第 6章静定结构位移计算主要内容
§ 6-3 力的虚设方法
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
§ 6-1 概述
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
§ 6-5 温度作用时的计算
§ 6-7 图乘法
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
§ 6-1 概述
1）计算所采用的理论 —— 虚功原理复习一下以下概念：
▲ 虚功 —— 力在由其它原因产生的位移上所做的功。
其中,1 1 2PTF —— 虚功
▲ 虚功原理 刚体虚功原理变形体虚功原理
Fp1 F
p21 2
△ 11 △ 22A B△ 12
§ 6-1 概述刚体虚功原理：
所有外力所做的虚功等于零，即,0W?外虚功原理 虚力原理虚位移原理虚力原理 —— 位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。
虚位移原理 —— 力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。
变形体虚功原理：
所有外力做的虚功 =所有内力做的虚功，即,WW?外 内
§ 6-1 概述很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。
显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。
支座移动产生的位移 —— 刚体位移制造误差产生的位移 —— 刚体位移荷载作用产生的位移 —— 变形体位 移温度改变产生的位移 —— 变形体位移
2）静定结构位移的类型
§ 6-2 支座移动产生的位移计算支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。
例：图示简支梁 B支座往下位移了?,求由此产生的 A
点转角 。A?
真实的位移状态虚设的力状态运用刚体的虚功原理，
虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：
110
A L
A L?
得：
L
M=1
Δ
A B
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
Rc
其中,R — 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力
c — 真实的支座位移例：图示三铰刚架 A支座往下位移了 b,B支座往右位移了 a，求 C点的竖向位移,
和 C点的相对转角 。 CV
C
（ 1）求 C点的竖向位移 CV?
真实的位移状态 ab L/2 L/2
L
A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
1
2YAF?
1
4XBF?
在 C点作用一个竖向单位力，求出 和 。
YAF XBF
虚设的力状态
11()
2 4 2 4CV
baba
（ 2）求 C点的相对转角
C
在 C点作用一对力矩，求出 和 。
YAF XBF
Fp=1
A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算虚设的力状态
1
XBF L
1()
C
aa
LL
真实的位移状态
0YAF?
A B
C
L
aL/2 L/2
b A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
M=1
§ 6-3 力的虚设方法力的大小 — 一般虚设单位力 。
力的位臵 — 作用在所求位移的点及方向上。
力的方向 — 随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方向一致。若是负的，
说明与假设的方向相反 。
力的性质 — 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖向位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角要加一对单位力矩。
Fp=1
求 C点竖向位移 求 B点水平位移
Fp=1
求 C点转角位移
M=1
Fp=1
求 A,B两点相对竖向位移
Fp=1 F
p=1Fp=1
§ 6-3 力的虚设方法
C B C
A
B
求 A,B两点相对水平位移
A B
M=1
求 C点相对转角位移 求 CD杆相对转角位移
Fp=1/L
Fp=1/L
§ 6-3 力的虚设方法
C C
D
§ 6-4 制造误差产生的位移计算制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。
例：图示桁架 AC杆比要求的短了 2cm,求由此产生的 C
点水平位移 。
解：在 C点作用一水平单位力，方向朝左，求出 AC杆的内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有,
真实的位移状态虚设的力状态
-2cm b
aA B
C
2
Fp=1C
BA
1 2 2 0CH利用虚功方程 有：
得,22
CH cm
例：图示悬臂梁 C点由于制造误差有一转角,求由此引起的 B点竖向位移 。
BV?
解：虚设一力状态：在 B点加一竖向单位力，求出 C点的弯矩，并把 C点的抗弯连系去掉，用弯矩表示。
CM
α
b a
BCA
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
Mc=a Fp=1
BCA
利用虚功方程有,10B V CM
得,B V CM
由制造误差引起的位移计算公式如下：
NQF M F
其中：
NF QFM
— 虚设单位力作用下产生的轴力、
剪力和弯矩。
正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负 。
— 制造产生的轴向变形、弯曲变形和剪切变形。
§ 6-4 制造误差产生的位移计算例：图示桁架 DC杆短了 2cm,FE杆短长了 3cm,求 C点的竖向位移。
解：在 C点作用一竖向单位力，求出 DC杆,FE杆的轴力：
1
4NDCF?
5
16N FEF?
运用位移计算公式有,1 5 723
4 1 6 1 6C
Fp=1
+3-2
4m
3 4=12m×
A BE
D F
C A BE
D F
C
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
§ 6-5 温度作用时的计算温度作用产生的位移采用变形体的虚力原理计算 。
计算公式推导：
图示简支梁上下温度不一样,求由此起的 A
点转角 。
12tt?
A?
取出一微段，研究一下温度所引起的变形。
微段发生的转角为：
12t d s t d s td sd
hh
dθ
t2
t1
αt1 ds
αt2ds
A B
L
ds
+t2
+t1
h1
h
h2
+t0 αt
0ds
微段发生的轴向变形为：
0d t d s
0t
— 杆件轴线处的温度变化值其中：
12t t t
— 杆件上下边缘的温度差值温度变化不会产生剪切变形。
真实的位移状态运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功：
虚设的力状态
t2
t1
L
A B
§ 6-5 温度作用时的计算
L
M=1
A B
0NN
tF d M d F t d s M d s
h
有：
若是结构，则公式为：
0NN
tF d M d F t d s M d s
h
若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：
00 NMN
ttF t d s M d s t
hh
其中：
N?
— 由虚设单位力产生的轴力图面积
§ 6-5 温度作用时的计算
M?
— 由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。
例：图示三铰刚架，室内温度比原来升高了 300，室外温度没有变化，求 C点的竖向位移,杆件的截面为矩形，高度 h为常数，
材料的膨胀系数为 。
CV?
§ 6-5 温度作用时的计算
10m
5m 5m
A B
C
+30000
2m
NF
解：（ 1）在 C点作用一竖向单位力画出 和 图。M
（ 2）运用公式求 CV? 00 0
0
3 0 0 15
2t
0 0 03 0 0 3 0t
1 5 0,5 1 0 2 0,3 8 5,3 8 2
3 0 1 0 9 6 0
0,2 0 8 2 2,0 8 5,3 8 2 1 1,2
2
CV
hh
0.208
0.50.5
0.208
Fp=1
2.08 2.08
2.08 2.08
Fp=1
0.5
0.38
FN图
A B
C
A B
C
§ 6-5 温度作用时的计算
M1图荷载作用下的位移计算采用的是变形体的虚力原理。
结构位移计算的一般公式推导：
图示悬臂梁微段 发生了ds
轴向变形 剪切变形 弯曲d? d?
变形,求 B点的竖向位移。d?
把微段的变形浓缩至 D点：
1）积分法
dθ
dλ
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
A B
C D
ds
D
C
dη dθ
dλ
dη D
C
虚设一力状态,
B点的竖向位移为,NQ
BVd F d F d M d
若整根梁上都由变形，则 B点的竖向变形为：
C V C V NQd F d F d M d
0NQF d s F d s M d s
由材料力学可知,
PM
EI 0
QPFk
GA
NPF
EA对结构则有：
L L LQ NQP NPP
o o o
k F F FFMM d s d s d s
E I G A E A
①
A B
FP=1
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
NPF
其中,
PM QPF
— 荷载作用下结构产生的弯矩剪力、轴力
NFM QF
— 单位力作用下结构产生的弯矩剪力、轴力做题步骤,
（ 1）写出结构在荷载作用下每根杆子的弯矩、剪力、
轴力的方程；
（ 2）写出结构在虚设单位力作用下每根杆子的弯矩、
剪力、轴力的方程；
（ 3）代入公式①计算。
例：求图示简支梁中点 C的竖向位移 。CV?
解：（ 1）取虚力状态如图：
（ 2）写出 弯矩、剪力的方程：
0 2Lx
当 时
1
2Mx?
1
2QF?
2
22P
qqM L x x 1
2QPF q L q L
（ 3）计算 CV?
2
22
00
11 1,2
2 2 2 2 222LL
CV
q q q Lx L x x q L
d x d x
E I G A
Fp =1
C
/
C
A B
L/2 L/2
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
q kN m
425
3 8 4 8
q L q L
E I G A
2
22
00
11 1,2
2 2 2 2 222LL
CV
q q q Lx L x x q L
d x d x
E I G A
（ 4）比较弯曲变形与剪切变形的影响弯曲变形,45
384M
qL
EI
剪切变形,2
8Q
qL
GA
两者的比值,2
211,52 2.5 6
Q
M
E I h
G A L L
若高跨比为,1
10
h
L? 2,5 6 %
Q
M
则：
§ 6-6 荷载作用下的位移计算结论,
在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。
例：计算图示刚架 C点的水平位移 CH? 和 C点的转角
C
，各杆的 EI为常数。
解：（ 1）求 CH?
写出杆件的 方程M
PM
BC杆,0M?
21
2PM q x BA杆,Mx? 21
2PM q L
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
L
A
CB
L
EI
EI
q
A
CB
FP=1
2
4
0
1
2
4
L
CH
qL x qL
dx
E I E I
（ 2）求
C
写出杆件的 方程M
PM
BC杆,1M
21
2PM q x
BA杆,1M
21
2PM q L
22 3
00
11 11
222
3
LL
C
q x q L qL
dx
E I E I E I?
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
A
CB M=1
各种静定结构位移的计算公式如下,
（ 1）梁、刚架 —— 只考虑弯曲变形
L P
o
MM ds
EI
（ 2）桁架 —— 只有轴向变形
NNPFF L
EA
（ 3）组合结构 —— 受弯构件只考虑弯曲变形
L NNPP
o
FFMM d s L
E I E A
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
（ 4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,
拉杆只有轴向变形 。
1
LL NNNP NPP
oo
F F F FMM ds ds L
EI EA EA
曲杆的积分计算可用数值计算代替,
1
NNNP NPP F F F FMM S S L
EI EA EA
、
、
、
、
、
PM M NPF NF
EI EA S?其中,都取 段上中点的值。
§ 6-6 荷载作用下的位移计算例：求图示半径为 R的圆弧形曲梁 B点的竖向位移,
BV?
已知 EI为常数。
解：取虚力状态如下所示：
为求
PM M
取 kB隔离体如下：
PM P R S in
1M R S in
2
0BV
P R S in R S in R d
EI
3
4
PR
EI
p
B
O
θ
k
F
QkN
k
Mk
dθ
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
θ
ds
O
R
A
B
Fp
k
O
R
A
B
F =1p
§ 6-7 图乘法受弯构件的位移计算公式,
L P
o
MM ds
EI
若 EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为,
1 L
Po M M d sEI
PM M
若 和 中有一个是直线图,
如图所示,
M tg x 代入上式有,
1 L
Po M tg x d xEI
tg? 是常数,可提到积分号的外面 x0
yo
C
形心
x
y
0
dω
dx
A B
M 图
A
MP图
B
x
M
§ 6-7 图乘法
x0
yo
C
形心
dω
dx
x
y
0
A B
M 图
A
MP图
B
x
M
PM 0x
是 图对 Y轴的面积矩,可写成,
0
L
PM x d x
PM其中,--是 图的面积
0x PM--是图的形心到 Y轴的距离有,
0
1 tg x
EI
令,00tg x y
0
1 y
EI
得：
0y PM--是图形心位置所对应
M 图中的竖标的图乘法应用的前提：
▲ 杆件的 EI是常数；
▲ 杆件是直杆；
PM M 的图形至少有一个是直线图形。
▲
两个直线图形的图乘公式：
( 2 2 )6 L a c b d a d b cEI
上述公式的适用所有直线图形的情况。
w2
w1
§ 6-7 图乘法
ba
c dy2y1
A BL
上述图乘公式的适用所有直线图形的情况,例：
× ×｛｛
× ×｛ ｛
§ 6-7 图乘法
×｛
2
3
hl
l/2 l/2
h
2
hl
a b
h
l+b/3l+a/3
顶点
h
l/43l/4
3l/8 5l/8
2 3?
hl?
1
2
3?
hl?
h
顶点
2l/5 3l/5
l/54l/5
2 4
hl
1
3
4?
hl?
§ 6-7 图乘法
2?
hl?h
2l/3 l/3
l
几种图形的面积及形心复杂图形的处理：
+=× × ×
+= ×× ×
§ 6-7 图乘法例：求 A点的转角和 C点的竖向位移。
解,（ 1）求 A点的转角
3 0 0 6 1 1 3 0 0
23A?
（ 2）求 C点的竖向位移
3 0 0 6 2
62
23
2
6 4 5 3 6 6 6 0
3
CV
CA B
20kN10kN/m
6m 6m
6 F
p=1
MC图
1
M=1
MA图
§ 6-7 图乘法
300
45
MP图例：求图示三铰刚架 C点的相对转角。
解：荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如图所示。 B
20kN/m
§ 6-7 图乘法
A
C ED
8m
α
6m
2m
A
ED
BA
ED
B
120 120
4040
3/4 3/4
1
MC图Mp图
M=1
1 1 2 0 6 2 6 2 0 6
2 2 1 2 0 1 2 0 1 2
2 3 8 6 8
1 2 2 0 1 6 7
2 0 2
3 8 8
C
E I E I
EI
§ 6-7 图乘法
3/4 3/4
1
A
ED
B
120 120
4040
Mp图
A
ED
BM
C图
M=1
§ 6-8 线性变形体系的互等定理本节介绍线性变形体系的四个互等定理,其中最基本的是功的互等定理,其它三个定理均可由此推导出来 。
1) 功的互等定理设有两组外力 FP1和 FP2分别作用于同一线弹性结构上,
如图所示,(a),(b)分别称为结构的第一状态和第二状态 。
(a) 第一状态
FP1
1 2Δ11 Δ21
(b) 第二状态
FP2
1 2Δ12 Δ22
1 1 11 1 12 2 22
11
22P P PW F F F
这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：
(1)先加 FP1后加 FP2，外力的总功
(2)先加 FP2后加 FP1,外力的总功
2 2 22 2 21 1 11
11
22P P PW F F F
(a) 第一状态
FP1
1 2Δ11 Δ21
(b) 第二状态
FP2
1 2Δ12 Δ22
§ 6-8 线性变形体系的互等定理功的互等定理,
即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
1 1 2 2 2 1 ( a )PPFF
∵ 外力所作总功与加载次序无关，
即,W1 = W2
∴ 由 1,2可得：
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
2) 位移互等定理在功的互等定理中,令,FP1 =FP2 =1
由功的互等定理式（ a）则有：
1 2 2 111 1 2 2 1 ( b )
即：
(a) 第一状态
FP1＝ 1
1 2 δ21
(b) 第二状态
FP2＝ 1
1 2δ12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理位移互等定理,
即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。
在位移互等定理中：
单位力 —— 广义力（单位力偶、单位集中力）；
位 移 —— 广义位移（线位移、角位移）。
§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,
即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,
使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2
＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。
3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。
(a) 第一状态
r21
Δ1＝ 1
1
2
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,
即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,
使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2
＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。
3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。
Δ1＝ 1
1
2
(a) 第一状态
r21
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
2 1 2 1 2 1rr 2 1 1 2 r r ( c )?
根据功的互等定理有：
反力互等定理,
即支座 1发生单位位移所引起支座 2的反力，等于支座 2发生单位位移所引起的支座 1的反力。
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
(a) 第一状态
r21
§ 6-8 线性变形体系的互等定理注意,该定理对结构上任何两支座都适用,但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应,即力对应线位移；力偶对应角位移 。
由反力互等定理，则有：
r12 = r21 即反力偶 r12等于反力 r21（数值上相等，量纲不同）
(a) 第一状态 r21
1
2
φ1＝ 1
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
1 2
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
4) 反力位移互等定理这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况 。
1 2 1 2 2 1PrF
由两个状态应用功的互等定理，则有
∵ 主功力与反力的功相反
∴ 相差一负号
(b) 第二状态
（由 φ1=1引起 δ21 ）
δ21
1
2φ1＝ 1
（ a） 第一状态
（由 FP2 =1引起 r12）
FP2＝ 1r
12
1 2
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
21
1 2 2 1
1
( d )
PF
r
单位载荷引起某支座的反力，
等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反
—— 反力位移互等定理
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
§ 6-3 力的虚设方法
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
§ 6-1 概述
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
§ 6-5 温度作用时的计算
§ 6-7 图乘法
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
§ 6-1 概述
1）计算所采用的理论 —— 虚功原理复习一下以下概念：
▲ 虚功 —— 力在由其它原因产生的位移上所做的功。
其中,1 1 2PTF —— 虚功
▲ 虚功原理 刚体虚功原理变形体虚功原理
Fp1 F
p21 2
△ 11 △ 22A B△ 12
§ 6-1 概述刚体虚功原理：
所有外力所做的虚功等于零，即,0W?外虚功原理 虚力原理虚位移原理虚力原理 —— 位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。
虚位移原理 —— 力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。
变形体虚功原理：
所有外力做的虚功 =所有内力做的虚功，即,WW?外 内
§ 6-1 概述很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。
显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。
支座移动产生的位移 —— 刚体位移制造误差产生的位移 —— 刚体位移荷载作用产生的位移 —— 变形体位 移温度改变产生的位移 —— 变形体位移
2）静定结构位移的类型
§ 6-2 支座移动产生的位移计算支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。
例：图示简支梁 B支座往下位移了?,求由此产生的 A
点转角 。A?
真实的位移状态虚设的力状态运用刚体的虚功原理，
虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：
110
A L
A L?
得：
L
M=1
Δ
A B
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
Rc
其中,R — 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力
c — 真实的支座位移例：图示三铰刚架 A支座往下位移了 b,B支座往右位移了 a，求 C点的竖向位移,
和 C点的相对转角 。 CV
C
（ 1）求 C点的竖向位移 CV?
真实的位移状态 ab L/2 L/2
L
A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
1
2YAF?
1
4XBF?
在 C点作用一个竖向单位力，求出 和 。
YAF XBF
虚设的力状态
11()
2 4 2 4CV
baba
（ 2）求 C点的相对转角
C
在 C点作用一对力矩，求出 和 。
YAF XBF
Fp=1
A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算虚设的力状态
1
XBF L
1()
C
aa
LL
真实的位移状态
0YAF?
A B
C
L
aL/2 L/2
b A B
C
§ 6-2 支座移动产生的位移计算
M=1
§ 6-3 力的虚设方法力的大小 — 一般虚设单位力 。
力的位臵 — 作用在所求位移的点及方向上。
力的方向 — 随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方向一致。若是负的，
说明与假设的方向相反 。
力的性质 — 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖向位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角要加一对单位力矩。
Fp=1
求 C点竖向位移 求 B点水平位移
Fp=1
求 C点转角位移
M=1
Fp=1
求 A,B两点相对竖向位移
Fp=1 F
p=1Fp=1
§ 6-3 力的虚设方法
C B C
A
B
求 A,B两点相对水平位移
A B
M=1
求 C点相对转角位移 求 CD杆相对转角位移
Fp=1/L
Fp=1/L
§ 6-3 力的虚设方法
C C
D
§ 6-4 制造误差产生的位移计算制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。
例：图示桁架 AC杆比要求的短了 2cm,求由此产生的 C
点水平位移 。
解：在 C点作用一水平单位力，方向朝左，求出 AC杆的内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有,
真实的位移状态虚设的力状态
-2cm b
aA B
C
2
Fp=1C
BA
1 2 2 0CH利用虚功方程 有：
得,22
CH cm
例：图示悬臂梁 C点由于制造误差有一转角,求由此引起的 B点竖向位移 。
BV?
解：虚设一力状态：在 B点加一竖向单位力，求出 C点的弯矩，并把 C点的抗弯连系去掉，用弯矩表示。
CM
α
b a
BCA
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
Mc=a Fp=1
BCA
利用虚功方程有,10B V CM
得,B V CM
由制造误差引起的位移计算公式如下：
NQF M F
其中：
NF QFM
— 虚设单位力作用下产生的轴力、
剪力和弯矩。
正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负 。
— 制造产生的轴向变形、弯曲变形和剪切变形。
§ 6-4 制造误差产生的位移计算例：图示桁架 DC杆短了 2cm,FE杆短长了 3cm,求 C点的竖向位移。
解：在 C点作用一竖向单位力，求出 DC杆,FE杆的轴力：
1
4NDCF?
5
16N FEF?
运用位移计算公式有,1 5 723
4 1 6 1 6C
Fp=1
+3-2
4m
3 4=12m×
A BE
D F
C A BE
D F
C
§ 6-4 制造误差产生的位移计算
§ 6-5 温度作用时的计算温度作用产生的位移采用变形体的虚力原理计算 。
计算公式推导：
图示简支梁上下温度不一样,求由此起的 A
点转角 。
12tt?
A?
取出一微段，研究一下温度所引起的变形。
微段发生的转角为：
12t d s t d s td sd
hh
dθ
t2
t1
αt1 ds
αt2ds
A B
L
ds
+t2
+t1
h1
h
h2
+t0 αt
0ds
微段发生的轴向变形为：
0d t d s
0t
— 杆件轴线处的温度变化值其中：
12t t t
— 杆件上下边缘的温度差值温度变化不会产生剪切变形。
真实的位移状态运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功：
虚设的力状态
t2
t1
L
A B
§ 6-5 温度作用时的计算
L
M=1
A B
0NN
tF d M d F t d s M d s
h
有：
若是结构，则公式为：
0NN
tF d M d F t d s M d s
h
若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：
00 NMN
ttF t d s M d s t
hh
其中：
N?
— 由虚设单位力产生的轴力图面积
§ 6-5 温度作用时的计算
M?
— 由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。
例：图示三铰刚架，室内温度比原来升高了 300，室外温度没有变化，求 C点的竖向位移,杆件的截面为矩形，高度 h为常数，
材料的膨胀系数为 。
CV?
§ 6-5 温度作用时的计算
10m
5m 5m
A B
C
+30000
2m
NF
解：（ 1）在 C点作用一竖向单位力画出 和 图。M
（ 2）运用公式求 CV? 00 0
0
3 0 0 15
2t
0 0 03 0 0 3 0t
1 5 0,5 1 0 2 0,3 8 5,3 8 2
3 0 1 0 9 6 0
0,2 0 8 2 2,0 8 5,3 8 2 1 1,2
2
CV
hh
0.208
0.50.5
0.208
Fp=1
2.08 2.08
2.08 2.08
Fp=1
0.5
0.38
FN图
A B
C
A B
C
§ 6-5 温度作用时的计算
M1图荷载作用下的位移计算采用的是变形体的虚力原理。
结构位移计算的一般公式推导：
图示悬臂梁微段 发生了ds
轴向变形 剪切变形 弯曲d? d?
变形,求 B点的竖向位移。d?
把微段的变形浓缩至 D点：
1）积分法
dθ
dλ
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
A B
C D
ds
D
C
dη dθ
dλ
dη D
C
虚设一力状态,
B点的竖向位移为,NQ
BVd F d F d M d
若整根梁上都由变形，则 B点的竖向变形为：
C V C V NQd F d F d M d
0NQF d s F d s M d s
由材料力学可知,
PM
EI 0
QPFk
GA
NPF
EA对结构则有：
L L LQ NQP NPP
o o o
k F F FFMM d s d s d s
E I G A E A
①
A B
FP=1
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
NPF
其中,
PM QPF
— 荷载作用下结构产生的弯矩剪力、轴力
NFM QF
— 单位力作用下结构产生的弯矩剪力、轴力做题步骤,
（ 1）写出结构在荷载作用下每根杆子的弯矩、剪力、
轴力的方程；
（ 2）写出结构在虚设单位力作用下每根杆子的弯矩、
剪力、轴力的方程；
（ 3）代入公式①计算。
例：求图示简支梁中点 C的竖向位移 。CV?
解：（ 1）取虚力状态如图：
（ 2）写出 弯矩、剪力的方程：
0 2Lx
当 时
1
2Mx?
1
2QF?
2
22P
qqM L x x 1
2QPF q L q L
（ 3）计算 CV?
2
22
00
11 1,2
2 2 2 2 222LL
CV
q q q Lx L x x q L
d x d x
E I G A
Fp =1
C
/
C
A B
L/2 L/2
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
q kN m
425
3 8 4 8
q L q L
E I G A
2
22
00
11 1,2
2 2 2 2 222LL
CV
q q q Lx L x x q L
d x d x
E I G A
（ 4）比较弯曲变形与剪切变形的影响弯曲变形,45
384M
qL
EI
剪切变形,2
8Q
qL
GA
两者的比值,2
211,52 2.5 6
Q
M
E I h
G A L L
若高跨比为,1
10
h
L? 2,5 6 %
Q
M
则：
§ 6-6 荷载作用下的位移计算结论,
在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。
例：计算图示刚架 C点的水平位移 CH? 和 C点的转角
C
，各杆的 EI为常数。
解：（ 1）求 CH?
写出杆件的 方程M
PM
BC杆,0M?
21
2PM q x BA杆,Mx? 21
2PM q L
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
L
A
CB
L
EI
EI
q
A
CB
FP=1
2
4
0
1
2
4
L
CH
qL x qL
dx
E I E I
（ 2）求
C
写出杆件的 方程M
PM
BC杆,1M
21
2PM q x
BA杆,1M
21
2PM q L
22 3
00
11 11
222
3
LL
C
q x q L qL
dx
E I E I E I?
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
A
CB M=1
各种静定结构位移的计算公式如下,
（ 1）梁、刚架 —— 只考虑弯曲变形
L P
o
MM ds
EI
（ 2）桁架 —— 只有轴向变形
NNPFF L
EA
（ 3）组合结构 —— 受弯构件只考虑弯曲变形
L NNPP
o
FFMM d s L
E I E A
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
（ 4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,
拉杆只有轴向变形 。
1
LL NNNP NPP
oo
F F F FMM ds ds L
EI EA EA
曲杆的积分计算可用数值计算代替,
1
NNNP NPP F F F FMM S S L
EI EA EA
、
、
、
、
、
PM M NPF NF
EI EA S?其中,都取 段上中点的值。
§ 6-6 荷载作用下的位移计算例：求图示半径为 R的圆弧形曲梁 B点的竖向位移,
BV?
已知 EI为常数。
解：取虚力状态如下所示：
为求
PM M
取 kB隔离体如下：
PM P R S in
1M R S in
2
0BV
P R S in R S in R d
EI
3
4
PR
EI
p
B
O
θ
k
F
QkN
k
Mk
dθ
§ 6-6 荷载作用下的位移计算
θ
ds
O
R
A
B
Fp
k
O
R
A
B
F =1p
§ 6-7 图乘法受弯构件的位移计算公式,
L P
o
MM ds
EI
若 EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为,
1 L
Po M M d sEI
PM M
若 和 中有一个是直线图,
如图所示,
M tg x 代入上式有,
1 L
Po M tg x d xEI
tg? 是常数,可提到积分号的外面 x0
yo
C
形心
x
y
0
dω
dx
A B
M 图
A
MP图
B
x
M
§ 6-7 图乘法
x0
yo
C
形心
dω
dx
x
y
0
A B
M 图
A
MP图
B
x
M
PM 0x
是 图对 Y轴的面积矩,可写成,
0
L
PM x d x
PM其中,--是 图的面积
0x PM--是图的形心到 Y轴的距离有,
0
1 tg x
EI
令,00tg x y
0
1 y
EI
得：
0y PM--是图形心位置所对应
M 图中的竖标的图乘法应用的前提：
▲ 杆件的 EI是常数；
▲ 杆件是直杆；
PM M 的图形至少有一个是直线图形。
▲
两个直线图形的图乘公式：
( 2 2 )6 L a c b d a d b cEI
上述公式的适用所有直线图形的情况。
w2
w1
§ 6-7 图乘法
ba
c dy2y1
A BL
上述图乘公式的适用所有直线图形的情况,例：
× ×｛｛
× ×｛ ｛
§ 6-7 图乘法
×｛
2
3
hl
l/2 l/2
h
2
hl
a b
h
l+b/3l+a/3
顶点
h
l/43l/4
3l/8 5l/8
2 3?
hl?
1
2
3?
hl?
h
顶点
2l/5 3l/5
l/54l/5
2 4
hl
1
3
4?
hl?
§ 6-7 图乘法
2?
hl?h
2l/3 l/3
l
几种图形的面积及形心复杂图形的处理：
+=× × ×
+= ×× ×
§ 6-7 图乘法例：求 A点的转角和 C点的竖向位移。
解,（ 1）求 A点的转角
3 0 0 6 1 1 3 0 0
23A?
（ 2）求 C点的竖向位移
3 0 0 6 2
62
23
2
6 4 5 3 6 6 6 0
3
CV
CA B
20kN10kN/m
6m 6m
6 F
p=1
MC图
1
M=1
MA图
§ 6-7 图乘法
300
45
MP图例：求图示三铰刚架 C点的相对转角。
解：荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如图所示。 B
20kN/m
§ 6-7 图乘法
A
C ED
8m
α
6m
2m
A
ED
BA
ED
B
120 120
4040
3/4 3/4
1
MC图Mp图
M=1
1 1 2 0 6 2 6 2 0 6
2 2 1 2 0 1 2 0 1 2
2 3 8 6 8
1 2 2 0 1 6 7
2 0 2
3 8 8
C
E I E I
EI
§ 6-7 图乘法
3/4 3/4
1
A
ED
B
120 120
4040
Mp图
A
ED
BM
C图
M=1
§ 6-8 线性变形体系的互等定理本节介绍线性变形体系的四个互等定理,其中最基本的是功的互等定理,其它三个定理均可由此推导出来 。
1) 功的互等定理设有两组外力 FP1和 FP2分别作用于同一线弹性结构上,
如图所示,(a),(b)分别称为结构的第一状态和第二状态 。
(a) 第一状态
FP1
1 2Δ11 Δ21
(b) 第二状态
FP2
1 2Δ12 Δ22
1 1 11 1 12 2 22
11
22P P PW F F F
这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：
(1)先加 FP1后加 FP2，外力的总功
(2)先加 FP2后加 FP1,外力的总功
2 2 22 2 21 1 11
11
22P P PW F F F
(a) 第一状态
FP1
1 2Δ11 Δ21
(b) 第二状态
FP2
1 2Δ12 Δ22
§ 6-8 线性变形体系的互等定理功的互等定理,
即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。
1 1 2 2 2 1 ( a )PPFF
∵ 外力所作总功与加载次序无关，
即,W1 = W2
∴ 由 1,2可得：
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
2) 位移互等定理在功的互等定理中,令,FP1 =FP2 =1
由功的互等定理式（ a）则有：
1 2 2 111 1 2 2 1 ( b )
即：
(a) 第一状态
FP1＝ 1
1 2 δ21
(b) 第二状态
FP2＝ 1
1 2δ12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理位移互等定理,
即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。
在位移互等定理中：
单位力 —— 广义力（单位力偶、单位集中力）；
位 移 —— 广义位移（线位移、角位移）。
§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,
即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,
使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2
＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。
3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。
(a) 第一状态
r21
Δ1＝ 1
1
2
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,
即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,
使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2
＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。
3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。
Δ1＝ 1
1
2
(a) 第一状态
r21
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
2 1 2 1 2 1rr 2 1 1 2 r r ( c )?
根据功的互等定理有：
反力互等定理,
即支座 1发生单位位移所引起支座 2的反力，等于支座 2发生单位位移所引起的支座 1的反力。
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
(a) 第一状态
r21
§ 6-8 线性变形体系的互等定理注意,该定理对结构上任何两支座都适用,但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应,即力对应线位移；力偶对应角位移 。
由反力互等定理，则有：
r12 = r21 即反力偶 r12等于反力 r21（数值上相等，量纲不同）
(a) 第一状态 r21
1
2
φ1＝ 1
(b) 第二状态
Δ2＝ 1
r12
1 2
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
4) 反力位移互等定理这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况 。
1 2 1 2 2 1PrF
由两个状态应用功的互等定理，则有
∵ 主功力与反力的功相反
∴ 相差一负号
(b) 第二状态
（由 φ1=1引起 δ21 ）
δ21
1
2φ1＝ 1
（ a） 第一状态
（由 FP2 =1引起 r12）
FP2＝ 1r
12
1 2
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
21
1 2 2 1
1
( d )
PF
r
单位载荷引起某支座的反力，
等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反
—— 反力位移互等定理
§ 6-8 线性变形体系的互等定理
