第六章 截面的几何性质第二节 惯性矩和惯性积第三节 惯性矩和惯性积的平第四节主惯性轴和主惯性矩第五节 组合截面惯性矩的计算小结第一节 静矩和形心行移轴和转轴公式第六章 截面的几何性质第一节 静矩和形心一、静矩 (面积矩）
Ay dAzS
Az dAyS
单位：
33,mmm
由合力矩定理可得：
cAz yAdAyS
cAy zAdAzS
下一张 上一张
ρ
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
二、形心公式
A
Sy z
c?
三、组合截面的静矩
n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
i
ciiz yAS
1
n
i
ciiy zAS
1
四、组合截面形心公式
n
i
i
n
i
cii
c
A
yA
y
1
1
n
i
i
n
i
cii
c
A
zA
z
1
1
A
Sz y
c?
下一张 上一张例 5-1 求图示 T形截面形心位置 。
解,取参考坐标轴 y,z,由对称图形,z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则;46.2,0 7 2.0 121 mymA
21
2211
AA
yAyAy
c?
若分解为１、２、３三个矩形，则;16.04.22.0252.26.0 )2.126.1(52.26.0' my c;2.1,48.0 222 mymA;36.148.00 7 2.0 2.148.046.20 7 2.0 m
下一张 上一张
0.2 m
z '
c
yc '
3
2
1
y
1
z
y 1
y
2
y
o
2.4
m
0.12
m
y
0.6 m
C 2
C 1
第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩截面对坐标原点 O的极惯性矩为：
AP dAρI 2
实心圆截面：
322
4
2
0
2 DπdAπρρI
D
P
空心圆截面,)1(
32
44 αDπI
P )( D
dα?
下一张 上一张
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
ρ
D d ρ
ρ
Azy dAyzI
单位,44,mmm
惯性矩恒为正值。
三、惯性积
Az dAyI 2 Ay dAzI 2
惯性积可为正值、负值或零 。
单位,m4,mm4
二、惯性矩下一张 上一张
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
ρ
例 5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
解,取 yoz坐标系。取微面积 dA=bdy,则：
12
32/
2/
22 bhb d yydAyI h
hAz
12
32/
2/
22 hbh d zzdAzI b
bAy
取微面积 dA=hdz,则：
取微面积 dA=dzdy,则：
0?zyI
下一张 上一张
dz
dA dA
c
y
z
dy
h
y
Z Z
b
例 5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解,取 yoz坐标系。取微面积 dA=2zdy,则：
6442
442222 DπRπdyyRydAyI R
RAz
64
4DπII
zy
222 zyρ?＝
.)( 222 yZAAP IIdAzydAI
由对称性,
由几何关系：
下一张 上一张
y
c
dA
dy
y
z
R
z
第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式一、平行移轴公式
AbΙΙ yy 21
a b AII zyyz11
AaΙI zz 21
注意,y,z轴必须是形心轴。
二、转轴公式
αIαIIIII zyyzyzz 2s in2c o s221
αIαIIIII zyyzyzy 2s in2c o s221
αIαIII zyyzyz 2c o s2s in211
AAz dAαzαydAyI 221 )s inc o s(1
下一张 上一张
c A
dA
Z
Z
Z 1
b
a
y
y 1
y
z 1
y 1
y O
Z
y
Ac
y
dA
Z O
α O
α O
y c
z c
Z
ρ
第四节 主惯性轴和主惯性矩正 交坐标轴；
0?ooyzI
主惯性矩（主惯矩）,截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）,通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）,截面对形心主轴的惯性矩。
第五节 组合截面惯性矩的计算工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
主惯性轴（主轴）,使截面对 zo,yo轴的惯性积 的这对下一张 上一张例 5–4:试计算图示 T形截面的形心主惯性矩。
解,(1)确定形心坐标 yc。
;20
5 0 05 0 0
25105 0 055 0 0
21
2211
cm
yy
y c
452
3
2
2
222
452
3
1
2
111
1017.25 0 02035
12
5010
1017.15 0 0520
12
1050
cmΑaΙΙ
cmΑaΙΙ
zz
zz
45521 1034.310172171 cmΙΙΙ zzz
(2)计算形心主惯性矩：
(z,y轴即形心主轴）
下一张 上一张
50
10
50
z 1
z
z 1
a
1
a
2
c 1
c
c 2
y
C
y
10
单位,cm
小 结一、静矩,
cAz yAdAyS cAy zAdAzS
AP dAρI 2二、极惯性矩：
三、惯性矩,
Az dAyI
2 Ay dAzI 2; Azy dAyzI
四、惯性积,
yZAAP IIdAzydAρI )( 222
几何关系,
五、平行移轴公式：
AbΙΙ yy 21 a b AII zyyz11AaΙI zz 21
下一张 上一张六、主惯性轴和主惯性矩形心主惯性轴（形心主轴） 形心主惯性矩（形心主惯矩）
主惯性轴（主轴） 主惯性矩（主惯矩）
七、平面图形几何性质的几何意义
1,静矩,图形的形心相对于 指定坐标轴 之间距离的 远近程度 ；
2,极惯性矩,图形面积相对于 指定坐标原点 之间分布的 集中或分散程度 ；
3,惯性矩,图形面积相对于 指定坐标轴 间分布的 集中或分散程度；
4,惯性积,图形面积相对于 指定 的一对 正交坐标轴 之间 分布的集中或分散程度 。
下一张 上一张
Ay dAzS
Az dAyS
单位：
33,mmm
由合力矩定理可得：
cAz yAdAyS
cAy zAdAzS
下一张 上一张
ρ
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
二、形心公式
A
Sy z
c?
三、组合截面的静矩
n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
i
ciiz yAS
1
n
i
ciiy zAS
1
四、组合截面形心公式
n
i
i
n
i
cii
c
A
yA
y
1
1
n
i
i
n
i
cii
c
A
zA
z
1
1
A
Sz y
c?
下一张 上一张例 5-1 求图示 T形截面形心位置 。
解,取参考坐标轴 y,z,由对称图形,z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则;46.2,0 7 2.0 121 mymA
21
2211
AA
yAyAy
c?
若分解为１、２、３三个矩形，则;16.04.22.0252.26.0 )2.126.1(52.26.0' my c;2.1,48.0 222 mymA;36.148.00 7 2.0 2.148.046.20 7 2.0 m
下一张 上一张
0.2 m
z '
c
yc '
3
2
1
y
1
z
y 1
y
2
y
o
2.4
m
0.12
m
y
0.6 m
C 2
C 1
第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩截面对坐标原点 O的极惯性矩为：
AP dAρI 2
实心圆截面：
322
4
2
0
2 DπdAπρρI
D
P
空心圆截面,)1(
32
44 αDπI
P )( D
dα?
下一张 上一张
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
ρ
D d ρ
ρ
Azy dAyzI
单位,44,mmm
惯性矩恒为正值。
三、惯性积
Az dAyI 2 Ay dAzI 2
惯性积可为正值、负值或零 。
单位,m4,mm4
二、惯性矩下一张 上一张
Z
z c
y c
dA
y
c A
y
Z
ρ
例 5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
解,取 yoz坐标系。取微面积 dA=bdy,则：
12
32/
2/
22 bhb d yydAyI h
hAz
12
32/
2/
22 hbh d zzdAzI b
bAy
取微面积 dA=hdz,则：
取微面积 dA=dzdy,则：
0?zyI
下一张 上一张
dz
dA dA
c
y
z
dy
h
y
Z Z
b
例 5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解,取 yoz坐标系。取微面积 dA=2zdy,则：
6442
442222 DπRπdyyRydAyI R
RAz
64
4DπII
zy
222 zyρ?＝
.)( 222 yZAAP IIdAzydAI
由对称性,
由几何关系：
下一张 上一张
y
c
dA
dy
y
z
R
z
第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式一、平行移轴公式
AbΙΙ yy 21
a b AII zyyz11
AaΙI zz 21
注意,y,z轴必须是形心轴。
二、转轴公式
αIαIIIII zyyzyzz 2s in2c o s221
αIαIIIII zyyzyzy 2s in2c o s221
αIαIII zyyzyz 2c o s2s in211
AAz dAαzαydAyI 221 )s inc o s(1
下一张 上一张
c A
dA
Z
Z
Z 1
b
a
y
y 1
y
z 1
y 1
y O
Z
y
Ac
y
dA
Z O
α O
α O
y c
z c
Z
ρ
第四节 主惯性轴和主惯性矩正 交坐标轴；
0?ooyzI
主惯性矩（主惯矩）,截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）,通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）,截面对形心主轴的惯性矩。
第五节 组合截面惯性矩的计算工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
主惯性轴（主轴）,使截面对 zo,yo轴的惯性积 的这对下一张 上一张例 5–4:试计算图示 T形截面的形心主惯性矩。
解,(1)确定形心坐标 yc。
;20
5 0 05 0 0
25105 0 055 0 0
21
2211
cm
yy
y c
452
3
2
2
222
452
3
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2
111
1017.25 0 02035
12
5010
1017.15 0 0520
12
1050
cmΑaΙΙ
cmΑaΙΙ
zz
zz
45521 1034.310172171 cmΙΙΙ zzz
(2)计算形心主惯性矩：
(z,y轴即形心主轴）
下一张 上一张
50
10
50
z 1
z
z 1
a
1
a
2
c 1
c
c 2
y
C
y
10
单位,cm
小 结一、静矩,
cAz yAdAyS cAy zAdAzS
AP dAρI 2二、极惯性矩：
三、惯性矩,
Az dAyI
2 Ay dAzI 2; Azy dAyzI
四、惯性积,
yZAAP IIdAzydAρI )( 222
几何关系,
五、平行移轴公式：
AbΙΙ yy 21 a b AII zyyz11AaΙI zz 21
下一张 上一张六、主惯性轴和主惯性矩形心主惯性轴（形心主轴） 形心主惯性矩（形心主惯矩）
主惯性轴（主轴） 主惯性矩（主惯矩）
七、平面图形几何性质的几何意义
1,静矩,图形的形心相对于 指定坐标轴 之间距离的 远近程度 ；
2,极惯性矩,图形面积相对于 指定坐标原点 之间分布的 集中或分散程度 ；
3,惯性矩,图形面积相对于 指定坐标轴 间分布的 集中或分散程度；
4,惯性积,图形面积相对于 指定 的一对 正交坐标轴 之间 分布的集中或分散程度 。
下一张 上一张
