,结构力学教程,（ Ⅱ ）
第 15章 结构的塑性分析与极限荷载
§ 15-1 概述
§ 15-2 极限弯矩,塑性铰和极限状态
§ 15-3 超静定梁的极限荷载主要内容
§ 15-1 概 述
1,弹性计算
—— 在计算中假设应力与应变为线性关系,荷载全部卸除后结构没有残余变形 。
对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，
弹性计算能够给出足够准确的结果。
2,弹性设计
—— 利用弹性计算的结果,以许用应力为依据来确定截面的尺寸或进行强度验算,即：
m a x S
Sk
塑性材料
m a x
b
bk
脆性材料
§ 15-1 概 述弹性设计的缺点：
对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当某个截面的最大应力达到屈服极限，甚至某一局部达到塑性阶段时，结构并没有破坏，也就是说，并没有耗尽所有的承载能力。
弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构这一部分的承载能力，因此弹性设计是不够经济合理的。
3、塑性设计
—— 把结构破坏时能承受的极限荷载除以荷载系数,
得到容许荷载,并以此为依据进行设计 。 即：
pu
pp
FFF
k
式中,FP—— 结构实际承受的载荷；
FPu—— 极限载荷；
k —— 荷载系数。
塑性设计特点：
是以理想弹塑性材料的结构体系为研究对象，从整个结构所能承受的荷载来考虑，充分利用了材料的承载能力，更经济合理。
§ 15-1 概 述
4、理想弹塑性材料在结构塑性分析中,为了简化计算通常假设材料为理想弹塑性材料,其应力应变关系如图所示 。
特点：
1）应力达到 σ s以前，材料是理想弹性的，即 ε 与
σ 成正比；
2）应力达到 σ s后，材料转为理想塑性的，即 σ 不变,ε 任意增加；
§ 11-1 概 述
ε
σ
σ s
ε s
弹性阶段 塑性阶段特点：
3）卸载时，应力减小，
材料是弹性的；
4）应力与应变之间不再存在单值对应关系；
5）材料变拉压时的性能相同。
由于以上的原因，结构的弹塑性计算要比弹性计算复杂一些。
§ 15-1 概 述
ε
σ
σ s
ε s
弹性阶段 塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
1,极限弯矩以理想弹塑性材料的矩形截面梁受纯弯曲情况为例,说明梁由弹性阶段到弹塑性阶段以及最后达到塑性阶段的过程及一些基本概念 。
随着 M的增大，梁的变形情况经历了以下几个阶段：
hM
b
1）弹性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
o
y
zh
b σ
σ
σs
σs
（ b）（ a） （ c）
图（ b）表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的标志是最外纤维处的应力达到屈服极限,图（ c）
所示，此时的弯矩：
σs
2
6ss
bhM ---屈服弯矩
2）弹塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态图（ d）表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠外部分形成塑性区，其应力为 。在弹性区，应力按直线分布，
σs
0
s
y
y
σs
o
y
zh
b
σs
（ d）（ a）
yo
yo
3）塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
2
4us
hbM
o
y
zh
b
（ e）（ a）
图（ e）表示截面已达到塑性流动阶段。此时
yo 0，相应的弯矩为：
这是截面所能承受的最大弯矩，称为 极限弯矩。
显然，对于矩形截面极限弯矩是屈服弯矩的 1.5倍。
σs
σs
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
2、塑性铰当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角，这重情况与带铰的截面相似。因此这时的截面可以称为 塑性铰。
由理想弹塑性材料的应力应变关系可知，加载至塑性阶段后再减载，截面则恢复其弹性性质。由此得到一个重要特性：塑性铰只能沿着弯矩增大方向发生转动，如果沿相反方向变形，截面立即恢复其弹性刚度，因此塑性铰是 单向的。
塑性铰与普通铰的区别：
● 普通铰不能承受弯矩,而塑性铰则能承受着极限弯矩 Mμ；
● 普通铰是双向的,而塑性铰则是单向的,即只能沿着弯矩增大方向发生有限相对转动,如果沿相反方向变形,则不再具有铰的性质 。
● 普通铰的位臵是固定的,而塑性铰的位臵是由荷载情况而变化的 。
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
3、极限荷载极限荷载 FPu—— 结构已变为机构,位移可以无限增大,承载力无法再增大时结构所承受的荷载 。
计算方法 —— 根据塑性铰截面的弯矩等于极限弯矩值 Mu的条件,利用平衡方程求得 。
例 1：设有矩形截面梁承受如图所示荷载，试求其极限荷载 FPu。
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
FP
l/2 l/2
（ 2） 由静力平衡条件可知,
要达到极限荷载,Mc应等于 M u，
即：
（ 1）作 M图。
由 M图可知：在荷载作用下，塑性铰将在 C处形成。
4
P
Cu
FlMM 4/P u uF M l
解：方法一,平衡法
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
4
PC FlM?
FP
l/2 l/2
A B
C
机动法采用刚塑性假设画机构虚位移图。
由虚功方程：
20
42
P u u
u
P u u
FM
M
FM
l
解：方法二,机动法
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
FP
l/2 l/2
A B
C
θ
2
l?
Mu Mu
Δ
FPu
θ
4、极限状态当结构形成足够多的塑性铰，结构变成几何可变体系时，形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结构的极限状态。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载超静定梁由于有多余的约束，必须出现多个塑性铰，
才能变成机构，从而丧失承载能力以致破坏。
FP
l/2 l/2
FP≤Fps
A C B
6
32 PFl
5
32 PFl
1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点下面以一等截面梁为例说明超静定梁由弹性阶段到弹塑性阶段，直至极限状态的过程。
弹性阶段的弯矩如图所示。固端处弯矩最大。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载当荷载超过 FPS后，塑性区首先在 A端形成并扩大，然后在 C截面也形成塑性区。
此时的弯矩随荷载的变化而不断变化，但不再与弹性弯矩图成比例。
当 A端达到 Mu时，第一个塑性铰形成。结构变成简支梁。
FPS <FP<FPu
A C B
MU
FP
l/2 l/2
FP≤Fps
A C B
6
32 PFl
5
32 PFl
MU
§ 15-3 超静定梁的极限荷载当荷载再增加时，
弯矩按简支梁的弯矩图增加，因此 A端的弯矩增量为零。
FP=FPu
A C B
MU
极限荷载的求解同样有 平衡法 和 机动法。
当 C端的弯矩达到 Mu时，第二个塑性铰形成，结构变成机构而破坏，此时的荷载称为极限荷载。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
MU
MU
求极限荷载方法一,平衡法根据极限状态的弯矩图,求极限荷载。
1
42
Pu
uu
Fl MM
FPu
BCA
6 u
Pu
MF
l?
FPul/4
FPu
Mu MuMu
A C B
MUθ1
θ2?
§ 15-3 超静定梁的极限荷载方法二,机动法机构的虚位移如图所示，设跨中位移为,则?
12
24,
ll
由虚功方程：
12( ) 0
6
P u u u
P u u
F M M
FM
l
1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求 FPu。
2）超静定结构极限荷载的计算，只需考虑平衡条件，而无须考虑变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。
3）超静定结构极限荷载，不受温度改变、支座移动等因素的影响。
超静定结构极限荷载计算的特点：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：
①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处。
②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰只可能出现在固定端处。
超静定结构极限荷载计算的特点：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载例：求图示变截面梁的极限荷载。
解,设 AB段的极限弯矩为
Mu’,BC段的极限弯矩为 Mu。
显然塑性铰出现的位臵与上述两个极限弯矩的比值及 B 截面的位臵有关。
（ 1）设塑性铰出现在 B,D
处，对应的破坏机构及弯矩如图所示。
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
3
l?
A
B C
2θΔ
Mu
FP
B M
u
Mu3M
u
A
C
D
A
B C
2θ
63
0
9
P u u u
u
Pu
F M M
ll
M
F
l
Mu
Δ
3
l?
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
FP
B M
u
Mu3M
u
A
C
D
由虚功方程可得极限荷载为：
由弯矩图可得出这个破坏机构的实现条件为：
3uuMM
Δ
A B
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
θ2
θ1
CuM?
FP
B
A
C
Mu
uM?
1 ()
2 uuMM
D
（ 2）设塑性铰出现在 A,D
处，对应的破坏机构及弯矩如图所示。
由弯矩图可得出这个破坏机构的实现条件为：
'1 ()
2B u uM M M
3uuMM
'1 ()
2 u u uM M M?
＜
Δ
A B
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
θ2
θ1
CuM?
FP
B
A
C
Mu
uM?
1 ()
2 uuMM
D
'
'
39
22
3
( 3 )
2
P u u u
P u u u
F M M
ll
F M M
l
由虚功方程可得极限荷载为：
3uuMM
（ 3）讨论当 时,A,B、
D三个截面都出现塑性铰，其极限荷载为：
9
P u uFMl?
例,求图示单跨超静定梁的极限荷载 FPu。
解：此梁处于极限状态时，有一个塑性铰会出现在 A
端，还有一个塑性铰会出现在 C点处，但具体位臵可用如下方法确定。
图（ b）为一破坏机构，用机动法确定其极限荷载，
由虚功方程：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
l
A B
q
EI=常数
（ a）
A BCΔ
θA
θC
x
（ b）
由虚功方程：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
l
A B
q
EI=常数
（ a）
A BCΔ
θA
θC
x
（ b）
()2 ( )u u A B A BllqM x x l x
22
()
u
u
Mlxq
x l x l
220 4 2 0udq x lx l
dx
故得：
令,1
2
( 2 2 )
( 2 2 )
xl
xl
得：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载弃去 x1，由 x2求德极限荷载为：
22
22 1 1,7
3 2 4
uu
u
MMq
ll
若将 C点的塑性铰设在跨中，则有：
2
2
82
12
u
u
u
u
Mql
M
M
q
l
误差为 3%。因此均布荷载作用下，若杆件两端弯矩在基线同侧且悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。
l
A B
qM
U
MU C
● 梁在每一跨内为等截面，但各跨的截面可以不同。
● 荷载的作用方向彼此相同，并按比例加载。
若荷载同为向下作用，则每跨内的最大负弯矩只可能出现在跨度两端，即负塑性铰只可能出现在支座处，因此等截面的连续梁，只可能在各跨内独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。
首先讨论连续梁破坏机构的可能形式，设：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
2、连续梁的极限荷载
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP2FP1
Mu
Mu
FP2FP1
FP2
FP1
Mu
Mu
可能出现的破坏形式可能出现的破坏形式不可能出现的破坏形式
§ 15-3 超静定梁的极限荷载例：图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为 Mu，
第三跨正极限弯矩为 2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯矩的 1.2倍，求 qu。
解,静力法
ql 1.5qlq
l/2 0.75ll/2 l 0.75l画出各跨单独破坏时的极限弯矩图。寻找平衡关系求出相应的破坏荷载。
Mu
1.2Mu 1.2Mu
2.4Mu
Mu
2
4ql
2
8ql
2Mu
29
16
ql
第一跨单独破坏时,2
1
1 2
6,40,6
4
u
uu
Mql M M q
l
2
6,4 u
u
Mq
l?
2
2
2 2
1 7,61
8,2
u
uu
Mql M M q
l
2
3
3 2
9 6,7 62 1,8
16
u
uu
q l MM M q
l
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
1.2Mu 1.2Mu
2.4Mu
Mu
2
4ql
2
8ql
2Mu
29
16
ql
第二跨单独破坏时：
第三跨单独破坏时：
破坏荷载为：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
ql 1.5qlq
l/2 0.75ll/2 l 0.75l
解,机动法给出各跨单独破坏时的虚位移图。由虚功方程求出相应的破坏荷载。
第一跨破坏：
1 2
6,41,2 2
2 u u u
lq l q l M M q M
l
ql 1.5qlq
Δ
θ θ
Mu
§ 15-3 超静定梁的极限荷载第二跨破坏：
2 2
1 7,61,2 1,2 2
2 2 2 u u u u
q l q l l M M M q M
l
第三跨破坏：
3 22
7,633 381,2 2,4 2 2 6,7 5 6
2 2 4 9
uu
u u u
MMq l q l l M M M q
ll
θ
ql 1.5qlq
Δ θMu
θql 1.5ql
q
Δ θ2Mu
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP 1.5FP 1.5FP
Mu1 Mu2 Mu3
2m3m 2m 2m3m 8m
q=0.2FP
例：图示连续梁，已知,Mu1=50kN.m,Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m,求 FPu。
解,静力法作出各跨破坏时的弯矩图。
70
50
50 70 9016
4
PuF
21.6 PuF
33 PuF
90
第一跨破坏,
1 16 50 5 0 5 0
42
Pu PuF F k N
第二跨破坏：
2
2 20,2 8 5 0 7 0 7 0 8 1,2 5
82
Pu PuF F k N
第三跨破坏：
3 31,5 6 2 7 0 9 0( ) 9 0 5 5,5 6
3 3 3
Pu PuF F k N
50PuF k N
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP 1.5FP 1.5FP
Mu1 Mu2 Mu3
2m3m 2m 2m3m 8m
q=0.2FP
11
250 50 50
33Pu PuF F k N
§ 15-3 超静定梁的极限荷载解,机动法第一跨破坏：
Δ
θ 2θ
FP 1.5FP 1.5FPq=0.2FP
§ 15-3 超静定梁的极限荷载第二跨破坏：
Δθ 2θ
FP 1.5FP 1.5FPq=0.2FP
FP
1.5FP 1.5FP
q=0.2FP
Δ
θ
1.5θ
第三跨破坏：
33
1,51,5 ( ) 7 0 9 0 9 0 5 5,5 6
2 2 4 2P u P uF F kN
22
820,2 5 0 7 0 7 0 8 1,2 5
2 4 4 4P u P uF F k N
第 15章 结构的塑性分析与极限荷载
§ 15-1 概述
§ 15-2 极限弯矩,塑性铰和极限状态
§ 15-3 超静定梁的极限荷载主要内容
§ 15-1 概 述
1,弹性计算
—— 在计算中假设应力与应变为线性关系,荷载全部卸除后结构没有残余变形 。
对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，
弹性计算能够给出足够准确的结果。
2,弹性设计
—— 利用弹性计算的结果,以许用应力为依据来确定截面的尺寸或进行强度验算,即：
m a x S
Sk
塑性材料
m a x
b
bk
脆性材料
§ 15-1 概 述弹性设计的缺点：
对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当某个截面的最大应力达到屈服极限，甚至某一局部达到塑性阶段时，结构并没有破坏，也就是说，并没有耗尽所有的承载能力。
弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构这一部分的承载能力，因此弹性设计是不够经济合理的。
3、塑性设计
—— 把结构破坏时能承受的极限荷载除以荷载系数,
得到容许荷载,并以此为依据进行设计 。 即：
pu
pp
FFF
k
式中,FP—— 结构实际承受的载荷；
FPu—— 极限载荷；
k —— 荷载系数。
塑性设计特点：
是以理想弹塑性材料的结构体系为研究对象，从整个结构所能承受的荷载来考虑，充分利用了材料的承载能力，更经济合理。
§ 15-1 概 述
4、理想弹塑性材料在结构塑性分析中,为了简化计算通常假设材料为理想弹塑性材料,其应力应变关系如图所示 。
特点：
1）应力达到 σ s以前，材料是理想弹性的，即 ε 与
σ 成正比；
2）应力达到 σ s后，材料转为理想塑性的，即 σ 不变,ε 任意增加；
§ 11-1 概 述
ε
σ
σ s
ε s
弹性阶段 塑性阶段特点：
3）卸载时，应力减小，
材料是弹性的；
4）应力与应变之间不再存在单值对应关系；
5）材料变拉压时的性能相同。
由于以上的原因，结构的弹塑性计算要比弹性计算复杂一些。
§ 15-1 概 述
ε
σ
σ s
ε s
弹性阶段 塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
1,极限弯矩以理想弹塑性材料的矩形截面梁受纯弯曲情况为例,说明梁由弹性阶段到弹塑性阶段以及最后达到塑性阶段的过程及一些基本概念 。
随着 M的增大，梁的变形情况经历了以下几个阶段：
hM
b
1）弹性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
o
y
zh
b σ
σ
σs
σs
（ b）（ a） （ c）
图（ b）表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的标志是最外纤维处的应力达到屈服极限,图（ c）
所示，此时的弯矩：
σs
2
6ss
bhM ---屈服弯矩
2）弹塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态图（ d）表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠外部分形成塑性区，其应力为 。在弹性区，应力按直线分布，
σs
0
s
y
y
σs
o
y
zh
b
σs
（ d）（ a）
yo
yo
3）塑性阶段
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
2
4us
hbM
o
y
zh
b
（ e）（ a）
图（ e）表示截面已达到塑性流动阶段。此时
yo 0，相应的弯矩为：
这是截面所能承受的最大弯矩，称为 极限弯矩。
显然，对于矩形截面极限弯矩是屈服弯矩的 1.5倍。
σs
σs
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
2、塑性铰当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角，这重情况与带铰的截面相似。因此这时的截面可以称为 塑性铰。
由理想弹塑性材料的应力应变关系可知，加载至塑性阶段后再减载，截面则恢复其弹性性质。由此得到一个重要特性：塑性铰只能沿着弯矩增大方向发生转动，如果沿相反方向变形，截面立即恢复其弹性刚度，因此塑性铰是 单向的。
塑性铰与普通铰的区别：
● 普通铰不能承受弯矩,而塑性铰则能承受着极限弯矩 Mμ；
● 普通铰是双向的,而塑性铰则是单向的,即只能沿着弯矩增大方向发生有限相对转动,如果沿相反方向变形,则不再具有铰的性质 。
● 普通铰的位臵是固定的,而塑性铰的位臵是由荷载情况而变化的 。
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
3、极限荷载极限荷载 FPu—— 结构已变为机构,位移可以无限增大,承载力无法再增大时结构所承受的荷载 。
计算方法 —— 根据塑性铰截面的弯矩等于极限弯矩值 Mu的条件,利用平衡方程求得 。
例 1：设有矩形截面梁承受如图所示荷载，试求其极限荷载 FPu。
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
FP
l/2 l/2
（ 2） 由静力平衡条件可知,
要达到极限荷载,Mc应等于 M u，
即：
（ 1）作 M图。
由 M图可知：在荷载作用下，塑性铰将在 C处形成。
4
P
Cu
FlMM 4/P u uF M l
解：方法一,平衡法
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
4
PC FlM?
FP
l/2 l/2
A B
C
机动法采用刚塑性假设画机构虚位移图。
由虚功方程：
20
42
P u u
u
P u u
FM
M
FM
l
解：方法二,机动法
§ 15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
FP
l/2 l/2
A B
C
θ
2
l?
Mu Mu
Δ
FPu
θ
4、极限状态当结构形成足够多的塑性铰，结构变成几何可变体系时，形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结构的极限状态。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载超静定梁由于有多余的约束，必须出现多个塑性铰，
才能变成机构，从而丧失承载能力以致破坏。
FP
l/2 l/2
FP≤Fps
A C B
6
32 PFl
5
32 PFl
1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点下面以一等截面梁为例说明超静定梁由弹性阶段到弹塑性阶段，直至极限状态的过程。
弹性阶段的弯矩如图所示。固端处弯矩最大。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载当荷载超过 FPS后，塑性区首先在 A端形成并扩大，然后在 C截面也形成塑性区。
此时的弯矩随荷载的变化而不断变化，但不再与弹性弯矩图成比例。
当 A端达到 Mu时，第一个塑性铰形成。结构变成简支梁。
FPS <FP<FPu
A C B
MU
FP
l/2 l/2
FP≤Fps
A C B
6
32 PFl
5
32 PFl
MU
§ 15-3 超静定梁的极限荷载当荷载再增加时，
弯矩按简支梁的弯矩图增加，因此 A端的弯矩增量为零。
FP=FPu
A C B
MU
极限荷载的求解同样有 平衡法 和 机动法。
当 C端的弯矩达到 Mu时，第二个塑性铰形成，结构变成机构而破坏，此时的荷载称为极限荷载。
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
MU
MU
求极限荷载方法一,平衡法根据极限状态的弯矩图,求极限荷载。
1
42
Pu
uu
Fl MM
FPu
BCA
6 u
Pu
MF
l?
FPul/4
FPu
Mu MuMu
A C B
MUθ1
θ2?
§ 15-3 超静定梁的极限荷载方法二,机动法机构的虚位移如图所示，设跨中位移为,则?
12
24,
ll
由虚功方程：
12( ) 0
6
P u u u
P u u
F M M
FM
l
1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求 FPu。
2）超静定结构极限荷载的计算，只需考虑平衡条件，而无须考虑变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。
3）超静定结构极限荷载，不受温度改变、支座移动等因素的影响。
超静定结构极限荷载计算的特点：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：
①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范围内剪力为零处。
②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰只可能出现在固定端处。
超静定结构极限荷载计算的特点：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载例：求图示变截面梁的极限荷载。
解,设 AB段的极限弯矩为
Mu’,BC段的极限弯矩为 Mu。
显然塑性铰出现的位臵与上述两个极限弯矩的比值及 B 截面的位臵有关。
（ 1）设塑性铰出现在 B,D
处，对应的破坏机构及弯矩如图所示。
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
3
l?
A
B C
2θΔ
Mu
FP
B M
u
Mu3M
u
A
C
D
A
B C
2θ
63
0
9
P u u u
u
Pu
F M M
ll
M
F
l
Mu
Δ
3
l?
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
FP
B M
u
Mu3M
u
A
C
D
由虚功方程可得极限荷载为：
由弯矩图可得出这个破坏机构的实现条件为：
3uuMM
Δ
A B
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
θ2
θ1
CuM?
FP
B
A
C
Mu
uM?
1 ()
2 uuMM
D
（ 2）设塑性铰出现在 A,D
处，对应的破坏机构及弯矩如图所示。
由弯矩图可得出这个破坏机构的实现条件为：
'1 ()
2B u uM M M
3uuMM
'1 ()
2 u u uM M M?
＜
Δ
A B
l/3 l/3 l/3
FP
A B
D
C
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
θ2
θ1
CuM?
FP
B
A
C
Mu
uM?
1 ()
2 uuMM
D
'
'
39
22
3
( 3 )
2
P u u u
P u u u
F M M
ll
F M M
l
由虚功方程可得极限荷载为：
3uuMM
（ 3）讨论当 时,A,B、
D三个截面都出现塑性铰，其极限荷载为：
9
P u uFMl?
例,求图示单跨超静定梁的极限荷载 FPu。
解：此梁处于极限状态时，有一个塑性铰会出现在 A
端，还有一个塑性铰会出现在 C点处，但具体位臵可用如下方法确定。
图（ b）为一破坏机构，用机动法确定其极限荷载，
由虚功方程：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
l
A B
q
EI=常数
（ a）
A BCΔ
θA
θC
x
（ b）
由虚功方程：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
l
A B
q
EI=常数
（ a）
A BCΔ
θA
θC
x
（ b）
()2 ( )u u A B A BllqM x x l x
22
()
u
u
Mlxq
x l x l
220 4 2 0udq x lx l
dx
故得：
令,1
2
( 2 2 )
( 2 2 )
xl
xl
得：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载弃去 x1，由 x2求德极限荷载为：
22
22 1 1,7
3 2 4
uu
u
MMq
ll
若将 C点的塑性铰设在跨中，则有：
2
2
82
12
u
u
u
u
Mql
M
M
q
l
误差为 3%。因此均布荷载作用下，若杆件两端弯矩在基线同侧且悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。
l
A B
qM
U
MU C
● 梁在每一跨内为等截面，但各跨的截面可以不同。
● 荷载的作用方向彼此相同，并按比例加载。
若荷载同为向下作用，则每跨内的最大负弯矩只可能出现在跨度两端，即负塑性铰只可能出现在支座处，因此等截面的连续梁，只可能在各跨内独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。
首先讨论连续梁破坏机构的可能形式，设：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
2、连续梁的极限荷载
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP2FP1
Mu
Mu
FP2FP1
FP2
FP1
Mu
Mu
可能出现的破坏形式可能出现的破坏形式不可能出现的破坏形式
§ 15-3 超静定梁的极限荷载例：图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为 Mu，
第三跨正极限弯矩为 2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯矩的 1.2倍，求 qu。
解,静力法
ql 1.5qlq
l/2 0.75ll/2 l 0.75l画出各跨单独破坏时的极限弯矩图。寻找平衡关系求出相应的破坏荷载。
Mu
1.2Mu 1.2Mu
2.4Mu
Mu
2
4ql
2
8ql
2Mu
29
16
ql
第一跨单独破坏时,2
1
1 2
6,40,6
4
u
uu
Mql M M q
l
2
6,4 u
u
Mq
l?
2
2
2 2
1 7,61
8,2
u
uu
Mql M M q
l
2
3
3 2
9 6,7 62 1,8
16
u
uu
q l MM M q
l
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
Mu
1.2Mu 1.2Mu
2.4Mu
Mu
2
4ql
2
8ql
2Mu
29
16
ql
第二跨单独破坏时：
第三跨单独破坏时：
破坏荷载为：
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
ql 1.5qlq
l/2 0.75ll/2 l 0.75l
解,机动法给出各跨单独破坏时的虚位移图。由虚功方程求出相应的破坏荷载。
第一跨破坏：
1 2
6,41,2 2
2 u u u
lq l q l M M q M
l
ql 1.5qlq
Δ
θ θ
Mu
§ 15-3 超静定梁的极限荷载第二跨破坏：
2 2
1 7,61,2 1,2 2
2 2 2 u u u u
q l q l l M M M q M
l
第三跨破坏：
3 22
7,633 381,2 2,4 2 2 6,7 5 6
2 2 4 9
uu
u u u
MMq l q l l M M M q
ll
θ
ql 1.5qlq
Δ θMu
θql 1.5ql
q
Δ θ2Mu
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP 1.5FP 1.5FP
Mu1 Mu2 Mu3
2m3m 2m 2m3m 8m
q=0.2FP
例：图示连续梁，已知,Mu1=50kN.m,Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m,求 FPu。
解,静力法作出各跨破坏时的弯矩图。
70
50
50 70 9016
4
PuF
21.6 PuF
33 PuF
90
第一跨破坏,
1 16 50 5 0 5 0
42
Pu PuF F k N
第二跨破坏：
2
2 20,2 8 5 0 7 0 7 0 8 1,2 5
82
Pu PuF F k N
第三跨破坏：
3 31,5 6 2 7 0 9 0( ) 9 0 5 5,5 6
3 3 3
Pu PuF F k N
50PuF k N
§ 15-3 超静定梁的极限荷载
FP 1.5FP 1.5FP
Mu1 Mu2 Mu3
2m3m 2m 2m3m 8m
q=0.2FP
11
250 50 50
33Pu PuF F k N
§ 15-3 超静定梁的极限荷载解,机动法第一跨破坏：
Δ
θ 2θ
FP 1.5FP 1.5FPq=0.2FP
§ 15-3 超静定梁的极限荷载第二跨破坏：
Δθ 2θ
FP 1.5FP 1.5FPq=0.2FP
FP
1.5FP 1.5FP
q=0.2FP
Δ
θ
1.5θ
第三跨破坏：
33
1,51,5 ( ) 7 0 9 0 9 0 5 5,5 6
2 2 4 2P u P uF F kN
22
820,2 5 0 7 0 7 0 8 1,2 5
2 4 4 4P u P uF F k N
