变形 （仅有轴向变形和弯曲变形，
二 无剪切变形 ），计算其位移仍用 单位荷载法 。
图示悬臂刚架，由于内外侧温度改变值不相同而变形。假设其实际状态微段的变形沿截面高度线性变化，则：;:
);(
2
1
:
2
1221
21
2121
h
htht
thh
ttt
h
hh
t
：形心轴的温度改变;0;)(;
)(
21 dvdx
h
t
h
dxttdtd xdu
材料线膨胀系数—生变形：杆件微段因温度改变产
ll
lllkt
td xNdxh tM
dvQduNdM
NMkt th t
返回 下一张 上一张 小结例 11-7 图示刚架，各杆截面均为矩形，高度 h=50cm,杆长 a=5m，材料线膨胀系数 α＝ 0.00001，求刚架 C点的竖向线位移 Δct。
解,1,C点加竖向单位力 Pk=1;
矩图：作虚设状态轴力图和弯.2
:.3 cv?由公式求;10;10
2;
2
3
2
1;1
21
21
222
cttt
c
tt
t
aaa
aa
k
k
M
N
)(8.0
)
502
5 0 03
1(5 0 00 0 0 0 1.010
2
3
1010
2
cm
a
h
a
h
t
t
kk MNcv
返回 下一张 上一张 小结
第七节 互等定理
2121212112 ; PPTT 或
2112
一,功的互等定理：
—— 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
2
1
2
1
2
1
21212112
GA
dxQQ
EA
dxNN
EI
dxMM
dvQduNdMT
1
2
1
2
1
2
12121221
二,位移互等定理：
—— 在第一个单位力的方向上由于第二个单位力的作用所引起位移，等于在第二个单位力的方向上由于第一个单位力的作用所引起的位移。
返回 下一张 上一张 小结
三、反力互等定理：
—— 支座 1由于支座 2的单位位移所引起的反力 r12,
等于支座 2由于支座 1的单位位移所引起的反力 r21。
2112 rr?
位移互等定理证明：计算图示简支梁位移 φ,δ。;1616162
1
42
1
222
EImlEIlEIPlEI
lPl
注意：两广义位移数值相等，单位不同！
返回 下一张 上一张 小结
小 结
2112
一、结构位移及变形的概念：
位移 — 是指结构某点（某截面）位置相对于原始位置的改变。
变形 — 两截面间的相对位移；
二、弹性变形体的虚功原理,外力虚功＝内力虚功；
五、弹性体的几个互等定理：
功的互等定理：
位移互等定理：
反力互等定理：
三、单位荷载法求结构位移,单位荷载的设置；
四、结构位移计算的一般公式：
2121212112 ; PPTT 或
2112 rr?
cRdsEANNdsGA QQdsEIMM l Pl Pl P?
NMkt th t
返回 下一张 上一张 小结
温度改变所引起的位移互等定理小结第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第一节 计算结构位移的目的一、概念,— 由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因素产生结构变形,从而引起 截面位置的改变称为位移 。
线位移 — 截面位置的改变,即 截面形心的移动 。
角位移 — 截面方向的改变,即杆轴上一点切线方向的变化。
二、结构位移计算的目的：
1,校核刚度；
2,解超静定问题；
3,满足施工要求。
本章研究 线弹性变形体系的位移 计算。（线弹性变形体系的位移与荷载成正比，荷载的影响可以叠加；在弹性小变形情况下，应力与应变关系符合虎克定律。）
返回 下一张 上一张 小结第二节 功 广义力和广义位移功的定义,一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。
SPTc o s
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示为,功等于广义力与广义位移的乘积。
M
SPPT c o s
式中的广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；
广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
返回 下一张 上一张 小结
第三节 计算结构位移的一般公式一、外力虚功和虚变形能虚功 — 力在 其它因素 （其它荷载、温度改变、支座移动、变形、
制造误差等） 引起的位移 上所做的功 。 （力与位移互不相干）
外力虚功 — 作用在结构上的外力 (荷载,支座反力 )所做的虚功。
虚变形能（内力虚功 ） — 内力在相应变形上所做的虚功。
杆系结构，由微段 dx的内力
N,Q,M和变形 du,dv,dφ，
则 微段的虚变形能为,
φMdQd vN d udU；φ MdQ d vN d uU
整个结构的虚变形能为：
返回 下一张 上一张 小结均质弹性变形体系在平衡状态时，外力在虚位移上所做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做的内力虚功。 外力虚功 T＝内力虚功 U。
2,均质弹性体受外力 P作用平衡情况下的虚功原理：；φ MdQ d vN d uT
3,杆系结构的虚功原理：
虚功原理的两种用法：
1） 虚位移原理 — 虚设位移状态可求实际力状态的未知力；
2） 虚力原理 — 虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。
三、利用虚功原理计算结构的位移 （单位荷载法）
— 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单位力状态，
再利用虚功原理计算各虚功项，叠加即得所求位移。
二、虚功原理
1,质点的虚功原理：
02211 PPPP nn
返回 下一张 上一张 小结图示刚架，求 D点的水平位移。
沿 D点水平方向虚设一单位力 P=1,
求出力状态各支座反力和相应截面的内力,；、、、、,NQMVRR
B21
虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移所做的总虚功为：
CRCRCRT 22111
以 φ,ν、ｕ 表示实际状态中微段的变形，则结构总虚变形能为：； lll duNdvQdMU?
lll dvQduNdMCR?＋
：由杆件结构的虚功方程
CRduNdvQdM lll?
结构位移计算的一般公式：
注意,该等式左端为位移，等式右端为功 ；
两边相差一个力的单位。
返回 下一张 上一张 小结单位荷载的设置：
1,求某截面线位移,沿位移方向加一个单位集中力；
2,求某截面角位移,沿位移方向加一个单位集中力偶；
3,求某两个截面间的相对线位移,沿两个截面连线方向加一对单位集中力；
4,求某两个截面间的相对角位移,沿两个截面连线方向加一对单位集中力偶；
5,求桁架某杆件的角位移：
在杆件两端结点上加一对垂直杆轴方向的集中力，二力构成一个单位力偶；
6,求桁架某两个杆件的相对角位移,在二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向的集中力，二力构成一个单位力偶；
返回 下一张 上一张 小结
第四节 静定结构由于荷载所引起的位移
dsEIMdxEIMd Pp
dsGAQdxGAQdv PP
dsEANdxEANdu PP
若结构仅受荷载作用，以 MP,QP,NP表示结构实际状态的内力，则在实际状态下梁微段的变形为：
荷载作用下静定结构的位移计算公式：
l Pl Pl P dsEANNdsGA QQdsEIMM?
l P dxEIMM:力和轴力的影响，则对直梁和刚架，略去剪
EA lNN P杆长不变，则：对桁架，仅有轴力且沿返回 下一张 上一张 小结例 11-1 试求图示桁架 C点的竖向位移。各杆 EA为常量。
解,1,建立虚设状态，如图：
2,分别求两种状态各杆轴力：
3,由公式计算位移：
)(
)22(2
2))(1(
]02
2
1
2)2)(
2
2
[(
2
EA
Pd
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EA
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简单桁架，先求支反力，再用结点法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。
若求 DE杆转角，应设一对集中力。
返回 下一张 上一张 小结例 11-2 试求图示悬臂刚架 A截面的水平位移 ΔAH和转角 φA。
解,1,求 ΔAH：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：
（忽略轴力、剪力影响）
)0(;0;2 1
2
1 axMqxM p
)0(;;2 222 axxMqaM p
)0(;1 1 axM k )0(;1 2 axM K
③ 由公式求位移,)(
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0 22
2
EIqadxxEIqaaAH
2,求 φA：
① 建立虚设状态如图；
② 分别分段列各弯矩方程：（实际状态不变）
③ 由公式求位移：
)(1252 2/2/
3
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EI
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返回 下一张 上一张 小结第五节 图乘法一、适用条件,①直杆；② EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、公式推导：
已知直杆 AB两种状态的弯矩图符合图乘三条件。取坐标系如图。;; dxMdtgxM p由几何关系：
B
A
B
A p
B
A p
B
A
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EI
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EI
MM
1
则：由合力矩定理,;cBA xdx EI yEI xtgdxEIMM ccBA p
EI ydxEIMM cl p?＝位移公式为：
返回 下一张 上一张 小结注意,①图乘必须满足三条件；
② yc坐标必须从直线图形中查找；
③ 二弯矩图在杆轴同侧，
ωyc为正值；否则为负值；
④ 复杂图形分解为简单图形，
查图表计算，图中顶点 Q=0。
);
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返回 下一张 上一张 小结
例 11-4 图示外伸梁,EI=常数，
试求 c点的竖向位移 。cv?
解,1）画实际状态弯矩图：
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
)(
1
332211 YYYEI
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)(
128
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返回 下一张 上一张 小结
例 11-5 试求图示三铰刚架 c铰处左右两截面的相对角位移,
EI=常数。
c?
解,1）作实际状态的弯矩图：
2）建立虚设状态，
并作其弯矩图：
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)(3
2
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3）由公式求位移：
返回 下一张 上一张 小结第六节 静定结构由于支座位移、
温度改变所引起的位移
CRk
一、支座移动的影响：
静定结构由于支座移动不产生应力和应变，故位移公式简化为：
注意,①公式中有一不可缺少的负号 ；②虚设状态的反力与实际状态的位移方向一致时,R,c乘积为正，否则为负。
如图悬臂刚架，由于固定端支座移动 C1,C2,C3产生刚体转动。
为求其 K截面线位移 KK’,建立虚设力状态并求出三个支座反力，
则：
332211
332211 )]()([
CRCRCR
CRCRCR
CR
返回 下一张 上一张 小结
例 11-6 图示静定刚架，若支座为 A发生如图所示 的移动，试求 C点 水平位移和竖向位移,a=1cm,b=2cm。
解,1.建立虚设状态：并计算由于水平单位力作用下移动支座的反力。并由公式求位移：
)(1)2111(
CRcH
2.建立虚设状态，计算由于水平单位力作用下移动支座的反力，并由公式求位移：
)(221
cm
CRcV
返回 下一张 上一张 小结二、温度改变的影响静定结构由于温度改变而产生变形 （仅有轴向变形和弯曲变形，
二 无剪切变形 ），计算其位移仍用 单位荷载法 。
图示悬臂刚架，由于内外侧温度改变值不相同而变形。假设其实际状态微段的变形沿截面高度线性变化，则：;:
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材料线膨胀系数—生变形：杆件微段因温度改变产
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返回 下一张 上一张 小结例 11-7 图示刚架，各杆截面均为矩形，高度 h=50cm,杆长 a=5m，材料线膨胀系数 α＝ 0.00001，求刚架 C点的竖向线位移 Δct。
解,1,C点加竖向单位力 Pk=1;
矩图：作虚设状态轴力图和弯.2
:.3 cv?由公式求;10;10
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返回 下一张 上一张 小结
第七节 互等定理
2121212112 ; PPTT 或
2112
一,功的互等定理：
—— 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
GA
dxQQ
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21212112
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1
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1
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12121221
二,位移互等定理：
—— 在第一个单位力的方向上由于第二个单位力的作用所引起位移，等于在第二个单位力的方向上由于第一个单位力的作用所引起的位移。
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三、反力互等定理：
—— 支座 1由于支座 2的单位位移所引起的反力 r12,
等于支座 2由于支座 1的单位位移所引起的反力 r21。
2112 rr?
位移互等定理证明：计算图示简支梁位移 φ,δ。;1616162
1
42
1
222
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注意：两广义位移数值相等，单位不同！
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小 结
2112
一、结构位移及变形的概念：
位移 — 是指结构某点（某截面）位置相对于原始位置的改变。
变形 — 两截面间的相对位移；
二、弹性变形体的虚功原理,外力虚功＝内力虚功；
五、弹性体的几个互等定理：
功的互等定理：
位移互等定理：
反力互等定理：
三、单位荷载法求结构位移,单位荷载的设置；
四、结构位移计算的一般公式：
2121212112 ; PPTT 或
2112 rr?
cRdsEANNdsGA QQdsEIMM l Pl Pl P?
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