第九章 梁的强度计算梁横截面上的正应力梁横截面上的剪应力梁的强度计算第九章 梁的强度和刚度计算本章内容：梁的强度计算问题。
梁的内力：剪力 Q、弯矩 M
相应应力：剪应力 τ,正应力 σ
其中 τ与 Q有关,σ与 M有关。
如图简支梁
AC,DB段：横力弯曲（ M,Q）
CD段：纯弯曲（ M,Q=0）
z
τ
Q
M
σ
A B
aa
DC
PP
Q 图
P
P
M 图
Pa
第一节 梁横截面上的正应力一、实验观察与分析：
① 横线仍为直线,倾斜角度 d?
② 纵线由直变弯,与横线正交
③上部变宽，下部变窄假设：①平面假设
②单向受力假设中性层 — 长度不变的纤维层中性轴 — 中性层与横截面的交线返回 下一张 上一张
y
o
(a)
z
x
b
h co e f
g
k
(b)
fe
k
g
z
yM M
x
y
z
中性轴中性层
(c)
M
e f
Mfe g
kk
g
z
y
二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：; ydyddx S
取梁微段 dx考虑变形几何关系，得应变规律：
（二）物理关系：
yEE
由假设 2及虎克定律，梁横截面上的正应力变化规律为：
返回 下一张 上一张
fe
fe
xd (a) ( b )
中性轴中性层
z
x
y
f
e
f
e
M
d x
θ
d
e
f
e f
a b
ρ
y
o 1
2o
( c )
（三）静力学关系：
00
ydEdN;00
z y d AEdAzM y
MdAyEMdAyM z 2
z
My
— 中性轴 Z必通过形心
— 中性轴是截面的形心主轴可得正应力计算公式：
注,为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入,σ符号依点所处区域直接判断。;1
zE
M
— 纯弯曲梁的变形计算公式返回 下一张 上一张
o
M
M
dN
dA
y
z
y
例 9-1 图示悬臂梁。试求 C截面上 a,b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解,（ 1） 计算弯矩 M C,惯性矩 IZ
（ 2）求 a,b两点的正应力
,32 mKNPM c 43 5 8 3 012 cmbhI z
,09.3 M P aI yM
z
ac
a MP aI
yM
z
bcb 54.1
m a x
m a x
m a x 63.4 M P aI
yM
z
c
（ 3） 求 C截面最大拉应力 σ＋ max和最大压应力 σ－ max
（在截面上下边缘）
返回 下一张 上一张
200
C
P=1.5kN
18
12
3
3
a
o b x
y
单位,cm
3.0k N m
例 9-2 18号工字钢制成的简支梁如图示，求 D截面上 a,b两点处的正应力。
解：（ 1） 求 D截面 MD
MD=30kN.m
b
z
aD
a
ba
M P a
I
yM
mmyy
3.1 4 3
3.797.10
2
1 8 0
（ 3）求 D截面 a,b两点的正应力
（ 2）查表求 IZ
IZ=1660cm4
返回 下一张 上一张
3.0kN m
M 图
94
10.7
10
.7
18
0
截面尺寸单位,mm
a
b
z
y
1m 0.5 m0.5 m
DC B
A
p=60KN= P
第二节 梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁,
矩形截面剪应力计算公式：
bI
QS
z
z
*
τ沿截面高度按抛物线规律变化：
)4(6)4(2 2
2
3
22 yh
bh
Qyh
I
Q
z
bh
Q
bh
Qhyhy
2
3
4
6,0;0,
2 3
2
m a x
2323m a x AQ 平均剪应力）（
τ max
h
τ max
返回 下一张 上一张二、其它形状截面的剪应力：
1,工字形截面梁：
1)腹板上的剪应力,承担截面绝大部分剪应力，中性轴处有最大剪应力：
oz
z
I
QS
水平
dh
Q
1
m a x或
2)翼缘上的剪应力,翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在,剪应力流,的规律。
d
QS
z
z
m a x
m a x?
K
d
z
K
h
1
y
上翼缘下翼缘腹板
δ
A
a
aδ
z
τ
maxτ
τ min
返回 下一张 上一张
2,T字型截面：
T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为：
dI
QS
z
z
*
3,圆形及环形截面：
圆形与薄壁环形截面最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布，其值为：
薄壁环形截面
1
m a x 3
4
A
Q
2
m a x 2 A
Q
圆形截面返回 下一张 上一张例 9-3 矩形截面简支梁如图,已知,l=2m,h=15cm,b=10cm，
h1=3cm,q=3kN/m。 试求 A支座截面上 K点的剪应力及该截面的最大剪应力 。
3*
4
33
23625.55.410
2810
12
1510
12
cmyS
cmbh
cz
z
M P abSQ
z
zA
k 2 5 2.01010102 8 1 0
102 3 6103
14
33
MP aAQ 3.0101015 1035.15.1 23m a x
解,1.求剪力,QA=3kN
2.求 K点剪应力,
3.求最大剪应力：
A B
l
q
y
zo
h
b
h
1y
c
K
3kN
3kN
Q 图返回 下一张 上一张例 9-4 倒 T形截面外伸梁如图,已知,l=600mm,b=30mm，
P1=24kN,P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,试求梁横截面上的最大剪应力。
解,1,求最大剪力：
Qmax＝ 15kN CB梁段
221* 7 7 8 0 0
2
1 mmbyyAS
oz
2,求最大剪应力：
M P abI SQ
z
z 79.6
3010573
7 7 8 0 01015
4
3
ma x
在中性轴上。
z
b
A
y2
1y
A B
C D
P 1 =24kN =9kN2P
l/2 l/2 l/3
Q
9kN
15kN
9kN
返回 下一张 上一张第三节 梁的强度计算一、梁的正应力强度条件：
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行梁的强度计算。
等直梁的 危险截面危险点 为最大弯矩截面上下边缘处各点。
zI
yM m a xm a x
m a x
][m a xm a x
zW
M度条件：对称截面梁的正应力强
][m a xm a x
zW
M强度条件：非对称截面梁的正应力;
m a xy
IW z
z?令
zW
M m a x
m a x
返回 下一张 上一张
(3)确定梁的许可荷载：
%105
%105
m a x
m a x
截面尺寸取整！）
0
0
m a x
m a x
105
(,
bdMW z
.][]([][][ m i nm a x
m a x
）为取 PPPkAQQ
PWMM
Q
Mz
二、剪应力强度条件：
验确定。材料的许用剪应力，试 ][m a x AQk
三、梁的强度计算：
(1)强度校核,
(2)选择截面,
返回 下一张 上一张例 9-5 图示为 T形截面的铸铁梁。已知,y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN，
P2=4.8kN,a=1m,铸铁许用拉应力 [?+]=30MPa,许用压应力 [?-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。
3
11 7.1462.5
763 cm
yW z
(2)C截面的正应力强度校核,
］＞［ σM P aWM C 7.34
2m ax
］＜［ σM P aWM C 5.20
1m a x
］＞［ σM P aWM D 7.32
1m ax
］＜［ σM P aWM D 3.55
2m ax
由结果知，梁的强度不满足要求。
3
22 7.868.8
7 6 3 cm
yW z
(3)D截面的正应力强度校核,
解,(1) 内力及抗弯截面模量计算,
MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m A DP 1
C B
aaa
2P
y1
2y z
M 图
3,0kN m
m4,8kN
返回 下一张 上一张例 9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例为 b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力 [?]=15.6MPa,许用剪应力
[?]=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力 P=49KN。
解,(1)由正应力强度条件设计截面尺寸
36
3
ma x
ma x 628106.15
108.9;.8.9 cmMWmkNM
z
(3)按剪应力强度条件重新设计截面
cmbcmh 13,18
］＞［ M P aAQmkNQ 14.35.1;.49 m a xm a x
24m a xm a x 10432;5.1 mAAQ
cmbcmh 18,24
(2)校核剪应力强度
2 m
b
h
0.2m1.6m0.2m
枕木
(a)
(b)
l=2m
PP0.2m
1.6m 0.2m
P P
Q
(c)
49kN
49kN
M
(d )
m9.8kN
返回 上一张
梁的内力：剪力 Q、弯矩 M
相应应力：剪应力 τ,正应力 σ
其中 τ与 Q有关,σ与 M有关。
如图简支梁
AC,DB段：横力弯曲（ M,Q）
CD段：纯弯曲（ M,Q=0）
z
τ
Q
M
σ
A B
aa
DC
PP
Q 图
P
P
M 图
Pa
第一节 梁横截面上的正应力一、实验观察与分析：
① 横线仍为直线,倾斜角度 d?
② 纵线由直变弯,与横线正交
③上部变宽，下部变窄假设：①平面假设
②单向受力假设中性层 — 长度不变的纤维层中性轴 — 中性层与横截面的交线返回 下一张 上一张
y
o
(a)
z
x
b
h co e f
g
k
(b)
fe
k
g
z
yM M
x
y
z
中性轴中性层
(c)
M
e f
Mfe g
kk
g
z
y
二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：; ydyddx S
取梁微段 dx考虑变形几何关系，得应变规律：
（二）物理关系：
yEE
由假设 2及虎克定律，梁横截面上的正应力变化规律为：
返回 下一张 上一张
fe
fe
xd (a) ( b )
中性轴中性层
z
x
y
f
e
f
e
M
d x
θ
d
e
f
e f
a b
ρ
y
o 1
2o
( c )
（三）静力学关系：
00
ydEdN;00
z y d AEdAzM y
MdAyEMdAyM z 2
z
My
— 中性轴 Z必通过形心
— 中性轴是截面的形心主轴可得正应力计算公式：
注,为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入,σ符号依点所处区域直接判断。;1
zE
M
— 纯弯曲梁的变形计算公式返回 下一张 上一张
o
M
M
dN
dA
y
z
y
例 9-1 图示悬臂梁。试求 C截面上 a,b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。
解,（ 1） 计算弯矩 M C,惯性矩 IZ
（ 2）求 a,b两点的正应力
,32 mKNPM c 43 5 8 3 012 cmbhI z
,09.3 M P aI yM
z
ac
a MP aI
yM
z
bcb 54.1
m a x
m a x
m a x 63.4 M P aI
yM
z
c
（ 3） 求 C截面最大拉应力 σ＋ max和最大压应力 σ－ max
（在截面上下边缘）
返回 下一张 上一张
200
C
P=1.5kN
18
12
3
3
a
o b x
y
单位,cm
3.0k N m
例 9-2 18号工字钢制成的简支梁如图示，求 D截面上 a,b两点处的正应力。
解：（ 1） 求 D截面 MD
MD=30kN.m
b
z
aD
a
ba
M P a
I
yM
mmyy
3.1 4 3
3.797.10
2
1 8 0
（ 3）求 D截面 a,b两点的正应力
（ 2）查表求 IZ
IZ=1660cm4
返回 下一张 上一张
3.0kN m
M 图
94
10.7
10
.7
18
0
截面尺寸单位,mm
a
b
z
y
1m 0.5 m0.5 m
DC B
A
p=60KN= P
第二节 梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁,
矩形截面剪应力计算公式：
bI
QS
z
z
*
τ沿截面高度按抛物线规律变化：
)4(6)4(2 2
2
3
22 yh
bh
Qyh
I
Q
z
bh
Q
bh
Qhyhy
2
3
4
6,0;0,
2 3
2
m a x
2323m a x AQ 平均剪应力）（
τ max
h
τ max
返回 下一张 上一张二、其它形状截面的剪应力：
1,工字形截面梁：
1)腹板上的剪应力,承担截面绝大部分剪应力，中性轴处有最大剪应力：
oz
z
I
QS
水平
dh
Q
1
m a x或
2)翼缘上的剪应力,翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在,剪应力流,的规律。
d
QS
z
z
m a x
m a x?
K
d
z
K
h
1
y
上翼缘下翼缘腹板
δ
A
a
aδ
z
τ
maxτ
τ min
返回 下一张 上一张
2,T字型截面：
T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为：
dI
QS
z
z
*
3,圆形及环形截面：
圆形与薄壁环形截面最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布，其值为：
薄壁环形截面
1
m a x 3
4
A
Q
2
m a x 2 A
Q
圆形截面返回 下一张 上一张例 9-3 矩形截面简支梁如图,已知,l=2m,h=15cm,b=10cm，
h1=3cm,q=3kN/m。 试求 A支座截面上 K点的剪应力及该截面的最大剪应力 。
3*
4
33
23625.55.410
2810
12
1510
12
cmyS
cmbh
cz
z
M P abSQ
z
zA
k 2 5 2.01010102 8 1 0
102 3 6103
14
33
MP aAQ 3.0101015 1035.15.1 23m a x
解,1.求剪力,QA=3kN
2.求 K点剪应力,
3.求最大剪应力：
A B
l
q
y
zo
h
b
h
1y
c
K
3kN
3kN
Q 图返回 下一张 上一张例 9-4 倒 T形截面外伸梁如图,已知,l=600mm,b=30mm，
P1=24kN,P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,试求梁横截面上的最大剪应力。
解,1,求最大剪力：
Qmax＝ 15kN CB梁段
221* 7 7 8 0 0
2
1 mmbyyAS
oz
2,求最大剪应力：
M P abI SQ
z
z 79.6
3010573
7 7 8 0 01015
4
3
ma x
在中性轴上。
z
b
A
y2
1y
A B
C D
P 1 =24kN =9kN2P
l/2 l/2 l/3
Q
9kN
15kN
9kN
返回 下一张 上一张第三节 梁的强度计算一、梁的正应力强度条件：
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行梁的强度计算。
等直梁的 危险截面危险点 为最大弯矩截面上下边缘处各点。
zI
yM m a xm a x
m a x
][m a xm a x
zW
M度条件：对称截面梁的正应力强
][m a xm a x
zW
M强度条件：非对称截面梁的正应力;
m a xy
IW z
z?令
zW
M m a x
m a x
返回 下一张 上一张
(3)确定梁的许可荷载：
%105
%105
m a x
m a x
截面尺寸取整！）
0
0
m a x
m a x
105
(,
bdMW z
.][]([][][ m i nm a x
m a x
）为取 PPPkAQQ
PWMM
Q
Mz
二、剪应力强度条件：
验确定。材料的许用剪应力，试 ][m a x AQk
三、梁的强度计算：
(1)强度校核,
(2)选择截面,
返回 下一张 上一张例 9-5 图示为 T形截面的铸铁梁。已知,y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN，
P2=4.8kN,a=1m,铸铁许用拉应力 [?+]=30MPa,许用压应力 [?-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。
3
11 7.1462.5
763 cm
yW z
(2)C截面的正应力强度校核,
］＞［ σM P aWM C 7.34
2m ax
］＜［ σM P aWM C 5.20
1m a x
］＞［ σM P aWM D 7.32
1m ax
］＜［ σM P aWM D 3.55
2m ax
由结果知，梁的强度不满足要求。
3
22 7.868.8
7 6 3 cm
yW z
(3)D截面的正应力强度校核,
解,(1) 内力及抗弯截面模量计算,
MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m A DP 1
C B
aaa
2P
y1
2y z
M 图
3,0kN m
m4,8kN
返回 下一张 上一张例 9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例为 b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力 [?]=15.6MPa,许用剪应力
[?]=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力 P=49KN。
解,(1)由正应力强度条件设计截面尺寸
36
3
ma x
ma x 628106.15
108.9;.8.9 cmMWmkNM
z
(3)按剪应力强度条件重新设计截面
cmbcmh 13,18
］＞［ M P aAQmkNQ 14.35.1;.49 m a xm a x
24m a xm a x 10432;5.1 mAAQ
cmbcmh 18,24
(2)校核剪应力强度
2 m
b
h
0.2m1.6m0.2m
枕木
(a)
(b)
l=2m
PP0.2m
1.6m 0.2m
P P
Q
(c)
49kN
49kN
M
(d )
m9.8kN
返回 上一张
