,结构力学教程,（ I）
第 2章结构的几何构造分析主要内容
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
§ 2-3 几何构造分析方法
§ 2-4 瞬变体系
§ 2-5 分析几何构造举例
§ 2-1 几何构造分析的几个概念结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。例如：
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
几何不变体系几何可变体系
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
1）几何不变体系和几何可变体系如果一个结构受到一个任意荷载作用，若不考虑材料的应变，而能保持几何形状和位置不变的，称为几何不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度问题，因此下面复习一下自由度的概念。
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 1）点的自由度点在平面内的自由度为,2
A
y
X
Y
x
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 2）刚片的自由度刚片 —— 就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定为几何不变的部分看作是一个刚片。
刚片在平面内的自由度为,3
X
Y
y
x
A?
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（ 1）链杆链杆可减少一个自由度，相当于一个约束。
还有 2个自由度 还有 5个自由度
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 2）单铰一个单铰可以减少两个自由度，相当于两个约束。（ 3）复铰复铰 —— 连接两个以上刚片的铰。
连接 n个刚片的复铰，
相当于 n-1个单铰。
还有 4个自由度 还有 1个自由度还有 5个自由度
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 4）刚结点一个刚结点能减少三个自由度，相当于三个约束。
还有 3个自由度相当于 2个刚节点用刚节点连接
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式规律 1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且没有多余约束。
刚片 1
链杆点 A 由于两链杆在点 A处的运动方向不一致,因此是不可变的。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律规律 1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会改变体系原来性质的。
二元体两根不在一条直线上的链杆用一个铰连接后，称为二元体。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律利用规律 1，可以组成所需的不变体系：
2）两个刚片之间的联结方式规律 2：两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且无多余约束。
刚片 1
二元体刚片把规律 1中的 1根链杆用刚片代替。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式规律 3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且无多余约束。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本规律：三角形规律。
把规律 2中的另 1根链杆也用刚片代替。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，因此一个单铰可以用两根链杆来代替，有：
规律 4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连，
则组成几何不变体系，并且无多余约束。
虚铰
O
§ 2-3 几何构造分析方法利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（ 1）从基础出发进行组装把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础和其它构件组装成一个不变体系。
例 1：
刚片 1
搭上了 5个二元体例 2：
例 3：
§ 2-3 几何构造分析方法刚片 1
地基作为刚片 2
二元体 二元体刚片 1 刚片 2
地基作为刚片 3
二元体
1
32
1 2 3
没有多余约束的几何不变体系没有多余约束的几何不变体系
（ 2）从上部体系出发进行组装先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变体系，然后运用规律 4把它与基础相连。
例 1：
例 2：
§ 2-3 几何构造分析方法刚片 2刚片 1
刚片 3
1
3
2
1 3
2
没有多余约束的几何不变体系 没有多余约束的几何不变体系
2）分析已组成的体系例 1：
例 2：
结论,没有多余约束的几何不变体系。
结论,内部没有多余约束的几何不变体系。
§ 2-3 几何构造分析方法地基作为刚片 2
上部作为刚片 1
二元体
1
2
例 3：
结论,没有多余约束的几何瞬变体系。
§ 2-3 几何构造分析方法
3
1
地基作为刚片 2
刚片 1
虚铰o
2
§ 2-4 瞬变体系例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结，分析其几何构造。
1
1 L
2
2 L
3
3 L
321
当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。
这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为 瞬变体系 。
3α2α1α
L1 L2 L3
△ △ △
§ 2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况
（ 1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结（如前页图所示）。如果三根链杆互相平行又等长，体系是可变的。
（ 2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结。
O
§ 2-4 瞬变体系三根链杆的延长线交于点‘ O’，两刚片在瞬间就会发生绕‘ O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生以后，三根链杆的延长线不再交于一点，体系就变成了不可变体系。‘ O’称为 虚铰 或 瞬铰 。
如果三根链杆直接交于点‘ O’，
则组成的是可变体系。‘ O’称为：
实铰 。
瞬铰实铰
O
O
§ 2-4 瞬变体系
（ 3）三刚片用三个在一条直线上的铰两两联结。
在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此它们可沿公共切线作微小的运动，但一旦运动以后，三个铰就不再共线，体系变成了不可变体系。
§ 2-4 瞬变体系
（ 4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆平行，体系是 瞬变 的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组成无穷远铰的链杆平行，体系 也是 瞬变 的。若两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行，体系是 不变 的。
平行链杆
§ 2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行组成无穷远铰的两对链杆互相平行，体系是 瞬变 的。
组成无穷远铰的两对链杆互相不平行，体系是 不变 的。组成无穷远铰的两对链杆互相平行又等长，体系是 可变 的。
平行链杆平行链杆
§ 2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行体系是 瞬变 的。
§ 2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用
0X CA RR?
0AM aPhRLR CB
0CM bPhRLR AB
由第二式与第三式得,CA RR? 与第一式矛盾，
因此无解。这是因为瞬变体系在图示状态是可变的，因此不能运用平衡原理 。
例,P
A C
B
a bL L
o
§ 2-4 瞬变体系例：接近瞬变体系结构的受力分析取 C结点,0Y 2
CAN S in P
2CA
PN
Si n
若 α 很小,NCA就很大。
因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
P
α α
A BC
P
NCA NCB
C
§ 2-5 几何构造分析举例例 1：
结论：
铰 O1,O2的连线与杆 1、
杆 2平行，因体系是无多余约束的瞬变体系。
例 2,结论：
杆 1,2与杆 3,4不平行,
因此该体系是无多余约束的不变体系。
1
2
01
3
402
5
6
03
1
2
3
4
5 6
一组平行两组平行
§ 2-5 几何构造分析举例例 3：
结论：
杆 1、杆 2、杆 3不交与一点，因此该体系是无多余约束的不变体系。
例 4:
结论：
杆 1、杆 2、杆 3不交于一点，该体系是无多余约束的几何不变体系。
Ⅱ
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
1
2
3
§ 2-5 几何构造分析举例例 5,结论：
两刚片由 3根不交于一点的链杆连接，因此该体系是无多余约束的几何不变体系。
例 6,结论：
由于三个铰不在一条线上，该体系是无多余约束的几何不变体系。
二元体
Ⅰ
Ⅱ 1 2 3
Ⅰ ⅡO1 O2
Ⅲ
O3
第 2章结构的几何构造分析主要内容
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
§ 2-3 几何构造分析方法
§ 2-4 瞬变体系
§ 2-5 分析几何构造举例
§ 2-1 几何构造分析的几个概念结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。例如：
显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
几何不变体系几何可变体系
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
1）几何不变体系和几何可变体系如果一个结构受到一个任意荷载作用，若不考虑材料的应变，而能保持几何形状和位置不变的，称为几何不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度问题，因此下面复习一下自由度的概念。
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 1）点的自由度点在平面内的自由度为,2
A
y
X
Y
x
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 2）刚片的自由度刚片 —— 就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定为几何不变的部分看作是一个刚片。
刚片在平面内的自由度为,3
X
Y
y
x
A?
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（ 1）链杆链杆可减少一个自由度，相当于一个约束。
还有 2个自由度 还有 5个自由度
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 2）单铰一个单铰可以减少两个自由度，相当于两个约束。（ 3）复铰复铰 —— 连接两个以上刚片的铰。
连接 n个刚片的复铰，
相当于 n-1个单铰。
还有 4个自由度 还有 1个自由度还有 5个自由度
§ 2-1 几何构造分析的几个概念
（ 4）刚结点一个刚结点能减少三个自由度，相当于三个约束。
还有 3个自由度相当于 2个刚节点用刚节点连接
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式规律 1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且没有多余约束。
刚片 1
链杆点 A 由于两链杆在点 A处的运动方向不一致,因此是不可变的。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律规律 1还可以这样叙述：
在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会改变体系原来性质的。
二元体两根不在一条直线上的链杆用一个铰连接后，称为二元体。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律利用规律 1，可以组成所需的不变体系：
2）两个刚片之间的联结方式规律 2：两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且无多余约束。
刚片 1
二元体刚片把规律 1中的 1根链杆用刚片代替。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式规律 3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变体系，并且无多余约束。
以上三条规律实际上可以归纳为一个基本规律：三角形规律。
把规律 2中的另 1根链杆也用刚片代替。
§ 2-2 几何不变体系的组成规律前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，因此一个单铰可以用两根链杆来代替，有：
规律 4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连，
则组成几何不变体系，并且无多余约束。
虚铰
O
§ 2-3 几何构造分析方法利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，也可以对已组成的体系进行几何构造分析。
1）组装几何不变体系
（ 1）从基础出发进行组装把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础和其它构件组装成一个不变体系。
例 1：
刚片 1
搭上了 5个二元体例 2：
例 3：
§ 2-3 几何构造分析方法刚片 1
地基作为刚片 2
二元体 二元体刚片 1 刚片 2
地基作为刚片 3
二元体
1
32
1 2 3
没有多余约束的几何不变体系没有多余约束的几何不变体系
（ 2）从上部体系出发进行组装先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变体系，然后运用规律 4把它与基础相连。
例 1：
例 2：
§ 2-3 几何构造分析方法刚片 2刚片 1
刚片 3
1
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1 3
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没有多余约束的几何不变体系 没有多余约束的几何不变体系
2）分析已组成的体系例 1：
例 2：
结论,没有多余约束的几何不变体系。
结论,内部没有多余约束的几何不变体系。
§ 2-3 几何构造分析方法地基作为刚片 2
上部作为刚片 1
二元体
1
2
例 3：
结论,没有多余约束的几何瞬变体系。
§ 2-3 几何构造分析方法
3
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地基作为刚片 2
刚片 1
虚铰o
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§ 2-4 瞬变体系例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结，分析其几何构造。
1
1 L
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3
3 L
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当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行了，也不交于一点，故体系就变成了不可变系。
这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为 瞬变体系 。
3α2α1α
L1 L2 L3
△ △ △
§ 2-4 瞬变体系
1）瞬变体系的几种情况
（ 1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结（如前页图所示）。如果三根链杆互相平行又等长，体系是可变的。
（ 2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结。
O
§ 2-4 瞬变体系三根链杆的延长线交于点‘ O’，两刚片在瞬间就会发生绕‘ O’点的相对转动，但是在短暂的运动发生以后，三根链杆的延长线不再交于一点，体系就变成了不可变体系。‘ O’称为 虚铰 或 瞬铰 。
如果三根链杆直接交于点‘ O’，
则组成的是可变体系。‘ O’称为：
实铰 。
瞬铰实铰
O
O
§ 2-4 瞬变体系
（ 3）三刚片用三个在一条直线上的铰两两联结。
在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此它们可沿公共切线作微小的运动，但一旦运动以后，三个铰就不再共线，体系变成了不可变体系。
§ 2-4 瞬变体系
（ 4）三刚片用三对链杆联结
① 其中有一对链杆平行两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆平行，体系是 瞬变 的。
若两虚铰变成两实铰，且连线与组成无穷远铰的链杆平行，体系 也是 瞬变 的。若两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行，体系是 不变 的。
平行链杆
§ 2-4 瞬变体系
② 两对链杆平行组成无穷远铰的两对链杆互相平行，体系是 瞬变 的。
组成无穷远铰的两对链杆互相不平行，体系是 不变 的。组成无穷远铰的两对链杆互相平行又等长，体系是 可变 的。
平行链杆平行链杆
§ 2-4 瞬变体系
③ 三对链杆都平行体系是 瞬变 的。
§ 2-4 瞬变体系
2）瞬变体系不可作为结构使用
0X CA RR?
0AM aPhRLR CB
0CM bPhRLR AB
由第二式与第三式得,CA RR? 与第一式矛盾，
因此无解。这是因为瞬变体系在图示状态是可变的，因此不能运用平衡原理 。
例,P
A C
B
a bL L
o
§ 2-4 瞬变体系例：接近瞬变体系结构的受力分析取 C结点,0Y 2
CAN S in P
2CA
PN
Si n
若 α 很小,NCA就很大。
因此瞬变体系是不能作为结构使用的。
P
α α
A BC
P
NCA NCB
C
§ 2-5 几何构造分析举例例 1：
结论：
铰 O1,O2的连线与杆 1、
杆 2平行，因体系是无多余约束的瞬变体系。
例 2,结论：
杆 1,2与杆 3,4不平行,
因此该体系是无多余约束的不变体系。
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一组平行两组平行
§ 2-5 几何构造分析举例例 3：
结论：
杆 1、杆 2、杆 3不交与一点，因此该体系是无多余约束的不变体系。
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结论：
杆 1、杆 2、杆 3不交于一点，该体系是无多余约束的几何不变体系。
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两刚片由 3根不交于一点的链杆连接，因此该体系是无多余约束的几何不变体系。
例 6,结论：
由于三个铰不在一条线上，该体系是无多余约束的几何不变体系。
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