,结构力学教程,（ I）
第九章 渐近法和近似法
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
§ 9-2 单结点的力矩分配法
§ 9-3 多结点的力矩分配法
§ 9-4 无剪力分配法
§ 9-5 近似法主要内容
§ 9-7 连续梁的内力包络图
§ 9-6 超静定力的影响线
§ 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法,主要用于连续梁和无结点线位移 （ 侧移 ） 刚架的计算 。 其特点是不需要建立和解算联立方程组,而在其计算简图上进行计算或列表进行计算,就能直接求得各杆杆端弯矩 。
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
1、力矩分配法的基本思路用位移法求解该结构。
未知量：
1?
杆端弯矩：
1 4 1 1 2 1 1 3 134M i M i M i
建立方程：
1 0M 1 2 1 3 1 4M M M M 1( 3 4 )i i i M
…… ①
M
M 12 M 14
M 13
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
每个单元的转动刚度围绕,1”结点每个单元的转动刚度之和分母是围绕,1”结点每个单元的转动刚度之和分子是每个单元的转动刚度解方程，得：
1 3 4 8
MM
i i i i
回代，得：
14
33
88
iM M M
i
12
1
88
iM M M
i 13
44
88
iM M M
i
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
杆件两端的弯矩之间有一定的关系回代，得：
3 1 1 1 3
2 1 1 1 2
41
21
2
82
8
0
i
M i M M
i
i
M i M M
i
M
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
2、名词介绍
1） 转动刚度 S
—— 表示杆端抵抗转动的能力 。 它在数值上等于使杆端产生单位转角时,在杆端所施加的力矩 。
A B
1A
4 i 2 i
两端固定梁：
4ABSi? ——两端固定梁的转动刚度一端固定一端铰结梁,
A B
1A
3 i
3ABSi? ——一端固定一端铰结梁的转动刚度
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
ABSi?
——一端固定一端滑动梁的转动刚度一端固定一端滑动梁,
A B
1A
i - i
2）传递系数 C
——远端弯矩与近端弯矩的比值。
4i——近端弯矩其中：
2i——远端弯矩A B
1A
4 i 2 i
两端固定梁：
传递系数,21
42AB
iC
i
远 端 弯 矩近 端 弯 矩
§ 9-1 力矩分配法的基本概念一端固定一端铰结梁,
A B
1A
3 i
传递系数,0
03ABC i远 端 弯 矩近 端 弯 矩一端固定一端滑动梁,
A B
1A
i - i
传递系数,1
AB
iC
i
远 端 弯 矩近 端 弯 矩
3i——近端弯矩其中：
0 ——远端弯矩
i——近端弯矩其中：
-i——远端弯矩
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
3）分配系数
——结点处，某杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件转动刚度之和的比值。
计算公式：
ij
ij
ij
i
S
S
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
现再来做前面的例题。
12
13
14
1
3 4 8
44
3 4 8
33
3 4 8
i
i i i
i
i i i
i
i i i
● 求各杆的分配系数显然
1ij
i
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
● 求近端弯矩
M=分配系数 × 结点力矩
● 求远端弯矩
M=传递系数 × 近端弯矩从计算比原来简单了，但书写的篇幅不比原来的少，因此有必要对其写形式进行改造。
12
13
14
1
8
4
8
3
8
MM
MM
MM
21
31
41
1
8
2
8
0
MM
MM
M
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
A B C
EI EI
L L
M
4
7
3
7
4
7
M
3
7
M
2
7
M 0分配系数杆端弯矩以上计算是在这样的前提下实现的：
▲ 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。
▲ 荷载是结点力矩。
关于多结点的问题、节间荷载的问题需要继续讨论。
力矩分配法的书写形式：
§ 9-2 单结点的力矩分配法在前面的基础上，主要解决节间荷载的问题。
F P q
A
原结构
=
F P q
A
A状态
- M
B状态
+
在 A点加了一刚臂，阻止它的转动，相当于加了一个结点力矩。
在结点上加一个反向的力矩。
A状态的内力 ——固端弯矩查表计算
B状态的内力 ——分配弯矩用力矩分配法计算
§ 9-2 单结点的力矩分配法
A B C
EI EI
L / 2 L
F P q
L / 2
例 1：用力矩分配法计算图示连续梁。
分配系数分配弯矩固端弯矩最后弯矩 5 / 7
2
11 / 7
2
3/74/7
11/7
2/7 3/7
-5/7 -11/7
-1 -21
0
0
0
4/7
FP=2kN
q=1kN/m
L=4m
§ 9-2 单结点的力矩分配法
A B C
EI EI
L / 2 L
F P q
L / 2
M
例 2：用力矩分配法计算图示连续梁。
分配系数分配弯矩固端弯矩最后弯矩
11 / 7
2
20 / 7
2
1 / 7
4/7
1
3/7
-8/7
-1
-4/7 -6/7
-1/7-11/7 -20/7
-2
0
0
0
FP=2kN
q=1kN/m
M=1kN·m
L=4m
1,原理与方法多结点力矩分配法的思路是,首先把所有结点锁住,
然后依次逐个放松结点,使结构处于,单结点,状态,
再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩,如此反复进行,使结点不平衡力矩逐渐减小,直至可以忽略,
因此,它是一种渐近法 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
2、计算步骤
（ 1） 计算各结点的分配系数；
（ 2） 将所有中间结点固定,计算各杆固端弯矩；
（ 3） 将各结点轮流放松,分配与传递各结点的不平衡力矩,直到传递弯矩小到可忽略为止；
（ 4） 把每一杆端历次的分配弯矩,传递弯矩和原有的固端弯矩相加,即为各杆端的最后弯矩 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
§ 9-3 多结点力矩分配法
F P
F P
1 2
F P
1 2
下面做一个薄钢片的试验：
F P
1 2
原结构在荷载作用下，
发生如图所示的变形。
把两个铰支座固定，使其变成 3个独立的单跨梁。
把 1号支座放松，相当于释放了支座处的不平衡力矩。
把 1号支座所住，放松 2
号支座。如此反复进行，
结构的变形越来越接近原结构。
§ 9-3 多结点力矩分配法
F P
1 2F
P
21
- M B
1 2
把刚才的实验过程体现在解题上：
- M C
21
原结构把结点固定起来，求固端弯矩。
用单结点的力矩分配法，对 1结点的不平衡力矩进行分配。
锁住 1结点，用单结点的力矩分配法，对 2结点的不平衡力矩进行分配。
=
+
+
+…
§ 9-3 多结点力矩分配法
i i i
4 m4 m4 m
2 kN例 1：用力矩分配法计算图示连续梁。
0.50.5 0.50.5
0.250.5 0.50.25
1-1
-0.31 -0.31-0.625-0.625
0.080.1550.08 0.155
0.6550.33 -0.655 -0.655 -0.655 -0.31
-0.04-0.04
分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩
§ 9-3 多结点力矩分配法
i i i
4 m 4 m2 m 2 m 2 m
6 kN / m 2 kN2 kN / m
例 2：用力矩分配法计算图示连续梁。
0.430.570.50.5
4.0-2.00.00.00.00.0 -4.0
0.861.140.57
0.700.940.47
-3.29-1.65 -3.28 -1.64
-0.12 -0.23 -0.24 -0.12
0.07 0.05
-1.77 0.39-3.52-2.48 -0.39 -4.04.0
分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩
§ 9-3 多结点力矩分配法例 3：用力矩分配法计算图示对称刚架。
L
L
q
q
原结构
q
取半刚架
q
A
B
C
取 1/4刚架
2
24
qL
2
24
qL
2
12
qL
2
12
qL
2
24
qL
2
24
qL
BAC 结点
CA AC AB BA 杆端
0.50.5
-qL2/120.0 0.0 -qL2/24
-qL2/24 qL2/24 qL2/24 -qL2/24
-qL2/24 qL2/24 -qL2/24 -qL2/12
固端系数分配弯矩小结：
1） 结点受集中力偶 M作用时,,不反号,分配,要注意与不平衡力矩相区别 。
2） 支座沉降而非载荷因素问题时,将其视为,广义载荷,求固端弯矩 （ 可根据转角位移方程或单跨超静定梁的杆端内力表求得 ） 。
3） 对于对称结构,取半结构计算 。
4） 对于多结点问题,为了使计算收敛速度加快,通常宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算 （ 放松 ） 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
§ 9-4 无剪力分配法
1,概述
1） 两类刚架的区别在位移法中,刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架两类,它们的区别在位移法的基本未知量 。
无侧移刚架 —— 基本未知量只含结点角位移；
2） 两类解法的用途力矩分配法 —— 求解无侧移刚架的逝近法；
有侧移刚架 —— 基本未知量既含结点角位移,也含结点线位移 。
无剪力分配法 —— 求解符合某些特定条件的有侧移刚架的渐近法 。
2、无剪力分配法的应用条件
1） 两种杆件的概念无侧移杆件 —— 杆件两端没有相对线位移 （ 即没有垂直杆轴的相对位移 ） 的杆件；
剪力静定杆件 ——
杆件两端虽有侧移,
但剪力是静定的,
即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件 。
FP
FP
FP
A
D
C
B
（ a） A
D
C
B
FP
2FP
3FP
（ b）
§ 9-4 无剪力分配法
2）应用条件
—— 此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件 （ 无侧移杆 ） 外,其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架 。
可以解只有一根竖柱的刚架,且横梁端部的链杆应与柱平行的问题 。 但也可以推广到单跨多层对称刚架等问题 。
§ 9-4 无剪力分配法
A
B B’
C C’
A’
（ a） 原结构
2FP
2FP
（ b） 正对称
FP
FP
FP
FP
= +
可取半刚架计算 。
（ d） 半刚架
FP
FP
§ 9-4 无剪力分配法分解为正、
反对称问题弯矩等于零，
不必计算
FP
FP
FP
FP
（ c）反对称有侧移的柱剪力是静定的,可用无剪力分配法计算 。
取例：
对图示有侧移刚架,则不能直接应用无剪力分配法 。
因竖柱 AB,CD既不是两端无线位移杆件,也不是剪力静定杆件,不符合无剪力分配法的应用条件 。
A
B D
C
EFP
§ 9-4 无剪力分配法
B
C
E
i
i
A
i
i
D4 kN
4 kN
例 1：用力矩分配法计算图示刚架。
0.253AB iii
0,23BC iiii
其中,CBA BEBAABAD BC CB
0.75 0.25 0.2 0.20.6
-8.0 -8.0 -16.0 -16.0
4.8 4.816.0-4.8 -4.8
3.29.6 3.2 …2
162g PBC FLF k N
图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的，
因此可以采用无剪力分配法计算，即把 AB
BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
§ 9-4 无剪力分配法
§ 9-5 近似法
● 分层法 ——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩
● 反弯点法 ——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩
● D值法 ——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点：
1）结点的位移主要是转角，侧移很小；
2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，
对其它层杆件的影响很小。
1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移；
2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。
为了简化计算，由此作如下假设：
1、分层法
§ 9-5 近似法
A B C
D
E
F
G
H
I
J K L
q
根据以上假设，计算可作如下简化：
1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩分配法计算。
2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此计算简图只需取相关部分即可。
例：
A B C
G H I
D E F
q
取
§ 9-5 近似法
17 18
q
19 20
q
q
q
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
例：
q
5 6 7 8
1 2 3 4
+
+
10 11 12
18 19 20
14 15 16
q
9
17
13
+
5 6 7 8
1 2 3 4
9 10 11 12
q
+
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
q
取
§ 9-5 近似法
2）计算分配系数时，一层以上柱子的线刚度要乘折减系数 0.9，分配系数取 1/3。 一层柱子的线刚度不需折减，分配系数任取 1/2。
1）按上述 4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算
3）对 4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱其内力应是两部分之和。
4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要在结点出再进行一次分配，但不需再传递。
计算时要注意以下问题：
§ 9-5 近似法
5
5
10
1
5
1
3
12
6
6
3
1
0,4
0
.6
10
3
- 1,2
11,8
- 10
- 1,8
11,8
5
11
13
1
10
以,1”结点为例：
计算简图 1，力矩分配法的计算结果。
两者叠加后,1”
结点的结果。
计算简图 2，力矩分配法的计算结果。
“1”结点的一次分配结果。
§ 9-5 近似法
2、反弯点法刚架在竖向荷载作用下弯矩计算的近似方法。
刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：
F P
F P
F
P
F P
1）弯矩图全是直线组成；
2）柱子的剪力沿杆长是常数；
3）柱子的弯矩图全有反弯点；
4）结点位移主要是侧移，转角很小。
§ 9-5 近似法为了简化计算，作如下假设：
1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零；
2）柱子反弯点的高度在柱高的 1/2处，底层柱在柱高的
2/3处。
解释一下，第 2个假设。
反弯点在中间
△
两端固定单元 一端固定一端铰结
△
反弯点在柱顶一层以上柱，由于假设转角为零，因此全是两端固定单元，因此反弯点在柱中。
一层柱由于底部是真正的固定端，而 部 上刚结点与固定端有一定的误差，因此反弯点上移取 2/3柱高。
§ 9-5 近似法
F P
F
P
F
P
F P
1 2 3 4
1
2
3
4
n n
对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的话，其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可利用结点平衡求出。
1）求柱的剪力例如求第三层柱的剪力取 n—n截面：
F P
F P
F Q 34F Q 33F Q 31 F Q 32
4
3
13
02 Q i P p
i
X F F F
§ 9-5 近似法
3
3
33
3
i
Q i P
i
i
FF
i
F P
F P
F Q 34F Q 33F Q 31 F Q 32
1）求柱的剪力例如求第三层柱的剪力取 n—n截面：
4
3
13
02 Q i P p
i
X F F F
… … ①
其中任意根柱的剪力,把②代入①式，得：
3
3
332
12 i
Qi
iF
h
… … ②
把△ 3代入②式，得：
其中,3”表示第 3层。
3
3
32
33
12
P
i
F
i
h
§ 9-5 近似法
ri
Q ri P
rri
r
iFF
i
由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式：
ri
ri
r
i
i?
其中,第 r层第 i根柱子的侧移分配系数。分子为第 r层第 i根柱子的线刚度，分母为第
r层所有柱子线刚度之和。
P
r
F?
第 r层以上所有外荷载之和。
§ 9-5 近似法
M L 2M L 1
M Z
2）梁的弯矩在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。
Li
L i Z
Li
I
iMM
i
其中：
Lii
为 I结点处第 i根梁的线刚度。
为 I结点处所有梁的线刚度之和。
Li
I
i?
§ 9-5 近似法例：用反弯点法计算图示刚架的弯矩，
所有杆件的 i均相同。
10
10
10
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
3
.0
3
.0
3
.0
14 25 36
47 58 69
71 0 81 1 91 2
10
3
20
3
1 0 3
3
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
F F F
F F F
F F F
4 7 7 4 5 8 8 5 6 9
96
7 1 0 8 1 0 1 0 7 1 0 8
9 1 2 1 2 9
2 0 3
10
32
3 0 3
15
32
M M M M M
M
M M M M
MM
1 4 4 1 2 5 5 2
3 6 6 3
1 0 3
5
32
M M M M
MM
解,1）求柱的剪力
2）求柱的弯矩
§ 9-5 近似法1
5
5
5
2
12
21 23
32
45
54 56 65
87 89 78
98
5
5
2.5
2
5
15
15
7.5 7.5 15
2
25
12,5 25
2
25
M
MM
M
M
M M M
M M M
M
3）求梁的弯矩 5
15
10
4
5
10
5
§ 9-5 近似法
5
5
2,5
2,5
5
5
5
10
15
10
5
5
7,5
7,5
10
5
15
10
25
15
10
12,5
15
12,5
1515
15
15
25
10
M图
§ 9-5 近似法
3,D值法 ——修正反弯点法针对前面介绍的反弯点法主要作两方面的修正：
1）柱子剪力的计算反弯点的假设是：所有结点的转角为零。
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
现在的假设是,▲ 所有结点的转角相同为 ；
▲ 柱子的线刚度相同均为 iC ；
▲ 一层以上柱的旋转角为 ；
▲ 一层柱的旋转角为 。
§ 9-5 近似法由以上的假设可得到柱的侧移刚度为：
一层以上：
2
12'
2
ciik
ih
其中,1 2 3 42 ci i i ii i
中柱
24
2 c
iii
i
边柱已知：
2
12 ci k
h?
两端固定单元的侧移刚度修正后的侧移刚度,2 iDki 修正系数
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
§ 9-5 近似法底层柱,
2
120,5 0,5
22
CiiiDk
i h i
其中,
第 r层任意根柱子的计算公式为：
ri
Q r i P
rri
r
DFF
D
中柱56
c
iii
i
6
c
ii
i
边柱
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
§ 9-5 近似法反弯点的高度与下面的一些因素有关,
建筑的总层数、柱子所在层、上下梁的线刚度比、
上下层的层高变化等。
考虑上述因数后，反弯点的高度可表示成,
0 1 2 3()y h y y y y h
（ 1） 标准反弯点高度比 ——
0y
用总层数,m
所在层,n
梁柱线刚度比：
i
查表
2）反弯点的高度
§ 9-5 近似法
（ 2）上下梁的线刚度变化时的修正系数 —— 1y
用 及 查表i
1?
12
1
34
ii
ii
i 1 i 2
i C
i 3 i 4上部梁线刚度与下部梁线刚度之比
1 1
即：
1 2 3 4i i i i
若,查得的 y1取正值
1 1
即：
1 2 3 4i i i i
若,查得的 y1取负值
（ 3）上下层高变化时的修正系数 ——23yy
用 及 查表i
2?
2y
——修正上层柱高不同的情况
§ 9-5 近似法
2
h
h
上
221 y
取正值
——修正下层柱高不同的情况
3y
用 及 查表i
3?
221 y
取负值
3
h
h
下
331 y
取负值
331 y
取正值说明上柱长，下柱短反弯点上移。
反弯点应往刚度弱的方向移动。
§ 9-5 近似法
1）求柱的剪力
D值法的计算步骤：
● 求每根柱的 i
● 求每根柱的 D 一层柱一层以上柱 1 2 3 4
2 c
i i i i
i
24
2 c
ii
i
56
c
ii
i
6
c
i
i
中柱 边柱
2
120.5
2
Cii
ih
2
12
2
cii
ih
一层以上柱 riQriPDFF
一层柱 riQriPDFF
● 求每根柱的剪力,ri
Q r i P
rri
r
D
FF
D
§ 9-5 近似法
D值法的计算步骤：
2）求柱的反弯点高度
● 由
0m n i y
查表
● 由
11iy?
查表
● 由
22iy?
查表
● 由
33i a y
查表
3）求柱的弯矩
4）求梁的弯矩
0 1 2 3()y h y y y y h
● 由 计算反弯点的高度
5）画弯矩图
§ 9-6 超静定力的影响线首先复习一下静定结构影响线的制作。图示一简支梁，
要作 k点的弯矩影响线，其步骤是：
1）让单位力在 k点的左侧移动，写出 k点弯矩的影响线方程,
Mk=xb/L
2）让单位力在 k点的右侧移动，写出 k点弯矩的影响线方程,
Mk=xa/L
3）由影响线方程，用描点法画出影响线。
k
a b
L
FP=1x
k
a b
L
FP=1x
k
ab/L
§ 9-6 超静定力的影响线对于超静定结构的影响线从理论上讲，可以完全按静定
x
结构的方法及步骤进行。例如图示一超静定梁作 k点的弯矩影响线，
其步骤是：
1）让单位力在 k点的左侧移动，
写出 k点弯矩的影响线方程；
2）让单位力在 k点的右侧移动，
写出 k点弯矩的影响线方程；
3）由影响线方程，用描点法画出影响线。
k
a b
L
FP=1
k
a b
L
FP=1x
但是上述写影响线方程的过程，均需用力法求解超静定，因此工作量特别大。
§ 9-6 超静定力的影响线下面介绍用力法来制作超静定结构影响线，为此先要建立一个概念,力法的基本体系可以取超静定的。
图示一两次超静定梁，可以去掉一个约束，取图示的基本体系，它是一次超静定的，力法方程为：
4m4m
2m F
P=10
EI EI
原结构
2m F
P=10
EI EIX
1
基本体系
1 1 1 1 0PX
但是求系数和自由项时，
要在基本体系上画弯矩图，
因此需要解两遍“一次超静定结构”。
以图示超静定连续梁 MK的影响线为例，说明用力法求作超静定影响线的方法。
1） 取基本体系 （ 超静定,几何不变体系 ）
——去掉与 MK相应的约束,代之以 (暴露出来的 )约束反力 XK
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk
2） 力法方程
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk=1
0k k k k PX
由于荷载是单位力,
因此：
又由位移互等定理：
力法方程可写成：
kP kP
Pk
k
kk
X?
kP Pk
——在 Xk=1作用下,k点处的相对转角，是常数。
kk?
Pk?
——在 Xk=1作用下,P点处的竖向位移，由于单位力可以在梁上任意移动，因此它是整个梁的绕度，是变量。
kk?Pk?
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk=1
kk?Pk?
()() Pk
k
kk
xXx?
力法方程可写成：
下面分两部分介绍：
1）绘制超静定结构影响线的大致图形；
2）绘制超静定结构影响线的精确图形。
Pk?kX由上式可见,与成正比,Xk(x)即为影响线方程。因此 作用下，基本体系产生的绕曲线即为 影响线
1kX?
kX
的轮廓线。
E
FP=1
A DCB
§ 9-6 超静定力的影响线
1）绘制超静定结构影响线的大致图形
FYC影响线
FQF影响线
FP=1
A B C
F D
E
FYC=1
FQF=1
FP=1
A B C
D
E
E
FP=1
A
DCB
§ 9-6 超静定力的影响线
1）绘制超静定结构影响线的大致图形
MD影响线
F左 QC影响线
F左 QC=1
MD=1
§ 9-6 超静定力的影响线利用影响线的大致图形可以进行均布移动荷载的最不利布臵。
EA DCB F
YC=1
A B C
F D
E
FQF=1
FYC影响线
FQF影响线
FYCMAX布臵
FQFMIN布臵
FQFMAX布臵
FYCMIN布臵
§ 9-6 超静定力的影响线
MD=1
A
DCB E
MD影响线
A B C
D
E
F左 QC=1
F左 QC影响线
MDMAX布臵
MDMIN布臵
F左 QCMAX布臵
F左 QCMIN布臵移动 均布荷载的 最不利荷载分布
（ 2） 跨中截面最大正弯矩对应的荷载分布本跨布满活载,然后隔跨布满活载 。
跨中截面最大负弯矩对应的荷载分布本跨不布臵活载,然后隔跨布满活载 。
§ 9-6 超静定力的影响线
（ 1）支座最大反力对应的荷载分布支座左右两邻跨布满活载，然后隔跨布满活载。
支座最大反力对应的荷载分布支座左右两邻跨不布臵活载，然后隔跨布满活载。
（ 3）支座剪力的布臵方法同支座反力
2)、绘制超静定结构影响线的精确图形
（ 1）撤去所求量值的相应约束，代之以多余力 XK,得到一个
n-1次超静定的基本体系；
（ 2）建立力法方程，由于只有一个多余力，力法方程为：
即为影响线方程；
§ 9-6 超静定力的影响线步骤如下,
Pk
k
kk
X
（ 3）求系数和自由项 （超静定结构的位移），为此要画出 （ n-1次超静定结构的弯矩图），然后由图乘法求出系数和自由项；
Pk kk
1 PMM
（ 4）由影响线方程画出影响线图形。
2)、绘制超静定结构影响线的精确图形
§ 9-6 超静定力的影响线下面以一例题来具体说明制作方法和步骤。
L L
EIEIA B C
FP=1
（ 1）去掉 B点的抗弯联系，得到基本体系如图所示。
L L
EIEIA B C
FP=1
B
原结构
MB=1
基本体系
（ 2）建立力法方程：
Pk
k
kk
X
求 MB的影响线。
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求
MB=1
1
1/2
MB图
1
1
M1图
FP=1x FP=1x
MP图x-x
2/L x-x2/L
作出 MB 图,M1图、
MP图在图乘之前，先介绍一下图乘公式。
§ 9-6 超静定力的影响线
MA MBL
EIA B
L
EIA B
1
L
EIA B
1
一根梁的两端受有 MA、
MB时，在 A点产生的转角为（图 1与图 2相乘）,图 1
图 3
图 2
( 2 )6A A BL MMEI
在 B点产生的转角为
（图 1与图 3相乘）：
( 2 )6B B AL MMEI
图乘公式：
x-x2/L
§ 9-6 超静定力的影响线
MA MBL
EIA B
L
A B
一根梁的两端受有 MA、
MB时，在任意点 x产生的竖向位移为（图 1与图 4相乘）：
图 1
图 4
()( ) ( 2 ) ( )6 ABx L xy x M L x M L xE I L
图乘公式：
x FP=1
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求 MB=1
1
1/2
MB图
1
1
M1图
kk?
( 2 )6A A BL MMEI
( 2 )6B B AL MMEI
利用图乘公式求 。
kk?
17( 2 1 0 ) ( 2 1 )
6 6 2 1 2kk
L L L
E I E I E I
正负号的确定：弯矩与图 1至图 4相同时取正号，反之取负号。
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求 1/2
FP=1x FP=1x
MP图x-x
2/L x-x2/L
利用图乘公式求 。
Pk?
()
()
6
( 2 ) ( )AB
x L x
yx
E I L
M L x M L x
'' ()( ) ( 2 )
6P k B C
x L xy x L x
EI L?
' ( ) 1( ) ( 2 ) ( )
62P k A B
x L xy x L x L x
E I L?
MB=1
1
MB图
A
B
C
§ 9-6 超静定力的影响线
（ 4）影响线方程
Pk
k
kk
X
'
2
2 ( ) 1 ( 2 ) ( )
72k
x x LX L x L x
L
''
2
2 ( ) ( 2 )
7k
x x LX L x
L
由影响线方程既可画出影响线。
内力包络图 —— 表示连续梁在恒载与移动活载共同作用下，各截面最大和最小内力值的图形，称为内力包络图。
§ 9-7 连续梁的内力包络图下面介绍弯矩包络图的作法：
（ 1）作出恒载作用下的弯矩图；
（ 2）作出各跨分别承受活载时的弯矩图；
（ 3）将梁的各跨分为若干等分，将每个等分点截面上的恒载弯矩值与所有活载正弯矩相加，或所有活载负弯矩相加，即得各截面的最大（小）弯矩值；
m a x
m i n
k
k
M M M
M M M
活 恒活 恒
（ 4） 将各截面的最大弯矩值和最小弯矩值在同一图中,按同一比例用竖标表示 。 并分别以曲线相连,
即得弯矩包络图 。
§ 9-7 连续梁的内力包络图
4m 4m4m
16kN/m
30kN/m
以图示结构为例，说明弯矩包络图的制作方法。
移动活载恒载
1 2 3
§ 9-7 连续梁的内力包络图
4m 4m4m
16kN/m
恒载弯矩图
25.625.6
M1=17.6
M2=19.2
M3=4.8
4m 4m4m
30kN/m 31.36
8.01 2 3
活载 1弯矩图
M1=36.5
M2=44.0
M3=21.0
§ 9-7 连续梁的内力包络图
30kN/m
活载 2弯矩图
24.0224.02
M1=-6.00
M2=-12.01
M3=-18.01
4m 4m4m
30kN/m31.96
1 2 3
活载 3弯矩图
M1=2.00
M2=4.00
M3=6.00
4m 4m4m
1 2 3
8.0
§ 9-7 连续梁的内力包络图弯矩包络图
81.6081.60
4m 4m4m
1 2
3
M1MIN=17.6-6.0=11.60 M1MAX=17.6+36.5+2.0=56.1
M2MIN=19.2-12.01=7.19 M2MAX=19.2+44.0+4.0=67.2
M3MIN=4.8-18.01=-13.19 M3MAX=4.8+21.0+6.0=31.8
17.6 17.6
MBMIN=-25.6-31.96-24.02=-81.6
MBMAX=-25.6+8.0=-17.6
第九章 渐近法和近似法
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
§ 9-2 单结点的力矩分配法
§ 9-3 多结点的力矩分配法
§ 9-4 无剪力分配法
§ 9-5 近似法主要内容
§ 9-7 连续梁的内力包络图
§ 9-6 超静定力的影响线
§ 9-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法,主要用于连续梁和无结点线位移 （ 侧移 ） 刚架的计算 。 其特点是不需要建立和解算联立方程组,而在其计算简图上进行计算或列表进行计算,就能直接求得各杆杆端弯矩 。
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
1、力矩分配法的基本思路用位移法求解该结构。
未知量：
1?
杆端弯矩：
1 4 1 1 2 1 1 3 134M i M i M i
建立方程：
1 0M 1 2 1 3 1 4M M M M 1( 3 4 )i i i M
…… ①
M
M 12 M 14
M 13
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
每个单元的转动刚度围绕,1”结点每个单元的转动刚度之和分母是围绕,1”结点每个单元的转动刚度之和分子是每个单元的转动刚度解方程，得：
1 3 4 8
MM
i i i i
回代，得：
14
33
88
iM M M
i
12
1
88
iM M M
i 13
44
88
iM M M
i
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
杆件两端的弯矩之间有一定的关系回代，得：
3 1 1 1 3
2 1 1 1 2
41
21
2
82
8
0
i
M i M M
i
i
M i M M
i
M
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
2、名词介绍
1） 转动刚度 S
—— 表示杆端抵抗转动的能力 。 它在数值上等于使杆端产生单位转角时,在杆端所施加的力矩 。
A B
1A
4 i 2 i
两端固定梁：
4ABSi? ——两端固定梁的转动刚度一端固定一端铰结梁,
A B
1A
3 i
3ABSi? ——一端固定一端铰结梁的转动刚度
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
ABSi?
——一端固定一端滑动梁的转动刚度一端固定一端滑动梁,
A B
1A
i - i
2）传递系数 C
——远端弯矩与近端弯矩的比值。
4i——近端弯矩其中：
2i——远端弯矩A B
1A
4 i 2 i
两端固定梁：
传递系数,21
42AB
iC
i
远 端 弯 矩近 端 弯 矩
§ 9-1 力矩分配法的基本概念一端固定一端铰结梁,
A B
1A
3 i
传递系数,0
03ABC i远 端 弯 矩近 端 弯 矩一端固定一端滑动梁,
A B
1A
i - i
传递系数,1
AB
iC
i
远 端 弯 矩近 端 弯 矩
3i——近端弯矩其中：
0 ——远端弯矩
i——近端弯矩其中：
-i——远端弯矩
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
3）分配系数
——结点处，某杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件转动刚度之和的比值。
计算公式：
ij
ij
ij
i
S
S
1
M
2
3
4
EIEI
EI
L L
L
现再来做前面的例题。
12
13
14
1
3 4 8
44
3 4 8
33
3 4 8
i
i i i
i
i i i
i
i i i
● 求各杆的分配系数显然
1ij
i
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
● 求近端弯矩
M=分配系数 × 结点力矩
● 求远端弯矩
M=传递系数 × 近端弯矩从计算比原来简单了，但书写的篇幅不比原来的少，因此有必要对其写形式进行改造。
12
13
14
1
8
4
8
3
8
MM
MM
MM
21
31
41
1
8
2
8
0
MM
MM
M
§ 9-1 力矩分配法的基本概念
A B C
EI EI
L L
M
4
7
3
7
4
7
M
3
7
M
2
7
M 0分配系数杆端弯矩以上计算是在这样的前提下实现的：
▲ 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。
▲ 荷载是结点力矩。
关于多结点的问题、节间荷载的问题需要继续讨论。
力矩分配法的书写形式：
§ 9-2 单结点的力矩分配法在前面的基础上，主要解决节间荷载的问题。
F P q
A
原结构
=
F P q
A
A状态
- M
B状态
+
在 A点加了一刚臂，阻止它的转动，相当于加了一个结点力矩。
在结点上加一个反向的力矩。
A状态的内力 ——固端弯矩查表计算
B状态的内力 ——分配弯矩用力矩分配法计算
§ 9-2 单结点的力矩分配法
A B C
EI EI
L / 2 L
F P q
L / 2
例 1：用力矩分配法计算图示连续梁。
分配系数分配弯矩固端弯矩最后弯矩 5 / 7
2
11 / 7
2
3/74/7
11/7
2/7 3/7
-5/7 -11/7
-1 -21
0
0
0
4/7
FP=2kN
q=1kN/m
L=4m
§ 9-2 单结点的力矩分配法
A B C
EI EI
L / 2 L
F P q
L / 2
M
例 2：用力矩分配法计算图示连续梁。
分配系数分配弯矩固端弯矩最后弯矩
11 / 7
2
20 / 7
2
1 / 7
4/7
1
3/7
-8/7
-1
-4/7 -6/7
-1/7-11/7 -20/7
-2
0
0
0
FP=2kN
q=1kN/m
M=1kN·m
L=4m
1,原理与方法多结点力矩分配法的思路是,首先把所有结点锁住,
然后依次逐个放松结点,使结构处于,单结点,状态,
再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩,如此反复进行,使结点不平衡力矩逐渐减小,直至可以忽略,
因此,它是一种渐近法 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
2、计算步骤
（ 1） 计算各结点的分配系数；
（ 2） 将所有中间结点固定,计算各杆固端弯矩；
（ 3） 将各结点轮流放松,分配与传递各结点的不平衡力矩,直到传递弯矩小到可忽略为止；
（ 4） 把每一杆端历次的分配弯矩,传递弯矩和原有的固端弯矩相加,即为各杆端的最后弯矩 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
§ 9-3 多结点力矩分配法
F P
F P
1 2
F P
1 2
下面做一个薄钢片的试验：
F P
1 2
原结构在荷载作用下，
发生如图所示的变形。
把两个铰支座固定，使其变成 3个独立的单跨梁。
把 1号支座放松，相当于释放了支座处的不平衡力矩。
把 1号支座所住，放松 2
号支座。如此反复进行，
结构的变形越来越接近原结构。
§ 9-3 多结点力矩分配法
F P
1 2F
P
21
- M B
1 2
把刚才的实验过程体现在解题上：
- M C
21
原结构把结点固定起来，求固端弯矩。
用单结点的力矩分配法，对 1结点的不平衡力矩进行分配。
锁住 1结点，用单结点的力矩分配法，对 2结点的不平衡力矩进行分配。
=
+
+
+…
§ 9-3 多结点力矩分配法
i i i
4 m4 m4 m
2 kN例 1：用力矩分配法计算图示连续梁。
0.50.5 0.50.5
0.250.5 0.50.25
1-1
-0.31 -0.31-0.625-0.625
0.080.1550.08 0.155
0.6550.33 -0.655 -0.655 -0.655 -0.31
-0.04-0.04
分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩
§ 9-3 多结点力矩分配法
i i i
4 m 4 m2 m 2 m 2 m
6 kN / m 2 kN2 kN / m
例 2：用力矩分配法计算图示连续梁。
0.430.570.50.5
4.0-2.00.00.00.00.0 -4.0
0.861.140.57
0.700.940.47
-3.29-1.65 -3.28 -1.64
-0.12 -0.23 -0.24 -0.12
0.07 0.05
-1.77 0.39-3.52-2.48 -0.39 -4.04.0
分配系数固端弯矩分配与传递最终弯矩
§ 9-3 多结点力矩分配法例 3：用力矩分配法计算图示对称刚架。
L
L
q
q
原结构
q
取半刚架
q
A
B
C
取 1/4刚架
2
24
qL
2
24
qL
2
12
qL
2
12
qL
2
24
qL
2
24
qL
BAC 结点
CA AC AB BA 杆端
0.50.5
-qL2/120.0 0.0 -qL2/24
-qL2/24 qL2/24 qL2/24 -qL2/24
-qL2/24 qL2/24 -qL2/24 -qL2/12
固端系数分配弯矩小结：
1） 结点受集中力偶 M作用时,,不反号,分配,要注意与不平衡力矩相区别 。
2） 支座沉降而非载荷因素问题时,将其视为,广义载荷,求固端弯矩 （ 可根据转角位移方程或单跨超静定梁的杆端内力表求得 ） 。
3） 对于对称结构,取半结构计算 。
4） 对于多结点问题,为了使计算收敛速度加快,通常宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算 （ 放松 ） 。
§ 9-3 多结点力矩分配法
§ 9-4 无剪力分配法
1,概述
1） 两类刚架的区别在位移法中,刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架两类,它们的区别在位移法的基本未知量 。
无侧移刚架 —— 基本未知量只含结点角位移；
2） 两类解法的用途力矩分配法 —— 求解无侧移刚架的逝近法；
有侧移刚架 —— 基本未知量既含结点角位移,也含结点线位移 。
无剪力分配法 —— 求解符合某些特定条件的有侧移刚架的渐近法 。
2、无剪力分配法的应用条件
1） 两种杆件的概念无侧移杆件 —— 杆件两端没有相对线位移 （ 即没有垂直杆轴的相对位移 ） 的杆件；
剪力静定杆件 ——
杆件两端虽有侧移,
但剪力是静定的,
即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件 。
FP
FP
FP
A
D
C
B
（ a） A
D
C
B
FP
2FP
3FP
（ b）
§ 9-4 无剪力分配法
2）应用条件
—— 此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件 （ 无侧移杆 ） 外,其余杆件都是剪力静定杆件的有侧移刚架 。
可以解只有一根竖柱的刚架,且横梁端部的链杆应与柱平行的问题 。 但也可以推广到单跨多层对称刚架等问题 。
§ 9-4 无剪力分配法
A
B B’
C C’
A’
（ a） 原结构
2FP
2FP
（ b） 正对称
FP
FP
FP
FP
= +
可取半刚架计算 。
（ d） 半刚架
FP
FP
§ 9-4 无剪力分配法分解为正、
反对称问题弯矩等于零，
不必计算
FP
FP
FP
FP
（ c）反对称有侧移的柱剪力是静定的,可用无剪力分配法计算 。
取例：
对图示有侧移刚架,则不能直接应用无剪力分配法 。
因竖柱 AB,CD既不是两端无线位移杆件,也不是剪力静定杆件,不符合无剪力分配法的应用条件 。
A
B D
C
EFP
§ 9-4 无剪力分配法
B
C
E
i
i
A
i
i
D4 kN
4 kN
例 1：用力矩分配法计算图示刚架。
0.253AB iii
0,23BC iiii
其中,CBA BEBAABAD BC CB
0.75 0.25 0.2 0.20.6
-8.0 -8.0 -16.0 -16.0
4.8 4.816.0-4.8 -4.8
3.29.6 3.2 …2
162g PBC FLF k N
图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的，
因此可以采用无剪力分配法计算，即把 AB
BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
§ 9-4 无剪力分配法
§ 9-5 近似法
● 分层法 ——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩
● 反弯点法 ——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩
● D值法 ——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点：
1）结点的位移主要是转角，侧移很小；
2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，
对其它层杆件的影响很小。
1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移；
2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。
为了简化计算，由此作如下假设：
1、分层法
§ 9-5 近似法
A B C
D
E
F
G
H
I
J K L
q
根据以上假设，计算可作如下简化：
1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩分配法计算。
2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因此计算简图只需取相关部分即可。
例：
A B C
G H I
D E F
q
取
§ 9-5 近似法
17 18
q
19 20
q
q
q
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
例：
q
5 6 7 8
1 2 3 4
+
+
10 11 12
18 19 20
14 15 16
q
9
17
13
+
5 6 7 8
1 2 3 4
9 10 11 12
q
+
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
q
取
§ 9-5 近似法
2）计算分配系数时，一层以上柱子的线刚度要乘折减系数 0.9，分配系数取 1/3。 一层柱子的线刚度不需折减，分配系数任取 1/2。
1）按上述 4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算
3）对 4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱其内力应是两部分之和。
4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要在结点出再进行一次分配，但不需再传递。
计算时要注意以下问题：
§ 9-5 近似法
5
5
10
1
5
1
3
12
6
6
3
1
0,4
0
.6
10
3
- 1,2
11,8
- 10
- 1,8
11,8
5
11
13
1
10
以,1”结点为例：
计算简图 1，力矩分配法的计算结果。
两者叠加后,1”
结点的结果。
计算简图 2，力矩分配法的计算结果。
“1”结点的一次分配结果。
§ 9-5 近似法
2、反弯点法刚架在竖向荷载作用下弯矩计算的近似方法。
刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：
F P
F P
F
P
F P
1）弯矩图全是直线组成；
2）柱子的剪力沿杆长是常数；
3）柱子的弯矩图全有反弯点；
4）结点位移主要是侧移，转角很小。
§ 9-5 近似法为了简化计算，作如下假设：
1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零；
2）柱子反弯点的高度在柱高的 1/2处，底层柱在柱高的
2/3处。
解释一下，第 2个假设。
反弯点在中间
△
两端固定单元 一端固定一端铰结
△
反弯点在柱顶一层以上柱，由于假设转角为零，因此全是两端固定单元，因此反弯点在柱中。
一层柱由于底部是真正的固定端，而 部 上刚结点与固定端有一定的误差，因此反弯点上移取 2/3柱高。
§ 9-5 近似法
F P
F
P
F
P
F P
1 2 3 4
1
2
3
4
n n
对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的话，其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可利用结点平衡求出。
1）求柱的剪力例如求第三层柱的剪力取 n—n截面：
F P
F P
F Q 34F Q 33F Q 31 F Q 32
4
3
13
02 Q i P p
i
X F F F
§ 9-5 近似法
3
3
33
3
i
Q i P
i
i
FF
i
F P
F P
F Q 34F Q 33F Q 31 F Q 32
1）求柱的剪力例如求第三层柱的剪力取 n—n截面：
4
3
13
02 Q i P p
i
X F F F
… … ①
其中任意根柱的剪力,把②代入①式，得：
3
3
332
12 i
Qi
iF
h
… … ②
把△ 3代入②式，得：
其中,3”表示第 3层。
3
3
32
33
12
P
i
F
i
h
§ 9-5 近似法
ri
Q ri P
rri
r
iFF
i
由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式：
ri
ri
r
i
i?
其中,第 r层第 i根柱子的侧移分配系数。分子为第 r层第 i根柱子的线刚度，分母为第
r层所有柱子线刚度之和。
P
r
F?
第 r层以上所有外荷载之和。
§ 9-5 近似法
M L 2M L 1
M Z
2）梁的弯矩在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。
Li
L i Z
Li
I
iMM
i
其中：
Lii
为 I结点处第 i根梁的线刚度。
为 I结点处所有梁的线刚度之和。
Li
I
i?
§ 9-5 近似法例：用反弯点法计算图示刚架的弯矩，
所有杆件的 i均相同。
10
10
10
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
3
.0
3
.0
3
.0
14 25 36
47 58 69
71 0 81 1 91 2
10
3
20
3
1 0 3
3
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
F F F
F F F
F F F
4 7 7 4 5 8 8 5 6 9
96
7 1 0 8 1 0 1 0 7 1 0 8
9 1 2 1 2 9
2 0 3
10
32
3 0 3
15
32
M M M M M
M
M M M M
MM
1 4 4 1 2 5 5 2
3 6 6 3
1 0 3
5
32
M M M M
MM
解,1）求柱的剪力
2）求柱的弯矩
§ 9-5 近似法1
5
5
5
2
12
21 23
32
45
54 56 65
87 89 78
98
5
5
2.5
2
5
15
15
7.5 7.5 15
2
25
12,5 25
2
25
M
MM
M
M
M M M
M M M
M
3）求梁的弯矩 5
15
10
4
5
10
5
§ 9-5 近似法
5
5
2,5
2,5
5
5
5
10
15
10
5
5
7,5
7,5
10
5
15
10
25
15
10
12,5
15
12,5
1515
15
15
25
10
M图
§ 9-5 近似法
3,D值法 ——修正反弯点法针对前面介绍的反弯点法主要作两方面的修正：
1）柱子剪力的计算反弯点的假设是：所有结点的转角为零。
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
现在的假设是,▲ 所有结点的转角相同为 ；
▲ 柱子的线刚度相同均为 iC ；
▲ 一层以上柱的旋转角为 ；
▲ 一层柱的旋转角为 。
§ 9-5 近似法由以上的假设可得到柱的侧移刚度为：
一层以上：
2
12'
2
ciik
ih
其中,1 2 3 42 ci i i ii i
中柱
24
2 c
iii
i
边柱已知：
2
12 ci k
h?
两端固定单元的侧移刚度修正后的侧移刚度,2 iDki 修正系数
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
§ 9-5 近似法底层柱,
2
120,5 0,5
22
CiiiDk
i h i
其中,
第 r层任意根柱子的计算公式为：
ri
Q r i P
rri
r
DFF
D
中柱56
c
iii
i
6
c
ii
i
边柱
i 1 i 2
i C
i 3 i 4
i 5 i 6
i C
§ 9-5 近似法反弯点的高度与下面的一些因素有关,
建筑的总层数、柱子所在层、上下梁的线刚度比、
上下层的层高变化等。
考虑上述因数后，反弯点的高度可表示成,
0 1 2 3()y h y y y y h
（ 1） 标准反弯点高度比 ——
0y
用总层数,m
所在层,n
梁柱线刚度比：
i
查表
2）反弯点的高度
§ 9-5 近似法
（ 2）上下梁的线刚度变化时的修正系数 —— 1y
用 及 查表i
1?
12
1
34
ii
ii
i 1 i 2
i C
i 3 i 4上部梁线刚度与下部梁线刚度之比
1 1
即：
1 2 3 4i i i i
若,查得的 y1取正值
1 1
即：
1 2 3 4i i i i
若,查得的 y1取负值
（ 3）上下层高变化时的修正系数 ——23yy
用 及 查表i
2?
2y
——修正上层柱高不同的情况
§ 9-5 近似法
2
h
h
上
221 y
取正值
——修正下层柱高不同的情况
3y
用 及 查表i
3?
221 y
取负值
3
h
h
下
331 y
取负值
331 y
取正值说明上柱长，下柱短反弯点上移。
反弯点应往刚度弱的方向移动。
§ 9-5 近似法
1）求柱的剪力
D值法的计算步骤：
● 求每根柱的 i
● 求每根柱的 D 一层柱一层以上柱 1 2 3 4
2 c
i i i i
i
24
2 c
ii
i
56
c
ii
i
6
c
i
i
中柱 边柱
2
120.5
2
Cii
ih
2
12
2
cii
ih
一层以上柱 riQriPDFF
一层柱 riQriPDFF
● 求每根柱的剪力,ri
Q r i P
rri
r
D
FF
D
§ 9-5 近似法
D值法的计算步骤：
2）求柱的反弯点高度
● 由
0m n i y
查表
● 由
11iy?
查表
● 由
22iy?
查表
● 由
33i a y
查表
3）求柱的弯矩
4）求梁的弯矩
0 1 2 3()y h y y y y h
● 由 计算反弯点的高度
5）画弯矩图
§ 9-6 超静定力的影响线首先复习一下静定结构影响线的制作。图示一简支梁，
要作 k点的弯矩影响线，其步骤是：
1）让单位力在 k点的左侧移动，写出 k点弯矩的影响线方程,
Mk=xb/L
2）让单位力在 k点的右侧移动，写出 k点弯矩的影响线方程,
Mk=xa/L
3）由影响线方程，用描点法画出影响线。
k
a b
L
FP=1x
k
a b
L
FP=1x
k
ab/L
§ 9-6 超静定力的影响线对于超静定结构的影响线从理论上讲，可以完全按静定
x
结构的方法及步骤进行。例如图示一超静定梁作 k点的弯矩影响线，
其步骤是：
1）让单位力在 k点的左侧移动，
写出 k点弯矩的影响线方程；
2）让单位力在 k点的右侧移动，
写出 k点弯矩的影响线方程；
3）由影响线方程，用描点法画出影响线。
k
a b
L
FP=1
k
a b
L
FP=1x
但是上述写影响线方程的过程，均需用力法求解超静定，因此工作量特别大。
§ 9-6 超静定力的影响线下面介绍用力法来制作超静定结构影响线，为此先要建立一个概念,力法的基本体系可以取超静定的。
图示一两次超静定梁，可以去掉一个约束，取图示的基本体系，它是一次超静定的，力法方程为：
4m4m
2m F
P=10
EI EI
原结构
2m F
P=10
EI EIX
1
基本体系
1 1 1 1 0PX
但是求系数和自由项时，
要在基本体系上画弯矩图，
因此需要解两遍“一次超静定结构”。
以图示超静定连续梁 MK的影响线为例，说明用力法求作超静定影响线的方法。
1） 取基本体系 （ 超静定,几何不变体系 ）
——去掉与 MK相应的约束,代之以 (暴露出来的 )约束反力 XK
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk
2） 力法方程
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk=1
0k k k k PX
由于荷载是单位力,
因此：
又由位移互等定理：
力法方程可写成：
kP kP
Pk
k
kk
X?
kP Pk
——在 Xk=1作用下,k点处的相对转角，是常数。
kk?
Pk?
——在 Xk=1作用下,P点处的竖向位移，由于单位力可以在梁上任意移动，因此它是整个梁的绕度，是变量。
kk?Pk?
§ 9-6 超静定力的影响线
FP=1
k
原结构
FP=1
基本体系
Mk=Xk=1
kk?Pk?
()() Pk
k
kk
xXx?
力法方程可写成：
下面分两部分介绍：
1）绘制超静定结构影响线的大致图形；
2）绘制超静定结构影响线的精确图形。
Pk?kX由上式可见,与成正比,Xk(x)即为影响线方程。因此 作用下，基本体系产生的绕曲线即为 影响线
1kX?
kX
的轮廓线。
E
FP=1
A DCB
§ 9-6 超静定力的影响线
1）绘制超静定结构影响线的大致图形
FYC影响线
FQF影响线
FP=1
A B C
F D
E
FYC=1
FQF=1
FP=1
A B C
D
E
E
FP=1
A
DCB
§ 9-6 超静定力的影响线
1）绘制超静定结构影响线的大致图形
MD影响线
F左 QC影响线
F左 QC=1
MD=1
§ 9-6 超静定力的影响线利用影响线的大致图形可以进行均布移动荷载的最不利布臵。
EA DCB F
YC=1
A B C
F D
E
FQF=1
FYC影响线
FQF影响线
FYCMAX布臵
FQFMIN布臵
FQFMAX布臵
FYCMIN布臵
§ 9-6 超静定力的影响线
MD=1
A
DCB E
MD影响线
A B C
D
E
F左 QC=1
F左 QC影响线
MDMAX布臵
MDMIN布臵
F左 QCMAX布臵
F左 QCMIN布臵移动 均布荷载的 最不利荷载分布
（ 2） 跨中截面最大正弯矩对应的荷载分布本跨布满活载,然后隔跨布满活载 。
跨中截面最大负弯矩对应的荷载分布本跨不布臵活载,然后隔跨布满活载 。
§ 9-6 超静定力的影响线
（ 1）支座最大反力对应的荷载分布支座左右两邻跨布满活载，然后隔跨布满活载。
支座最大反力对应的荷载分布支座左右两邻跨不布臵活载，然后隔跨布满活载。
（ 3）支座剪力的布臵方法同支座反力
2)、绘制超静定结构影响线的精确图形
（ 1）撤去所求量值的相应约束，代之以多余力 XK,得到一个
n-1次超静定的基本体系；
（ 2）建立力法方程，由于只有一个多余力，力法方程为：
即为影响线方程；
§ 9-6 超静定力的影响线步骤如下,
Pk
k
kk
X
（ 3）求系数和自由项 （超静定结构的位移），为此要画出 （ n-1次超静定结构的弯矩图），然后由图乘法求出系数和自由项；
Pk kk
1 PMM
（ 4）由影响线方程画出影响线图形。
2)、绘制超静定结构影响线的精确图形
§ 9-6 超静定力的影响线下面以一例题来具体说明制作方法和步骤。
L L
EIEIA B C
FP=1
（ 1）去掉 B点的抗弯联系，得到基本体系如图所示。
L L
EIEIA B C
FP=1
B
原结构
MB=1
基本体系
（ 2）建立力法方程：
Pk
k
kk
X
求 MB的影响线。
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求
MB=1
1
1/2
MB图
1
1
M1图
FP=1x FP=1x
MP图x-x
2/L x-x2/L
作出 MB 图,M1图、
MP图在图乘之前，先介绍一下图乘公式。
§ 9-6 超静定力的影响线
MA MBL
EIA B
L
EIA B
1
L
EIA B
1
一根梁的两端受有 MA、
MB时，在 A点产生的转角为（图 1与图 2相乘）,图 1
图 3
图 2
( 2 )6A A BL MMEI
在 B点产生的转角为
（图 1与图 3相乘）：
( 2 )6B B AL MMEI
图乘公式：
x-x2/L
§ 9-6 超静定力的影响线
MA MBL
EIA B
L
A B
一根梁的两端受有 MA、
MB时，在任意点 x产生的竖向位移为（图 1与图 4相乘）：
图 1
图 4
()( ) ( 2 ) ( )6 ABx L xy x M L x M L xE I L
图乘公式：
x FP=1
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求 MB=1
1
1/2
MB图
1
1
M1图
kk?
( 2 )6A A BL MMEI
( 2 )6B B AL MMEI
利用图乘公式求 。
kk?
17( 2 1 0 ) ( 2 1 )
6 6 2 1 2kk
L L L
E I E I E I
正负号的确定：弯矩与图 1至图 4相同时取正号，反之取负号。
§ 9-6 超静定力的影响线
kk Pk
（ 3）求 1/2
FP=1x FP=1x
MP图x-x
2/L x-x2/L
利用图乘公式求 。
Pk?
()
()
6
( 2 ) ( )AB
x L x
yx
E I L
M L x M L x
'' ()( ) ( 2 )
6P k B C
x L xy x L x
EI L?
' ( ) 1( ) ( 2 ) ( )
62P k A B
x L xy x L x L x
E I L?
MB=1
1
MB图
A
B
C
§ 9-6 超静定力的影响线
（ 4）影响线方程
Pk
k
kk
X
'
2
2 ( ) 1 ( 2 ) ( )
72k
x x LX L x L x
L
''
2
2 ( ) ( 2 )
7k
x x LX L x
L
由影响线方程既可画出影响线。
内力包络图 —— 表示连续梁在恒载与移动活载共同作用下，各截面最大和最小内力值的图形，称为内力包络图。
§ 9-7 连续梁的内力包络图下面介绍弯矩包络图的作法：
（ 1）作出恒载作用下的弯矩图；
（ 2）作出各跨分别承受活载时的弯矩图；
（ 3）将梁的各跨分为若干等分，将每个等分点截面上的恒载弯矩值与所有活载正弯矩相加，或所有活载负弯矩相加，即得各截面的最大（小）弯矩值；
m a x
m i n
k
k
M M M
M M M
活 恒活 恒
（ 4） 将各截面的最大弯矩值和最小弯矩值在同一图中,按同一比例用竖标表示 。 并分别以曲线相连,
即得弯矩包络图 。
§ 9-7 连续梁的内力包络图
4m 4m4m
16kN/m
30kN/m
以图示结构为例，说明弯矩包络图的制作方法。
移动活载恒载
1 2 3
§ 9-7 连续梁的内力包络图
4m 4m4m
16kN/m
恒载弯矩图
25.625.6
M1=17.6
M2=19.2
M3=4.8
4m 4m4m
30kN/m 31.36
8.01 2 3
活载 1弯矩图
M1=36.5
M2=44.0
M3=21.0
§ 9-7 连续梁的内力包络图
30kN/m
活载 2弯矩图
24.0224.02
M1=-6.00
M2=-12.01
M3=-18.01
4m 4m4m
30kN/m31.96
1 2 3
活载 3弯矩图
M1=2.00
M2=4.00
M3=6.00
4m 4m4m
1 2 3
8.0
§ 9-7 连续梁的内力包络图弯矩包络图
81.6081.60
4m 4m4m
1 2
3
M1MIN=17.6-6.0=11.60 M1MAX=17.6+36.5+2.0=56.1
M2MIN=19.2-12.01=7.19 M2MAX=19.2+44.0+4.0=67.2
M3MIN=4.8-18.01=-13.19 M3MAX=4.8+21.0+6.0=31.8
17.6 17.6
MBMIN=-25.6-31.96-24.02=-81.6
MBMAX=-25.6+8.0=-17.6
