第 3章静定结构内力计算第 3章静定结构的受力分析主要内容
§ 3-1 梁的内力计算回顾
§ 3-2 斜梁
§ 3-3 多跨静定梁
§ 3-5 桁架
§ 3-6 组合结构
§ 3-7 三铰拱
§ 3-4 静定刚架
§ 3-1 梁的内力计算回顾
▲ 简支梁、悬臂梁
▲ 多跨静定梁
▲ 刚架
▲ 桁架
▲ 组合结构
▲ 三铰拱在本章中要介绍的静定结构有：
1、计算方法利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个平衡方程：
0,0,0 MYX
由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。
§ 3-1 梁的内力计算回顾首先回顾一下梁的内力计算。
2,内力正负号的规定轴力 FN — 拉力为正剪力 FQ — 使隔离体顺时针方向转动者为正弯矩 M — 使梁的下侧纤维受拉者为正
§ 3-1 梁的内力计算回顾
A端 B端杆端内力
FQAB
FNAB
MAB正
FNBA
FQBA
MBA 正弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。
)(dd )(dd dd NQQ xpxF,xqxF,FxM
q(x)
Fp M
x
y
§ 3-1 梁的内力计算回顾
FN+d FNFN
FQ+dFQ
M M+dM
3、直杆内力的微分关系
dxp(x)
q(x)
P(x)FQ
dx
§ 3-1 梁的内力计算回顾
4、剪力图与弯矩图之间的关系一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角 (向下）
有突变 (突变值 =
FP)
有极值变号无变化有突变
（突变值 =M）
剪力图弯矩图梁上情况 无外力均布力作用
(q向下 )
集中力作用处 (FP向下 )
集中力偶 M作用处铰处无影响为零斜直线步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
1）求反力
（ 1）上部结构与基础的联系为 3个时，对整体利用 3个平衡方程，就可求得反力。
例：
0AM
0Y
0X kNF AX 441
024124DYF
kNF AY 4?
4kN
1kN/m
D
CB
A
2m2m
4m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
5、内力计算及内力图
（ 2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，
取隔离体补充方程。
例：
0X
0AM
BXAX FF?
kNF BY 6086420
kNF AY 2060420 0Y
0CM kNF AX 108420
kNFBX 10?
由整体：
取右半部分为隔离体：
由式 1：
C
BA
20kN/m
4m 4m
2m
6m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
M/2
M/2
FPL/4
（ 1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载作用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力作用下的弯矩图
qL2/8
q
§ 3-1 梁的内力计算回顾
2）画弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作用下的弯矩图
FP
L/2 L/2
M
L/2 L/2
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下的弯矩图例 1,qMA MB
BA
q
BA
qL2/8
§ 3-1 梁的内力计算回顾
qL2/8=
+
MA
+
MB
=
MA M
B
FPL/4
例 2：
结论把两头的弯矩标在杆端，并连以直线，然后在直线上叠加上由节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图
MA MB
BA
MA
MB
FPL/4
§ 3-1 梁的内力计算回顾
MA
MBF
P
FP
L/2 L/2
3）画剪力图要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端），
把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出所要的剪力。
§ 3-1 梁的内力计算回顾例：求图示杆件的剪力图。
A B F
QBA17
81m 1m
26
C
0AM由,( 8 1 2 6 ) 2 9Q B AF k N
0Y 1 7 8 9Q C AF k N也可由：
17 9
剪力图要注意以下问题：
▲ 集中力处剪力有突变；
▲ 没有荷载的节间剪力是常数；
▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线；
▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
§ 3-1 梁的内力计算回顾
A B F
QBA17
81m 1m
26
C
+
4）画轴力图要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础，
取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即可求出轴力。
-4 +4
FNBC
FNBA
§ 3-1 梁的内力计算回顾
＋
＋
－4
4
4
A
B C
D
剪力图
B
04N B AYF
04N B CXF
对图示简支梁把其中的 AB段取出，其隔离体如图所示：
把 AB隔离体与相应的简支梁作一对比：
M
L BA
Fp q
q
BA
MBMA
q
BA
§ 3-1 梁的内力计算回顾
6、用区段叠加法画弯矩图
MBMA
BAF
YA FYB
MBMA
显然两者是完全相同的。
FQAB FQBA
因此上图梁中 AB段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把 MA和 MB标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出 MA
和 MB。
§ 3-1 梁的内力计算回顾
M
L BA
Fp q
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用，
那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上产生的弯矩图形。
§ 3-1 梁的内力计算回顾例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
解,a、把梁分成三段,AC,CE,EG。
b、求反力：
0AM ( 8 1 4 4 4 1 6 ) 8 7YGF k N
0Y 8 4 4 7 1 7YAF k N
c、求分段点 C,G点的弯矩值：
16kN?m8kN 4kN/m
1m 2m 2m 1m 1m1m
GA C E
§ 3-1 梁的内力计算回顾
0CM
1 7 2 8 1 2 6CM k N m
0EM
7 2 1 6 3 0EM k N m
取 AC为隔离体取 EG为隔离体
17 F
QCA
8
MC
A C
1m 1m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
FQEG FYG
E G
ME
16kN?m
1m 1m
d,把 A,C,E,G四点的弯矩值标在杆上，点与点之间连以直线。
然后在 AC段叠加上集中力在相应简支梁上产生的弯矩图；在 CE段叠加上均布荷载在相应简支梁上产生的弯矩图；在 EG段叠加上集中力矩在相应简支梁上产生的弯矩图。最后弯矩图如下所示：
8
3026
EA C G
§ 3-1 梁的内力计算回顾
2
8 弯矩图
§ 3-2 斜梁用作楼梯梁、屋面梁等。
1）斜梁在工程中的应用根据荷载分布情况的不同，
有两种方法表示：
▲ 自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。
2）作用在斜梁上的均布荷载
A
B
L
A
B
L
q′
§ 3-2 斜梁
▲ 人群等活荷载：力是沿水平方向分布，
方向也是垂直向下。
''
' q d s qq d s q d x q
d x C o s?
工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下：
L
A
B
A
B
L
q
q′
dx
§ 3-2 斜梁
3）斜梁的内力计算讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。
（ 1）反力
0
0
0
0
X A X A
Y A Y A
Y B Y B
FF
FF
FF
斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。
A
B
C
a b
x
L
Fp1
Fp2
Fp1 Fp2
C
A B
L
x
§ 3-2 斜梁
（ 2）内力求斜梁的任意截面 C的内力，取隔离体 AC：
00 1 ()C Y A PM F x F x a
0 1Q C Y A PF F F 0 0NCF?
01()N C Y A P Q CF F F S in F S in
01()Q C Y A P Q CF F F C o s F C o s
01 ()C Y A P CM F x F x a M
相应简支梁 C点的内力为：
斜梁 C点的内力为：F
p1
0M
C
FQC
FNCMC
A C
x
a
FP1
FYA
0F
YA
0F
QC
§ 3-2 斜梁结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，
剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。
例：求图示斜梁的内力图。
解,a、求 反力
2Y A Y B
qLFF
0AX?
q
A
B
L
§ 3-2 斜梁
b、求弯矩
2()
2
qM L x x
c、剪力和轴力
0
2Q
LF q x
2Q
LF q x C o c
2N
LF q x S in
q
A
B
L
FQk
FNkMk
A k
xF
YA
q
0F
YA
0M
k
0F
Qk
q
－
＋
qL2
8
－
＋ qLcosα
2
qLcosα
2
§ 3-2 斜梁
d、画内力图轴力图剪力图弯矩图A
B
A
B
A
B
qL sinα
2
qL sinα
2
§ 3-3 多跨静定梁
1）多跨静定梁的组成由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结构 —— 称为 多跨静定梁,如图所示：
应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽结构。
2）多跨静定梁的应用
3）多跨静定梁杆件间的支撑关系图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示：
计算简图支撑关系图
F
E
D
C
BA
BA D
C FE
§ 3-3 多跨静定梁
§ 3-3 多跨静定梁我们把 ABC称为,基本部分,把 CDE,EF称为：
附属部分 。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。
作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。
基本部分附属部分
BA D
C FE
附属部分支撑关系图
§ 3-3 多跨静定梁
4）多跨静定梁的形式多跨静定梁有以下两种形式：
F
E
D
C
BA
BA D
C FE
支撑关系图计算简图第一种形式
FE
DC
BA
BA
DC
FE
§ 3-3 多跨静定梁计算简图支撑关系图第二种形式
§ 3-3 多跨静定梁由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。
而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。因此计算应该从附属部分开始。
5）多跨静定梁的计算例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。
1kN/m 1kN 3kN 2kN/m
1m1m3m1m2m 1m1m4m
G HA B C D E F
§ 3-3 多跨静定梁解,a、层次图
b、求反力 FGH部分,
0FM 224 5,3 33YGF k N
0Y 5,3 3 4 1,3 3YFF k N
F
HG
2kN/m
FYF FYG
A B
C
E F G
H
1m1m3m1m2m 1m1m4m
G HA B C D E F
1kN/m 1kN 3kN 2kN/m
§ 3-3 多跨静定梁
CEF部分,
ABC部分,
0CM 3 2 1,3 3 4 0,2 3
3YEF
0Y 3 0,2 3 1,3 3 1,4 4YFF
0Y
0AM
1 4 2 2,4 4 5 5,0 5
4YBF k N
1 4 2,4 4 5,0 5 1,3 9YAF k N
C
D E F
3kN
FYC FYE
-1.33kN
1kN1kN/m
A B
FYA FYB
C
1.44kN
§ 3-3 多跨静定梁
c、画弯矩图及剪力图
2.61
剪力图 kN
弯矩图 kN·m
1.33
2
1
42.44
2
4
1.331.56
1.442.441.39
§ 3-3 多跨静定梁例：对图示结构要求确定 E,F铰的位置，使 B,C
处的支座负弯矩等于 BC跨的跨中正弯矩。
解：以 x表示铰 E到 B支座、铰 F到 C支座的距离。
a、层次图
q
x L-xxL-x
LLL
DCE FBA
A
CE FB
D
§ 3-3 多跨静定梁
b、求反力
AE,FD部分：
()
2Y A Y E Y F Y D
q L xF F F F
c、求弯矩
2()
22Bc
q L x q xM M x
根据要求,M中 =MB=qL2/16
因此有,22()
2 2 1 6Bc
q L x q x q LM M x
由上述方程解得,0.125xL?
§ 3-3 多跨静定梁
2
20,0 6 2 5
16BC
qLM M q L
AE,FD的跨中弯矩为：
2
2() 0,0 9 5 7
8
q L x qL 弯矩图相应简支梁的弯矩图
20.0625qL 20.0957qL0.0957qL2
0.125qL20.125qL2 0.125qL2
20.0625qL 20.0625qL
§ 3-4 静定刚架
1）刚架的特征由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移和相对水平位移。
2）刚架的应用主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。
3）刚架的内力计算由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的，只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。
§ 3-4 静定刚架例 1：画出图示刚架的内力图。
解：编号如图所示
0X 30XBF kN?
0AM 2 0 6 3 3 0 4
806YBF k N
0Y 2 0 6 8 0 4 0YAF k N
b、作内力图
30kN
D E
C
BA
20kN/m
6m
2m
4ma、求支座反力
§ 3-4 静定刚架弯矩图 kN·m
60
90
180
180
剪力图 kN
- 30 -
＋
40
80 ＋ 30
轴力图 kN
-40 - 80
-
30
b、作内力图
§ 3-4 静定刚架例 2：作图示刚架的内力图解,a、求反力由于图示结构是对称的，因此：
取 AC部分为隔离体：
2 0 8
80
2Y A Y B
X A X B
F F k N
FF
0CM 8 0 4 2 0 4 2 20
8XAF k N
20X B X AF F k N
20kN/m
α
6m
2m
BA
C
ED
8m
§ 3-4 静定刚架
b、作弯矩图
c、作剪力图取 DC段为隔离体：
0CM 1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4QDCF k N
0DM 1 2 0 2 0 4 2 8,9
25Q C DF k N
弯矩图 kN?m
120 120
40 40
20kN/m
120
D
C
FQDC
FQCD
§ 3-4 静定刚架
b、作弯矩图
c、作剪力图取 DC段为隔离体：
0CM 1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4QDCF k N
0DM 1 2 0 2 0 4 2 8,9
25Q C DF k N
弯矩图 kN?m
120 120
40 40
20kN/m
120
D
C
FQDC
FQCD
62.6
8.9＋
8.9
-
62.6
§ 3-4 静定刚架
0CM
1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4Q E D
F k N
0EM
1 2 0 2 0 4 2 8,9
1 6 4Q C E
F k N
取 CE段为隔离体：
20＋20-
C
E
120
20kN/m
FQCE
FQEC
剪力图 kN
§ 3-4 静定刚架
d、作轴力图取 D结点为隔离体：
0
2 0 8 0 5 3,6N D CF C o s S in k N
42
2 0 2 0C o s S in
取 C左结点为隔离体,
2 0 1 7,8 8NCDF C o s k N
0
FQDA
D F
QDC
FNDA
FNDC
CF
NCD
20
§ 3-4 静定刚架取 E结点为隔离体：
0
20 80
53.6
NE CF C os Si n
kN
取 C右结点为隔离体：
0
2 0 1 7,8NCEF C o s k N
E
FQEB
FNEC
FNEB
FQEC
C20
FNCE
§ 3-4 静定刚架轴力图 kN
80
53.6
17.8
80
53.6
例 3,作图示刚架的弯矩图算法（同多跨静定梁）
—— 区分主从,先从后主
(1) 先由从部分，有
0DM ()
2YC
PF得：
0YF ()2QDF PF得：
()N D FFP0XF 得：
§ 3-4 静定刚架
A
FE D
CB
2m 2m
1m
1m
2FP
FP
(主 ) (从 )
FP
C
F
(从 )
FYA
FNDF
FQDF
(3) 求作 M图（可从两边向中间画） M图如图所示。
(2) 再由主部分，有
0M A ()
2
P
YB
FF得：
0YF 2 ( )YA PFF得：
()X A PFF0XF 得：
§ 3-4 静定刚架
2FP FP/2
FP
FP
FP/2
2FP
2FP 2FP
FP
A
FE D
CB
FP
FNDF
(主 )
2FP
A B
E D
FXA
FYA FYB
FQDF
(f)
q
7) 课堂练习 ---快速绘制 M图
(a)
§ 3-4 静定刚架
FP
(b)
q2 /2qL
(c)
(d) (e)
§ 3-4 静定刚架
q
2/8qL
(g)
2/8qL
(h)
q
FP
FP
(i)
(j)
FPFP
(k)
（主）
（ 从 ）
FP
先画 AB,CD；
再连 BC （虚线）；
最后在虚线上叠加 2/8ql
由 ∑MB=0求得
§ 3-4 静定刚架
mm 2 /8ql FPa
A CB D
La a
(l)
q FP
m
FP
FP+m/l
FPL+m
FPL
m
m
L
A
C
B
L
L
(m)
FP
m
FP+m/l
§ 3-4 静定刚架
m/L
m/L
m
(n)
m C
A
D
B
L
L
L
FP
FP
FP
FPL
FP L
(o)
FP
A
D
B
L
L
L
C
§ 3-5 桁架
1）桁架的特点由材料力学可知,受弯的 实心梁，其截面的应力分布是很不均匀的，因此材料的强度不能充分发挥。
现对实心梁作如下改造：
所示结构杆件全是二力杆，
结点是铰连接，结构是静定的，
称为,静定平面桁架。
Fp Fp
全部改造
§ 3-5 桁架实际工程中的桁架是比较复杂的，与上面的理想桁架相比，需引入以下的假定：
a、所有的结点都是理想的铰结点；
b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；
c、荷载与支座反力都作用在结点上 。
2）桁架的应用主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。
§ 3-5 桁架
3）桁架的形式按外型分,平行铉、三角形、梯形、折线型、
抛物线型。
平行弦 三角形梯形 折线形
§ 3-5 桁架按承受荷载分,上承式、下承式按组成的几何构造分,静定平面桁架、超静定平面桁架、静定空间桁架、超静定空间桁架
4）桁架的计算方法
（ 1）节点法如果一个节点上的未知量少于等于 2个，就可利用两个方程就可解出未知量。
0X 0Y
（ 2）截面法用截面切断拟求内力的杆件，从结构中取出一部分 为隔离体，然后利用三个平衡方程求出要求的力。
§ 3-5 桁架
（ 3）节点法和截面法联合运用有的杆件用结点法求，有的杆件用截面法求。
（ 4）判断零杆桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判断的方法如下：
▲ 两杆节点
0X 0Y
1 0NF? 2 0NF?
FN1
FN2
§ 3-5 桁架
▲ 三杆节点
0Y 1 0NF?
▲ 四杆节点
0X 12NNFF?
0Y 34NNFF?
FN1
FN1 FN2
FN3
FN4
§ 3-5 桁架
▲ 利用结构的对称性由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。
例 1：判断图示结构的零杆
Fp Fp
§ 3-5 桁架例 2：判断图示结构的零杆
a、图示结构在对称荷载作用下
0
0C D C E
Y
FF
FCD FCE
FpFp
A C B
D E
C
§ 3-5 桁架
b、图示结构在反对称荷载作用下
FpFp
A C B
D E 内力应相对对称轴反对称，
这就要求 DE 杆半根受拉、半根受压，而这是做不到的，因此它是零杆。对称轴
§ 3-5 桁架
5）桁架计算举例例 1：计算图示 K字型桁架中 a,b杆的内力。
解,a、求反力 0
AM 33
44
PP
YB
F d FF
d
Fp
A B
k ba
4d
h/2
h/2
0Y 3
44
PP
Y A P
FFFF
§ 3-5 桁架
5）桁架计算举例例 1：计算图示 K字型桁架中 a,b杆的内力。
解,a、求反力 0
AM 33
44
PP
YB
F d FF
d
k
Fp
A B
b
a
4d
h/2
h/2
0Y 3
44
PP
Y A P
FFFF
§ 3-5 桁架
b、求内力取 k结点为隔离体：
0X N a N bFF?
作 n-n截面，取左半部分：
0Y 2
4
P
Na
FF S in
8
P
N a N b
FFF
S in
FNa
FNb
k
n
n
Fp
A B
b
a
4d
h/2
h/2
k
§ 3-5 桁架例 2：请求出图示桁架杆 1、杆 2的内力。
解 1,a、求反力 0
AM
0,5
24
PP
YB
L F FF
L
0Y 344PPY A P FFFF
Fp
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
§ 3-5 桁架
Fp
O1 n
n
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
b、求内力取 n－ n截面，对 O1取矩：
1 1 2
3
2 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n
1 0OM
§ 3-5 桁架
2 0OM
Fp
O1 n
n
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
b、求内力
O2m
m
取 m－ m截面，对 O2取矩：
2 2 12 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n
§ 3-5 桁架
1
17Sin
4
17Cos
其中：
1 1 2
3
2 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n①
2 2 12 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n②
12
17 17
6 12
PP
NN
FFFF解得：
§ 3-5 桁架解 2：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。
a、对称荷载作用下，中间两根杆 a,b是零杆，取
C结点：
0Y ' 0,5 2
2
PP
NCD
FFF
Cos
F,NCD
FP/2FP/2 FP/2
D
C
H
C
a b
F,N1F,N1
§ 3-5 桁架取 D结点：
0X '
1
4 0
217
P
N
FF
b、反对称情况
''
12
17
8
P
NN
FFF（拉）
中间的 c 杆是零杆，取 C结点：
0X
21
2 5N C D N C HFF?
FP/2
FNCD FNCH
F,NCD
F,N1
FP/2 FP/2
C
D
D
C
H
F,,N1F,,N1
c
§ 3-5 桁架
0Y 22 5 PN C D N C H FFF
32
P
NCD
FF?
取 D结点,0X
"
1
24
2 17N C D NFF?
" ''
12
17
24
P
NN
FFF
把对称和反对称的合起来：
得：
FP/2
F NCD
F,,N1D
C
FNCD FNCH
1
1 7 1 7 1 7
8 2 4 6
P P P
N
F F FF
2
1 7 1 7 1 7
8 2 4 1 2
P P P
N
F F FF
§ 3-6 组合结构由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。
例,解：图中 BD杆是轴力杆件，
其它是受弯杆件。
a、求反力
1 6 6YAF kN0Y
0BM 1 6 3 6 3XAF k N
0X 3XBF kN?
取 CDE杆为隔离体：
b、求弯矩及轴力 FNDB 1kN/m
EDC
4m 2m
3m
3m
1kN/m
B
D E
A
C
§ 3-6 组合结构
0CM 4 1 6 3N D BF S in
1 8 5 7,5
43ND BF k N
画弯矩和轴力图：
FNDB 1kN/m
EDC
+7.5kN
9kN/m
2kN/m
2kN/m
例 2：
解,a、求反力由于对称,1 4 4
Y A Y BF F k N 0XAF?
b、求轴力杆的轴力作 n— n截面，取左半部分，由：
0CM 1 4 2 4 4 4
2N EGF k N
n
n
F
GE
D C
A B 2m
2m 2m 2m 2m
1kN/m
§ 3-6 组合结构
§ 3-6 组合结构取 E结点：
0X 42N E AF k N?
0Y 4N E DF kN
c、画弯矩和轴力图 对称结构在对称荷载作用下，在对称点出只有对称的内力，而反对称的内力等于零。-4kN-4kN
+4kN
2kN/m2kN/m
+4 2kN +4 2kN
FNEC
FNEA
FNED
E
§ 3-7 三铰拱如下所示结构在竖向荷载作用下，水平反力等于零，因此它不是拱结构，而是曲梁结构。
下面所示结构在竖向荷载作用下，会产生水平反力，因此它是拱结构。
1）拱的特征及其应用拱式结构,指的是在竖向荷载作用下，会产生水平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。
曲梁 三铰拱
FP FP
§ 3-7 三铰拱常见的拱式结构有：
三铰拱 带拉杆三铰拱两铰拱 无铰拱
§ 3-7 三铰拱拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的优缺点：
a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度
b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大
§ 3-7 三铰拱拱各部分的名称：
L— 跨度（拱趾之间的水平距离）
f/L—— 高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这个值控制在 1— 1/10 ）
f— 矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）
拱趾拱顶
L
f
§ 3-7 三铰拱
2）三铰拱的计算在研究它的反力、
内力计算时，为了便于理解，始终与相应的简支梁作对比。 L
2L1
L
b2a2
b3a3
b1a1
k
yk
xk
C
BA
f
FP1
FP2
FP3
k C
BA
FP1 FP2 FP3
§ 3-7 三铰拱
（ 1）支座反力计算
0BM
0P i i
Y A Y A
FbFF
L
0AM
0P i i
Y B Y B
FaFF
L
取左半跨为隔离体：
0CM
01 1 1 1 2 1 2YA P P C
H
F L F L a F L a MF
ff
L2L1
L
b2a2
b3a3
b1a1
k
yk
xk
C
BA
f
FP1
FP2
FP3
k C
BA
FP1 FP2 FP3
§ 3-7 三铰拱由前面计算可见：
三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁 C点的弯矩除以拱高 f。 FH与 f
成反比,f越小,FH越大,f越大,FH越小。也就是说,f越小，拱的特性就越突出。
§ 3-7 三铰拱
（ 2）弯矩计算求拱轴线上任意点 k的弯矩，
为此取 Ak为隔离体：
0kM
11k Y A k P k kM F x F x a H y
（ 3）剪力计算求拱轴线上任意点 k的剪力，
同样以 Ak为隔离体：
0 1Q k Y A k k P kF F C o s H S in F C o s
1Y A P k kF F C o s H S in
0Q k Q k k kF F C o s H S in
相应简支梁的剪力
MK
k
FYA
FH
FP1
FQ
K η
FNK
τ
A
k M
K
F0YA
FP1
F0QK
相应简支梁的弯矩
§ 3-7 三铰拱
（ 3）轴力计算求拱轴线上任意点 k的剪力，
同样取 Ak为隔离体：
0
1N k Y A k k P kF F S in H C o s F S in
1Y A P k kF F S in H C o s
0N k Q k k kF F S in H C o s
三铰拱内力计算公式：
0k k kM M H y
0Q k Q k k kF F C o s H S in
0N k Q k k kF F S in H C o s
MK
k
FYA
FH
FP1
FQ
K η
FNK
τ
A
k M
K
F0YA
FP1
F0QK
§ 3-7 三铰拱例 1：图示三铰拱的拱轴线方程为：
2
4 ()fy L x x
L请求出其 D点处的内力。
解,a、求反力
0BM
( 2 0 6 3 1 0 0 9 ) / 1 2
105
YAF
kN
0Y
1 0 0 2 0 6 1 0 5 1 1 5YBF k N
1 0 5 6 1 0 0 3 8 2,5
4HF k N
D
B
C
A
y
x
4m
3m3m 6m
20kN/m100kN
§ 3-7 三铰拱先求计算参数：
b、求 D点的内力
2
443 (1 2 3 ) 3 3
12DDx m y m
22
4 4 4( 2 ) ( 1 2 2 3 ) 0,6 6 7
12D
d y ft g L x
d x L?
33 42 ' 0.832
0.555
DD
D
C os
Sin
求弯矩：
0 1 0 5 3 8 2,5 3
6 7,5
D D DM M H y
k N m
MD
FYA
FH
左F
ND
D
A
左F
QD
§ 3-7 三铰拱求剪力：
由于 D点处有集中力作用，简支梁的剪力有突变，
因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。
0Q D Q D D DF F C o s H S in左 左
1 0 5 0,8 3 2 8 2,5 0,5 5 5 4 1,6 kN
0N D Q D D DF F S in H C o s左 左
1 0 5 0,5 5 5 8 2,5 0,8 3 2 1 2 7 kN
MD
FYA
FH
左F
NC
D
A
左F
QC
FYA0 FQD0左
A D
MD0
§ 3-7 三铰拱
0Q D Q D D DF F C o s H S in右 右
(1 0 5 1 0 0 ) 0,8 3 2 8 2,5 0,5 5 5
4 1,6 kN
0N D Q D D DF F S in H C o s右 右
(1 0 5 1 0 0 ) 0,5 5 5 8 2,5 0,8 3 2
7 1,4 kN
MD
FYA
H
右F
ND
D
A
右F
QD
100kN
100kN
FYA0 FQD0右
A D MD
0
§ 3-7 三铰拱例 2：请求出图示三铰拱式屋架 D点的内力。
解,a、求反力
2 9 3 6 2 4 8 9Y A Y BF F k N
0XAF?
8 9 5,8 5 2 9 5,1 3 6 2,8 2 4 0,2
2,1 5
1 2 5,9 1
HF
kN
0.20.75 2.3 2.6
11.7m
0.0
6
0.2
1.8
9
D
C
BA
29kN
36kN
24kN
§ 3-7 三铰拱
b、求 D点的内力取 AD为隔离体（直段）：
0DM 1 2 5,9 1 0,2 2 5,1 8DM k N m
0Y 1 2 5,9 1QDAF k N
0X 89N D AF kN
取 AD为隔离体（斜段）
0,9 4 9C o s 0.316Si n
0 8 9 0,9 4 9 1 2 5,9 1 0,3 1 6 4 4,6 7QDCF k N
0 8 9 0,3 1 6 1 2 5,9 1 0,9 4 9 1 4 7,6 1N D CF k N
0DM 1 2 5,9 1 0,2 2 5,1 8DM k N m
A
D
MC
89
125.9 FQDA
FNDA
A
D
89
125.9
η
FNDC
τ
FQDC
MD
§ 3-7 三铰拱
▲ 一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内力，它们可以用一个合力来表示。
▲ 一根杆件上如果只有三个力作用，并保持平衡，
那么这三个力必然交于一点，组成一个封闭的力三角形。
3）三铰拱的压力线及合理拱轴线
（ 1）三铰拱的图解法先复习几个概念：
= R=
M
FN
FQ
R
M
§ 3-7 三铰拱
▲ 一个结构在一组力的作用下，如果保持平衡，
那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。
例：用图解法求图示拱上任意点 k的内力。
3
2
1
O3
2
1
FP1 FP1
FP1 FP1RA
FP2
FP3
RB
k
RA
H
FYA
H
FYB
RB
压力线
k点合力的位臵及方向,大小等于 RA。
§ 3-7 三铰拱上图中虚线所成的图形称为：三铰拱的压力线。由压力线可以求出拱上任意点的内力，还可根据压力线离拱轴线的距离，判断拱的弯矩大小。
如果压力线与拱轴线完全重合，拱的弯矩为零，这样的拱轴线称为 合理拱轴线 。
（ 2）图解法求合理拱轴线的步骤
★ 用数解法求出反力，并用图解法求出反力的合力。
★ 根据一定的比例，作出荷载与反力的力多边形，并由两反力的交点，作各荷载的射线。
★ 作反力 RA与 FP1的交点,1”，把 01射线推平行线至交点
‘ 1’处,再作 01线与 FP2的交点 ‘ 2’，以此类推。
§ 3-7 三铰拱
（ 3）数解法求合理拱轴线已知,0k k kM M H y 0 0k k kM M H y令：
有,0 /kky M H?
例：求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
解：
0211
22kM q Lx q x 0 2
2
2 2 2 4
8
C
M q L L q L
Hf
f
qL
f
L
A B
C
f
q
§ 3-7 三铰拱
2
2
14( ) ( )
28
q L fq x L x L x x
fL
0 /kky M H?
由上可见：在均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是一抛物线。
§ 3-1 梁的内力计算回顾
§ 3-2 斜梁
§ 3-3 多跨静定梁
§ 3-5 桁架
§ 3-6 组合结构
§ 3-7 三铰拱
§ 3-4 静定刚架
§ 3-1 梁的内力计算回顾
▲ 简支梁、悬臂梁
▲ 多跨静定梁
▲ 刚架
▲ 桁架
▲ 组合结构
▲ 三铰拱在本章中要介绍的静定结构有：
1、计算方法利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个平衡方程：
0,0,0 MYX
由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。
§ 3-1 梁的内力计算回顾首先回顾一下梁的内力计算。
2,内力正负号的规定轴力 FN — 拉力为正剪力 FQ — 使隔离体顺时针方向转动者为正弯矩 M — 使梁的下侧纤维受拉者为正
§ 3-1 梁的内力计算回顾
A端 B端杆端内力
FQAB
FNAB
MAB正
FNBA
FQBA
MBA 正弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。
)(dd )(dd dd NQQ xpxF,xqxF,FxM
q(x)
Fp M
x
y
§ 3-1 梁的内力计算回顾
FN+d FNFN
FQ+dFQ
M M+dM
3、直杆内力的微分关系
dxp(x)
q(x)
P(x)FQ
dx
§ 3-1 梁的内力计算回顾
4、剪力图与弯矩图之间的关系一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角 (向下）
有突变 (突变值 =
FP)
有极值变号无变化有突变
（突变值 =M）
剪力图弯矩图梁上情况 无外力均布力作用
(q向下 )
集中力作用处 (FP向下 )
集中力偶 M作用处铰处无影响为零斜直线步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
1）求反力
（ 1）上部结构与基础的联系为 3个时，对整体利用 3个平衡方程，就可求得反力。
例：
0AM
0Y
0X kNF AX 441
024124DYF
kNF AY 4?
4kN
1kN/m
D
CB
A
2m2m
4m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
5、内力计算及内力图
（ 2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，
取隔离体补充方程。
例：
0X
0AM
BXAX FF?
kNF BY 6086420
kNF AY 2060420 0Y
0CM kNF AX 108420
kNFBX 10?
由整体：
取右半部分为隔离体：
由式 1：
C
BA
20kN/m
4m 4m
2m
6m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
M/2
M/2
FPL/4
（ 1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载作用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力作用下的弯矩图
qL2/8
q
§ 3-1 梁的内力计算回顾
2）画弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作用下的弯矩图
FP
L/2 L/2
M
L/2 L/2
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下的弯矩图例 1,qMA MB
BA
q
BA
qL2/8
§ 3-1 梁的内力计算回顾
qL2/8=
+
MA
+
MB
=
MA M
B
FPL/4
例 2：
结论把两头的弯矩标在杆端，并连以直线，然后在直线上叠加上由节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图
MA MB
BA
MA
MB
FPL/4
§ 3-1 梁的内力计算回顾
MA
MBF
P
FP
L/2 L/2
3）画剪力图要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端），
把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出所要的剪力。
§ 3-1 梁的内力计算回顾例：求图示杆件的剪力图。
A B F
QBA17
81m 1m
26
C
0AM由,( 8 1 2 6 ) 2 9Q B AF k N
0Y 1 7 8 9Q C AF k N也可由：
17 9
剪力图要注意以下问题：
▲ 集中力处剪力有突变；
▲ 没有荷载的节间剪力是常数；
▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线；
▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
§ 3-1 梁的内力计算回顾
A B F
QBA17
81m 1m
26
C
+
4）画轴力图要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础，
取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即可求出轴力。
-4 +4
FNBC
FNBA
§ 3-1 梁的内力计算回顾
＋
＋
－4
4
4
A
B C
D
剪力图
B
04N B AYF
04N B CXF
对图示简支梁把其中的 AB段取出，其隔离体如图所示：
把 AB隔离体与相应的简支梁作一对比：
M
L BA
Fp q
q
BA
MBMA
q
BA
§ 3-1 梁的内力计算回顾
6、用区段叠加法画弯矩图
MBMA
BAF
YA FYB
MBMA
显然两者是完全相同的。
FQAB FQBA
因此上图梁中 AB段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把 MA和 MB标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出 MA
和 MB。
§ 3-1 梁的内力计算回顾
M
L BA
Fp q
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用，
那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上产生的弯矩图形。
§ 3-1 梁的内力计算回顾例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
解,a、把梁分成三段,AC,CE,EG。
b、求反力：
0AM ( 8 1 4 4 4 1 6 ) 8 7YGF k N
0Y 8 4 4 7 1 7YAF k N
c、求分段点 C,G点的弯矩值：
16kN?m8kN 4kN/m
1m 2m 2m 1m 1m1m
GA C E
§ 3-1 梁的内力计算回顾
0CM
1 7 2 8 1 2 6CM k N m
0EM
7 2 1 6 3 0EM k N m
取 AC为隔离体取 EG为隔离体
17 F
QCA
8
MC
A C
1m 1m
§ 3-1 梁的内力计算回顾
FQEG FYG
E G
ME
16kN?m
1m 1m
d,把 A,C,E,G四点的弯矩值标在杆上，点与点之间连以直线。
然后在 AC段叠加上集中力在相应简支梁上产生的弯矩图；在 CE段叠加上均布荷载在相应简支梁上产生的弯矩图；在 EG段叠加上集中力矩在相应简支梁上产生的弯矩图。最后弯矩图如下所示：
8
3026
EA C G
§ 3-1 梁的内力计算回顾
2
8 弯矩图
§ 3-2 斜梁用作楼梯梁、屋面梁等。
1）斜梁在工程中的应用根据荷载分布情况的不同，
有两种方法表示：
▲ 自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。
2）作用在斜梁上的均布荷载
A
B
L
A
B
L
q′
§ 3-2 斜梁
▲ 人群等活荷载：力是沿水平方向分布，
方向也是垂直向下。
''
' q d s qq d s q d x q
d x C o s?
工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下：
L
A
B
A
B
L
q
q′
dx
§ 3-2 斜梁
3）斜梁的内力计算讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。
（ 1）反力
0
0
0
0
X A X A
Y A Y A
Y B Y B
FF
FF
FF
斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。
A
B
C
a b
x
L
Fp1
Fp2
Fp1 Fp2
C
A B
L
x
§ 3-2 斜梁
（ 2）内力求斜梁的任意截面 C的内力，取隔离体 AC：
00 1 ()C Y A PM F x F x a
0 1Q C Y A PF F F 0 0NCF?
01()N C Y A P Q CF F F S in F S in
01()Q C Y A P Q CF F F C o s F C o s
01 ()C Y A P CM F x F x a M
相应简支梁 C点的内力为：
斜梁 C点的内力为：F
p1
0M
C
FQC
FNCMC
A C
x
a
FP1
FYA
0F
YA
0F
QC
§ 3-2 斜梁结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，
剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。
例：求图示斜梁的内力图。
解,a、求 反力
2Y A Y B
qLFF
0AX?
q
A
B
L
§ 3-2 斜梁
b、求弯矩
2()
2
qM L x x
c、剪力和轴力
0
2Q
LF q x
2Q
LF q x C o c
2N
LF q x S in
q
A
B
L
FQk
FNkMk
A k
xF
YA
q
0F
YA
0M
k
0F
Qk
q
－
＋
qL2
8
－
＋ qLcosα
2
qLcosα
2
§ 3-2 斜梁
d、画内力图轴力图剪力图弯矩图A
B
A
B
A
B
qL sinα
2
qL sinα
2
§ 3-3 多跨静定梁
1）多跨静定梁的组成由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结构 —— 称为 多跨静定梁,如图所示：
应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽结构。
2）多跨静定梁的应用
3）多跨静定梁杆件间的支撑关系图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示：
计算简图支撑关系图
F
E
D
C
BA
BA D
C FE
§ 3-3 多跨静定梁
§ 3-3 多跨静定梁我们把 ABC称为,基本部分,把 CDE,EF称为：
附属部分 。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。
作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。
基本部分附属部分
BA D
C FE
附属部分支撑关系图
§ 3-3 多跨静定梁
4）多跨静定梁的形式多跨静定梁有以下两种形式：
F
E
D
C
BA
BA D
C FE
支撑关系图计算简图第一种形式
FE
DC
BA
BA
DC
FE
§ 3-3 多跨静定梁计算简图支撑关系图第二种形式
§ 3-3 多跨静定梁由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。
而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。因此计算应该从附属部分开始。
5）多跨静定梁的计算例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。
1kN/m 1kN 3kN 2kN/m
1m1m3m1m2m 1m1m4m
G HA B C D E F
§ 3-3 多跨静定梁解,a、层次图
b、求反力 FGH部分,
0FM 224 5,3 33YGF k N
0Y 5,3 3 4 1,3 3YFF k N
F
HG
2kN/m
FYF FYG
A B
C
E F G
H
1m1m3m1m2m 1m1m4m
G HA B C D E F
1kN/m 1kN 3kN 2kN/m
§ 3-3 多跨静定梁
CEF部分,
ABC部分,
0CM 3 2 1,3 3 4 0,2 3
3YEF
0Y 3 0,2 3 1,3 3 1,4 4YFF
0Y
0AM
1 4 2 2,4 4 5 5,0 5
4YBF k N
1 4 2,4 4 5,0 5 1,3 9YAF k N
C
D E F
3kN
FYC FYE
-1.33kN
1kN1kN/m
A B
FYA FYB
C
1.44kN
§ 3-3 多跨静定梁
c、画弯矩图及剪力图
2.61
剪力图 kN
弯矩图 kN·m
1.33
2
1
42.44
2
4
1.331.56
1.442.441.39
§ 3-3 多跨静定梁例：对图示结构要求确定 E,F铰的位置，使 B,C
处的支座负弯矩等于 BC跨的跨中正弯矩。
解：以 x表示铰 E到 B支座、铰 F到 C支座的距离。
a、层次图
q
x L-xxL-x
LLL
DCE FBA
A
CE FB
D
§ 3-3 多跨静定梁
b、求反力
AE,FD部分：
()
2Y A Y E Y F Y D
q L xF F F F
c、求弯矩
2()
22Bc
q L x q xM M x
根据要求,M中 =MB=qL2/16
因此有,22()
2 2 1 6Bc
q L x q x q LM M x
由上述方程解得,0.125xL?
§ 3-3 多跨静定梁
2
20,0 6 2 5
16BC
qLM M q L
AE,FD的跨中弯矩为：
2
2() 0,0 9 5 7
8
q L x qL 弯矩图相应简支梁的弯矩图
20.0625qL 20.0957qL0.0957qL2
0.125qL20.125qL2 0.125qL2
20.0625qL 20.0625qL
§ 3-4 静定刚架
1）刚架的特征由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移和相对水平位移。
2）刚架的应用主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。
3）刚架的内力计算由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的，只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。
§ 3-4 静定刚架例 1：画出图示刚架的内力图。
解：编号如图所示
0X 30XBF kN?
0AM 2 0 6 3 3 0 4
806YBF k N
0Y 2 0 6 8 0 4 0YAF k N
b、作内力图
30kN
D E
C
BA
20kN/m
6m
2m
4ma、求支座反力
§ 3-4 静定刚架弯矩图 kN·m
60
90
180
180
剪力图 kN
- 30 -
＋
40
80 ＋ 30
轴力图 kN
-40 - 80
-
30
b、作内力图
§ 3-4 静定刚架例 2：作图示刚架的内力图解,a、求反力由于图示结构是对称的，因此：
取 AC部分为隔离体：
2 0 8
80
2Y A Y B
X A X B
F F k N
FF
0CM 8 0 4 2 0 4 2 20
8XAF k N
20X B X AF F k N
20kN/m
α
6m
2m
BA
C
ED
8m
§ 3-4 静定刚架
b、作弯矩图
c、作剪力图取 DC段为隔离体：
0CM 1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4QDCF k N
0DM 1 2 0 2 0 4 2 8,9
25Q C DF k N
弯矩图 kN?m
120 120
40 40
20kN/m
120
D
C
FQDC
FQCD
§ 3-4 静定刚架
b、作弯矩图
c、作剪力图取 DC段为隔离体：
0CM 1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4QDCF k N
0DM 1 2 0 2 0 4 2 8,9
25Q C DF k N
弯矩图 kN?m
120 120
40 40
20kN/m
120
D
C
FQDC
FQCD
62.6
8.9＋
8.9
-
62.6
§ 3-4 静定刚架
0CM
1 2 0 2 0 4 2 6 2,6
1 6 4Q E D
F k N
0EM
1 2 0 2 0 4 2 8,9
1 6 4Q C E
F k N
取 CE段为隔离体：
20＋20-
C
E
120
20kN/m
FQCE
FQEC
剪力图 kN
§ 3-4 静定刚架
d、作轴力图取 D结点为隔离体：
0
2 0 8 0 5 3,6N D CF C o s S in k N
42
2 0 2 0C o s S in
取 C左结点为隔离体,
2 0 1 7,8 8NCDF C o s k N
0
FQDA
D F
QDC
FNDA
FNDC
CF
NCD
20
§ 3-4 静定刚架取 E结点为隔离体：
0
20 80
53.6
NE CF C os Si n
kN
取 C右结点为隔离体：
0
2 0 1 7,8NCEF C o s k N
E
FQEB
FNEC
FNEB
FQEC
C20
FNCE
§ 3-4 静定刚架轴力图 kN
80
53.6
17.8
80
53.6
例 3,作图示刚架的弯矩图算法（同多跨静定梁）
—— 区分主从,先从后主
(1) 先由从部分，有
0DM ()
2YC
PF得：
0YF ()2QDF PF得：
()N D FFP0XF 得：
§ 3-4 静定刚架
A
FE D
CB
2m 2m
1m
1m
2FP
FP
(主 ) (从 )
FP
C
F
(从 )
FYA
FNDF
FQDF
(3) 求作 M图（可从两边向中间画） M图如图所示。
(2) 再由主部分，有
0M A ()
2
P
YB
FF得：
0YF 2 ( )YA PFF得：
()X A PFF0XF 得：
§ 3-4 静定刚架
2FP FP/2
FP
FP
FP/2
2FP
2FP 2FP
FP
A
FE D
CB
FP
FNDF
(主 )
2FP
A B
E D
FXA
FYA FYB
FQDF
(f)
q
7) 课堂练习 ---快速绘制 M图
(a)
§ 3-4 静定刚架
FP
(b)
q2 /2qL
(c)
(d) (e)
§ 3-4 静定刚架
q
2/8qL
(g)
2/8qL
(h)
q
FP
FP
(i)
(j)
FPFP
(k)
（主）
（ 从 ）
FP
先画 AB,CD；
再连 BC （虚线）；
最后在虚线上叠加 2/8ql
由 ∑MB=0求得
§ 3-4 静定刚架
mm 2 /8ql FPa
A CB D
La a
(l)
q FP
m
FP
FP+m/l
FPL+m
FPL
m
m
L
A
C
B
L
L
(m)
FP
m
FP+m/l
§ 3-4 静定刚架
m/L
m/L
m
(n)
m C
A
D
B
L
L
L
FP
FP
FP
FPL
FP L
(o)
FP
A
D
B
L
L
L
C
§ 3-5 桁架
1）桁架的特点由材料力学可知,受弯的 实心梁，其截面的应力分布是很不均匀的，因此材料的强度不能充分发挥。
现对实心梁作如下改造：
所示结构杆件全是二力杆，
结点是铰连接，结构是静定的，
称为,静定平面桁架。
Fp Fp
全部改造
§ 3-5 桁架实际工程中的桁架是比较复杂的，与上面的理想桁架相比，需引入以下的假定：
a、所有的结点都是理想的铰结点；
b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；
c、荷载与支座反力都作用在结点上 。
2）桁架的应用主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。
§ 3-5 桁架
3）桁架的形式按外型分,平行铉、三角形、梯形、折线型、
抛物线型。
平行弦 三角形梯形 折线形
§ 3-5 桁架按承受荷载分,上承式、下承式按组成的几何构造分,静定平面桁架、超静定平面桁架、静定空间桁架、超静定空间桁架
4）桁架的计算方法
（ 1）节点法如果一个节点上的未知量少于等于 2个，就可利用两个方程就可解出未知量。
0X 0Y
（ 2）截面法用截面切断拟求内力的杆件，从结构中取出一部分 为隔离体，然后利用三个平衡方程求出要求的力。
§ 3-5 桁架
（ 3）节点法和截面法联合运用有的杆件用结点法求，有的杆件用截面法求。
（ 4）判断零杆桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判断的方法如下：
▲ 两杆节点
0X 0Y
1 0NF? 2 0NF?
FN1
FN2
§ 3-5 桁架
▲ 三杆节点
0Y 1 0NF?
▲ 四杆节点
0X 12NNFF?
0Y 34NNFF?
FN1
FN1 FN2
FN3
FN4
§ 3-5 桁架
▲ 利用结构的对称性由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。
例 1：判断图示结构的零杆
Fp Fp
§ 3-5 桁架例 2：判断图示结构的零杆
a、图示结构在对称荷载作用下
0
0C D C E
Y
FF
FCD FCE
FpFp
A C B
D E
C
§ 3-5 桁架
b、图示结构在反对称荷载作用下
FpFp
A C B
D E 内力应相对对称轴反对称，
这就要求 DE 杆半根受拉、半根受压，而这是做不到的，因此它是零杆。对称轴
§ 3-5 桁架
5）桁架计算举例例 1：计算图示 K字型桁架中 a,b杆的内力。
解,a、求反力 0
AM 33
44
PP
YB
F d FF
d
Fp
A B
k ba
4d
h/2
h/2
0Y 3
44
PP
Y A P
FFFF
§ 3-5 桁架
5）桁架计算举例例 1：计算图示 K字型桁架中 a,b杆的内力。
解,a、求反力 0
AM 33
44
PP
YB
F d FF
d
k
Fp
A B
b
a
4d
h/2
h/2
0Y 3
44
PP
Y A P
FFFF
§ 3-5 桁架
b、求内力取 k结点为隔离体：
0X N a N bFF?
作 n-n截面，取左半部分：
0Y 2
4
P
Na
FF S in
8
P
N a N b
FFF
S in
FNa
FNb
k
n
n
Fp
A B
b
a
4d
h/2
h/2
k
§ 3-5 桁架例 2：请求出图示桁架杆 1、杆 2的内力。
解 1,a、求反力 0
AM
0,5
24
PP
YB
L F FF
L
0Y 344PPY A P FFFF
Fp
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
§ 3-5 桁架
Fp
O1 n
n
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
b、求内力取 n－ n截面，对 O1取矩：
1 1 2
3
2 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n
1 0OM
§ 3-5 桁架
2 0OM
Fp
O1 n
n
L/2 L/2 L/2 L/2
L/
2
L/
2
A BH
D
C E
F1 2
b、求内力
O2m
m
取 m－ m截面，对 O2取矩：
2 2 12 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n
§ 3-5 桁架
1
17Sin
4
17Cos
其中：
1 1 2
3
2 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n①
2 2 12 2 4 2 2
P
N N N
FL L L LF S i n F C o s F S i n②
12
17 17
6 12
PP
NN
FFFF解得：
§ 3-5 桁架解 2：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。
a、对称荷载作用下，中间两根杆 a,b是零杆，取
C结点：
0Y ' 0,5 2
2
PP
NCD
FFF
Cos
F,NCD
FP/2FP/2 FP/2
D
C
H
C
a b
F,N1F,N1
§ 3-5 桁架取 D结点：
0X '
1
4 0
217
P
N
FF
b、反对称情况
''
12
17
8
P
NN
FFF（拉）
中间的 c 杆是零杆，取 C结点：
0X
21
2 5N C D N C HFF?
FP/2
FNCD FNCH
F,NCD
F,N1
FP/2 FP/2
C
D
D
C
H
F,,N1F,,N1
c
§ 3-5 桁架
0Y 22 5 PN C D N C H FFF
32
P
NCD
FF?
取 D结点,0X
"
1
24
2 17N C D NFF?
" ''
12
17
24
P
NN
FFF
把对称和反对称的合起来：
得：
FP/2
F NCD
F,,N1D
C
FNCD FNCH
1
1 7 1 7 1 7
8 2 4 6
P P P
N
F F FF
2
1 7 1 7 1 7
8 2 4 1 2
P P P
N
F F FF
§ 3-6 组合结构由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。
例,解：图中 BD杆是轴力杆件，
其它是受弯杆件。
a、求反力
1 6 6YAF kN0Y
0BM 1 6 3 6 3XAF k N
0X 3XBF kN?
取 CDE杆为隔离体：
b、求弯矩及轴力 FNDB 1kN/m
EDC
4m 2m
3m
3m
1kN/m
B
D E
A
C
§ 3-6 组合结构
0CM 4 1 6 3N D BF S in
1 8 5 7,5
43ND BF k N
画弯矩和轴力图：
FNDB 1kN/m
EDC
+7.5kN
9kN/m
2kN/m
2kN/m
例 2：
解,a、求反力由于对称,1 4 4
Y A Y BF F k N 0XAF?
b、求轴力杆的轴力作 n— n截面，取左半部分，由：
0CM 1 4 2 4 4 4
2N EGF k N
n
n
F
GE
D C
A B 2m
2m 2m 2m 2m
1kN/m
§ 3-6 组合结构
§ 3-6 组合结构取 E结点：
0X 42N E AF k N?
0Y 4N E DF kN
c、画弯矩和轴力图 对称结构在对称荷载作用下，在对称点出只有对称的内力，而反对称的内力等于零。-4kN-4kN
+4kN
2kN/m2kN/m
+4 2kN +4 2kN
FNEC
FNEA
FNED
E
§ 3-7 三铰拱如下所示结构在竖向荷载作用下，水平反力等于零，因此它不是拱结构，而是曲梁结构。
下面所示结构在竖向荷载作用下，会产生水平反力，因此它是拱结构。
1）拱的特征及其应用拱式结构,指的是在竖向荷载作用下，会产生水平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。
曲梁 三铰拱
FP FP
§ 3-7 三铰拱常见的拱式结构有：
三铰拱 带拉杆三铰拱两铰拱 无铰拱
§ 3-7 三铰拱拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的优缺点：
a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度
b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大
§ 3-7 三铰拱拱各部分的名称：
L— 跨度（拱趾之间的水平距离）
f/L—— 高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这个值控制在 1— 1/10 ）
f— 矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）
拱趾拱顶
L
f
§ 3-7 三铰拱
2）三铰拱的计算在研究它的反力、
内力计算时，为了便于理解，始终与相应的简支梁作对比。 L
2L1
L
b2a2
b3a3
b1a1
k
yk
xk
C
BA
f
FP1
FP2
FP3
k C
BA
FP1 FP2 FP3
§ 3-7 三铰拱
（ 1）支座反力计算
0BM
0P i i
Y A Y A
FbFF
L
0AM
0P i i
Y B Y B
FaFF
L
取左半跨为隔离体：
0CM
01 1 1 1 2 1 2YA P P C
H
F L F L a F L a MF
ff
L2L1
L
b2a2
b3a3
b1a1
k
yk
xk
C
BA
f
FP1
FP2
FP3
k C
BA
FP1 FP2 FP3
§ 3-7 三铰拱由前面计算可见：
三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁 C点的弯矩除以拱高 f。 FH与 f
成反比,f越小,FH越大,f越大,FH越小。也就是说,f越小，拱的特性就越突出。
§ 3-7 三铰拱
（ 2）弯矩计算求拱轴线上任意点 k的弯矩，
为此取 Ak为隔离体：
0kM
11k Y A k P k kM F x F x a H y
（ 3）剪力计算求拱轴线上任意点 k的剪力，
同样以 Ak为隔离体：
0 1Q k Y A k k P kF F C o s H S in F C o s
1Y A P k kF F C o s H S in
0Q k Q k k kF F C o s H S in
相应简支梁的剪力
MK
k
FYA
FH
FP1
FQ
K η
FNK
τ
A
k M
K
F0YA
FP1
F0QK
相应简支梁的弯矩
§ 3-7 三铰拱
（ 3）轴力计算求拱轴线上任意点 k的剪力，
同样取 Ak为隔离体：
0
1N k Y A k k P kF F S in H C o s F S in
1Y A P k kF F S in H C o s
0N k Q k k kF F S in H C o s
三铰拱内力计算公式：
0k k kM M H y
0Q k Q k k kF F C o s H S in
0N k Q k k kF F S in H C o s
MK
k
FYA
FH
FP1
FQ
K η
FNK
τ
A
k M
K
F0YA
FP1
F0QK
§ 3-7 三铰拱例 1：图示三铰拱的拱轴线方程为：
2
4 ()fy L x x
L请求出其 D点处的内力。
解,a、求反力
0BM
( 2 0 6 3 1 0 0 9 ) / 1 2
105
YAF
kN
0Y
1 0 0 2 0 6 1 0 5 1 1 5YBF k N
1 0 5 6 1 0 0 3 8 2,5
4HF k N
D
B
C
A
y
x
4m
3m3m 6m
20kN/m100kN
§ 3-7 三铰拱先求计算参数：
b、求 D点的内力
2
443 (1 2 3 ) 3 3
12DDx m y m
22
4 4 4( 2 ) ( 1 2 2 3 ) 0,6 6 7
12D
d y ft g L x
d x L?
33 42 ' 0.832
0.555
DD
D
C os
Sin
求弯矩：
0 1 0 5 3 8 2,5 3
6 7,5
D D DM M H y
k N m
MD
FYA
FH
左F
ND
D
A
左F
QD
§ 3-7 三铰拱求剪力：
由于 D点处有集中力作用，简支梁的剪力有突变，
因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。
0Q D Q D D DF F C o s H S in左 左
1 0 5 0,8 3 2 8 2,5 0,5 5 5 4 1,6 kN
0N D Q D D DF F S in H C o s左 左
1 0 5 0,5 5 5 8 2,5 0,8 3 2 1 2 7 kN
MD
FYA
FH
左F
NC
D
A
左F
QC
FYA0 FQD0左
A D
MD0
§ 3-7 三铰拱
0Q D Q D D DF F C o s H S in右 右
(1 0 5 1 0 0 ) 0,8 3 2 8 2,5 0,5 5 5
4 1,6 kN
0N D Q D D DF F S in H C o s右 右
(1 0 5 1 0 0 ) 0,5 5 5 8 2,5 0,8 3 2
7 1,4 kN
MD
FYA
H
右F
ND
D
A
右F
QD
100kN
100kN
FYA0 FQD0右
A D MD
0
§ 3-7 三铰拱例 2：请求出图示三铰拱式屋架 D点的内力。
解,a、求反力
2 9 3 6 2 4 8 9Y A Y BF F k N
0XAF?
8 9 5,8 5 2 9 5,1 3 6 2,8 2 4 0,2
2,1 5
1 2 5,9 1
HF
kN
0.20.75 2.3 2.6
11.7m
0.0
6
0.2
1.8
9
D
C
BA
29kN
36kN
24kN
§ 3-7 三铰拱
b、求 D点的内力取 AD为隔离体（直段）：
0DM 1 2 5,9 1 0,2 2 5,1 8DM k N m
0Y 1 2 5,9 1QDAF k N
0X 89N D AF kN
取 AD为隔离体（斜段）
0,9 4 9C o s 0.316Si n
0 8 9 0,9 4 9 1 2 5,9 1 0,3 1 6 4 4,6 7QDCF k N
0 8 9 0,3 1 6 1 2 5,9 1 0,9 4 9 1 4 7,6 1N D CF k N
0DM 1 2 5,9 1 0,2 2 5,1 8DM k N m
A
D
MC
89
125.9 FQDA
FNDA
A
D
89
125.9
η
FNDC
τ
FQDC
MD
§ 3-7 三铰拱
▲ 一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内力，它们可以用一个合力来表示。
▲ 一根杆件上如果只有三个力作用，并保持平衡，
那么这三个力必然交于一点，组成一个封闭的力三角形。
3）三铰拱的压力线及合理拱轴线
（ 1）三铰拱的图解法先复习几个概念：
= R=
M
FN
FQ
R
M
§ 3-7 三铰拱
▲ 一个结构在一组力的作用下，如果保持平衡，
那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。
例：用图解法求图示拱上任意点 k的内力。
3
2
1
O3
2
1
FP1 FP1
FP1 FP1RA
FP2
FP3
RB
k
RA
H
FYA
H
FYB
RB
压力线
k点合力的位臵及方向,大小等于 RA。
§ 3-7 三铰拱上图中虚线所成的图形称为：三铰拱的压力线。由压力线可以求出拱上任意点的内力，还可根据压力线离拱轴线的距离，判断拱的弯矩大小。
如果压力线与拱轴线完全重合，拱的弯矩为零，这样的拱轴线称为 合理拱轴线 。
（ 2）图解法求合理拱轴线的步骤
★ 用数解法求出反力，并用图解法求出反力的合力。
★ 根据一定的比例，作出荷载与反力的力多边形，并由两反力的交点，作各荷载的射线。
★ 作反力 RA与 FP1的交点,1”，把 01射线推平行线至交点
‘ 1’处,再作 01线与 FP2的交点 ‘ 2’，以此类推。
§ 3-7 三铰拱
（ 3）数解法求合理拱轴线已知,0k k kM M H y 0 0k k kM M H y令：
有,0 /kky M H?
例：求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
解：
0211
22kM q Lx q x 0 2
2
2 2 2 4
8
C
M q L L q L
Hf
f
qL
f
L
A B
C
f
q
§ 3-7 三铰拱
2
2
14( ) ( )
28
q L fq x L x L x x
fL
0 /kky M H?
由上可见：在均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是一抛物线。
