,结构力学教程,（ I）
第 10章 矩阵位移法
§ 10-1 概述
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
§ 10-6 荷载列阵
§ 10-7 计算步骤及算例
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
§ 10-9 桁架结构的整体分析主要内容
§ 10-1 概述
1、结构分析方法
1） 传统方法 —— 前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。
2） 矩阵分析方法 —— 矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。
2、基本思路
1） 手算位移法
（ 1） 取基本体系 —— 构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；
（ 2） 写出杆端弯矩表达式 —— 建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；
3） 矩阵位移法 —— 它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，
故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。
§ 10-1 概述
（ 3） 根据结点,截面的平衡条件 —— 建立力的平衡方程,即位移法方程 。
2） 矩阵位移法
（ 1） 结构离散化 —— 划分单元；
（ 2） 单元分析 —— 建立单元的杆端力与杆端位移间的关系,形成单元刚度矩阵；
（ 3） 整体分析 —— 建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系,形成结构刚度矩阵 。
§ 10-1 概述下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
用位移法解该题,
2、杆端 弯矩,
1、未知量,1 2 3
1 2 1 1 1 2M 4 2ii
2 1 1 1 1 2M 2 4ii
2 3 2 2 2 3M 4 2ii
3 2 2 2 2 3M 2 4ii
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
3、建立方程：
1M0 12 1MM?
2M0 2 1 2 3 2M M M
3M0 3 2 3MM?
4、解方程得,1 2 3
5、回代得：杆端 弯矩
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
把以上解题过程写成矩阵形式：
1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。
2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）
1-2杆
1 2 1 1 1
2 1 1 1 2
M 4 2
M 2 4
ii
ii
单元刚度方程
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 2 1 1 1 2M 4 2ii
2 1 1 1 1 2M 2 4ii
写成矩阵形式
1 2
1
2
2-3杆
2 3 222
3 2 322
M 42
M 24
ii
ii
单元刚度方程
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
2 3 2 2 2 3M 4 2ii
3 2 2 2 2 3M 2 4ii
写成矩阵形式
2 3
2
3
3、位移法方程：
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… … ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
位移法方程写成矩阵形式：
1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
2 2 3 3
4 2 0 M
2 4 4 2 M
0 2 4 M
ii
i i i i
ii
整体刚度矩阵
4,解方程得：
5,回代得：杆端 弯矩以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的 。
1 2 3
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 2 3
1
2
3 结点荷载列阵结点位移列阵
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1,单元划分及编号
②
①
③在杆系结构中以自然的一根杆件为一个单元，并以加圈的数字为记号。
如图所示为刚架的单元划分。
2,结点编号及未知量确定结点编号的作用,用于单元定位确定未知量结点编号的方法,先处理法后处理法因此一个刚结点就有 3个位移：,而且支座位移也要作为未知量。
,,uv?
在确定未知量时：
● 不忽略轴向变形；
● 所有单元都是两端固定的 。
先处理法：是直接给未知量编号。
后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），
然后按一个结点 3个位移再减去支座约束计算。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
结点编号如图所示，
3 3 3
4 4 4
0
0
uv
uv
先处理法：
1 2
3 4
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
例 1：
因此未知量为 6个。
结点编号如图所示，
编号顺序为：先水平，
后竖向，再转动。位移为零编,0”号。
由于：
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
单元编号如图所示，
先处理法：
1 2
3 4
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
例 1：
单元编号如图所示，
①
② ③
① 单元两头的结点号为：
,1”,,2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。
①
② ③
① 单元两头的结点号为：
,1,2,3”,,4,5,6”，如果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
结点编号如图所示，
33
4 4 4
0
0
uv
uv?
1,2,3 4,5,6
0,0,7 0,0,0
例 2,1 2
3 4
由于：
因此未知量为 7个。
先处理法：
结点编号如图所示，
7个未知量，号就编到 7。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：
2 3 2 3
44
5 5 5
0
0
u u v v
uv
uv?
1 2
4 5
3
1,2,3 4,5,6
0,0,8 0,0,0
4,5,7例 3：
结点编号如图所示，
由于：
因此未知量为 8个。
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到 8。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：
1 2
4 5
3
1,2,3 4,5,6
0,0,8 0,0,0
4,5,7例 3：
单元编号如图所示,单元编号如图所示。
①
② ③
① 单元,1”,,2”对应
② 单元,1”,,4”对应
③ 单元,3”,,5”对应
①
② ③
① 单元,123”,,456”对应
② 单元,123”,,008”对应
③ 单元,457”,,000”对应
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
3 3 4 0u v v
1 2
3 4
1,2 3,4
0,0 0,5
例 4：
结点编号如图所示，
桁架一个结点 2各线位移，由于：
因此未知量为 5个。
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到 8。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
例 4,1 2
3 4
单元编号如图所示，
1,2 3,4
0,0 0,5
先处理法：
单元编号如图所示，
①
② ③⑥ ⑤
④
① 单元,1”,,2”对应
⑤ 单元,1”,,4”对应
…
① 单元,1,2”,,3,4”对应
①
② ③⑥ ⑤
④
⑤ 单元,1,2”,,0,5”对应
…
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
3,建立坐标坐标系,局部坐标整体坐标
1）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法,x 轴与杆件重合及顺时针转原则。
标法如图所示，箭头表示 x 轴的方向,y轴不标出。①单元的起始点是,1”，终点是,2”。
1 2
3 4
①
② ③
A B
FAX FBX
FBYFAY
MAB MBA
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
例 4：
局部坐标如图所示，
1 2
3 4
①
② ③⑥ ⑤
④
① 单元,1”,,2”对应
⑤ 单元,4”,,1”对应
…
单元定位向量：
①
1
2
3
1
②
4
2
③
3
4
④
4
1
⑤
3
2
⑥
先起始点后终点
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵例 4：
先处理法：
局部坐标如图所示，
…
① 单元,1,2”,,3,4”对应
1,2 3,4
0,0 0,5
①
② ③⑥ ⑤
④
⑤ 单元,0,5”,,1,2”对应单元定位向量：
①
1
2
3
4
②
0
0
1
2
0
5
3
4
③
0
0
0
5
④
0
5
1
2
⑤
0
0
3
4
⑥
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
2）整体坐标作用：用于建立位移法方程方法,可根据结构情况及顺时针转原则建立。
1 2
3 4
①
② ③
X
Y
X
Y
O
表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
4、单元刚度矩阵单元刚度矩阵 —— 两端固定单元，由两端发生单位位移产生的杆端力的矩阵形式。
单元刚度矩阵 局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵以 两端固定单元为研究对象，让其两端各发生 3
个位移，求出 6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元形式
—— 两端固定单元杆端位移
—— 每端各三个位移，
杆端力
—— 每端各三个杆力，
正负号规定
—— 与局部坐标一致为正，相反为负。
1 1 1 2 2 2u v u v、,,,,
1 1 1 2 2 2x y x yF F M F F M、,,,,
e x
y
E,A,I
l
1 2
2u
2v
1u e
21
1v
1? 2?
x2Fy2F
2M
x1F
1M
y1F
e
1 2
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 2
1 2
1 2
1?
1?
EA
L
EI,EA
1?
EA
L
EI,EA1?1?
6EI
L2
1?
12EI
L2
1?
6EI
L2
1?
12EI
L2
1?
4EI
L
1?
6EI
L2
1?
2EI
L
1?
6EI
L2
EI,EA
1?
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 2
1 2
1 2
2?
EI,EA
2?
EA
L2?
EA
L
EI,EA 2?
2?
12EI
L22?
12EI
L2
2?
2EI
L
2?
6EI
L2
2?
4EI
L
2?
6EI
L2
EI,EA
2?
2?
6EI
L2 1?
6EI
L2
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 1 2
1 1 1 2 23 2 3 2
1 1 1 2 222
()
1 2 6 1 2 6
6 4 6 2
x
y
EA
F u u
L
E I E I E I E I
F v v
L L L L
E I E I E I E I
M v v
L L L L
2 1 2
2 1 1 2 23 2 3 2
2 1 1 2 222
1 2 6 1 2 6
6 2 6 4
x
y
E A E A
F u u
LL
E I E I E I E I
F v v
L L L L
E I E I E I E I
M v v
L L l l
当两端固定单元的两端同时发生六个位移时
，
六个杆端力可利用叠加原理求出
：
1
号杆端
2
号杆端
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
u 2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
u 2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
eeeFk可缩写成,----单元刚度方程
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
eeeFk单元刚度方程：
其中：
eF ----单元杆端力列阵 ----单元杆端位移列阵e?
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
eF =e? u
2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
ek ----单元刚度矩阵 1 1 1 2
2 1 2 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
e
e kk
k
kk
也可写成：
1
2
2
1
… ①
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质
● 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
ijk jik
● 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：,
因此 单元刚度矩阵是对称矩阵。
● 第 k列元素分别表示当第 k个杆端位移 =1时引起的六个杆端力分量。
● 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。,不存在逆矩阵。
[ ] 0ek?
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1
2
2
1
由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，
得到特殊情况下的单元刚度矩阵。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第 1,2,4,5行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：
4EI
L
2EI
L
2EI
L
=
ek
1 2
1
24EIL
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第 1,4行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：
6EI
L2
4EI
L
12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
-12EI
L3
6EI
L2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=e
k
1 2 3 4
1
2
3
4
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：
把下面刚度矩阵的第 2,3,5,6行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵轴力杆件的单元刚度矩阵应该是 2× 2的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成 4× 4的。
-EA
L 0
EA
L
0 0=
ek
1 2 3 4
1
2
3
4
00
0
0
-EA
L 0
EA
L
0 00
0
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，
则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。
y
xα
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
y
x
α 局部坐标系中的杆端力
x1F
y1F
1M
x2F
y2F
2M
整体坐标系中的杆端力
y
xα
2 2 2
2 2 2
22
c o s s in
s in c o s
x x y
y x y
F F F
F F F
MM
1 1 1
1 1 1
11
c o s s in
s in c o s
x x y
y x y
F F F
F F F
MM
局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：
x1F
y1F
1M
x2F
y2F
2M
y
x
α
局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵其中,[T]—— 单元坐标转换矩阵同理：
{ } [ ] { }eeF T F? { } [ ] { }e T eF T F?
{ } [ ] { }eeT { } [ ] { }e T eT
0 0
0 0 1
1
1
1
2
2
2
e
x
y
x
y
F
F
M
F
F
M
1
1
1
2
2
2
e
x
y
x
y
F
F
M
F
F
M
0
0
0 0
00
0
0C o s S inS in C o s
1 0 0 0
C o s S in
S in C o s
0 0 0
000
000
0
0
可缩写成：
写成矩阵形式
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
[T]—— 单元坐标转换矩阵；
0 0
0 0 1
0
0
0 0
00
0
0C o s S inS in C o s
1 0 0 0
C o s S in
S in C o s
0 0 0
000
000
0
0
[T]=
其中：
是一正交矩阵,[T]-1 =[T]T。
…… ②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度方程：
将 ④、⑤式 代入 ③式，有：
[ ] { } [ ] [ ] { }e e eT F k T
[ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }T e T e eT T F T k T
与 比较，令：{ } [ ] { }e e eFk [ ] [ ] [ ] [ ]e T ek T k T?
{ } [ ] { }e e eFk … … ③
杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：
{ } [ ] { }eeF T F? … … ④ { } [ ] { }eeT … … ⑤
[]TT等式两边前乘,得：
{ } [ ] [ ] [ ] { }e T e eF T k T
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵与 同阶，性质类似：[ ] [ ]eekk
● 一般单元的 是奇异矩阵。[]ek
[]ek● 是对称矩阵。
ijk
● 表示在整体坐标系第 j个杆端位移分量 =1时引起的第 i个杆端力。
[ ] [ ] [ ] [ ]e T ek T k T?
整体坐标下的单元刚度矩阵：
…… ⑥
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵计算步骤：
1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。
2）对每个单元按式①写出局部坐标下的单元刚度矩阵。
3）对每个单元按式②写出坐标转换矩阵。
4）对每个单元按式⑥求出整体坐标下的单元刚度矩阵。
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵例 1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长 5m,
A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
解,1）编号、建立坐标如图所示。 ①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
2k
1k
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵单元①的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，即,11?k k
单元②,=900,转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
1
1
3
5
5 6
2
2
3
4
4
6
x
y
② ②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
22T? kk T
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 100 30 0 50
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 50 30 0 100
2?k 10
4×
1
2
2
1
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵例 2,求整体坐标下的单元刚度矩阵
A=0.5m2,I=1/24m4,
E=3× 107Mpa。 y
x
1 2
3
1,2,3
0,0,0
0,0,0
6m 8m
6m②①
25,0 0.0 0.0 25,0 0.0 0.0
0.0 0.6 9 2.0 8 0.0 0.6 9 2.0 8
0.0 2.0 8 8.3 3 0.0 2.0 8 4.1 7
25,0 0.0 0.0 25,0 0.0 0.0
0.0 0.6 9 2.0 8 0.0 0.6 9 2.0 8
0.0 2.0 8 4.1 7 0.0 2.0 8 8.3 3
k
①
解：编号建立坐标如图所示。
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
15,0 0.0 0.0 15,0 0.0 0.0
0.0 0.1 5 0.7 5 0.0 0.1 5 0.7 5
0.0 0.7 5 5.0 0.0 0.7 5 2.5
15,0 0.0 0.0 15,0 0.0 0.0
0.0 0.1 5 0.7 5 0.0 0.1 5 0.7 5
0.0 0.7 5 2.5 0.0 0.7 5 5.0
k
②
①k ①
k
由于①单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
0,8 0,6C o s S in单元②,=36.87
0
转换矩阵为：
0,8 0,6 0
0,6 0,8 0 0
0 0 1
0,8 0,6 0
0 0,6 0,8 0
0 0 1
T
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
T?k
② T Tk ②
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65,137 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.45 0.6 2.5 0.45 0.6 5.0
k
②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
②
1
2
3
42
6
1
2
3
4
5
6②
x
y
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
1、编号、建立坐标如图所示。
2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。
1 11
11
42
24
ii
k
ii
M1 M3M2
i1 i2
1 32
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵重做一下概述中的例题：
① ②
2 22
22
42
24
ii
k
ii
3、位移法方程 —— 整体刚度方程 这是目前会做的由前面得到的位移法方程：
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… … ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵写成矩阵形式：
1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
2 2 3 3
4 2 0 M
2 4 4 2 M
0 2 4 M
ii
i i i i
ii
可以缩写成,
PKF
—— 整体刚度方程
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
K
KF
整体刚度方程：
其中：
F
—— 整体刚度矩阵
—— 结构位移列阵
—— 结构荷载列阵本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
11
1 1 2 2
22
4 2 0
2 4 4 2
0 2 4
ii
K i i i i
ii
1 2 3
1
2
3
1 11
11
42
24
ii
k
ii
2 22
22
42
24
iik
ii
1 2
2
1
2
2
3
3
整体刚度矩阵形成步骤：
把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；
把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去；
整体刚度矩阵 [K]的阶数等于结构未知量数，若未知量为 n,[K]就是 n× n的方阵；
把各单元刚度矩阵 [k]e按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成 [K]。
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵例 1：
11
11
42
[ ]
24
ii
k
ii
①
22
22
42
[ ]
24
ii
k
ii
②
44
44
42
[ ]
24
ii
k
ii
④
55
55
42
[ ]
24
ii
k
ii
⑤
2）单元刚度矩阵
1 2 3 4 5
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵解,1）编号及建立坐标
1 2 3 4 5 6
i1 i5i4i3i2
1 2
1
2
2 3
2
3
33
33
42
[ ]
24
ii
k
ii
③
3 4
3
4
4 5
4
5
5 6
5
6
3）整体刚度矩阵
2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
4i1+4i2 2i2
2i2 4i2+4i3 2i3
2i3 4i3+4i4 2i4
2i4 4i4+4i5 2i5
2i5 4i5
[]K?
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
0 0
0
0
0
00
0
00
0
0
6EI1
L2
4EI1
L
12EI1
L3
-6EI1
L2
2EI1
L
-12EI1
L3
6EI1
L2
6EI1
L2
6EI1
L2
4EI1
L
2EI1
L
-6EI1
L2
12EI1
L3
-6EI1
L2
-6EI1
L2
-12EI1
L3
例 2：
单元刚度矩阵：
1 2
1 2 3
0,0 0,1 2,0
0 0 0 1
0
0
0
1
=
k
① 1
2
1 2
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵整体刚度矩阵：
6EI2
L2
4EI2
L
12EI2
L3
-6EI2
L2
2EI2
L
-12EI2
L3
6EI2
L2
6EI2
L2
6EI2
L2
4EI2
L
2EI2
L
-6EI2
L2
12EI2
L3
-6EI2
L2
-6EI2
L2
-12EI2
L3
=
k
②
0 1 2 0
0
1
2
0
32
2
3
=
K
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
4EI1
L
4EI2
L
-6EI2
L2
12EI2
L3
-6EI2
L2
+
1
2
2
1
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的基本相同，步骤如下：
1）编号、建立坐标。
2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。
3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。
4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。
5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。
例 1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长 5m,
A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
解,1）编号、建立坐标如图所示。 ①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
2k
1k
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
k?
①
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
1
3
1 3
k?
①
k?
①
× 104
300 0 0 0
0 12 30 30
0 30 100 50
0 30 50 100
× 104
1 2 3 4
1
2
3
4
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
22T? kk T
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 100 30 0 50
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 50 30 0 100
1
2
2
1
k 10
4×②
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
1 2 3
1
2
3
k 10
4×②
12 0 － 30
0 300 0
－ 30 0 100
拼装整体刚度矩阵：
K 10 4×
300 0 0 0
0 12 30 30
0 30 100 50
0 30 50 100
1 2 3 4
1
2
3
4
+100
+12 -30
+300
-30
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵整体刚度矩阵的特点：
1） 整体刚度系数 （ ki j） 的意义
—— 表示当第 j个结点位移分量 Δ 1=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第 i个结点力 Fi；
2）整体刚度是对称矩阵（ 反力互等定理 ）；
3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（ 先处理法，已考虑约束条件 ）；
4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（ 有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内 ）。
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵例 2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
①
②
1
4
21,2,3
y
x
杆长 5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
③
3
4,5,6
4,5,7
0,0,0 0,0,0
5
解,1）编号、建立坐标
2）整体坐标下的单元刚度矩阵
k?
①
104×
300 0 0 -300 0 0
0 12 30 0 -12 30
0 30 100 0 -30 50
-300 0 0 300 0 0
0 -12 -30 0 12 -30
0 30 50 0 -30 100
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
1
2
2
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
1
1
4
4
k? 10
4×
②
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
4 5 7 0 0 0
4
5
7
0
0
0
3
3
5
5
k? 10
4×
③
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
1 2 3 4 5 6 7
K
300+12 0 0-30 -300 0 0 0
0 12+300 30 0 -12 30 0
0-30 30 100+100 0 -30 50 0
-300 0 0 300+12 0 0 -30
0 -12 -30 0 12+300 -30 0
0 30 50 0 -30 100 0
0 0 0 -30 0 0 100
10 4×
1
2
3
4
5
6
7
§ 10-6 荷载列阵把位移法方程写成矩阵形式：
[]KF
jF F P
jF ----结点荷载列阵一列 n行,n—— 未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填 0。
,,xy?
eP---等效结点荷载列阵
P
---整体刚度方程其中 { F } ----荷载列阵荷载列阵通常有两部分组成,
1）结点荷载列阵
§ 10-6 荷载列阵例：
1
2
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
2
P
j
P
F
M
F
F
例：
1
2
0
0
0
1
2
3
4
1
2
3
5
6
70
j P
P
M
F F
F
FpM
Fp
x
1
2
4 5
3
y
Fp2M
Fp1
x
1 2
3 4
y
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
1,2,3 4,5,6 4,5,7
0,0,00,0,0
由节间荷载组成：
例：
（ a）内力 =（ b）内力 +（ c）内力
（ b）内力：固端力 —— 可查表
（ c）内力：用矩阵位移法求解
eP2）等效结点荷载列阵
Fp
原结构
（ a）
Fp
（ b） （ c）
= +
等效结点荷载
§ 10-6 荷载列阵把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。
eP等效结点荷载求解方法：
= +Fp
q q
Fp
1
3
2
0,0,0
0,0,0
1,2,3
FPe1
FPe2F
Pe3
1
3
2
0,0,0
0,0,01,2,3
§ 10-6 荷载列阵
q
Fp
1
3
2 取出,1”号结点
qL
2
qL2
12F
P2
FPL
8
FP
2
qL
2
qL2
12
FPL
8
1
3
2FP2
qL
2
qL2
12
FPL
8
等效结点荷载 下一步的工作是如何把以上的计算过程用矩阵形式来表示。
§ 10-6 荷载列阵
x
y
q
Fp
1
3
2①
②
取①、②单元，求出固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元固端力列阵。 q
qL
2
qL
2
①
qL2
12
qL2
12
0FP
0
qL
2
qL2
12
qL
2
qL2
12
=
① F
P
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
②
0FP
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
§ 10-6 荷载列阵把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。
[]?FP
②
= T T FP ②
单元②,=900,转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
FP 0
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
FP ① FP ①=
§ 10-6 荷载列阵把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。
FP 0
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
0FP
0
qL
2
qL2
12
qL2
12=①
qL
2
1
0
0
0
3
2 2
1
0
0
0
3
§ 10-6 荷载列阵按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。
1
3
2
0
+ 0
FPL
8
FP
2+
qL
2
qL2
12
P =
1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；
2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；
3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。
等效结点荷载的求解步骤：
§ 10-6 荷载列阵例：求图示结构的等效结点荷载 {P}。
解,1）求单元①
单元②
0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 TPF①
0 4 5 0 4 5 TPF②
ePF
4.8kN/m
8kN
y
x
5m
2.5
m
2.5
m
§ 10-6 荷载列阵
①
②
1,2,3
0,0,4
0,0,0
2）求eP
0 1 2 1 0 0 1 2 1 0
PP
T
FF
①①
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
0
{P}=
1
2
3
4
T
0 - 1 0 0 0 0 0 4
1 0 0 0 0 0 4 0
0 0 1 0 0 0 5 5
= = =
0 0 0 0 - 1 0 0 4
0 0 0 1 0 0 4 0
0 0 0 0 0 1 5 5
PP
F T F
②②
§ 10-6 荷载列阵
0 + 4
12 + 0
10 － 5
－ 10 + 0
4
12
5
－ 10
=
1）编号及建立坐标；
3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 ；[]ek
5）求出结构的荷载列阵 ；{}F
§ 10-7 计算步骤和算例
6）解方程,求出结点位移 {Δ} 。?[ ] { }KF
7）按公式,求出各杆杆端内力。{ } [ ] { } { }e e e e
PF k F
计算步骤：
[]ek2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 ；
4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ；K
§ 10-7 计算步骤和算例例 1：求图示结构的内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,
立柱 b2× h2=0.5m × 1m。
解,1)编号、建立坐标
0
0 0
x
y6m
12m
1k
N/m
0
0 0
1
2 3
4
5 6
①
②
③
§ 10-7 计算步骤和算例
33
3 3 3 3
23
1
0.63,,12,6.94 10,52.5 10,
12
2 4 6 12
13.9 10,27.8 10,3.47 10,0.58 10,
EI EA
A I l
ll
EI EI EI EI
l l l l
2）局部坐标下的单元刚度矩阵
33
3 3 3 3
23
1
0.5,,6,6.94 10,83.3 10,
24
2 4 6 12
13.9 10,27.8 10,6.94 10,2.31 10
EI EA
A I l
ll
EI EI EI EI
l l l l
梁的原始数据：
柱的原始数据：
§ 10-7 计算步骤和算例
83.3 0 0
0 2.31 6.94
0 6.94 27.8
[ ] [ ]kk
① ③
8 3,3 0 0
0 2,3 1 6,9 4
0 6,9 4 1 3,9
8 3,3 0 0 8 3,3 0 0
0 2,3 1 6,9 4 0 2,3 1 6,9 4
0 6,9 4 1 3,9 0 6,9 4 2 7,8
× 10－ 3
§ 10-7 计算步骤和算例
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9
[]
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8
k
× 10－ 3
②
§ 10-7 计算步骤和算例
3)整体坐标下的单元刚度矩阵单元①、③ (α =90o)坐标转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
§ 10-7 计算步骤和算例转换后单元 ①、③在整体坐标下的刚度矩阵为：
2.3 1 0 6.9 4
0 83,3 0
6.9 4 0 27,8
[ ] [ ]kk
① ③
× 10－ 3
2,3 1 0 6,9 4
0 8 3,3 0
6,9 4 0 1 3,9
2,3 1 0 6,9 4 2,3 1 0 6,9 4
0 8 3,3 0 0 8 3,3 0
6,9 4 0 1 3,9 6,9 4 0 2 7,8
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
4 5 6 0 0 0
4
5
6
0
0
0
§ 10-7 计算步骤和算例
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9
[]
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8
k
× 10－ 3
②
单元②的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤和算例
4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵
1
2
3
{}
0
0
0
①
1
2
3
{}
4
5
6
②
4
5
6
{}
0
0
0
③
三个单元的定位向量如下：
把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。
§ 10-7 计算步骤和算例
× 10－ 3
[]K?
52.5+2.31 -52.5
0.58+83.3 -0.583.47 3.47
3.47 -3.47
3.47 -3.47
-3.47 -3.47-0.58 0.58+83.3
52.5+2.31-52.5
13.9 27.8+27.8
13.927.8+27.8
-6.94
-6.94
-6.94
-6.94
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤和算例
3
0
-3
{ } [ ] { }
3
0
3
T
PP
F T F
① ①
5）求荷载列阵
P
0
3
3
{ F }
0
3
-3
①
（ 1）固端力列阵局部坐标下的
（ 2）固端力列阵整体坐标下的
（ 3）等效结点荷载列阵
3
0
-3
{ P }
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1
2
3
4
5
6
由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点荷载列阵。
§ 10-7 计算步骤和算例
3
5 4,8 1 0 6,9 4 5 2,5 0 0 3
0 8 3,8 8 3,4 7 0 0,5 8 3,4 7 0
6,9 4 3,4 7 5 5,6 0 3,4 7 1 3,9 3
10
5 2,5 0 0 5 4,8 1 0 6,9 4 0
0 0,5 8 3,4 7 0 8 3,8 8 3,4 7 0
0 3,4 7 1 3,9 6,9 4 3,4 7 5 5,6 0
A
A
A
B
B
B
u
v
u
v
1 1 1 2 2 2 8 4 7 5,1 3 2 8,4 8 2 4 5,1 3 9 6,5TTu v u v
6）解方程KF
由方程解得结点位移如下：
§ 10-7 计算步骤和算例
7）求杆端力
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F① ① ① ①
3
83.3 0 0 83.3 0 0 0 1 0 0 0 0 847
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 1 0 0 0 0 0 5.13
0 6.94 27.8 0 6.94 13.9 0 0 1 0 0 0 28.4
10
83.3 0 0 83.3 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 0 0 0 1 0 0 0
0 6.94 13.9 0 6.94 27.8 0 0 0 0 0 1 0
0 0.43
3 1.24
3 2.09
0 0.43
3 4.76
3 8.49
单元 ①：
{ } [ 8 4 7 5,1 3 2 8,4 0 0 0 ] T①
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F② ② ② ②
3
52.5 0 0 52.5 0 0 847 1.24
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 5.13 0.43
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9 28.4 2.09
10
52.5 0 0 52.5 0 0 824 1.24
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 5.13 0.43
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8 96.5 3.04
单元②：
847 5.13 28.4 824 5.13 96.5 T
②
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F③ ③ ③ ③
3
83.3 0 0 83.3 0 0 0 1 0 0 0 0 824
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 1 0 0 0 0 0 5.13
0 6.94 27.8 0 6.94 13.9 0 0 1 0 0 0 96.5
10
83.3 0 0 83.3 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 0 0 0 1 0 0 0
0 6.94 13.9 0 6.94 27.8 0 0 0 0 0 1 0
0.43
1.24
3.04
0.43
1.24
4.38
单元③：
8 2 4 5,1 3 9 6,5 0 0 0 T
③
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ 1,2 4 0,4 3 2,0 9 1,2 4 0,4 3 3,0 4 ] TF②
{ } [ 0,4 3 1,2 4 2,0 9 0,4 3 4,7 6 8,4 9 ] TF①
8）根据杆端力绘制内力图
{ } [ 0,4 3 1,2 4 3,0 4 0,4 3 1,2 4 4,3 8 ] TF③
1.24 0.430.43
＋
8.49
2.09 3.04
4.38
M图
(kN.m)
FQ图
(kN)
FN图
(kN)
4.76
＋
1.24 0.43 1.24
1.24
＋
§ 10-7 计算步骤和算例
1.24
对图示刚架进行分析时忽略轴向变形。
2）单元定位向量
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
{ } 1 0 2 1 0 3 T
①
{ } 1 0 2 0 0 0 T
②
{ } 1 0 4 0 0 0 T
③
0
1
2
因此,1,2,3号点的竖向位移等于零，并且水平位移相等。
1）编号及建立坐标
103
1 2
4 5
3 4
0,0,0 0,0,0
①
③②
k?
①
10 4×
300 0 0 -300 0 0
0 12 30 0 -12 30
0 30 100 0 -30 50
-300 0 0 300 0 0
0 -12 -30 0 12 -30
0 30 50 0 -30 100
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1
1
2
2
3）整体坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 0 2 0 0 0
1
0
2
0
0
0
1
1
4
4
k? 10
4×
②
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
3
3
5
5
k? 10
4×
③
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1 2 3 4
K
1
2
3
4
10
4×
0+12+12 0-30 0 -30
0-30 100+100 50
0 50 100
-30 100
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1 2 3 4 5 6 7
K
300+12 0 0-30 -300 0 0 0
0 12+300 30 0 -12 30 0
0-30 30 100+100 0 -30 50 0
-300 0 0 300+12 0 0 -30
0 -12 -30 0 12+300 -30 0
0 30 50 0 -30 100 0
0 0 0 -30 0 0 100
10 4×
1
2
3
4
5
6
7
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉，
把已知位移相等的行和列相加。
1212 -3012+12
-30
局部坐标下的单元刚度方程：
1 1
1 1
2 2
2 2
1 0 1 0
0000
1 0 1 0
0000
e e
x
y
x
y
F u
F vEA
F ul
F v
§ 10-9 桁架结构的整体分析坐标转换矩阵：
c o s a s in a 0 0
- s in a c o s a 0 0
T=
0 0 c o s a s in a
0 0 - s in a c o s a
§ 10-9 桁架结构的整体分析例,求图示桁架内力 (EA=常数 )。
解,1）编号及坐标如图：
2）局部坐标下的单元刚度矩阵 []ek
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 0
0000
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 02
0000
e
e
EA
k
l
EA
k
l
e=①②③④
e=⑤⑥
10kN10kN
l
l
⑤ ⑥1,2
3,4
0,0 0,0
x
y
① ③
②
④
§ 10-9 桁架结构的整体分析
{ } [ 0 0 0 0 ] T④
{ } [ 1 2 0 0 ] T①
{ } [ 1 2 3 4 ] T②
3）整体坐标下的单元刚度矩阵 [k]e
单元①、③ α =90°
kkkk
② ④ ② ④
单元 ②,④ α =90°
0000
0 1 0 1
0000
0 1 0 1
EA
kk
l
① ③
{ } [ 3 4 0 0 ] T③
§ 10-9 桁架结构的整体分析单元⑤ α =45°
单元 ⑥ α =135°
{ } [ 3 4 0 0 ] T⑥
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 122
1 1 1 1
EA
k
l
⑤
{ } [ 1 2 0 0 ] T⑤
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 122
1 1 1 1
EA
k
l
⑥
§ 10-9 桁架结构的整体分析
4）整体 刚 度矩阵 [K]
1,3 5 0,3 5 1 0
0,3 5 1,3 5 0 0
[]
1 0 1,3 5 0,3 5
0 0 0,3 5 1,3 5
EA
K
l
5）结点荷载列阵
T{ } [1 0 - 1 0 0 0 ]jF?
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
§ 10-9 桁架结构的整体分析
1
1
2
2
1,3 5 0,3 5 1 0 1 0
0,3 5 1,3 5 0 0 1 0
1 0 1,3 5 0,3 5 0
0 0 0,3 5 1,3 5 0
u
vEA
ul
v
6）解方程
1
1
2
2
2 6,9 4
1 4,4 2
2 1,3 6
5,5 8
u
v l
u EA
v
解得：
§ 10-9 桁架结构的整体分析
7）杆端力计算
{ } [ ] [ ] { }
1 0 1 0 0 1 0 0 2 6,9 4 1 4,4 2
0 0 0 0 1 0 0 0 1 4,4 2 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 4,4 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
F k T
① ① ①
{ } [ ] [ ] { }
1 0 1 0 1 0 0 0 2 6,9 4 5,5 8
0 0 0 0 0 1 0 0 1 4,4 2 0
1 0 1 0 0 0 1 0 2 1,3 6 5,5 8
0 0 0 0 0 0 0 1 5,5 8 0
F k T
② ② ②
其它杆件的计算省略了
第 10章 矩阵位移法
§ 10-1 概述
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-4 连续梁的整体刚度矩阵
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
§ 10-6 荷载列阵
§ 10-7 计算步骤及算例
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
§ 10-9 桁架结构的整体分析主要内容
§ 10-1 概述
1、结构分析方法
1） 传统方法 —— 前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。
2） 矩阵分析方法 —— 矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。
2、基本思路
1） 手算位移法
（ 1） 取基本体系 —— 构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；
（ 2） 写出杆端弯矩表达式 —— 建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；
3） 矩阵位移法 —— 它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，
故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。
§ 10-1 概述
（ 3） 根据结点,截面的平衡条件 —— 建立力的平衡方程,即位移法方程 。
2） 矩阵位移法
（ 1） 结构离散化 —— 划分单元；
（ 2） 单元分析 —— 建立单元的杆端力与杆端位移间的关系,形成单元刚度矩阵；
（ 3） 整体分析 —— 建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系,形成结构刚度矩阵 。
§ 10-1 概述下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
用位移法解该题,
2、杆端 弯矩,
1、未知量,1 2 3
1 2 1 1 1 2M 4 2ii
2 1 1 1 1 2M 2 4ii
2 3 2 2 2 3M 4 2ii
3 2 2 2 2 3M 2 4ii
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
3、建立方程：
1M0 12 1MM?
2M0 2 1 2 3 2M M M
3M0 3 2 3MM?
4、解方程得,1 2 3
5、回代得：杆端 弯矩
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
把以上解题过程写成矩阵形式：
1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。
2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）
1-2杆
1 2 1 1 1
2 1 1 1 2
M 4 2
M 2 4
ii
ii
单元刚度方程
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 2 1 1 1 2M 4 2ii
2 1 1 1 1 2M 2 4ii
写成矩阵形式
1 2
1
2
2-3杆
2 3 222
3 2 322
M 42
M 24
ii
ii
单元刚度方程
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
2 3 2 2 2 3M 4 2ii
3 2 2 2 2 3M 2 4ii
写成矩阵形式
2 3
2
3
3、位移法方程：
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… … ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
位移法方程写成矩阵形式：
1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
2 2 3 3
4 2 0 M
2 4 4 2 M
0 2 4 M
ii
i i i i
ii
整体刚度矩阵
4,解方程得：
5,回代得：杆端 弯矩以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的 。
1 2 3
M1 M3M2
i1 i2
§ 10-1 概述
1 32
1 2 3
1
2
3 结点荷载列阵结点位移列阵
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1,单元划分及编号
②
①
③在杆系结构中以自然的一根杆件为一个单元，并以加圈的数字为记号。
如图所示为刚架的单元划分。
2,结点编号及未知量确定结点编号的作用,用于单元定位确定未知量结点编号的方法,先处理法后处理法因此一个刚结点就有 3个位移：,而且支座位移也要作为未知量。
,,uv?
在确定未知量时：
● 不忽略轴向变形；
● 所有单元都是两端固定的 。
先处理法：是直接给未知量编号。
后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），
然后按一个结点 3个位移再减去支座约束计算。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
结点编号如图所示，
3 3 3
4 4 4
0
0
uv
uv
先处理法：
1 2
3 4
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
例 1：
因此未知量为 6个。
结点编号如图所示，
编号顺序为：先水平，
后竖向，再转动。位移为零编,0”号。
由于：
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
单元编号如图所示，
先处理法：
1 2
3 4
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
例 1：
单元编号如图所示，
①
② ③
① 单元两头的结点号为：
,1”,,2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。
①
② ③
① 单元两头的结点号为：
,1,2,3”,,4,5,6”，如果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
结点编号如图所示，
33
4 4 4
0
0
uv
uv?
1,2,3 4,5,6
0,0,7 0,0,0
例 2,1 2
3 4
由于：
因此未知量为 7个。
先处理法：
结点编号如图所示，
7个未知量，号就编到 7。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：
2 3 2 3
44
5 5 5
0
0
u u v v
uv
uv?
1 2
4 5
3
1,2,3 4,5,6
0,0,8 0,0,0
4,5,7例 3：
结点编号如图所示，
由于：
因此未知量为 8个。
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到 8。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：
1 2
4 5
3
1,2,3 4,5,6
0,0,8 0,0,0
4,5,7例 3：
单元编号如图所示,单元编号如图所示。
①
② ③
① 单元,1”,,2”对应
② 单元,1”,,4”对应
③ 单元,3”,,5”对应
①
② ③
① 单元,123”,,456”对应
② 单元,123”,,008”对应
③ 单元,457”,,000”对应
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
3 3 4 0u v v
1 2
3 4
1,2 3,4
0,0 0,5
例 4：
结点编号如图所示，
桁架一个结点 2各线位移，由于：
因此未知量为 5个。
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到 8。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
例 4,1 2
3 4
单元编号如图所示，
1,2 3,4
0,0 0,5
先处理法：
单元编号如图所示，
①
② ③⑥ ⑤
④
① 单元,1”,,2”对应
⑤ 单元,1”,,4”对应
…
① 单元,1,2”,,3,4”对应
①
② ③⑥ ⑤
④
⑤ 单元,1,2”,,0,5”对应
…
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
3,建立坐标坐标系,局部坐标整体坐标
1）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法,x 轴与杆件重合及顺时针转原则。
标法如图所示，箭头表示 x 轴的方向,y轴不标出。①单元的起始点是,1”，终点是,2”。
1 2
3 4
①
② ③
A B
FAX FBX
FBYFAY
MAB MBA
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：
例 4：
局部坐标如图所示，
1 2
3 4
①
② ③⑥ ⑤
④
① 单元,1”,,2”对应
⑤ 单元,4”,,1”对应
…
单元定位向量：
①
1
2
3
1
②
4
2
③
3
4
④
4
1
⑤
3
2
⑥
先起始点后终点
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵例 4：
先处理法：
局部坐标如图所示，
…
① 单元,1,2”,,3,4”对应
1,2 3,4
0,0 0,5
①
② ③⑥ ⑤
④
⑤ 单元,0,5”,,1,2”对应单元定位向量：
①
1
2
3
4
②
0
0
1
2
0
5
3
4
③
0
0
0
5
④
0
5
1
2
⑤
0
0
3
4
⑥
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
2）整体坐标作用：用于建立位移法方程方法,可根据结构情况及顺时针转原则建立。
1 2
3 4
①
② ③
X
Y
X
Y
O
表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
4、单元刚度矩阵单元刚度矩阵 —— 两端固定单元，由两端发生单位位移产生的杆端力的矩阵形式。
单元刚度矩阵 局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵以 两端固定单元为研究对象，让其两端各发生 3
个位移，求出 6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元形式
—— 两端固定单元杆端位移
—— 每端各三个位移，
杆端力
—— 每端各三个杆力，
正负号规定
—— 与局部坐标一致为正，相反为负。
1 1 1 2 2 2u v u v、,,,,
1 1 1 2 2 2x y x yF F M F F M、,,,,
e x
y
E,A,I
l
1 2
2u
2v
1u e
21
1v
1? 2?
x2Fy2F
2M
x1F
1M
y1F
e
1 2
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 2
1 2
1 2
1?
1?
EA
L
EI,EA
1?
EA
L
EI,EA1?1?
6EI
L2
1?
12EI
L2
1?
6EI
L2
1?
12EI
L2
1?
4EI
L
1?
6EI
L2
1?
2EI
L
1?
6EI
L2
EI,EA
1?
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 2
1 2
1 2
2?
EI,EA
2?
EA
L2?
EA
L
EI,EA 2?
2?
12EI
L22?
12EI
L2
2?
2EI
L
2?
6EI
L2
2?
4EI
L
2?
6EI
L2
EI,EA
2?
2?
6EI
L2 1?
6EI
L2
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1 1 2
1 1 1 2 23 2 3 2
1 1 1 2 222
()
1 2 6 1 2 6
6 4 6 2
x
y
EA
F u u
L
E I E I E I E I
F v v
L L L L
E I E I E I E I
M v v
L L L L
2 1 2
2 1 1 2 23 2 3 2
2 1 1 2 222
1 2 6 1 2 6
6 2 6 4
x
y
E A E A
F u u
LL
E I E I E I E I
F v v
L L L L
E I E I E I E I
M v v
L L l l
当两端固定单元的两端同时发生六个位移时
，
六个杆端力可利用叠加原理求出
：
1
号杆端
2
号杆端
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
u 2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
u 2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
eeeFk可缩写成,----单元刚度方程
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
eeeFk单元刚度方程：
其中：
eF ----单元杆端力列阵 ----单元杆端位移列阵e?
FX1
FY1
FX2
Fy2
M2
M1
eF =e? u
2
u 1
v 2
v 2
2?
1?=
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
ek ----单元刚度矩阵 1 1 1 2
2 1 2 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
e
e kk
k
kk
也可写成：
1
2
2
1
… ①
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质
● 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
ijk jik
● 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：,
因此 单元刚度矩阵是对称矩阵。
● 第 k列元素分别表示当第 k个杆端位移 =1时引起的六个杆端力分量。
● 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。,不存在逆矩阵。
[ ] 0ek?
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1
2
2
1
由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，
得到特殊情况下的单元刚度矩阵。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第 1,2,4,5行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：
4EI
L
2EI
L
2EI
L
=
ek
1 2
1
24EIL
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第 1,4行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：
6EI
L2
4EI
L
12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
-12EI
L3
6EI
L2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=e
k
1 2 3 4
1
2
3
4
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
EA
L
-EA
L
6EI
L2
-6EI
L2
4EI
L
2EI
L
12EI
L3
-12EI
L3
0
0
000
0
0
0
-EA
L 0000
EA
L
6EI
L20
0
0
06EIL2
-12EI
L3
6EI
L2
-6EI
L2
2EI
L
12EI
L3
-6EI
L2
4EI
L
-6EI
L2
=
ek
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：
把下面刚度矩阵的第 2,3,5,6行和列划掉即可。
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵轴力杆件的单元刚度矩阵应该是 2× 2的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成 4× 4的。
-EA
L 0
EA
L
0 0=
ek
1 2 3 4
1
2
3
4
00
0
0
-EA
L 0
EA
L
0 00
0
§ 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，
则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。
y
xα
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
y
x
α 局部坐标系中的杆端力
x1F
y1F
1M
x2F
y2F
2M
整体坐标系中的杆端力
y
xα
2 2 2
2 2 2
22
c o s s in
s in c o s
x x y
y x y
F F F
F F F
MM
1 1 1
1 1 1
11
c o s s in
s in c o s
x x y
y x y
F F F
F F F
MM
局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之间的关系：
x1F
y1F
1M
x2F
y2F
2M
y
x
α
局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵其中,[T]—— 单元坐标转换矩阵同理：
{ } [ ] { }eeF T F? { } [ ] { }e T eF T F?
{ } [ ] { }eeT { } [ ] { }e T eT
0 0
0 0 1
1
1
1
2
2
2
e
x
y
x
y
F
F
M
F
F
M
1
1
1
2
2
2
e
x
y
x
y
F
F
M
F
F
M
0
0
0 0
00
0
0C o s S inS in C o s
1 0 0 0
C o s S in
S in C o s
0 0 0
000
000
0
0
可缩写成：
写成矩阵形式
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
[T]—— 单元坐标转换矩阵；
0 0
0 0 1
0
0
0 0
00
0
0C o s S inS in C o s
1 0 0 0
C o s S in
S in C o s
0 0 0
000
000
0
0
[T]=
其中：
是一正交矩阵,[T]-1 =[T]T。
…… ②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度方程：
将 ④、⑤式 代入 ③式，有：
[ ] { } [ ] [ ] { }e e eT F k T
[ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }T e T e eT T F T k T
与 比较，令：{ } [ ] { }e e eFk [ ] [ ] [ ] [ ]e T ek T k T?
{ } [ ] { }e e eFk … … ③
杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式：
{ } [ ] { }eeF T F? … … ④ { } [ ] { }eeT … … ⑤
[]TT等式两边前乘,得：
{ } [ ] [ ] [ ] { }e T e eF T k T
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵与 同阶，性质类似：[ ] [ ]eekk
● 一般单元的 是奇异矩阵。[]ek
[]ek● 是对称矩阵。
ijk
● 表示在整体坐标系第 j个杆端位移分量 =1时引起的第 i个杆端力。
[ ] [ ] [ ] [ ]e T ek T k T?
整体坐标下的单元刚度矩阵：
…… ⑥
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵计算步骤：
1）对每个结点（包括支座结点）用先处理法或后处理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立一套整体坐标。
2）对每个单元按式①写出局部坐标下的单元刚度矩阵。
3）对每个单元按式②写出坐标转换矩阵。
4）对每个单元按式⑥求出整体坐标下的单元刚度矩阵。
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵例 1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长 5m,
A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
解,1）编号、建立坐标如图所示。 ①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
2k
1k
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵单元①的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，即,11?k k
单元②,=900,转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
1
1
3
5
5 6
2
2
3
4
4
6
x
y
② ②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
22T? kk T
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 100 30 0 50
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 50 30 0 100
2?k 10
4×
1
2
2
1
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵例 2,求整体坐标下的单元刚度矩阵
A=0.5m2,I=1/24m4,
E=3× 107Mpa。 y
x
1 2
3
1,2,3
0,0,0
0,0,0
6m 8m
6m②①
25,0 0.0 0.0 25,0 0.0 0.0
0.0 0.6 9 2.0 8 0.0 0.6 9 2.0 8
0.0 2.0 8 8.3 3 0.0 2.0 8 4.1 7
25,0 0.0 0.0 25,0 0.0 0.0
0.0 0.6 9 2.0 8 0.0 0.6 9 2.0 8
0.0 2.0 8 4.1 7 0.0 2.0 8 8.3 3
k
①
解：编号建立坐标如图所示。
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
15,0 0.0 0.0 15,0 0.0 0.0
0.0 0.1 5 0.7 5 0.0 0.1 5 0.7 5
0.0 0.7 5 5.0 0.0 0.7 5 2.5
15,0 0.0 0.0 15,0 0.0 0.0
0.0 0.1 5 0.7 5 0.0 0.1 5 0.7 5
0.0 0.7 5 2.5 0.0 0.7 5 5.0
k
②
①k ①
k
由于①单元的局部坐标与整体坐标一致，因此：
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
0,8 0,6C o s S in单元②,=36.87
0
转换矩阵为：
0,8 0,6 0
0,6 0,8 0 0
0 0 1
0,8 0,6 0
0 0,6 0,8 0
0 0 1
T
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
T?k
② T Tk ②
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65,137 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.45 0.6 2.5 0.45 0.6 5.0
k
②
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
②
1
2
3
42
6
1
2
3
4
5
6②
x
y
§ 10-3 整体坐标下的 单元刚度矩阵
1、编号、建立坐标如图所示。
2、单元刚度矩阵（局部坐标与整体坐标是一致的）。
1 11
11
42
24
ii
k
ii
M1 M3M2
i1 i2
1 32
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵重做一下概述中的例题：
① ②
2 22
22
42
24
ii
k
ii
3、位移法方程 —— 整体刚度方程 这是目前会做的由前面得到的位移法方程：
1 1 1 2 14 2 Mii
… … ①
1 1 1 2 2 2 3 22 ( 4 4 ) 2 Mi i i i
… … ②
2 2 2 3 32 4 Mii
… … ③
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵写成矩阵形式：
1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
2 2 3 3
4 2 0 M
2 4 4 2 M
0 2 4 M
ii
i i i i
ii
可以缩写成,
PKF
—— 整体刚度方程
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
K
KF
整体刚度方程：
其中：
F
—— 整体刚度矩阵
—— 结构位移列阵
—— 结构荷载列阵本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
11
1 1 2 2
22
4 2 0
2 4 4 2
0 2 4
ii
K i i i i
ii
1 2 3
1
2
3
1 11
11
42
24
ii
k
ii
2 22
22
42
24
iik
ii
1 2
2
1
2
2
3
3
整体刚度矩阵形成步骤：
把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；
把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去；
整体刚度矩阵 [K]的阶数等于结构未知量数，若未知量为 n,[K]就是 n× n的方阵；
把各单元刚度矩阵 [k]e按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成 [K]。
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵例 1：
11
11
42
[ ]
24
ii
k
ii
①
22
22
42
[ ]
24
ii
k
ii
②
44
44
42
[ ]
24
ii
k
ii
④
55
55
42
[ ]
24
ii
k
ii
⑤
2）单元刚度矩阵
1 2 3 4 5
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵解,1）编号及建立坐标
1 2 3 4 5 6
i1 i5i4i3i2
1 2
1
2
2 3
2
3
33
33
42
[ ]
24
ii
k
ii
③
3 4
3
4
4 5
4
5
5 6
5
6
3）整体刚度矩阵
2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
4i1+4i2 2i2
2i2 4i2+4i3 2i3
2i3 4i3+4i4 2i4
2i4 4i4+4i5 2i5
2i5 4i5
[]K?
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
0 0
0
0
0
00
0
00
0
0
6EI1
L2
4EI1
L
12EI1
L3
-6EI1
L2
2EI1
L
-12EI1
L3
6EI1
L2
6EI1
L2
6EI1
L2
4EI1
L
2EI1
L
-6EI1
L2
12EI1
L3
-6EI1
L2
-6EI1
L2
-12EI1
L3
例 2：
单元刚度矩阵：
1 2
1 2 3
0,0 0,1 2,0
0 0 0 1
0
0
0
1
=
k
① 1
2
1 2
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵整体刚度矩阵：
6EI2
L2
4EI2
L
12EI2
L3
-6EI2
L2
2EI2
L
-12EI2
L3
6EI2
L2
6EI2
L2
6EI2
L2
4EI2
L
2EI2
L
-6EI2
L2
12EI2
L3
-6EI2
L2
-6EI2
L2
-12EI2
L3
=
k
②
0 1 2 0
0
1
2
0
32
2
3
=
K
§ 10-4 连续梁的整体 刚度矩阵
4EI1
L
4EI2
L
-6EI2
L2
12EI2
L3
-6EI2
L2
+
1
2
2
1
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的基本相同，步骤如下：
1）编号、建立坐标。
2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。
3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。
4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。
5）按定位向量号用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。
例 1：求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长 5m,
A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
解,1）编号、建立坐标如图所示。 ①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵。
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
2k
1k
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 100 0 30 50
300 0 0 300 0 0
0 12 30 0 12 30
0 30 50 0 30 100
①
②
1
2
31,2,3
0,0,0
0,0,4
y
x
k?
①
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
4
1
3
1 3
k?
①
k?
①
× 104
300 0 0 0
0 12 30 30
0 30 100 50
0 30 50 100
× 104
1 2 3 4
1
2
3
4
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
22T? kk T
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 100 30 0 50
12 0 30 12 0 30
0 300 0 0 300 0
30 0 50 30 0 100
1
2
2
1
k 10
4×②
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
1 2 3
1
2
3
k 10
4×②
12 0 － 30
0 300 0
－ 30 0 100
拼装整体刚度矩阵：
K 10 4×
300 0 0 0
0 12 30 30
0 30 100 50
0 30 50 100
1 2 3 4
1
2
3
4
+100
+12 -30
+300
-30
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵整体刚度矩阵的特点：
1） 整体刚度系数 （ ki j） 的意义
—— 表示当第 j个结点位移分量 Δ 1=1（其它结点位移分量为零）时所产生的第 i个结点力 Fi；
2）整体刚度是对称矩阵（ 反力互等定理 ）；
3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（ 先处理法，已考虑约束条件 ）；
4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（ 有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内 ）。
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵例 2：图示有中间铰刚架，求其整体刚度矩阵。
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
①
②
1
4
21,2,3
y
x
杆长 5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3× 104Mpa。
③
3
4,5,6
4,5,7
0,0,0 0,0,0
5
解,1）编号、建立坐标
2）整体坐标下的单元刚度矩阵
k?
①
104×
300 0 0 -300 0 0
0 12 30 0 -12 30
0 30 100 0 -30 50
-300 0 0 300 0 0
0 -12 -30 0 12 -30
0 30 50 0 -30 100
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
1
2
2
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
1
1
4
4
k? 10
4×
②
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
4 5 7 0 0 0
4
5
7
0
0
0
3
3
5
5
k? 10
4×
③
§ 10-5 刚架的整体刚度矩阵
1 2 3 4 5 6 7
K
300+12 0 0-30 -300 0 0 0
0 12+300 30 0 -12 30 0
0-30 30 100+100 0 -30 50 0
-300 0 0 300+12 0 0 -30
0 -12 -30 0 12+300 -30 0
0 30 50 0 -30 100 0
0 0 0 -30 0 0 100
10 4×
1
2
3
4
5
6
7
§ 10-6 荷载列阵把位移法方程写成矩阵形式：
[]KF
jF F P
jF ----结点荷载列阵一列 n行,n—— 未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填 0。
,,xy?
eP---等效结点荷载列阵
P
---整体刚度方程其中 { F } ----荷载列阵荷载列阵通常有两部分组成,
1）结点荷载列阵
§ 10-6 荷载列阵例：
1
2
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
2
P
j
P
F
M
F
F
例：
1
2
0
0
0
1
2
3
4
1
2
3
5
6
70
j P
P
M
F F
F
FpM
Fp
x
1
2
4 5
3
y
Fp2M
Fp1
x
1 2
3 4
y
1,2,3 4,5,6
0,0,0 0,0,0
1,2,3 4,5,6 4,5,7
0,0,00,0,0
由节间荷载组成：
例：
（ a）内力 =（ b）内力 +（ c）内力
（ b）内力：固端力 —— 可查表
（ c）内力：用矩阵位移法求解
eP2）等效结点荷载列阵
Fp
原结构
（ a）
Fp
（ b） （ c）
= +
等效结点荷载
§ 10-6 荷载列阵把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。
eP等效结点荷载求解方法：
= +Fp
q q
Fp
1
3
2
0,0,0
0,0,0
1,2,3
FPe1
FPe2F
Pe3
1
3
2
0,0,0
0,0,01,2,3
§ 10-6 荷载列阵
q
Fp
1
3
2 取出,1”号结点
qL
2
qL2
12F
P2
FPL
8
FP
2
qL
2
qL2
12
FPL
8
1
3
2FP2
qL
2
qL2
12
FPL
8
等效结点荷载 下一步的工作是如何把以上的计算过程用矩阵形式来表示。
§ 10-6 荷载列阵
x
y
q
Fp
1
3
2①
②
取①、②单元，求出固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为局部坐标下的单元固端力列阵。 q
qL
2
qL
2
①
qL2
12
qL2
12
0FP
0
qL
2
qL2
12
qL
2
qL2
12
=
① F
P
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
②
0FP
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
§ 10-6 荷载列阵把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵。
[]?FP
②
= T T FP ②
单元②,=900,转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
FP 0
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
FP ① FP ①=
§ 10-6 荷载列阵把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵边上。
FP 0
0
=
②
FP
2
FPL
8
FP
2
FPL
8
0FP
0
qL
2
qL2
12
qL2
12=①
qL
2
1
0
0
0
3
2 2
1
0
0
0
3
§ 10-6 荷载列阵按对号入座的方式，求出等效结点荷载列阵。
1
3
2
0
+ 0
FPL
8
FP
2+
qL
2
qL2
12
P =
1）求出局部坐标下的单元固端力列阵；
2）求出整体坐标下的单元固端力列阵；
3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。
等效结点荷载的求解步骤：
§ 10-6 荷载列阵例：求图示结构的等效结点荷载 {P}。
解,1）求单元①
单元②
0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 TPF①
0 4 5 0 4 5 TPF②
ePF
4.8kN/m
8kN
y
x
5m
2.5
m
2.5
m
§ 10-6 荷载列阵
①
②
1,2,3
0,0,4
0,0,0
2）求eP
0 1 2 1 0 0 1 2 1 0
PP
T
FF
①①
1 2 3 0 0 4
1
2
3
0
0
0
{P}=
1
2
3
4
T
0 - 1 0 0 0 0 0 4
1 0 0 0 0 0 4 0
0 0 1 0 0 0 5 5
= = =
0 0 0 0 - 1 0 0 4
0 0 0 1 0 0 4 0
0 0 0 0 0 1 5 5
PP
F T F
②②
§ 10-6 荷载列阵
0 + 4
12 + 0
10 － 5
－ 10 + 0
4
12
5
－ 10
=
1）编号及建立坐标；
3）求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 ；[]ek
5）求出结构的荷载列阵 ；{}F
§ 10-7 计算步骤和算例
6）解方程,求出结点位移 {Δ} 。?[ ] { }KF
7）按公式,求出各杆杆端内力。{ } [ ] { } { }e e e e
PF k F
计算步骤：
[]ek2）求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 ；
4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ；K
§ 10-7 计算步骤和算例例 1：求图示结构的内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,
立柱 b2× h2=0.5m × 1m。
解,1)编号、建立坐标
0
0 0
x
y6m
12m
1k
N/m
0
0 0
1
2 3
4
5 6
①
②
③
§ 10-7 计算步骤和算例
33
3 3 3 3
23
1
0.63,,12,6.94 10,52.5 10,
12
2 4 6 12
13.9 10,27.8 10,3.47 10,0.58 10,
EI EA
A I l
ll
EI EI EI EI
l l l l
2）局部坐标下的单元刚度矩阵
33
3 3 3 3
23
1
0.5,,6,6.94 10,83.3 10,
24
2 4 6 12
13.9 10,27.8 10,6.94 10,2.31 10
EI EA
A I l
ll
EI EI EI EI
l l l l
梁的原始数据：
柱的原始数据：
§ 10-7 计算步骤和算例
83.3 0 0
0 2.31 6.94
0 6.94 27.8
[ ] [ ]kk
① ③
8 3,3 0 0
0 2,3 1 6,9 4
0 6,9 4 1 3,9
8 3,3 0 0 8 3,3 0 0
0 2,3 1 6,9 4 0 2,3 1 6,9 4
0 6,9 4 1 3,9 0 6,9 4 2 7,8
× 10－ 3
§ 10-7 计算步骤和算例
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9
[]
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8
k
× 10－ 3
②
§ 10-7 计算步骤和算例
3)整体坐标下的单元刚度矩阵单元①、③ (α =90o)坐标转换矩阵为：
0 1 0
1 0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 0
0 0 1
T
§ 10-7 计算步骤和算例转换后单元 ①、③在整体坐标下的刚度矩阵为：
2.3 1 0 6.9 4
0 83,3 0
6.9 4 0 27,8
[ ] [ ]kk
① ③
× 10－ 3
2,3 1 0 6,9 4
0 8 3,3 0
6,9 4 0 1 3,9
2,3 1 0 6,9 4 2,3 1 0 6,9 4
0 8 3,3 0 0 8 3,3 0
6,9 4 0 1 3,9 6,9 4 0 2 7,8
1 2 3 0 0 0
1
2
3
0
0
0
4 5 6 0 0 0
4
5
6
0
0
0
§ 10-7 计算步骤和算例
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9
[]
52.5 0 0 52.5 0 0
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8
k
× 10－ 3
②
单元②的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换。
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤和算例
4）按单元定位向量形成整体刚度矩阵
1
2
3
{}
0
0
0
①
1
2
3
{}
4
5
6
②
4
5
6
{}
0
0
0
③
三个单元的定位向量如下：
把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。
§ 10-7 计算步骤和算例
× 10－ 3
[]K?
52.5+2.31 -52.5
0.58+83.3 -0.583.47 3.47
3.47 -3.47
3.47 -3.47
-3.47 -3.47-0.58 0.58+83.3
52.5+2.31-52.5
13.9 27.8+27.8
13.927.8+27.8
-6.94
-6.94
-6.94
-6.94
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
§ 10-7 计算步骤和算例
3
0
-3
{ } [ ] { }
3
0
3
T
PP
F T F
① ①
5）求荷载列阵
P
0
3
3
{ F }
0
3
-3
①
（ 1）固端力列阵局部坐标下的
（ 2）固端力列阵整体坐标下的
（ 3）等效结点荷载列阵
3
0
-3
{ P }
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1
2
3
4
5
6
由于没有结点荷载，因此荷载列阵等于等效结点荷载列阵。
§ 10-7 计算步骤和算例
3
5 4,8 1 0 6,9 4 5 2,5 0 0 3
0 8 3,8 8 3,4 7 0 0,5 8 3,4 7 0
6,9 4 3,4 7 5 5,6 0 3,4 7 1 3,9 3
10
5 2,5 0 0 5 4,8 1 0 6,9 4 0
0 0,5 8 3,4 7 0 8 3,8 8 3,4 7 0
0 3,4 7 1 3,9 6,9 4 3,4 7 5 5,6 0
A
A
A
B
B
B
u
v
u
v
1 1 1 2 2 2 8 4 7 5,1 3 2 8,4 8 2 4 5,1 3 9 6,5TTu v u v
6）解方程KF
由方程解得结点位移如下：
§ 10-7 计算步骤和算例
7）求杆端力
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F① ① ① ①
3
83.3 0 0 83.3 0 0 0 1 0 0 0 0 847
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 1 0 0 0 0 0 5.13
0 6.94 27.8 0 6.94 13.9 0 0 1 0 0 0 28.4
10
83.3 0 0 83.3 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 0 0 0 1 0 0 0
0 6.94 13.9 0 6.94 27.8 0 0 0 0 0 1 0
0 0.43
3 1.24
3 2.09
0 0.43
3 4.76
3 8.49
单元 ①：
{ } [ 8 4 7 5,1 3 2 8,4 0 0 0 ] T①
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F② ② ② ②
3
52.5 0 0 52.5 0 0 847 1.24
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 5.13 0.43
0 3.47 27.8 0 3.47 13.9 28.4 2.09
10
52.5 0 0 52.5 0 0 824 1.24
0 0.58 3.47 0 0.58 3.47 5.13 0.43
0 3.47 13.9 0 3.47 27.8 96.5 3.04
单元②：
847 5.13 28.4 824 5.13 96.5 T
②
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ ] [ ] { } { }PF k T F③ ③ ③ ③
3
83.3 0 0 83.3 0 0 0 1 0 0 0 0 824
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 1 0 0 0 0 0 5.13
0 6.94 27.8 0 6.94 13.9 0 0 1 0 0 0 96.5
10
83.3 0 0 83.3 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 2.31 6.94 0 2.31 6.94 0 0 0 1 0 0 0
0 6.94 13.9 0 6.94 27.8 0 0 0 0 0 1 0
0.43
1.24
3.04
0.43
1.24
4.38
单元③：
8 2 4 5,1 3 9 6,5 0 0 0 T
③
§ 10-7 计算步骤和算例
{ } [ 1,2 4 0,4 3 2,0 9 1,2 4 0,4 3 3,0 4 ] TF②
{ } [ 0,4 3 1,2 4 2,0 9 0,4 3 4,7 6 8,4 9 ] TF①
8）根据杆端力绘制内力图
{ } [ 0,4 3 1,2 4 3,0 4 0,4 3 1,2 4 4,3 8 ] TF③
1.24 0.430.43
＋
8.49
2.09 3.04
4.38
M图
(kN.m)
FQ图
(kN)
FN图
(kN)
4.76
＋
1.24 0.43 1.24
1.24
＋
§ 10-7 计算步骤和算例
1.24
对图示刚架进行分析时忽略轴向变形。
2）单元定位向量
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
{ } 1 0 2 1 0 3 T
①
{ } 1 0 2 0 0 0 T
②
{ } 1 0 4 0 0 0 T
③
0
1
2
因此,1,2,3号点的竖向位移等于零，并且水平位移相等。
1）编号及建立坐标
103
1 2
4 5
3 4
0,0,0 0,0,0
①
③②
k?
①
10 4×
300 0 0 -300 0 0
0 12 30 0 -12 30
0 30 100 0 -30 50
-300 0 0 300 0 0
0 -12 -30 0 12 -30
0 30 50 0 -30 100
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1
1
2
2
3）整体坐标下的单元刚度矩阵
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 0 2 0 0 0
1
0
2
0
0
0
1
1
4
4
k? 10
4×
②
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
12 0 -30 -12 0 -30
0 300 0 0 -300 0
-30 0 100 30 0 50
-12 0 30 12 0 30
0 -300 0 0 300 0
-30 0 50 30 0 100
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
3
3
5
5
k? 10
4×
③
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1 2 3 4
K
1
2
3
4
10
4×
0+12+12 0-30 0 -30
0-30 100+100 50
0 50 100
-30 100
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1 2 3 4 5 6 7
K
300+12 0 0-30 -300 0 0 0
0 12+300 30 0 -12 30 0
0-30 30 100+100 0 -30 50 0
-300 0 0 300+12 0 0 -30
0 -12 -30 0 12+300 -30 0
0 30 50 0 -30 100 0
0 0 0 -30 0 0 100
10 4×
1
2
3
4
5
6
7
§ 10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析上述工作还可以这样处理：对考虑轴向变形的整体刚度矩阵进行修正：把已知位移为零的行和列划掉，
把已知位移相等的行和列相加。
1212 -3012+12
-30
局部坐标下的单元刚度方程：
1 1
1 1
2 2
2 2
1 0 1 0
0000
1 0 1 0
0000
e e
x
y
x
y
F u
F vEA
F ul
F v
§ 10-9 桁架结构的整体分析坐标转换矩阵：
c o s a s in a 0 0
- s in a c o s a 0 0
T=
0 0 c o s a s in a
0 0 - s in a c o s a
§ 10-9 桁架结构的整体分析例,求图示桁架内力 (EA=常数 )。
解,1）编号及坐标如图：
2）局部坐标下的单元刚度矩阵 []ek
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 0
0000
1 0 1 0
0000
[]
1 0 1 02
0000
e
e
EA
k
l
EA
k
l
e=①②③④
e=⑤⑥
10kN10kN
l
l
⑤ ⑥1,2
3,4
0,0 0,0
x
y
① ③
②
④
§ 10-9 桁架结构的整体分析
{ } [ 0 0 0 0 ] T④
{ } [ 1 2 0 0 ] T①
{ } [ 1 2 3 4 ] T②
3）整体坐标下的单元刚度矩阵 [k]e
单元①、③ α =90°
kkkk
② ④ ② ④
单元 ②,④ α =90°
0000
0 1 0 1
0000
0 1 0 1
EA
kk
l
① ③
{ } [ 3 4 0 0 ] T③
§ 10-9 桁架结构的整体分析单元⑤ α =45°
单元 ⑥ α =135°
{ } [ 3 4 0 0 ] T⑥
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 122
1 1 1 1
EA
k
l
⑤
{ } [ 1 2 0 0 ] T⑤
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 122
1 1 1 1
EA
k
l
⑥
§ 10-9 桁架结构的整体分析
4）整体 刚 度矩阵 [K]
1,3 5 0,3 5 1 0
0,3 5 1,3 5 0 0
[]
1 0 1,3 5 0,3 5
0 0 0,3 5 1,3 5
EA
K
l
5）结点荷载列阵
T{ } [1 0 - 1 0 0 0 ]jF?
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
§ 10-9 桁架结构的整体分析
1
1
2
2
1,3 5 0,3 5 1 0 1 0
0,3 5 1,3 5 0 0 1 0
1 0 1,3 5 0,3 5 0
0 0 0,3 5 1,3 5 0
u
vEA
ul
v
6）解方程
1
1
2
2
2 6,9 4
1 4,4 2
2 1,3 6
5,5 8
u
v l
u EA
v
解得：
§ 10-9 桁架结构的整体分析
7）杆端力计算
{ } [ ] [ ] { }
1 0 1 0 0 1 0 0 2 6,9 4 1 4,4 2
0 0 0 0 1 0 0 0 1 4,4 2 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 4,4 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
F k T
① ① ①
{ } [ ] [ ] { }
1 0 1 0 1 0 0 0 2 6,9 4 5,5 8
0 0 0 0 0 1 0 0 1 4,4 2 0
1 0 1 0 0 0 1 0 2 1,3 6 5,5 8
0 0 0 0 0 0 0 1 5,5 8 0
F k T
② ② ②
其它杆件的计算省略了
