第 七 章扭 转扭矩及扭矩图概 述薄壁圆筒的扭转扭转时的应力、强度条件扭转时的变形、刚度计算
A B
A'
B'
j
gm m
外力偶作用平面和杆件横截面平行概 述外加力偶矩与功率和转速的关系
mNn PM
r
kW
e,1055.9
m i n/
3
m n
nA
(a)
Ⅰ
Ⅰ
扭矩及扭矩图
n
x
n
T
m I
I
T+
例 试绘制图示圆轴的扭矩图
δ<<R0
---薄壁圆筒规定,矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正
m m
0R
薄壁圆筒的扭转
m
T
1
1
扭矩切应力对应扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
纵线 圆周线扭转实验后结论
eMr 0
A
τ d A
得：
02τ A
M e? 其中,200 rA
Me
r0 x
dA
由几何关系知,lr /?g? g? G?…… 剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
O
T
O
另外有：
）（ 12
EG
G为材料的剪切弹性模量
a bdx
a b
T
T
一,横截面上的应力
1、变形几何关系扭转时的应力 强度条件
xd
dj?g
gMe
Me
dx
O2
jd
g?g?
2、物理关系 (剪切虎克定律 )
xGG d
d j?g?
g? G?
O
r
3、力学关系
p
2
d
d
d
d I
xGdAxGdAT AA
j?j
— 极惯性矩
A dAI
2p?
dA
dA
：点到截面形心的距离
：横截面上的扭矩
T
I
T
p
tW
T
I
Tr
p
m a x? r
IW p
p?
1)横截面上任意点：
2)横截面边缘点,其中：
max?
d/2
ρ
O
T
抗扭截面模量
32
4
p
dI
16
3
p
dW )1(
3232 4
444
p?
DdDI )1(
16 4
3
p?
DW
max?
D/2
O
T
d/2
实心圆 空心圆二,斜截面上的应力单元体,微小的正六面体在扭转时，左右两侧面上只有切应力，方向与 y轴平行，前后无应力。
由平衡知,τ′=τ
切应力互等定理,两个 相互垂直平面上的剪应力 τ 和
τ′ 数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。
纯剪切状态,单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
三,强度条件强度条件,[?]— 许用切应力
][
p
ma x
ma W
T
x
根据强度条件可进行：
强度校核 ; 选择截面 ; 计算许可荷载。
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 [t]与许用正应力 [σ] 之间存在下述关系：
对于塑性材料,[?] ＝ (0.5---0.577) [σ]
对于脆性材料,[?] ＝ (0.8---1.0) [σ l]
式中,[σ l]代表许用拉应力。
例,某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm,壁厚 t=2.5mm,传递扭矩 T=1.98kN·m,[t]=100MPa,试校核轴的强度 。
33
p
44
p
103.20
101.77
mmW
mmI
][5.97
P
M P aWT m a xm a x
解：计算截面参数：
由强度条件,故轴的强度满足要求故同样强度下,空心轴较实心轴合理。
3
13 3 4.0
44
)2( 222 dtDD
A
A
实空
M P a5.97m a x若将空心轴改成实心轴，仍使
M P adWT m a xm a x 5.9716/ 1098.1 3
3
p
则 由上式解出,d=46.9mm。
空实心轴的面积比为：
一,扭转时的变形计算目的,刚度计算、为解超静定问题作准备。
l
l
xGIT
0 p
dd jj
相对扭转角：
GIp— 抗扭刚度 表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 。
刚度条件
][1 8 0m a xm a x
GIT
其中,[?]— 许用扭转角，
取值可根据有关设计标淮或规范确定。
扭转时的变形 刚度条件单位长度的扭转角：
pd
d
GI
T
x
j?
例 图示圆截面轴 AC，承受扭力矩 MA,MB与 MC 作用，试计算该轴的总扭转角
φ AC并校核轴的刚度。 已知 MA＝ 180N·m,MB＝ 320 N ·m,MC＝ 140N·m,Iρ ＝
3.0× 105mm4,l=2m,G＝ 80GPa,[θ ]＝ 0.50／ m。
解,1．扭转变形分析
AB段 BC段的扭矩分别为,T1＝ 180 N·m,T2＝ -140 N·m
设其扭转角分别为 φAB和 φBC,则：
r a d1050.1)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 )m2)(mN1 8 0( 2412591
GI lTAB
r a d1017.1)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 )m2)(mN1 4 0( 2412592
GI lTBC
CmBmAm
l l
各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
由此得轴 AC的总扭转角为
r a d100,3 3r a d101,1 7-r a d1050.1 -2-22BCABAC
2 刚度校核
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。 AB段的扭转角变化率为：
该轴的扭转刚度 符合要求 。
θ/m43.0π180)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 mN180dd 0412591
GI
T
x
例 2,已知,N＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比? = 0.5。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
圆轴扭转时横截面上的剪应力解：
NT=9549
n
7.5= 9549?
100
=716.2 N.m
max= W
t1
16 TT =
d13 =40 MPa
=0.045 m=45 mmd1= 16?716,2 40? 106
3
例 题
A B
A'
B'
j
gm m
外力偶作用平面和杆件横截面平行概 述外加力偶矩与功率和转速的关系
mNn PM
r
kW
e,1055.9
m i n/
3
m n
nA
(a)
Ⅰ
Ⅰ
扭矩及扭矩图
n
x
n
T
m I
I
T+
例 试绘制图示圆轴的扭矩图
δ<<R0
---薄壁圆筒规定,矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正
m m
0R
薄壁圆筒的扭转
m
T
1
1
扭矩切应力对应扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
纵线 圆周线扭转实验后结论
eMr 0
A
τ d A
得：
02τ A
M e? 其中,200 rA
Me
r0 x
dA
由几何关系知,lr /?g? g? G?…… 剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
O
T
O
另外有：
）（ 12
EG
G为材料的剪切弹性模量
a bdx
a b
T
T
一,横截面上的应力
1、变形几何关系扭转时的应力 强度条件
xd
dj?g
gMe
Me
dx
O2
jd
g?g?
2、物理关系 (剪切虎克定律 )
xGG d
d j?g?
g? G?
O
r
3、力学关系
p
2
d
d
d
d I
xGdAxGdAT AA
j?j
— 极惯性矩
A dAI
2p?
dA
dA
：点到截面形心的距离
：横截面上的扭矩
T
I
T
p
tW
T
I
Tr
p
m a x? r
IW p
p?
1)横截面上任意点：
2)横截面边缘点,其中：
max?
d/2
ρ
O
T
抗扭截面模量
32
4
p
dI
16
3
p
dW )1(
3232 4
444
p?
DdDI )1(
16 4
3
p?
DW
max?
D/2
O
T
d/2
实心圆 空心圆二,斜截面上的应力单元体,微小的正六面体在扭转时，左右两侧面上只有切应力，方向与 y轴平行，前后无应力。
由平衡知,τ′=τ
切应力互等定理,两个 相互垂直平面上的剪应力 τ 和
τ′ 数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。
纯剪切状态,单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
三,强度条件强度条件,[?]— 许用切应力
][
p
ma x
ma W
T
x
根据强度条件可进行：
强度校核 ; 选择截面 ; 计算许可荷载。
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 [t]与许用正应力 [σ] 之间存在下述关系：
对于塑性材料,[?] ＝ (0.5---0.577) [σ]
对于脆性材料,[?] ＝ (0.8---1.0) [σ l]
式中,[σ l]代表许用拉应力。
例,某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm,壁厚 t=2.5mm,传递扭矩 T=1.98kN·m,[t]=100MPa,试校核轴的强度 。
33
p
44
p
103.20
101.77
mmW
mmI
][5.97
P
M P aWT m a xm a x
解：计算截面参数：
由强度条件,故轴的强度满足要求故同样强度下,空心轴较实心轴合理。
3
13 3 4.0
44
)2( 222 dtDD
A
A
实空
M P a5.97m a x若将空心轴改成实心轴，仍使
M P adWT m a xm a x 5.9716/ 1098.1 3
3
p
则 由上式解出,d=46.9mm。
空实心轴的面积比为：
一,扭转时的变形计算目的,刚度计算、为解超静定问题作准备。
l
l
xGIT
0 p
dd jj
相对扭转角：
GIp— 抗扭刚度 表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 。
刚度条件
][1 8 0m a xm a x
GIT
其中,[?]— 许用扭转角，
取值可根据有关设计标淮或规范确定。
扭转时的变形 刚度条件单位长度的扭转角：
pd
d
GI
T
x
j?
例 图示圆截面轴 AC，承受扭力矩 MA,MB与 MC 作用，试计算该轴的总扭转角
φ AC并校核轴的刚度。 已知 MA＝ 180N·m,MB＝ 320 N ·m,MC＝ 140N·m,Iρ ＝
3.0× 105mm4,l=2m,G＝ 80GPa,[θ ]＝ 0.50／ m。
解,1．扭转变形分析
AB段 BC段的扭矩分别为,T1＝ 180 N·m,T2＝ -140 N·m
设其扭转角分别为 φAB和 φBC,则：
r a d1050.1)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 )m2)(mN1 8 0( 2412591
GI lTAB
r a d1017.1)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 )m2)(mN1 4 0( 2412592
GI lTBC
CmBmAm
l l
各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
由此得轴 AC的总扭转角为
r a d100,3 3r a d101,1 7-r a d1050.1 -2-22BCABAC
2 刚度校核
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。 AB段的扭转角变化率为：
该轴的扭转刚度 符合要求 。
θ/m43.0π180)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 mN180dd 0412591
GI
T
x
例 2,已知,N＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比? = 0.5。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
圆轴扭转时横截面上的剪应力解：
NT=9549
n
7.5= 9549?
100
=716.2 N.m
max= W
t1
16 TT =
d13 =40 MPa
=0.045 m=45 mmd1= 16?716,2 40? 106
3
例 题
