第 5章静定结构影响线主要内容
§ 5-3 力的虚设方法
§ 5-2 各种静定结构的影响线
§ 5-1 影响线的概念
§ 5-4 制造误差产生的位移计算
§ 5-5 温度作用时的计算
§ 5-7 图乘法
§ 5-6 荷载作用下的位移计算
§ 5-8 线性变形体系的互等定理
§ 5-1 影响线的概念
（ 2）荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即使某个反力或内力达到最大值的荷载位置。
移动荷载 —— 是一组大小不变、方向不变、互相间的距离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。
如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。
本章主要讨论静定结构在移动荷载作用下的反力与内力计算问题，具体解决以下两个问题。
（ 1）荷载移动时，反力及内力的变化规律；
例：吊车荷载吊车梁吊车吊车梁吊车轮子传下的一组间距不变的荷载
FP FP
§ 5-1 影响线的概念影响线 —— 是指结构上某一点的某个内力其值随单位移动荷载的位置变化而变化的规律。
由于各个反力及内力的变化规律是各不相同的，
因此只能逐个量值分别讨论。又由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位的移动力进行，然后运用叠加原理，求出一组力作用下的结果。
利用影响我们可以确定结构在移动荷载作用下的最不利位置。
§ 5-1 影响线的概念
§ 5-2 各种静定结构的影响线静定结构影响线绘制方法有,静力法和机动法。
讨论的结构包括,简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、
桁架、组合结构、三铰拱。
（ 1）反力影响线把单位力 1PF? 作用于梁的任意位置，求反力,
YA YBFF
1）简支梁的影响线式①就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
0BM
YA
LxF
L
得,… … ①
FP=1
x
L
A B
§ 5-2 各种静定结构的影响线静定结构影响线绘制方法有,静力法和机动法。
讨论的结构包括,简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、
桁架、组合结构、三铰拱。
（ 1）反力影响线把单位力 1PF? 作用于梁的任意位置，求反力,
YA YBFF
1）简支梁的影响线式①就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
0BM
YA
LxF
L
得,… … ①
FP=1
x
L
A B
取两点,0x? 1YAF? xL? 0YAF?
YA
LxF
L
影响线上的每一个竖标,表示的是,单位力作用于该位置时,反力 FYA的大小。
FYA的影响线方程：
1 +
FYA的影响线如下：
§ 5-2 各种静定结构的影响线同理求 FYB的影响线方程：
0AM
YB
xF
L?
得：
… … ②
式 ② 就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
取两点,0x? 0YBF? xL? 1YBF?
1+
FYB的影响线如图：
FP=1x
L
A B
§ 5-2 各种静定结构的影响线
（ 2）弯矩影响线求简支梁上 C点弯矩的影响线方程首先让单位力在 C点的左侧移动，即,0 xa
取 CB为隔离体：
0CM
C Y B
xbM F b
L
…… ③
式③为弯矩 MC在 AC段的影响线方程 。
FP=1
x
A B
Ca b
FQC
BC
FYB
MC
§ 5-2 各种静定结构的影响线取两点,0x? 0
CM? xa?
C
abM
L?
C Y B
xbM F b
L
弯矩 MC在 AC段的影响线方程,
其次让单位力在 C点的右侧移动，即,a x L
取 AC为隔离体,
0CM
C Y A
LxM F a b
L
… … ④
式④为弯矩 MC在 CB段的影响线方程，取两点：
xa?
C
abM
L?
xL? 0CM?
x
FP=1
A B
Ca b
FYA
A C
FQC
MC
§ 5-2 各种静定结构的影响线弯矩 MC的影响线如下：
（ 3）剪力影响线作简支梁 C点的剪力影响线：
首先让单位力在 C点的左侧移动，即,0 xa
FP=1
x
A B
Ca b
ab/L+
a b
A B
C
a
b
§ 5-2 各种静定结构的影响线取 CB为隔离体：
0Y
Q C Y B
xFF
L
… … ⑤
式⑤为剪力 FQC在 AC段的影响线方程，取两点：
0x? 0QCF? xa?
QC
aF
L
其次让单位力在 C点的右侧移动，即,a x L
FQC
BC
FYB
MC
FP=1
A B
a C b
§ 5-2 各种静定结构的影响线
x
取 AC为隔离体,
0Y
Q C Y A
LaFF
L
… … ⑥
式⑥为剪力 FQA在 AC段的影响线方程，取两点：
xa?
QC
bF
L?
xL? 0QCF?
剪力 FQC的影响线：
FYA
A C
FQC
MC
A BC
1
1
+
-
a/L
b/L
§ 5-2 各种静定结构的影响线
2）悬挑梁的影响线
（ 1）反力影响线作悬挑梁 FYA的影响线，
显然单位力在 AB段移动时，其影响线与相应简支梁的影响线相同，因此只需研究 DA段和 BE段。
DA段,它的影响线一定是直线，因此只需把力作用于 D点，求出 FYA的值即可 。
0BM由：
() 1
YA
L d dF
LL
得：
A BC ED
a b dd
L
A BC ED
L dd
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
BE段,同样只需把力作用于 E点，求出 FYA的值即可 。
0BM由：
YA
dF
L
得：
FYA的影响线如下：
结论：
画悬挑段的某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可。
A BC ED
L dd
FP=1
1 +
d/L
1+d/L
-
§ 5-2 各种静定结构的影响线
（ 2）弯矩影响线作图示悬挑梁 MC的影响线可用上面的结论作图，先画出 AB简支梁段 MC
的影响线，然后把左线和右线延长即可。
MC的影响如下：
ab/L+
a
b
§ 5-2 各种静定结构的影响线
C
（ 3）剪力影响线作图示悬挑梁 FQC的影响线同样可以先画出 AB简支梁段 FQC的影响线，然后把左线和右线延长即可。
FQC的影响如下：
1
1
+
-
a/L
b/L
§ 5-2 各种静定结构的影响线
C
画多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为基础的。
3）多跨静定梁的影响线
▲ 作图示多跨静定梁反力 FYA的影响线
ABD部分 是基本部分,DC部分 是附属部分，当力在 ABD段移动时,FYA 的影响线就是悬挑梁的影响线。
当力在 DC段移动时,FYA的影响线应该是直线，因此取两点的值即可。
FYA的影响线：
L a b
A CB D
1
+ -
§ 5-2 各种静定结构的影响线
▲ 作 FYD的影响线由于 FYD是附属部分的反力，因此当力在基本部分移动 时 FYD 为零，当力在 DC部分移动时,FYD是简支梁的反力。
FYD的影响线：
▲ 作 ME的影响线由于 ME是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。
ME的影响线：
cb/L+ -
A
L a b
CB D
1 +
E
§ 5-2 各种静定结构的影响线
▲ 作 FQE的影响线由于 FQE是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。
FQE的影响线：
1
1
+ --
E
§ 5-2 各种静定结构的影响线
4）间接荷载作用下的影响线如图所示，主梁 AB
所受的荷载为间接荷载。
作主梁 k点在间接荷载作用下的弯矩影响线。
分 AC,CD,DB三段讨论。由于 k点在 CD段，当力在 AC,DB段移动时,k点的弯矩与直接荷载作用下相同。
隔离体：
e
K
§ 5-2 各种静定结构的影响线
d d d
Fp=1
A DC B
K
MK
FP=1
FYA
A KMK
FP=1
FYB B
当力在 CD段移动时,k点的弯矩求解如下：
YC
dxF
d
YD
xF
d?
1
( 2 )
3
2
33
YA
x d x
F d d
d d d
x
d
2
( ) ( )
33
22
3 3 3
CD
k
x
M d e
d
d x e d e
e d x
dd
直线方程
x Fp=1
FYDFYC
C D
FYC FYD
FYA FYB
A
K
B
FYA
FYC
MKA K
§ 5-2 各种静定结构的影响线显然 MkCD是 x的一次函数，因此在 CD段的影响线也是条直线。取两点：
0x? 1 ( 2 )
3
CD
kM d e
刚好等于 AC段在 C点的值
xd? 1 ()
3
CD
kM d e
Mk的影响线如下：
刚好等于 DB段在 D点的值
d+e
2d-e
KA DC B
（ 2d-e)/3
（ d+e)/3
§ 5-2 各种静定结构的影响线
a、先画出直接荷载作用下的影响线；
间接荷载作用下的影响线可以按以下步骤作图：
b、对需求点所在区段的影响线进行修正。
按以上步骤作 k点的剪力影响线如下：
1
K
A DC B
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
1
1
作图示结构 C点的剪力影响线,
C点处有一次梁，因此剪力有突变：应为 FQC左 和
FQC右 。 FQC左 在 AC段，因此 AC段应该修正,FQC右在 CD段，因此 CD段应该修正，影响线如下：
FQC左 影响线 A C B
1
FQC右 影响线 A
D
C B
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线例：求图示结构 FYA,FQE,FQF的影响线。
FYA影响线
FQE影响线
1
2m 1m1m1m1m1m1m1m 1m
DBA
F CE
1
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线例：求图示结构 FYA,FQE,FQF的影响线。
2m 1m1m1m1m1m1m1m 1m
DBA
F CE
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQE左 影响线
1
FQE右 影响线
1
f
FP=1
hg
DC
BA
e
6）静定桁架的影响线桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的影响线作法与间接荷载作用下的基本相同。
例：求图示桁架 ef,gh,eg杆的影响线，荷载在 CD
间及 AB间移动。
（ 1）作 ef杆的影响线,
荷载在 CD间移动把荷载移动分三段：
C-e,e-f,f-D。首先让荷载作用于 C-e段，取 n-n截面，可得,0h
N ef
MF
h
§ 5-2 各种静定结构的影响线
n
n
其次让荷载作用于 f-D段，还取 n-n截面，可得：
0
h
N ef
MF
h
下面作 FNef的影响线：
① 作基线，它的范围是,A-B；
② 把相应简支梁 Mho的影响线作于基线的下方，并 把相应的竖标除以 h ;
③ 对上述影响线进行修正：
a,把 AC段和 DB段去掉（因为荷载没有在这两段上移动） ;
b,找到 e,f两点影响线的值，把这两点连以直线,即为
e-f段的影响线。
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FNef影响线荷载在 C-D移动
FNef影响线荷载在 A-D移动
2h
3d
2h
3d
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
h
3d
h
3d
（ 2）作 eg杆的影响线
N gh YAFF当荷载在 h-B段时，同样可得：
先作荷载在下弦移动。当荷载在 A-g段时，作
m-m截面，可得：
N gh YBFF?
同理可得到荷载在上弦移动时 FNeg的影响线。
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1 hg
DC
BA
e
m
m
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
1
1
m
m
FNeg影响线荷载在下弦移动
FP=1
FP=1
1
1
FNeg影响线荷载在上弦移动
（ 3）作 gh杆的影响线当荷载在 h-B段时，同样可得：
同理可得到荷载在上弦移动时 FNgh的影响线。
先作荷载在下弦移动。当荷载在 A-g段时，作
n-n截面，可得：
o
e
Ngh
MF
h?
o
e
Ngh
MF
h?
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
n
n
FP=1
FNgh影响线荷载在下弦移动
FNgh影响线荷载在上弦移动
3h
4d
f
FP=1
hg
DC
BA
e
n
n
2d/h
2d/h
3h
4d
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
7）组合结构影响线例：求图示组合结构 FNEF,MD,FQD的影响线 。
FNEF影响线：
1.2
C
NE F
MF?
2.5＋
3× 4=12m
FE
D C
A B 1.
2m
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FP=1 m
m
5
作 m-m截面求得：
MD影响线荷载在 AD段移动,
3D Y BMF
荷载在 CB段移动,
3D Y AMF
荷载在 DC段移动,
影响线应是直线，因此取 D和 C两点的值连以直线即可。
1.5
＋
－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQD左 影响线荷载在 AD段移动,
荷载在 DC段移动,
荷载在 CB段移动,
1,2
3Q D Y B N E FF F F
左
1,2
3Q D Y A N E FF F F
左
1,2
3Q D Y A N E FF F F
左
0.25
0.5
－－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1 FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQD右 影响线荷载在 AD段移动,
荷载在 DC段移动,
荷载在 CB段移动,
Q D Y BFF右
Q D YAFF?右
Q D YAFF?右
0.25
＋
－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1 FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
§ 5-3 机动法画影响线
5）机动法画影响线机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤是：
a、要求哪一点哪个量值的影响线，就把相应的约束去掉，用力来代替（称为 真实的力状态 ）；
b、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移（称为 虚设的位移状态 ） ;
c、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由虚功方程：所有外力所做的虚功 =0，可得到影响线方程；
虚设的位移状态就是所要求的影响线。
（ 1）求简支梁反力的影响线真实的力状态把 FYA的约束去掉，用力代替，得到一个机构，让该机构沿着力 FYA的方向发生一个虚位移，设虚位移为 1，如下图所示。
虚设的位移状态
Fp=1
YA
B
A B
§ 5-3 机动法画影响线
1
P?
命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
1 1 0Y A PF得：
P?
P?
是移动单位力所对应的位移，由于单位力可以在整个梁上移动，因此虚设位移图上的任意点都可称为因此虚设的位移图就是 FYA 的影响线。
（ 2）求简支梁弯矩的影响线
YA PF
…… ①
真实的力状态
Fp=1
A B
C
§ 5-3 机动法画影响线把 C点的抗弯约束去掉，用一对力矩 MC代替，得到一个机构，让该机构沿着力矩 MC的方向发生一个虚位移，设 C点发生的相对转角 。1
命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
10C C PMM
p
CpM
… … ②
虚设的位移状态α +β =1
βα
§ 5-3 机动法画影响线
MC
ba
由式②可知，虚位移图就是 MC的影响线。
（ 3）求简支梁剪力的影响线把 C点的抗剪约束去掉，用一对剪力 FQC代替，得到一个机构，让该机构沿着剪力 FQC的方向发生一个虚位移，设 C点发生的相对错动,a+b=1。
真实的力状态
Fp=1
虚设的位移状态
FQC
A B
C
b
a
§ 5-3 机动法画影响线命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
10Q C Q C PF a F b
p
Q C pF ab
…… ③
由式③可知，虚位移图就是 FQC的影响线。
§ 5-3 机动法画影响线
§ 5-4 三铰拱的影响线例：求图示三铰拱 D点内力的影响线
（ 1） MD的影响线
0D D DM M H y
MD0影响线
－ HyD影响线
MD 影响线
2
2
0.67
0.5
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
0
2
C
D
M
H
f
y
（ 2） FQD的影响线
0Q D Q DF F C o s H S i n
0.316Si n
0,9 4 9C o s
FQD0Cosα影响线
－ HSinα影响线
FQD 影响线
0.949
0.632
0.473
0.527
0.158
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
§ 5-4 三铰拱的影响线
（ 3） FND的影响线
0N D Q DF F S in H C o s
0.316Si n
0,9 4 9C o s
FND 影响线
－ HCosα影响线
－ FQD0Sinα影响线 0.316
1.898
0.739 1.107
0.528
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
§ 5-4 三铰拱的影响线
§ 5-5 影响线的应用简支梁反力 FYA的影响线如下所示，其中 C点的竖标 yc是单位力作用在 C点时，反力 FYA的大小。
若 C点作用一集中力 FP时，显然
Y A P cF F y若简支梁上作用有一组位置确定的荷载时，
FYA的计算如下,
1
n
YA P i i
i
F F y
1）当荷载位置确定时求某量值的大小
yc1
C
BA
Fp
ynyiy2y1
Fp1 Fp1 Fpi Fpn
A B
若简支梁上作用有位置确定的均布荷载时,FYA
的计算如下：
b
YA
a
F y q d x q
利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下：
① 作出某一量值 S的影响线；
② 利用下式求出该量值的大小。
11
nn
P i i i i
ii
S F y q?
ba
q
§ 5-5 影响线的应用例：利用影响线，求出图示梁 C点的弯矩。
解：作 C点的弯矩影响线如下所示 。
1 2 1 0,51 0 0,5 2 2 5 0,2 5 5,2 5
22CM k M m
DB
C
A
Fp1
0.25
0.5
0.5
1
q F
p2
2m 1m1m1m1m 1m
§ 5-5 影响线的应用
MC影响线
2）确定移动均布活荷载的最不利布置移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等，它不是永久作用在结构上的。
下图是悬挑梁 C点的弯矩影响线，若要求 C点正弯矩的最大值，显然应把移动均布活荷载布满 AB之间。
若要求 C点负弯矩的最大值，应把移动均布活荷载布满 DA和 BE之间。
MCED C
BA
§ 5-5 影响线的应用例：求图示多跨静定梁 FYA,MB的最布利荷载布置 。
FYA的最不利布置解：
MB的最不利布置
A B
C D
A B
C D
§ 5-5 影响线的应用
3）确定移动集中荷载的最不利位置
（ 1）影响线是三角形时的判别公式推导：
图示是一组移动集中荷载及某量值的影响线。
荷载处于图示位置时，
量值 S的大小为,
1 1 1 2 2P P P n nS F y F y F y
F1 F2 F3 Fi Fi+1 Fn
ba
h
y1 y2 y3 yi yi+1 yn
§ 5-5 影响线的应用设荷载向右移动 x?,则 S2为：
S的增量为：
2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )P P P n n nS F y y F y y F y y
1 2 1 1 2 2P P P n nS S S F y F y F y
在影响线的同一条直线上有,
12 i
hy y y x t g x
a
12i i n
hy y y x t g x
b
于是 △ S可写成,
11( ) ( )P P i P i P n
hhS F F x F F x
ab
§ 5-5 影响线的应用
11( ) ( )P P i P i P n
hhS F F x F F x
ab当 S为极大值时，
x? 往左或往右移动,S? 都是小于等于零。当 S为极小值时,x? 往左或往右移动,S? 都是大于等于零。
要满足上述条件，
必须有一个力 FPi作用在影响线的尖顶上，当求极大值时，
上式为：
F1 F2 F3 Fi Fi+1 Fn
ba
h
y1 y2 y3 yi yi+1 yn
§ 5-5 影响线的应用
x?① 往右移动,FPi落在‘ b’段内则有：
1 2 1 1( ) ( ) 0P P P i P i P i P n
hhF F F F F F
ab
x?② 往左移动（是负的）,FPi落在‘ a’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i P i P n
hhF F F F F
ab
若上二式成立,FPi就称为是临界荷载，用 FCR
表示。把 FCR左边的力称为 F左,把 FCR右边的力称为 F右 判断公式可写成：
crFFF
ab
右左 cr FFF
ab
右左
§ 5-5 影响线的应用
x?① 往右移动,FPi落在‘ b’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i P i P n
hhF F F F F
ab
x?② 往左移动（是负的）,FPi落在‘ a’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i i P n
hhF F F F F
ab
crFFF
ab
右左 cr FFF
ab
右左当求极小值时：
判断公式与前相同：
§ 5-5 影响线的应用例：简支梁在汽车荷载作用下，求截面 C的最大弯矩。
解：简支梁截面 C的的影响线如图所示，把汽车车队中的 130kN作用于影响线的尖顶，车队由右往左行驶，用公式进行验算：
7 0 1 3 0 5 0 1 0 0 5 0
1 5 2 5
7 0 1 3 0 5 0 1 0 0 5 0
1 5 2 5
25m15m
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
6.88 9.38 7.50 6.00
0.38
§ 5-5 影响线的应用说明此位置也是临界位置，相应的 Mc为：
1 0 0 3,7 5 5 0 6,2 5 1 3 0 9,3 8Mc
7 0 7,8 8 1 0 0 2,2 5 5 0 0,7 5 2 7 2 1k N m
因此 Mc的最大值为,2721kN·m
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
6.88 9.38 7.50 6.00
0.38
§ 5-5 影响线的应用
（ 2）影响线是多边形时的判断公式：
下图为作用在梁上的荷载及某量值 S的影响线。
把作用在每段影响线中的荷载用其合力
Ri表示，合力 Ri所对应的竖标用 yi表示，
S的计算如下：
1 1 2 2 nnS R y R y R y
y1
α1
y2 y3
y4
α4
α2
α3R
1 R2 R3 R3
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 Fn-1 Fn
§ 5-5 影响线的应用
S? 可写成：
1 1 2 2 nnS R y R y R y
1 1 2 2 nnR t y x R t y x R t y x
1
n
ii
i
x R ty?
和前面一样，只有当有一个力作用在影响线的顶点时，才可能发生极值。
发生极大值时：
0iix R tg
0ix R tg i
发生极小值时：
0ix R tg i
0ix R tg i
§ 5-5 影响线的应用例：下图为某一量值的影响线及一组移动荷载，
FP=90kN,q=37.8kN/m，求荷载的临界位置及临界值。
解：取图示荷载位置进行验算,1
9 0 4
8
0,2 5
9 0 1 1 3 7,8
4
0,2 5 0,7 5
6 3 7,5 4,5 3,6 3 1 0
46
R tg
x
1 0.75
6m4m8m
7m1.51.51.51.51.53.5m
F F F F F q
§ 5-5 影响线的应用
1 0,2 5 0,2 5
9 0 3 9 0 2 1 3 7,8
8 4 4
0,7 5
6 3 7,5 3,3 7 5 4,1 9 1 0
6
R tg
x
可见上述位置是临界位置，其产生的临界荷载为：
1 0,25
90 3,5 5,0 6,5 8 90 0,75 2,5
84
0,81 3 0,75 0,75
37,8 1 6 37,8 45 6,0
22
S
kN
§ 5-5 影响线的应用
§ 5-5 简支梁内力包络图内力包络图,
在移动荷载作用下，由各截面内力最大值连接而成的曲线称为包络图，它分弯矩包络图和剪力包络图 。
内力包络图的做法,
将梁沿跨度分成若干等份，求出各等份点的内力最大值和最小值，用光滑曲线将最大值连成曲线，将最小值也连成曲线，由此得到的图形即为内力包络图。
将梁分成十等份；
求各分点截面弯矩最大值；
用光滑曲线连成曲线。
66
0.8
57
6.8
-28
49
2.8
-56
40
8.8
32
4.8
21
8.4
-84
-13
4.4
-21
8.4
-32
4.8
-49
2.8
-40
8.8
-57
6.8
-66
0.8
13
4.4
84 56 28求各分点截面剪力的最大值和最小值；
用光滑曲线连成曲线。
弯矩包络图剪力包络图
69
2.2
11
82
.7
14
71
.7
16
39
.7
16
68
.7
280kN
4.8m 4.8m1.44
280kN 280kN 280kN
12m
A B
§ 5-3 力的虚设方法
§ 5-2 各种静定结构的影响线
§ 5-1 影响线的概念
§ 5-4 制造误差产生的位移计算
§ 5-5 温度作用时的计算
§ 5-7 图乘法
§ 5-6 荷载作用下的位移计算
§ 5-8 线性变形体系的互等定理
§ 5-1 影响线的概念
（ 2）荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即使某个反力或内力达到最大值的荷载位置。
移动荷载 —— 是一组大小不变、方向不变、互相间的距离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。
如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。
本章主要讨论静定结构在移动荷载作用下的反力与内力计算问题，具体解决以下两个问题。
（ 1）荷载移动时，反力及内力的变化规律；
例：吊车荷载吊车梁吊车吊车梁吊车轮子传下的一组间距不变的荷载
FP FP
§ 5-1 影响线的概念影响线 —— 是指结构上某一点的某个内力其值随单位移动荷载的位置变化而变化的规律。
由于各个反力及内力的变化规律是各不相同的，
因此只能逐个量值分别讨论。又由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位的移动力进行，然后运用叠加原理，求出一组力作用下的结果。
利用影响我们可以确定结构在移动荷载作用下的最不利位置。
§ 5-1 影响线的概念
§ 5-2 各种静定结构的影响线静定结构影响线绘制方法有,静力法和机动法。
讨论的结构包括,简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、
桁架、组合结构、三铰拱。
（ 1）反力影响线把单位力 1PF? 作用于梁的任意位置，求反力,
YA YBFF
1）简支梁的影响线式①就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
0BM
YA
LxF
L
得,… … ①
FP=1
x
L
A B
§ 5-2 各种静定结构的影响线静定结构影响线绘制方法有,静力法和机动法。
讨论的结构包括,简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、
桁架、组合结构、三铰拱。
（ 1）反力影响线把单位力 1PF? 作用于梁的任意位置，求反力,
YA YBFF
1）简支梁的影响线式①就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
0BM
YA
LxF
L
得,… … ①
FP=1
x
L
A B
取两点,0x? 1YAF? xL? 0YAF?
YA
LxF
L
影响线上的每一个竖标,表示的是,单位力作用于该位置时,反力 FYA的大小。
FYA的影响线方程：
1 +
FYA的影响线如下：
§ 5-2 各种静定结构的影响线同理求 FYB的影响线方程：
0AM
YB
xF
L?
得：
… … ②
式 ② 就是反力 FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。
取两点,0x? 0YBF? xL? 1YBF?
1+
FYB的影响线如图：
FP=1x
L
A B
§ 5-2 各种静定结构的影响线
（ 2）弯矩影响线求简支梁上 C点弯矩的影响线方程首先让单位力在 C点的左侧移动，即,0 xa
取 CB为隔离体：
0CM
C Y B
xbM F b
L
…… ③
式③为弯矩 MC在 AC段的影响线方程 。
FP=1
x
A B
Ca b
FQC
BC
FYB
MC
§ 5-2 各种静定结构的影响线取两点,0x? 0
CM? xa?
C
abM
L?
C Y B
xbM F b
L
弯矩 MC在 AC段的影响线方程,
其次让单位力在 C点的右侧移动，即,a x L
取 AC为隔离体,
0CM
C Y A
LxM F a b
L
… … ④
式④为弯矩 MC在 CB段的影响线方程，取两点：
xa?
C
abM
L?
xL? 0CM?
x
FP=1
A B
Ca b
FYA
A C
FQC
MC
§ 5-2 各种静定结构的影响线弯矩 MC的影响线如下：
（ 3）剪力影响线作简支梁 C点的剪力影响线：
首先让单位力在 C点的左侧移动，即,0 xa
FP=1
x
A B
Ca b
ab/L+
a b
A B
C
a
b
§ 5-2 各种静定结构的影响线取 CB为隔离体：
0Y
Q C Y B
xFF
L
… … ⑤
式⑤为剪力 FQC在 AC段的影响线方程，取两点：
0x? 0QCF? xa?
QC
aF
L
其次让单位力在 C点的右侧移动，即,a x L
FQC
BC
FYB
MC
FP=1
A B
a C b
§ 5-2 各种静定结构的影响线
x
取 AC为隔离体,
0Y
Q C Y A
LaFF
L
… … ⑥
式⑥为剪力 FQA在 AC段的影响线方程，取两点：
xa?
QC
bF
L?
xL? 0QCF?
剪力 FQC的影响线：
FYA
A C
FQC
MC
A BC
1
1
+
-
a/L
b/L
§ 5-2 各种静定结构的影响线
2）悬挑梁的影响线
（ 1）反力影响线作悬挑梁 FYA的影响线，
显然单位力在 AB段移动时，其影响线与相应简支梁的影响线相同，因此只需研究 DA段和 BE段。
DA段,它的影响线一定是直线，因此只需把力作用于 D点，求出 FYA的值即可 。
0BM由：
() 1
YA
L d dF
LL
得：
A BC ED
a b dd
L
A BC ED
L dd
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
BE段,同样只需把力作用于 E点，求出 FYA的值即可 。
0BM由：
YA
dF
L
得：
FYA的影响线如下：
结论：
画悬挑段的某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可。
A BC ED
L dd
FP=1
1 +
d/L
1+d/L
-
§ 5-2 各种静定结构的影响线
（ 2）弯矩影响线作图示悬挑梁 MC的影响线可用上面的结论作图，先画出 AB简支梁段 MC
的影响线，然后把左线和右线延长即可。
MC的影响如下：
ab/L+
a
b
§ 5-2 各种静定结构的影响线
C
（ 3）剪力影响线作图示悬挑梁 FQC的影响线同样可以先画出 AB简支梁段 FQC的影响线，然后把左线和右线延长即可。
FQC的影响如下：
1
1
+
-
a/L
b/L
§ 5-2 各种静定结构的影响线
C
画多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为基础的。
3）多跨静定梁的影响线
▲ 作图示多跨静定梁反力 FYA的影响线
ABD部分 是基本部分,DC部分 是附属部分，当力在 ABD段移动时,FYA 的影响线就是悬挑梁的影响线。
当力在 DC段移动时,FYA的影响线应该是直线，因此取两点的值即可。
FYA的影响线：
L a b
A CB D
1
+ -
§ 5-2 各种静定结构的影响线
▲ 作 FYD的影响线由于 FYD是附属部分的反力，因此当力在基本部分移动 时 FYD 为零，当力在 DC部分移动时,FYD是简支梁的反力。
FYD的影响线：
▲ 作 ME的影响线由于 ME是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。
ME的影响线：
cb/L+ -
A
L a b
CB D
1 +
E
§ 5-2 各种静定结构的影响线
▲ 作 FQE的影响线由于 FQE是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。
FQE的影响线：
1
1
+ --
E
§ 5-2 各种静定结构的影响线
4）间接荷载作用下的影响线如图所示，主梁 AB
所受的荷载为间接荷载。
作主梁 k点在间接荷载作用下的弯矩影响线。
分 AC,CD,DB三段讨论。由于 k点在 CD段，当力在 AC,DB段移动时,k点的弯矩与直接荷载作用下相同。
隔离体：
e
K
§ 5-2 各种静定结构的影响线
d d d
Fp=1
A DC B
K
MK
FP=1
FYA
A KMK
FP=1
FYB B
当力在 CD段移动时,k点的弯矩求解如下：
YC
dxF
d
YD
xF
d?
1
( 2 )
3
2
33
YA
x d x
F d d
d d d
x
d
2
( ) ( )
33
22
3 3 3
CD
k
x
M d e
d
d x e d e
e d x
dd
直线方程
x Fp=1
FYDFYC
C D
FYC FYD
FYA FYB
A
K
B
FYA
FYC
MKA K
§ 5-2 各种静定结构的影响线显然 MkCD是 x的一次函数，因此在 CD段的影响线也是条直线。取两点：
0x? 1 ( 2 )
3
CD
kM d e
刚好等于 AC段在 C点的值
xd? 1 ()
3
CD
kM d e
Mk的影响线如下：
刚好等于 DB段在 D点的值
d+e
2d-e
KA DC B
（ 2d-e)/3
（ d+e)/3
§ 5-2 各种静定结构的影响线
a、先画出直接荷载作用下的影响线；
间接荷载作用下的影响线可以按以下步骤作图：
b、对需求点所在区段的影响线进行修正。
按以上步骤作 k点的剪力影响线如下：
1
K
A DC B
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
1
1
作图示结构 C点的剪力影响线,
C点处有一次梁，因此剪力有突变：应为 FQC左 和
FQC右 。 FQC左 在 AC段，因此 AC段应该修正,FQC右在 CD段，因此 CD段应该修正，影响线如下：
FQC左 影响线 A C B
1
FQC右 影响线 A
D
C B
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线例：求图示结构 FYA,FQE,FQF的影响线。
FYA影响线
FQE影响线
1
2m 1m1m1m1m1m1m1m 1m
DBA
F CE
1
1
§ 5-2 各种静定结构的影响线例：求图示结构 FYA,FQE,FQF的影响线。
2m 1m1m1m1m1m1m1m 1m
DBA
F CE
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQE左 影响线
1
FQE右 影响线
1
f
FP=1
hg
DC
BA
e
6）静定桁架的影响线桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的影响线作法与间接荷载作用下的基本相同。
例：求图示桁架 ef,gh,eg杆的影响线，荷载在 CD
间及 AB间移动。
（ 1）作 ef杆的影响线,
荷载在 CD间移动把荷载移动分三段：
C-e,e-f,f-D。首先让荷载作用于 C-e段，取 n-n截面，可得,0h
N ef
MF
h
§ 5-2 各种静定结构的影响线
n
n
其次让荷载作用于 f-D段，还取 n-n截面，可得：
0
h
N ef
MF
h
下面作 FNef的影响线：
① 作基线，它的范围是,A-B；
② 把相应简支梁 Mho的影响线作于基线的下方，并 把相应的竖标除以 h ;
③ 对上述影响线进行修正：
a,把 AC段和 DB段去掉（因为荷载没有在这两段上移动） ;
b,找到 e,f两点影响线的值，把这两点连以直线,即为
e-f段的影响线。
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FNef影响线荷载在 C-D移动
FNef影响线荷载在 A-D移动
2h
3d
2h
3d
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
h
3d
h
3d
（ 2）作 eg杆的影响线
N gh YAFF当荷载在 h-B段时，同样可得：
先作荷载在下弦移动。当荷载在 A-g段时，作
m-m截面，可得：
N gh YBFF?
同理可得到荷载在上弦移动时 FNeg的影响线。
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1 hg
DC
BA
e
m
m
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
1
1
m
m
FNeg影响线荷载在下弦移动
FP=1
FP=1
1
1
FNeg影响线荷载在上弦移动
（ 3）作 gh杆的影响线当荷载在 h-B段时，同样可得：
同理可得到荷载在上弦移动时 FNgh的影响线。
先作荷载在下弦移动。当荷载在 A-g段时，作
n-n截面，可得：
o
e
Ngh
MF
h?
o
e
Ngh
MF
h?
§ 5-2 各种静定结构的影响线
f
FP=1
hg
DC
BA
e
n
n
FP=1
FNgh影响线荷载在下弦移动
FNgh影响线荷载在上弦移动
3h
4d
f
FP=1
hg
DC
BA
e
n
n
2d/h
2d/h
3h
4d
FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
7）组合结构影响线例：求图示组合结构 FNEF,MD,FQD的影响线 。
FNEF影响线：
1.2
C
NE F
MF?
2.5＋
3× 4=12m
FE
D C
A B 1.
2m
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FP=1 m
m
5
作 m-m截面求得：
MD影响线荷载在 AD段移动,
3D Y BMF
荷载在 CB段移动,
3D Y AMF
荷载在 DC段移动,
影响线应是直线，因此取 D和 C两点的值连以直线即可。
1.5
＋
－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQD左 影响线荷载在 AD段移动,
荷载在 DC段移动,
荷载在 CB段移动,
1,2
3Q D Y B N E FF F F
左
1,2
3Q D Y A N E FF F F
左
1,2
3Q D Y A N E FF F F
左
0.25
0.5
－－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1 FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
FQD右 影响线荷载在 AD段移动,
荷载在 DC段移动,
荷载在 CB段移动,
Q D Y BFF右
Q D YAFF?右
Q D YAFF?右
0.25
＋
－
0.75
FE
D C
A B
3× 4=12m
1.2
m
FP=1 FP=1 FP=1
§ 5-2 各种静定结构的影响线
§ 5-3 机动法画影响线
5）机动法画影响线机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤是：
a、要求哪一点哪个量值的影响线，就把相应的约束去掉，用力来代替（称为 真实的力状态 ）；
b、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移（称为 虚设的位移状态 ） ;
c、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由虚功方程：所有外力所做的虚功 =0，可得到影响线方程；
虚设的位移状态就是所要求的影响线。
（ 1）求简支梁反力的影响线真实的力状态把 FYA的约束去掉，用力代替，得到一个机构，让该机构沿着力 FYA的方向发生一个虚位移，设虚位移为 1，如下图所示。
虚设的位移状态
Fp=1
YA
B
A B
§ 5-3 机动法画影响线
1
P?
命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
1 1 0Y A PF得：
P?
P?
是移动单位力所对应的位移，由于单位力可以在整个梁上移动，因此虚设位移图上的任意点都可称为因此虚设的位移图就是 FYA 的影响线。
（ 2）求简支梁弯矩的影响线
YA PF
…… ①
真实的力状态
Fp=1
A B
C
§ 5-3 机动法画影响线把 C点的抗弯约束去掉，用一对力矩 MC代替，得到一个机构，让该机构沿着力矩 MC的方向发生一个虚位移，设 C点发生的相对转角 。1
命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
10C C PMM
p
CpM
… … ②
虚设的位移状态α +β =1
βα
§ 5-3 机动法画影响线
MC
ba
由式②可知，虚位移图就是 MC的影响线。
（ 3）求简支梁剪力的影响线把 C点的抗剪约束去掉，用一对剪力 FQC代替，得到一个机构，让该机构沿着剪力 FQC的方向发生一个虚位移，设 C点发生的相对错动,a+b=1。
真实的力状态
Fp=1
虚设的位移状态
FQC
A B
C
b
a
§ 5-3 机动法画影响线命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：
10Q C Q C PF a F b
p
Q C pF ab
…… ③
由式③可知，虚位移图就是 FQC的影响线。
§ 5-3 机动法画影响线
§ 5-4 三铰拱的影响线例：求图示三铰拱 D点内力的影响线
（ 1） MD的影响线
0D D DM M H y
MD0影响线
－ HyD影响线
MD 影响线
2
2
0.67
0.5
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
0
2
C
D
M
H
f
y
（ 2） FQD的影响线
0Q D Q DF F C o s H S i n
0.316Si n
0,9 4 9C o s
FQD0Cosα影响线
－ HSinα影响线
FQD 影响线
0.949
0.632
0.473
0.527
0.158
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
§ 5-4 三铰拱的影响线
（ 3） FND的影响线
0N D Q DF F S in H C o s
0.316Si n
0,9 4 9C o s
FND 影响线
－ HCosα影响线
－ FQD0Sinα影响线 0.316
1.898
0.739 1.107
0.528
D
BA
C
2.25m
3m 1.5m 4.5m
§ 5-4 三铰拱的影响线
§ 5-5 影响线的应用简支梁反力 FYA的影响线如下所示，其中 C点的竖标 yc是单位力作用在 C点时，反力 FYA的大小。
若 C点作用一集中力 FP时，显然
Y A P cF F y若简支梁上作用有一组位置确定的荷载时，
FYA的计算如下,
1
n
YA P i i
i
F F y
1）当荷载位置确定时求某量值的大小
yc1
C
BA
Fp
ynyiy2y1
Fp1 Fp1 Fpi Fpn
A B
若简支梁上作用有位置确定的均布荷载时,FYA
的计算如下：
b
YA
a
F y q d x q
利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下：
① 作出某一量值 S的影响线；
② 利用下式求出该量值的大小。
11
nn
P i i i i
ii
S F y q?
ba
q
§ 5-5 影响线的应用例：利用影响线，求出图示梁 C点的弯矩。
解：作 C点的弯矩影响线如下所示 。
1 2 1 0,51 0 0,5 2 2 5 0,2 5 5,2 5
22CM k M m
DB
C
A
Fp1
0.25
0.5
0.5
1
q F
p2
2m 1m1m1m1m 1m
§ 5-5 影响线的应用
MC影响线
2）确定移动均布活荷载的最不利布置移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等，它不是永久作用在结构上的。
下图是悬挑梁 C点的弯矩影响线，若要求 C点正弯矩的最大值，显然应把移动均布活荷载布满 AB之间。
若要求 C点负弯矩的最大值，应把移动均布活荷载布满 DA和 BE之间。
MCED C
BA
§ 5-5 影响线的应用例：求图示多跨静定梁 FYA,MB的最布利荷载布置 。
FYA的最不利布置解：
MB的最不利布置
A B
C D
A B
C D
§ 5-5 影响线的应用
3）确定移动集中荷载的最不利位置
（ 1）影响线是三角形时的判别公式推导：
图示是一组移动集中荷载及某量值的影响线。
荷载处于图示位置时，
量值 S的大小为,
1 1 1 2 2P P P n nS F y F y F y
F1 F2 F3 Fi Fi+1 Fn
ba
h
y1 y2 y3 yi yi+1 yn
§ 5-5 影响线的应用设荷载向右移动 x?,则 S2为：
S的增量为：
2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )P P P n n nS F y y F y y F y y
1 2 1 1 2 2P P P n nS S S F y F y F y
在影响线的同一条直线上有,
12 i
hy y y x t g x
a
12i i n
hy y y x t g x
b
于是 △ S可写成,
11( ) ( )P P i P i P n
hhS F F x F F x
ab
§ 5-5 影响线的应用
11( ) ( )P P i P i P n
hhS F F x F F x
ab当 S为极大值时，
x? 往左或往右移动,S? 都是小于等于零。当 S为极小值时,x? 往左或往右移动,S? 都是大于等于零。
要满足上述条件，
必须有一个力 FPi作用在影响线的尖顶上，当求极大值时，
上式为：
F1 F2 F3 Fi Fi+1 Fn
ba
h
y1 y2 y3 yi yi+1 yn
§ 5-5 影响线的应用
x?① 往右移动,FPi落在‘ b’段内则有：
1 2 1 1( ) ( ) 0P P P i P i P i P n
hhF F F F F F
ab
x?② 往左移动（是负的）,FPi落在‘ a’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i P i P n
hhF F F F F
ab
若上二式成立,FPi就称为是临界荷载，用 FCR
表示。把 FCR左边的力称为 F左,把 FCR右边的力称为 F右 判断公式可写成：
crFFF
ab
右左 cr FFF
ab
右左
§ 5-5 影响线的应用
x?① 往右移动,FPi落在‘ b’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i P i P n
hhF F F F F
ab
x?② 往左移动（是负的）,FPi落在‘ a’段内则有：
1 2 1( ) ( ) 0P P P i i P n
hhF F F F F
ab
crFFF
ab
右左 cr FFF
ab
右左当求极小值时：
判断公式与前相同：
§ 5-5 影响线的应用例：简支梁在汽车荷载作用下，求截面 C的最大弯矩。
解：简支梁截面 C的的影响线如图所示，把汽车车队中的 130kN作用于影响线的尖顶，车队由右往左行驶，用公式进行验算：
7 0 1 3 0 5 0 1 0 0 5 0
1 5 2 5
7 0 1 3 0 5 0 1 0 0 5 0
1 5 2 5
25m15m
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
6.88 9.38 7.50 6.00
0.38
§ 5-5 影响线的应用说明此位置也是临界位置，相应的 Mc为：
1 0 0 3,7 5 5 0 6,2 5 1 3 0 9,3 8Mc
7 0 7,8 8 1 0 0 2,2 5 5 0 0,7 5 2 7 2 1k N m
因此 Mc的最大值为,2721kN·m
70 130 50 100 50 100
4 5 4 15 4
6.88 9.38 7.50 6.00
0.38
§ 5-5 影响线的应用
（ 2）影响线是多边形时的判断公式：
下图为作用在梁上的荷载及某量值 S的影响线。
把作用在每段影响线中的荷载用其合力
Ri表示，合力 Ri所对应的竖标用 yi表示，
S的计算如下：
1 1 2 2 nnS R y R y R y
y1
α1
y2 y3
y4
α4
α2
α3R
1 R2 R3 R3
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 Fn-1 Fn
§ 5-5 影响线的应用
S? 可写成：
1 1 2 2 nnS R y R y R y
1 1 2 2 nnR t y x R t y x R t y x
1
n
ii
i
x R ty?
和前面一样，只有当有一个力作用在影响线的顶点时，才可能发生极值。
发生极大值时：
0iix R tg
0ix R tg i
发生极小值时：
0ix R tg i
0ix R tg i
§ 5-5 影响线的应用例：下图为某一量值的影响线及一组移动荷载，
FP=90kN,q=37.8kN/m，求荷载的临界位置及临界值。
解：取图示荷载位置进行验算,1
9 0 4
8
0,2 5
9 0 1 1 3 7,8
4
0,2 5 0,7 5
6 3 7,5 4,5 3,6 3 1 0
46
R tg
x
1 0.75
6m4m8m
7m1.51.51.51.51.53.5m
F F F F F q
§ 5-5 影响线的应用
1 0,2 5 0,2 5
9 0 3 9 0 2 1 3 7,8
8 4 4
0,7 5
6 3 7,5 3,3 7 5 4,1 9 1 0
6
R tg
x
可见上述位置是临界位置，其产生的临界荷载为：
1 0,25
90 3,5 5,0 6,5 8 90 0,75 2,5
84
0,81 3 0,75 0,75
37,8 1 6 37,8 45 6,0
22
S
kN
§ 5-5 影响线的应用
§ 5-5 简支梁内力包络图内力包络图,
在移动荷载作用下，由各截面内力最大值连接而成的曲线称为包络图，它分弯矩包络图和剪力包络图 。
内力包络图的做法,
将梁沿跨度分成若干等份，求出各等份点的内力最大值和最小值，用光滑曲线将最大值连成曲线，将最小值也连成曲线，由此得到的图形即为内力包络图。
将梁分成十等份；
求各分点截面弯矩最大值；
用光滑曲线连成曲线。
66
0.8
57
6.8
-28
49
2.8
-56
40
8.8
32
4.8
21
8.4
-84
-13
4.4
-21
8.4
-32
4.8
-49
2.8
-40
8.8
-57
6.8
-66
0.8
13
4.4
84 56 28求各分点截面剪力的最大值和最小值；
用光滑曲线连成曲线。
弯矩包络图剪力包络图
69
2.2
11
82
.7
14
71
.7
16
39
.7
16
68
.7
280kN
4.8m 4.8m1.44
280kN 280kN 280kN
12m
A B
